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Konstanz, Univ., Diplomarb., 1998.

Perhaps the deepest unanswered question in theoretical physics is how to consistently combine the theory of general relativity with the principles of quantum mechanics. In parallel, the holographic principle is expected to be a fundamental property of quantum gravity that allows the latter to be described by a theory in one dimension lower which does not contain gravity. As an explicit realization of the holographic principle, the Anti-de Sitter/Conformal Field Theory (AdS/CFT) correspondence has established itself as our best non-perturbative approach to quantum gravity. Moreover, it has become clear that concepts of quantum information theory play a fundamental role in this duality. Nonetheless, the extent of validity of the holographic principle has not been fully explored yet. In parallel, the AdS/CFT correspondence is still primarily a conjecture rooted in theoretical arguments and, while awaiting a mathematical proof, it would immensely benefit from experimental tests validating its predictions. Motivated by these aspects, in this thesis I advance the field of \textit{discrete holography} by establishing explicit holographic models on both bulk and boundary of discretizations of hyperbolic space. These models assess the wide range of validity of the holographic principle beyond the continuum formulation of AdS/CFT while also enabling the experimental realization of holographic predictions. Furthermore, I investigate quantum information quantities such as circuit complexity, quantum discord, and the operator algebra description of entanglement, and elucidate their roles in describing certain properties of black holes. In the first part of this thesis I consider regular tilings of hyperbolic space as a discretization of constant-time slices of AdS$_{3}$. From the perspective of the bulk, I show that they provide a sensible description of the continuum by establishing how the Breitenlohner-Freedman stability bound for a free scalar field is realized on these tilings. I follow up on this result by considering an interacting scalar field on hyperbolic tilings and showing how a discrete lattice model can emulate CFT correlation functions at both zero and finite temperature. The latter are obtained from a discretization of a constant-time slice of an AdS black hole. Additionally, I present a universal experimental platform based on electric circuits on which the aforementioned results can be measured. My results show that these architectures bear tremendous untapped potential to realize further holographic predictions in the laboratory, beyond those appraised in this thesis. From a boundary perspective, I establish a large class of explicit Hamiltonians defined at the asymptotic boundary of hyperbolic tilings. These are prime candidates for boundary theories in discrete holographic dualities and consist of aperiodically disordered quantum spin chains with nearest-neighbor interactions. The aperiodic disorder encodes information about the systematic construction of the bulk tiling based on substitution rules. Using real-space renormalization group techniques, I study the ground state of these models in view of their factorized form into two-spin states, their correlation functions, and their entanglement structure. I show how the latter is exactly captured by a tensor network which extends into the bulk, thus providing a geometric bulk dual to the boundary theory. The high degree of analytic tractability of these models enables discrete manifestations of the holographic principle. These are realized by the standard prescription for computing entanglement entropy in tensor networks. In the second part of this thesis I focus on three quantum information-theoretic quantities and study them in view of describing properties of quantum black holes via the AdS/CFT correspondence. Starting from quantum circuit complexity as a conjectured probe for the emergence of space behind the horizon, I study a novel definition of Nielsen operator complexity for