京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第20156号 / 理博第4241号 / 新制||理||1610(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 國府 寛司, 教授 上田 哲生, 教授 堤 誉志雄 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

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Motion planning problems are characterized by huge search spaces and complex obstacle structures with no concise mathematical expression. The fixed-wing airplane application considered in this thesis adds differential constraints and point-wise bounds, i. e. an infinite number of equality and inequality constraints. An optimal trajectory planning approach is presented, based on the randomized Rapidly-exploring Random Trees framework (RRT*). The local planner relies on differential flatness of the equations of motion to obtain tree branch candidates that automatically satisfy the differential constraints. Flat output trajectories, in this case equivalent to the airplane's flight path, are designed using Bézier curves. Segment feasibility in terms of point-wise inequality constraints is tested by an indicator integral, which is evaluated alongside the segment cost functional. Although the RRT* guarantees optimality in the limit of infinite planning time, it is argued by intuition and experimentation that convergence is not approached at a practically useful rate. Therefore, the randomized planner is augmented by a deterministic variational optimization technique. To this end, the optimal planning task is formulated as a semi-infinite optimization problem, using the intermediate result of the RRT(*) as an initial guess. The proposed optimization algorithm follows the feasible flavor of the primal-dual interior point paradigm. Discretization of functional (infinite) constraints is deferred to the linear subproblems, where it is realized implicitly by numeric quadrature. An inherent numerical ill-conditioning of the method is circumvented by a reduction-like approach, which tracks active constraint locations by introducing new problem variables. Obstacle avoidance is achieved by extending the line search procedure and dynamically adding obstacle-awareness constraints to the problem formulation. Experimental evaluation confirms that the hybrid approach is practically feasible and does indeed outperform RRT*'s built-in optimization mechanism, but the computational burden is still significant. / Bewegungsplanungsaufgaben sind typischerweise gekennzeichnet durch umfangreiche Suchräume, deren vollständige Exploration nicht praktikabel ist, sowie durch unstrukturierte Hindernisse, für die nur selten eine geschlossene mathematische Beschreibung existiert. Bei der in dieser Arbeit betrachteten Anwendung auf Flächenflugzeuge kommen differentielle Randbedingungen und beschränkte Systemgrößen erschwerend hinzu. Der vorgestellte Ansatz zur optimalen Trajektorienplanung basiert auf dem Rapidly-exploring Random Trees-Algorithmus (RRT*), welcher die Suchraumkomplexität durch Randomisierung beherrschbar macht. Der spezifische Beitrag ist eine Realisierung des lokalen Planers zur Generierung der Äste des Suchbaums. Dieser erfordert ein flaches Bewegungsmodell, sodass differentielle Randbedingungen automatisch erfüllt sind. Die Trajektorien des flachen Ausgangs, welche im betrachteten Beispiel der Flugbahn entsprechen, werden mittels Bézier-Kurven entworfen. Die Einhaltung der Ungleichungsnebenbedingungen wird durch ein Indikator-Integral überprüft, welches sich mit wenig Zusatzaufwand parallel zum Kostenfunktional berechnen lässt. Zwar konvergiert der RRT*-Algorithmus (im probabilistischen Sinne) zu einer optimalen Lösung, jedoch ist die Konvergenzrate aus praktischer Sicht unbrauchbar langsam. Es ist daher naheliegend, den Planer durch ein gradientenbasiertes lokales Optimierungsverfahren mit besseren Konvergenzeigenschaften zu unterstützen. Hierzu wird die aktuelle Zwischenlösung des Planers als Initialschätzung für ein kompatibles semi-infinites Optimierungsproblem verwendet. Der vorgeschlagene Optimierungsalgorithmus erweitert das verbreitete innere-Punkte-Konzept (primal dual interior point method) auf semi-infinite Probleme. Eine explizite Diskretisierung der funktionalen Ungleichungsnebenbedingungen ist nicht erforderlich, denn diese erfolgt implizit durch eine numerische Integralauswertung im Rahmen der linearen Teilprobleme. Da die Methode an Stellen aktiver Nebenbedingungen nicht wohldefiniert ist, kommt zusätzlich eine Variante des Reduktions-Ansatzes zum Einsatz, bei welcher der Vektor der Optimierungsvariablen um die (endliche) Menge der aktiven Indizes erweitert wird. Weiterhin wurde eine Kollisionsvermeidung integriert, die in den Teilschritt der Liniensuche eingreift und die Problemformulierung dynamisch um Randbedingungen zur lokalen Berücksichtigung von Hindernissen erweitert. Experimentelle Untersuchungen bestätigen, dass die Ergebnisse des hybriden Ansatzes aus RRT(*) und numerischem Optimierungsverfahren der klassischen RRT*-basierten Trajektorienoptimierung überlegen sind. Der erforderliche Rechenaufwand ist zwar beträchtlich, aber unter realistischen Bedingungen praktisch beherrschbar.

