[pt] Subjacente à teoria dos números ordinais transfinitos de Cantor, há uma perspectiva finitista. Segundo tal perspectiva, Deus pode bem ordenar o infinito usando, para tanto, de procedimentos similares ao ato de contar, entendido como o ato de bem ordenar o finito. Desta maneira, um diálogo natural entre Cantor e Dedekind torna-se possível, dado que Dedekind foi o primeiro a tratar o ato de contar como sendo, em sua essência, uma forma de bem ordenar o mundo espáciotemporal pelos números naturais. Nesta tese, o conceito de número ordinal transfinito, de Cantor, é entendido como uma extensão do conceito dedekindiano de número natural. / [en] Underlying Cantor s transfinite ordinal numbers theory, there is a finistic perspective. Accordingly that perspective, God can well order the infinite using, for that, similar procedures to the act of counting, understood as the act of well order the finite. That s why a natural dialog between Cantor and Dedekind becomes possible, since Dedekind was the first to consider the act of counting as being, in its essence, a way of well order the spatial-temporal world by natural numbers. In this thesis, the concept of Cantor´s transfinite ordinal number is understood as an extension of dedekindian concept of natural number.

[pt] O presente trabalho analisa as figurações e o sentido do conceito de eternidade na obra de Jorge Luis Borges. No primeiro capítulo, destaca os principais símbolos borgianos atrelados ao conceito (a palavra, o nada, o eu, os animais, etc.); no segundo, as principais refutações do tempo, encontradas nos ensaios do autor; no terceiro e último capítulo, examina de que maneira o conceito de eternidade se vincula ao próprio fazer literário do escritor e à sua concepção de literatura. Tal análise quer proporcionar um novo enfoque sobre o trabalho do autor argentino, frizando, por trás de sua obsessão por labirintos, por enigmas e pelo problema do tempo, sua busca pelo centro, ou pela solução do enigma do tempo, vislumbrada, através da arte literária, no conceito de eternidade. Além disso, deseja analisar a relação ambígua que o autor mantinha com o conceito de eternidade, que via, ora como uma quimera que o homem deve abandonar para fazer parte do mundo, ora como um objetivo impossível que, somente através da literatura, pode ter algum significado para os homens. / [en] The present document analyzes the figurations and the meaning of the concept of eternity in the work of Jorge Luis Borges. In the first chapter, it points out the main borgesian symbols linked to the concept (the word, the nothing, the I, the animals, etc.); in the second chapter, the main refutations of time, found in the author´s essays; in the third and last chapter, it examines in what way the concept of eternity is related to the writer´s process of literary creation and to his very concept of literature. Such analysis means to offer a new approach towards the argentine author´s work, emphasizing, behind his obsession with labyrinths, enigmas and with the problem of time, his search for the center, or for the solution of the enigma of time, seen, through literary art, in the concept of eternity. Apart from that, it wishes to analyze the ambiguous relation the author maintained with the concept of eternity, seeing it at times as a dream that man should abandon to be part of the real world and, at other times, as an impossible goal that, only through literature, could have any meaning to men.