finite- and infinite-dimensional systems. My construction relates complexity with the theory of classical ideal hydrodynamics while still exhibiting the features desired for a holographic complexity measure. Then, I study geometric quantum discord as an efficient tool for diagnosing non-factorization. This quantity is easier to calculate than its NP-hard cousin (quantum discord), and I show how the geometric quantum discord for pure states vanishes if and only if the modular partition function factorizes. I apply this to the explicit example of an eternal wormhole in AdS and discuss the results in view of holography. Moreover, I establish a relation between geometric quantum discord and wormhole contributions to the gravitational path integral, thus shedding light on the mechanisms behind the factorization puzzle of AdS/CFT. Finally, I study local operator algebras as a rigorous approach to entanglement entropy which has been recently employed in AdS/CFT to explain the emergence of time behind the black hole horizon. In particular, I consider operator algebras in an interacting but exactly solvable quantum many-body system of Majorana fermions. I find transitions between different types of operator algebras throughout the phase diagram of the model, which contains a quantum phase transition. This model provides an explicit instance where such operator algebra transitions can be studied in a tractable many-body system. The results presented in this thesis are published in my works listed in App.~A. / Die wahrscheinlich grundlegendste unbeantwortete Frage der theoretischen Physik betrifft die Vereinigung der allgemeinen Relativitätstheorie mit den Prinzipien der Quantenmechanik. Einer der vielversprechendsten Zugänge beruht auf dem holographischen Prinzip, das eine fundamentale Eigenschaft der Quantengravitation zu sein scheint. Es besagt, dass sich eine Gravitationstheorie alternativ durch eine Theorie ohne Gravitation in einer Dimension niedriger beschreiben lässt. Als explizite Realisierung des holographischen Prinzips hat sich die Anti-de Sitter/Konforme Feldtheorie (AdS/CFT) Korrespondenz als führender Ansatz zur Theorie der Quantengravitation etabliert. Darüber hinaus haben sich Konzepte aus der Quanteninformationstheorie als elementare Bestandteile dieser Dualität heraus\-kristallisiert. Dennoch ist der Geltungsbereich des holographischen Prinzips bisher nicht vollständig erforscht. Zudem ist die AdS/CFT Korrespondenz weitestgehend noch eine Vermutung. Solange ein mathematischer Beweis nicht zur Verfügung steht, kann sie von experimentellen Tests ihrer Vorhersagen extrem profitieren. Diese Aspekte motivieren die aktuelle Dissertation, in der ich Fortschritte im Forschungsfeld der \textit{diskreten Holographie} präsentiere. Dazu etabliere ich explizite holographische Modelle auf Diskretisierungen des hyperbolischen Raums. Diese Modelle zeigen einen erweiterten Gültigkeitsbereich des holographischen Prinzips auf, jenseits der kontinuierlichen Formulierung von AdS/CFT. Zudem ermöglichen sie die experimentelle Realisierung holographischer Vorhersagen. Weiterhin präsentiere ich meine Ergebnisse zu Quanteninformationsmaßen wie der Komplexität von Quantenschaltkreisen, dem Quantendiskord und der Beschreibung von Verschränkungsentropie mittels Operatoralgebren. Ebenso erörtere ich die Signifikanz dieser Maße für die holographische Beschreibung ausgewählter Eigenschaften von Schwarzen Löchern. Im ersten Teil dieser Dissertation beschäftige ich mich mit regulären Tessellierungen des hyperbolischen Raums als Diskretisierungen von AdS$_3$-Hyperflächen bei konstanter Zeit. Für den AdS Raum zeige ich, dass diese Tessellierungen das Kontinuum sinnvoll nähern, indem ich die Breitenlohner-Freedman-Stabilitätsgrenze eines freien Skalarfeldes auf solchen Diskretisierungen realisiere. Anknüpfend an dieses Ergebnis betrachte ich ein wechselwirkendes Skalarfeld auf hyperbolischen Tessellierungen und zeige, wie ein diskretes Gittermodell Korrelationsfunktionen der CFT sowohl bei verschwindender als auch bei endlicher Temperatur emulieren kann. Die