[pt] O objetivo do presente texto é demonstrar a impossibilidade da dedução tanto da finitude quanto do movimento no sistema da Ética de Spinoza. O interesse por trás desse objetivo é fornecer razões que justifiquem a pertinência de atualizar a filosofia de Spinoza. Para tal o método empregado será uma leitura imanente desta obra, buscando, sempre que possível afastar compreensões exógenas de seu conteúdo. Assim, o texto se divide em cinco partes. Primeiramente, há uma introdução na qual se apresentam estes objetivos, o método empregado e a estrutura básica do trabalho. Em segundo lugar, há uma apresentação dos pressupostos relevantes para a demonstração pretendida, tais como os conceitos de: substância, atributos, modos infinitos, modos finitos, princípio de razão suficiente e conhecimento verdadeiro. Na terceira parte o problema é delimitado mais precisamente em três etapas. Inicialmente, diferenciando-o da acusação de acosmismo, feita por Hegel contra Spinoza. Em seguida, apontando a troca epistolar entre Spinoza e Tschirnhaus como instância da posição precisa dos problemas considerados, cujas formulações são lapidadas resultando em três questões. Após isso, na terceira etapa desse terceiro capítulo, se busca defender a legitimidade de se colocar tais questões, contra as pretensões de dois comentadores contemporâneos. Então, o texto segue para seu quarto ato, em uma série de etapas. Primeiramente são apresentadas e avaliadas treze tentativas contemporâneas de solucionar o problema. Elas são agrupadas em três conjuntos, cada um relacionado mormente a uma das três questões alcançadas na etapa anterior. Da consideração dessas tentativas, surgem outras críticas no interesse de estabelecer a impossibilidade de demonstrar o movimento e a finitude no sistema da Ética. Depois disso, todos os resultados obtidos nesta etapa são consolidados, num tratamento individualizado das três questões citadas, cada uma submetida a quatro etapas. Inicialmente se explica a legitimidade ou não da questão. Em seguida, se mostram os pressupostos relevantes para a questão considerada. Após isso, se demonstra positivamente o que a interpretação avançada por esta tese julga poder ser demonstrado segundo Spinoza. Por fim, se incluem as demonstrações polêmicas, em que se apresentam as insuficiências das demonstrações positivas propostas à luz dos pressupostos avançados e outros argumentos. Findo este momento do texto, o quarto capítulo segue para suas duas últimas etapas. Primeiramente a apresentação de mais duas críticas às noções de movimento e finitude em Spinoza. Após isso, para encerrar esta etapa, se inclui um diagnóstico, onde se pretende determinar o que ocasionou as dificuldades tratadas. Por fim, em quinto lugar, o texto conclui recapitulando as contribuições deste trabalho e propondo princípios sumários para uma filosofia que abre mão dos pressupostos considerados problemáticos e que, portanto, poderia lidar de outra forma com os temas do movimento e da finitude. Além disso, se apresentam algumas questões que esta direção de pensamento deixa em aberto, apontando para desenvolvimentos posteriores, enfim encerrando este trabalho. / [en] The aim of the present text is to demonstrate the impossibility of the deduction of both finitude and motion in the system of Spinoza s Ethics. The interest behind this objective is to provide reasons that justify the pertinence of updating Spinoza s philosophy. To this end, the method employed will be an immanent reading of this work, trying, whenever possible, to avoid exogenous understandings of its content. Thus, the text is divided into five parts. First, there is an introduction in which the objectives, the method used, and the basic structure of the work are presented. Secondly, there is a presentation of the relevant presuppositions for the intended demonstration, such as the concepts of: substance, attributes, infinite modes, finite modes, the principle of sufficient reason and true knowledge. In the third part the problem is delimited more precisely in three steps. Initially, differentiating it from the accusation of acosmism, made by Hegel against Spinoza. Then, pointing out the epistolary exchange between Spinoza and Tschirnhaus as an instance of the precise position of the problems considered, whose formulations are polished resulting in three questions. After that, the third stage of this third chapter seeks to defend the legitimacy of posing such questions, against the claims of two contemporary commentators. Then the text proceeds to its fourth act, in a series of steps. First, thirteen contemporary attempts to solve the problem are presented and evaluated. They are grouped into three sets, each related primarily to one of the three questions reached in the previous step. From the consideration of these attempts, further criticism arises in the interest of establishing the impossibility of demonstrating motion and finitude in the system of the Ethics. Thereafter, all the results obtained in this stage are consolidated, in an individualized treatment of the three questions cited, each subjected to four stages. Initially, the legitimacy or not of the question is explained. Next, the assumptions relevant to the issue under consideration are shown. After that, what the interpretation advanced by this thesis believes can be demonstrated according to Spinoza is positively demonstrated. Finally, the polemical demonstrations are included, in which the inadequacies of the positive demonstrations proposed in light of the presuppositions advanced and other arguments are presented. At this point in the text, the fourth chapter moves on to its last two stages. First the presentation of two more critiques of the notions of motion and finitude in Spinoza. After this, to close this stage, a diagnosis is included, where it is intended to determine what has caused the difficulties treated. Finally, in fifth place, the text concludes by recapitulating the contributions of this work and proposing in brief principles for a philosophy that gives up the assumptions considered problematic and that, therefore, could deal differently with the themes of movement and finiteness. In addition, some questions that this direction of thought leaves open are presented, pointing to further developments, finally closing this work.

