Este trabalho apresenta uma proposta de sequência didática em problemas de contagem, a partir de situações de jogos. Foi feito um Estudo de Caso numa turma de 8º ano do ensino fundamental do Colégio Militar de Porto Alegre e, ao longo do segundo semestre de 2008, quando da aplicação desses jogos, fizemos observações em relação às estratégias de contagem, às relações sociais, às distintas formas de organizar a resolução dos problemas que surgiam nas atividades e aos esquemas produzidos pelos alunos. Fundamentados na Teoria dos Campos Conceituais (Vergnaud) e na Zona de Desenvolvimento Proximal (Vygotsky), fazemos uma análise de como esses sujeitos se comportaram em diferentes contextos que abordavam o mesmo campo conceitual multiplicativo. Ao término dessa pesquisa, concluímos que o conjunto das diversas situações dos jogos ampliou o leque de representações de contagem e que o ambiente de sala de aula se tornou mais sociável, à medida que os alunos se integravam para um objetivo comum. / This work proposes a teaching sequence in counting problems, from situations of games. Was made a case study in a class of 8th grade of elementary school of the Military School of Porto Alegre and, during the second half of 2008, when following these games, we made observations on the counting strategies, social interaction, different ways of organizing the problems that arose in the activities and the schemes produced by the students. Based on the Theory of Conceptual Fields (Vergnaud) and Zone of Proximal Development (Vygotsky), we made an analysis of how these individuals behave in different contexts that were on the same multiplicative conceptual field. At the end of this research, we conclude that all the different situations of the game expanded the range of representations of counting and that the environment of the classroom has become more sociable, as the students were integrated into a common goal.

Submitted by (lucia.rodrigues@ufrpe.br) on 2016-10-21T14:26:07Z No. of bitstreams: 1 Cacilda Tenorio Oliveira Machado.pdf: 747196 bytes, checksum: 4521087d05351f5895a55272c91ba3e2 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-10-21T14:26:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Cacilda Tenorio Oliveira Machado.pdf: 747196 bytes, checksum: 4521087d05351f5895a55272c91ba3e2 (MD5) Previous issue date: 2007-01-24 / The aim of this work is to investigate the existence of relationships among the conceptions of the Mathematic teachers about fractionary numbers and the teaching process of this subject in the 5th level of the fundamental school. Based on the theory of the Conceptual Fields from Vergnaud, we analyzed data by doing the comparison between two situations: how the teacher learned and how does he teaches the concept of fraction. Our exposition was compound by ten Mathematic teachers who teach in the 5th level, that, in the beginning were interviewed through out the DHC–Dialectical Hermeneutical Circle and after they had their fraction concept introductory class observed. Being this research made on a qualitative character, it was utilized the Interactive Methodology, cause of its meaningful contribution to collect and analyze data. The DHC technique made considerably easier the data collection and gave us the opportunity of a better interaction among the interviewed ones and the researcher. The results we found showed that as men as women were capable of carrying out good didactical transpositions, those teachers between 40 and 45 years old, the ones with more general time of teaching, the ones with more experience in the 5th level and those who act only in the Prived School were better in the observed classes. Other important factor to be considered is that the Mathematical Education haven’t influenced conceptions and parctices of teachers differently. We observed that there are teachers with a very well made conceptions about fractions, conscious that the didactical transposition which they are doing in their classes is disconnected from the pupils’ reality and as they know the necessity of a contextualized teaching of this subject, meanwhile they can not be free from old practices. This studying points to future researchers which ones can clarify the incoherence between teachers’ speeching and doing. We confirmed that there is a relationship between the conceptions that the teachers have about the Mathematic Knowledge and the procedures to teach and evaluate adopted by them. The part/all model is the most worked by the collaborator teachers of this research and almost always it is associated to the procedure of double counting which makes the pupils to think about fraction not as numbers to learn, but as part of things. We concluded that many difficulties from the pupils to learn about fraction is a consequence from the model of the Didactical Transposition done by the teacher in the moment of teaching that concept. / O objetivo deste trabalho foi investigar a existência de relações entre as concepções de professores de matemática sobre númers fracionários e o processo de ensino desse conteúdo na 5ª série do ensino fundamental. Baseados na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud analisamos os dados coletados fazendo um confronto de duas situações: como o professor aprendeu e como ele ensina o conceito de fração. A nossa amostra foi composta por dez professores de matemática de 5ª série, que, inicialmente foram entrevistados através do Círculo Hermenêutico Dialético (CHD) e, posteriormente, tiveram observadas as suas aulas introdutórias do conceito de fração. Sendo esta pesquisa de caráter qualitativo, nela foi utilizada a Metodologia Interativa, pela sua contribuição significativa na coleta e análise dos dados. A técnica do CHD facilitou consideravelmente a coleta dos dados oportunizando uma maior interação entre os entrevistados e a pesquisadora. Os resultados encontrados apontam que tanto homens como mulheres foram capazes de realizar boas transposições didáticas, que professores da faixa dos 40 aos 45 anos, os com mais tempo geral de ensino, os com mais tempo de ensino na 5ª série e os que atuavam apenas na rede particular de ensino se saíram melhor na aula observada. Outro fator importante a ser considerado é que a formação em matemática não influenciou diferentemente concepções e práticas dos professores. Observamos que há professores com concepções bem elaboradas sobre fração, conscientes de que a transposição didática que estão fazendo em suas salas de aula está desarticulada da realidade dos alunos e sabedores da necessidade de um ensino contextualizado desse conteúdo, entretanto, não conseguem se desvencilhar de antigas práticas. Este estudo sinaliza para pesquisas futuras que possam esclarecer a incoerência entre o dizer e o fazer dos professores. Não observamos uma relação entre as concepções que os professores têm acerca do conhecimento matemático e os procedimentos de ensinar e avaliar por eles adotados. O modelo parte/todo é o mais trabalhado pelos professores colaboradores desta pesquisa e quase sempre é associado ao procedimento de contagem dupla, o que leva os alunos a pensarem frações não como números, mas, como partes de coisas. Concluímos que muitas das dificuldades dos alunos na aprendizagem de frações é conseqüência do modelo da transposição didática feita pelo professor no momento do ensino daquele conceito.