Korrelationsfunktionen bei endlicher Temperatur erhalte ich aus der Diskretisierung einer Hyperfläche eines Schwarzen Lochs im AdS-Raum bei konstanter Zeit. Darüber hinaus stelle ich eine universelle experimentelle Plattform vor, die auf elektrischen Schaltkreisen basiert und auf der die oben genannten Ergebnisse gemessen werden können. Meine Ergebnisse zeigen, dass diese Architekturen ein enormes ungenutztes Potenzial aufweisen, um weitere holographische Vorhersagen im Labor zu realisieren, welche über die in dieser Arbeit getesteten hinausgehen. Für die Quantentheorie am Rand des AdS-Raums stelle ich eine große Klasse expliziter Hamilton-Operatoren auf, die am asymptotischen Rand hyperbolischer Tessellierungen definiert sind. Diese sind geeignete Kandidaten für Randtheorien in diskreten \mbox{holographischen} Dualitäten und bestehen aus aperiodisch ungeordneten Quantenspinketten mit Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn. Die aperiodische Unordnung speichert Informationen über den systematischen Aufbau der Tessellierung. Mit Hilfe von Realraum-Renormierungsgruppen-Techniken untersuche ich den Grund\-zustand dieser Modelle im Hinblick auf ihre faktorisierte Form in Zwei-Spin-Zustände, ihre Korrelations\-funktionen und ihre Verschränkungsstruktur. Ich zeige, dass diese Struktur exakt durch ein Tensornetzwerk erfasst wird, das sich zurück in den AdS-Raum erstreckt und somit ein geometrisches Dual zur Randtheorie liefert. Die analytische Nachvoll\-ziehbarkeit dieser Modelle ermöglicht es aufzuzeigen, wie diese das holographische Prinzip für diskrete Systeme realisieren. Dies erziele ich durch die Standardvorschrift zur Berechnung der Verschränkungsentropie in Tensornetzwerken. Im zweiten Teil dieser Arbeit konzentriere ich mich auf drei quanteninformationstheoretische Größen und untersuche sie im Hinblick auf die Beschreibung von Schwarzen Löchern mittels der AdS/CFT-Korrespondenz. Ausgehend von der Komplexität von Quantenschaltkreisen, die als Maß für den Raum hinter dem Horizont vorgeschlagen wird, untersuche ich eine neuartige Definition der Nielsen-Operator-Komplexität für endlich- und unendlich-dimensionale Systeme. Mein Ansatz verbindet die Komplexität mit der Theorie der klassischen idealen Hydrodynamik und weist gleichzeitig die Eigenschaften auf, die man sich von einem holographischen Komplexitätsmaß wünscht. Anschließend untersuche ich den geometrischen Quantendiskord als effizientes Werkzeug zur Diagnose von Nicht-Faktorisierung. Diese Größe ist einfacher zu berechnen als ihr NP-schwerer Verwandter, der (nicht-geometrische) Quantendiskord. Darüber hinaus zeige ich, dass der geometrische Quantendiskord für reine Zustände genau dann verschwindet, wenn die modulare Zustandssumme faktorisiert. Ich wende dies auf das explizite Beispiel eines zeitunabhängigen Wurmlochs im AdS-Raum an und diskutiere die holographischen Eigenschaften der Ergebnisse. Daraufhin stelle ich eine Beziehung zwischen geometrischem Quantendiskord und Wurmloch-Beiträgen zum Gravitationspfadintegral her und beleuchte damit die möglichen Mechanismen hinter dem AdS/CFT-Faktorisierungsproblem. Schließlich untersuche ich lokale Operatoralgebren als mathematischen Ansatz für die Verschränkungsentropie. Diese wurden kürzlich in AdS/CFT verwendet, um die Zeitentwicklung im Inneren des Schwarzen Lochs zu erklären. Insbesondere betrachte ich Operatoralgebren in einem wechselwirkenden, aber dennoch exakt lösbaren Quanten-Vielkörpersystem von Majorana-Fermionen. Im gesamten Phasendiagramm des Modells, das einen Quantenphasenübergang enthält, finde ich Übergänge zwischen verschiedenen Typen von Operatoralgebren. Somit stelle ich ein explizites und nachvollziehbares Vielteilchenmodell dar, in dem solche Algebra-Übergänge realisiert werden. Die in dieser Dissertation präsentierten Ergebnisse sind in meinen in Anhang~A aufgelisteten Originalveröffentlichungen publiziert.

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Konstanz, Univ., Diss., 2008.

Stuttgart, Univ., Diss., 2001.

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Stuttgart, Univ., Diss., 2001.