[pt] A dissertação relaciona as considerações sobre seguir regras com as críticas ao tratamento extensional do infinito como uma totalidade atual no segundo Wittgenstein. No primeiro capítulo, são apresentadas as críticas de Wittgenstein ao padrão mentalista de solução para determinação do significado, elucidando- se a seguir o que considera-se o cerne do Argumento da Linguagem Privada. A partir disso, argumenta-se que a solução comunitarista, formulada em termos da confirmação de um padrão independente, não pode ser coerentemente atribuída a Wittgenstein. No segundo capítulo, a antinomia histórica entre o infinito pensado como potencial ou como atual é introduzida. São apresentados alguns elementos dos tratamentos propostos por Cantor e Dedekind e, a seguir, as críticas que Wittgenstein faz aos mesmos. No terceiro capítulo, a associação das críticas de Wittgenstein ao tratamento do infinito como uma atualidade extensional com a questão da generalidade lingüística é explorada, e o caráter normativo que Wittgenstein atribui às proposições matemáticas é ressaltado. Mostra-se que, para Wittgenstein, a diferença conceitual entre finito e infinito expressaria a diferença entre contextos empíricos e gramaticais. O infinito, enquanto expressão da generalidade, não poderia ser tratado como passível de descrição extensional sem acarretar confusões, mas só poderia ser pensado no âmbito normativo, enquanto regra. Retorna-se então à questão da determinação de uma regra no contexto da discussão sobre as provas matemáticas e analisa-se a noção de surveyability. No quarto capítulo, considera-se a noção de semelhança de família. Ressalta-se então os pontos centrais da estratégia de Wittgenstein para o problema da determinação de uma regra: o abandono da extensionalidade e da univocidade do significado. Ao invés de classes ou elementos primariamente determinando a relação entre as instâncias de uma regra, teríamos antes a própria relação constituindo tais instâncias, e esta relação interna seria estabelecida na própria prática de emprego linguístico. Finalmente, na conclusão, elabora- se uma reconsideração do que foi desenvolvido a partir das relações entre generalidade e circularidade. / [en] The dissertation relates second Wittgenstein s considerations on following rules with his criticism about the extensional treatment of the infinite as actual totality. In the first chapter, a presentation of Wittgenstein s criticism of the mentalist solution pattern for the determination of the meaning is followed by an account of what is taken to be the heart of the Private Language Argument. On that basis, it is argued that the communitarianist solution, formulated in terms of the confirmation of an independent pattern, cannot be consistently attributed to Wittgenstein. In the second chapter, the historical antinomy between the infinite as potential and the infinite as actual is introduced. Some aspects of Cantor s and Dedekind s approaches, as well as Wittgenstein s criticism of those, are also presented. In the third chapter, the connection between Wittgenstein s criticism of the treatment of the infinite as extensional actuality and the question of linguistic generality is explored, and the normative character attributed by Wittgenstein to mathematical propositions is highlighted. It is shown that, according to Wittgenstein, the conceptual difference between finite and infinite expresses the difference between empirical and grammatical contexts. The infinite as expression of generality could not be treated as susceptible to extensional description without bringing about confusion, and it should, therefore, be thought of solely in a normative context, as a rule. The problem of the determination of a rule is thus retaken in the context of the discussion on mathematical proof, and the notion of surveyability is analysed. In the fourth chapter, the notion of family resemblances is considered. The central aspects of Wittgenstein s approach to the problem of the determination of a rule - the abandonment of extensionality and the univocality of meaning - are emphasised. Instead of classes or elements primarily determining the relationship among the instances of a rule, the relationship itself would constitute such instances, and such internal relationship would be established by linguistic usage itself. Finally, in the conclusion, a general reconsideration of what was discussed is carried out, starting from the relationships between circularity and generality.

[pt] O presente trabalho disserta sobre a utilização dos fractais no ensino de conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, com o objetivo de despertar o interesse e a curiosidade dos educandos através da beleza e do dinamismo que eles oferecem para a construção de conceitos matemáticos tais como: semelhança, perímetro, área, volume, progressão aritmética e geométrica. A dissertação inicia-se com um breve histórico do surgimento dos fractais e um resumo dos níveis do desenvolvimento cognitivo segundo o modelo de van- Hiele. Em seguida, exibe-se uma coletânea de atividades envolvendo fractais com nível de dificuldade crescente que propicia aos estudantes uma aprendizagem significativa e com nuances de modernidade. A partir de suas próprias percepções e da troca de ideias entre si, os alunos formularam técnicas recursivas a ponto de preverem uma próxima iteração da figura e meios para obtenção do perímetro e da área das figuras seguintes. Acreditamos que com essa pesquisa conseguimos não só trabalhar e desenvolver conceitos matemáticos básicos, mas também fomentar o estudo do conceito de infinito, além de diminuirmos a distância entre a Álgebra e a Geometria imposta pela maioria dos atuais livros didáticos em circulação. / [en] This dissertation discusses the use of fractals in the teaching of mathematical subjects in the context of elementary, middle and high school, aiming at raising and attracting the interest and curiosity of the students through the beauty and dynamism they offer to the construction of mathematical concepts such as: similarity, perimeter, area, volume, arithmetic and geometric progression. This work begins with a brief history about the emergence of fractals and a summary of levels of cognitive development according to the van-Hiele model. Then, it is shown a collection of activities involving fractals with increasing difficulty levels that provide students with meaningful learning with nuances of modernity. From their own perceptions and the exchange of ideas between them, they formulated recursive techniques to predict a next iteration of the figure and means to obtaining the perimeter and area of the next figures. We believe that with this dissertation we can not only work and develop basic mathematical concepts, but also foster the study of the infinity concept, in addition to reducing the distance between Algebra and Geometry imposed by most current textbooks in use.