[pt] O presente trabalho disserta sobre a utilização dos fractais no ensino de conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, com o objetivo de despertar o interesse e a curiosidade dos educandos através da beleza e do dinamismo que eles oferecem para a construção de conceitos matemáticos tais como: semelhança, perímetro, área, volume, progressão aritmética e geométrica. A dissertação inicia-se com um breve histórico do surgimento dos fractais e um resumo dos níveis do desenvolvimento cognitivo segundo o modelo de van- Hiele. Em seguida, exibe-se uma coletânea de atividades envolvendo fractais com nível de dificuldade crescente que propicia aos estudantes uma aprendizagem significativa e com nuances de modernidade. A partir de suas próprias percepções e da troca de ideias entre si, os alunos formularam técnicas recursivas a ponto de preverem uma próxima iteração da figura e meios para obtenção do perímetro e da área das figuras seguintes. Acreditamos que com essa pesquisa conseguimos não só trabalhar e desenvolver conceitos matemáticos básicos, mas também fomentar o estudo do conceito de infinito, além de diminuirmos a distância entre a Álgebra e a Geometria imposta pela maioria dos atuais livros didáticos em circulação. / [en] This dissertation discusses the use of fractals in the teaching of mathematical subjects in the context of elementary, middle and high school, aiming at raising and attracting the interest and curiosity of the students through the beauty and dynamism they offer to the construction of mathematical concepts such as: similarity, perimeter, area, volume, arithmetic and geometric progression. This work begins with a brief history about the emergence of fractals and a summary of levels of cognitive development according to the van-Hiele model. Then, it is shown a collection of activities involving fractals with increasing difficulty levels that provide students with meaningful learning with nuances of modernity. From their own perceptions and the exchange of ideas between them, they formulated recursive techniques to predict a next iteration of the figure and means to obtaining the perimeter and area of the next figures. We believe that with this dissertation we can not only work and develop basic mathematical concepts, but also foster the study of the infinity concept, in addition to reducing the distance between Algebra and Geometry imposed by most current textbooks in use.

[pt] Neste trabalho são avaliadas as condições de estabilidade do subsolo marinho ao longo da rota de um duto rígido de aço revestido com concreto, de 10 de diâmetro, localizado na Bacia de Campos, RJ. Os dados geológicos e geotécnicos foram adquiridos a partir de um amplo levantamento geofísico e geotécnico realizado na diretriz do duto. Devido as adversidades à estabilidade do fundo marinho, várias análises vêm sendo realizadas de forma qualitativa e quantitativa. Atualmente, por questões ambientais e de segurança de obras de engenharia, busca-se uma avaliação mais quantitativa dos riscos geológicos associados à condição de estabilidade do fundo marinho, pois os escorregamentos de taludes representam o principal risco para estas estruturas. As análises de estabilidade foram feitas a partir da teoria do talude infinito, em metodologia aplicada por Nowacki et al. (2003) nos campos profundos de Mad Dog e Atlantis, no Golfo do México, e comparadas com os resultados encontrados a partir da formulação clássica do talude infinito. Uma integração de dados geotécnicos e geofísicos foi necessária, para que todos os parâmetros utilizados na metodologia pudessem ser obtidos. Os resultados indicaram dois pontos críticos ao longo da rota, ambos associados aos flancos do cânion Itapemirim, que apresentam gradientes altos. Foram realizados breves estudos com o objetivo de se avaliar a possibilidade de ocorrência de mecanismos disparadores (terremotos e ondas de tempestade) nesses pontos críticos mas os resultados descartaram esta possibilidade. Concluiu- se ainda que os dados geotécnicos utilizados neste trabalho não foram suficientes e de certo modo não apropriados para a análise de estabilidade de taludes. Uma nova campanha de ensaios geotécnicos de laboratório foi proposta para futuros estudos. / [en] This research analyses stability conditions of marine sediments superficial layers of along a 10 in. diameter pipeline`s route, located at Campos Basin, RJ. The geological and geotechnical data were obtained during a wide geophysical and geotechnical survey along the pipeline`s route. Due to adversities to botton stability found in the marine environment, several qualitative and quantitative stability analysis have been made. Nowadays, because of environmental and safety issues, the researches are more focused on quantitative analysis of geohazards associated with the stability condition of the sea bottom, since slope slides represent the main risk for those structures. The stability analyses were based on the infinite slope theory. The methodology applied was the same used by Nowacki et al. (2003) at the deep fields of Mad Dog and Atlantis, in the Gulf of Mexico. The results were compared with the results from the classical formulation of the infinite slope. An integration of geotechnical and geophysical data was necessary, in order to obtain all the parameters used in the methodology. The results indicated two critical points along the route, both associated with the flanks of the Itapemirim Canyon, which have steep slopes. Brief studies were made to evaluate the importance of triggering mechanisms (earthquakes and storm waves) at these critical points but the results discard this possibility. It was also concluded that the geotechnical data used in this research were insufficient and in a certain way not appropriate for the slope stability analysis. A new geotechnical lab tests campaign was proposed for future studies.

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