This Thesis explores hybrid structures on the basis of quantum spin Hall insulators, and in particular the interplay of their edge states and superconducting and magnetic order. Quantum spin Hall insulators are one example of topological condensed matter systems, where the topology of the bulk bands is the key for the understanding of their physical properties. A remarkable consequence is the appearance of states at the boundary of the system, a phenomenon coined bulk-boundary correspondence. In the case of the two-dimensional quantum spin Hall insulator, this is manifested by so-called helical edge states of counter-propagating electrons with opposite spins. They hold great promise, \emph{e.g.}, for applications in spintronics -- a paradigm for the transmission and manipulation of information based on spin instead of charge -- and as a basis for quantum computers. The beginning of the Thesis consists of an introduction to one-dimensional topological superconductors, which illustrates basic concepts and ideas. In particular, this includes the topological distinction of phases and the accompanying appearance of Majorana modes at their ends. Owing to their topological origin, Majorana modes potentially are essential building-blocks for topological quantum computation, since they can be exploited for protected operations on quantum bits. The helical edge states of quantum spin Hall insulators in conjunction with $s$-wave superconductivity and magnetism are a suitable candidate for the realization of a one-dimensional topological superconductor. Consequently, this Thesis investigates the conditions in which Majorana modes can appear. Typically, this happens between regions subjected to either only superconductivity, or to both superconductivity and magnetism. If more than one superconductor is present, the phase difference is of paramount importance, and can even be used to manipulate and move Majorana modes. Furthermore, the Thesis addresses the effects of the helical edge states on the anomalous correlation functions characterizing proximity-induced superconductivity. It is found that helicity and magnetism profoundly enrich their physical structure and lead to unconventional, exotic pairing amplitudes. Strikingly, the nonlocal correlation functions can be connected to the Majorana bound states within the system. Finally, a possible thermoelectric device on the basis of hybrid systems at the quantum spin Hall edge is discussed. It utilizes the peculiar properties of the proximity-induced superconductivity in order to create spin-polarized Cooper pairs from a temperature bias. Cooper pairs with finite net spin are the cornerstone of superconducting spintronics and offer tremendous potential for efficient information technologies. / Diese Dissertation behandelt Strukturen auf der Grundlage von Quanten-Spin-Hall-Isolatoren, in denen deren Randzustände mit supraleitender und magnetischer Ordnung in Verbindung gebracht werden. Quanten-Spin-Hall-Isolatoren sind Beispiele für Systeme in der Festkörperphysik, deren physikalische Eigenschaften auf die topologische Struktur der Energiebänder zurückzuführen sind. Eine bemerkenswerte Konsequenz daraus ist die Entstehung von besonderen Randzuständen an der Oberfläche. Im Fall der zweidimensionalen Quanten-Spin-Hall-Isolatoren sind diese eindimensional und bestehen aus leitenden, metallischen Zuständen von gegenläufigen Elektronen mit entgegengesetztem Spin -- sogenannte helikale Randzustände. Sie bergen großes Potenzial für Anwendungen in der Spintronik, bei der Informationen nicht durch die Ladung, sondern den Spin von Elektronen übertragen werden, und als Plattform für Quantencomputer. Am Beginn der Dissertation werden eindimensionale topologische Supraleiter allgemeiner besprochen. Ausgehend von der Kitaev-Kette und einem kontinuierlichen Modell werden grundlegende Konzepte anschaulich eingeführt, insbesondere im Hinblick auf die topologische Unterscheidung von trivialer und nicht-trivialer Phase und dem Auftreten von Majorana-Zuständen an deren Enden. Letztere sind die entscheidenden Bausteine auf dem Weg zu geschützten Operationen für Quanten-Bits. Da Randzustände von Quanten-Spin-Hall-Isolatoren im Zusammenspiel mit $s$-Wellen-Supraleitung und Magnetismus eine Möglichkeit für die Realisierung eines solchen eindimensionalen topologischen Supraleiters ist, wird in der Folge untersucht, unter welchen Bedingungen Majorana-Zustände auftreten können. Es wird gezeigt, dass dies zwischen Gebieten geschieht, in denen die Randzustände entweder nur von Supraleitung oder von Supraleitung und Magnetismus beeinflusst werden. In Systemen mit mehr als einer supraleitenden Region spielt die Phasendifferenz dabei eine übergeordnete Rolle und kann sogar dazu benutzt werden, Majorana-Zustände zu manipulieren. Weiterhin behandelt die Dissertation die Auswirkungen der helikalen Randzustände auf anomale Korrelationsfunktionen, die von der Supraleitung induziert werden. Es zeigt sich, dass Helizität und Magnetismus deren Eigenschaften bereichern können und unkonventionelle, exotische Paarungs-Mechanismen auftreten. Zusätzlich wird ein Zusammenhang zu Majorana-Zuständen demonstriert. Abschließend wird eine mögliche thermoelektrische Anwendung eines hybriden Systems besprochen, die die besonderen supraleitenden Eigenschaften ausnutzt, um eine Temperaturdifferenz zur Erzeugung von Cooper-Paaren mit Spin-Polarisierung zu verwenden. Diese stellen im Rahmen der supraleitenden Spintronik vielversprechende Einheiten zur verlustarmen Übertragung von Informationen dar.

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