Este trabalho investiga o processo de apreensão do princípio de conservação da energia mecânica por alunos em diferentes momentos da instrução formal. O trabalho é justificado pelos relatos existentes acerca da complexidade que envolve o conceito de energia, o princípio de conservação da energia, degradação e conversão relacionadas aos materiais didáticos, à sua estrutura epistemológica racional e, principalmente, à sua aprendizagem. Consideramos, para isso, duas dimensões que julgamos centrais para essa discussão: a primeira refere-se ao desenvolvimento histórico-epistemológico do conceito e, a segunda, ao seu desenvolvimento em nível individual ou cognitivo. Para a primeira dimensão resgatamos pontos chaves do desenvolvimento histórico do princípio de conservação da energia, sua relação com a conservação da vis viva e os diferentes desenvolvimentos do teorema trabalho-energia, sendo um realizado por Lazare Carnot e, outro, por Lagrange. Consoante a isso apresentamos, orbitando à primeira dimensão, de que maneira o conceito de energia mecânica é tratado em alguns manuais de ensino universitário e uma síntese dos trabalhos voltados para o conceito de energia na área de Ensino de Ciências. Para a segunda dimensão pesquisamos os conhecimentos mobilizados por estudantes de diferentes níveis privilegiando duas metodologias: a primeira num estudo coletivo, que chamamos de preliminar e, outra, em nível do indivíduo, aprofundado. A intenção do estudo preliminar foi a de verificar e confirmar que alunos que se encontram em momentos mais avançados de ensino tendem a mobilizar e articular conceitos com maior pertinência do que aqueles que se encontram em momentos anteriores. Foram aplicados 158 questionários e analisados à luz de categorias existentes na literatura da área, possibilitando a aproximação com os dados relatados em pesquisas longitudinais. A partir dessa análise e da literatura, foi possível elencar 8 situações na perspectiva de aprofundarmos o entendimento de como ocorre, de maneira explícita ou implícita, o processo de aprendizagem de 6 sujeitos para os conceitos-chaves levantados durante a ação da resolução das situações com mediação do investigador. As mediações foram gravadas em vídeo e áudio e integralmente transcritas para análise. O referencial teórico adotado para a investigação da conceitualização é a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud. A análise das condutas dos sujeitos-em-ação nos permitiu inferir, por exemplo, que os sujeitos-em-ação reconhecem a conservação da energia mecânica e até mesmo, implicitamente, a expressão matemática do teorema trabalho-energia capaz de representar essa conservação na sua forma integral. Por outro lado, os dados analisados no estudo aprofundado sugerem que a dinâmica newtoniana parece atuar como obstáculo epistemológico para a aprendizagem da conservação da energia mecânica. / This work investigates the learning process of the conservation of mechanical energy by students in different levels of formal education. The work is justified by researches involving the concept of energy, the principle of the conservation and degradation of energy and transforming process related to the instructional materials. Furthermore, the complexity of rational epistemological structure of those concepts and its learning. In this case, two dimensions are considered as main points: the first one refers to the development of historical-epistemological concept and the second one to the individual cognitive development. For the first dimension, we accomplished the key points of the historical development of the principle of conservation of energy, its relation with the vis viva conservation and different developments of the work-energy theorem which were made by Lazare Carnot and other by Lagrange. According to that, we present the concept of the mechanical energy within some university books and a synthesis of works devoting the concept of the mechanical energy within the Science Learning studies. For the second dimension, we made a research about knowledge utilized by the pupils of different levels specializing in two methodologies: first about collective research called pre-study and the second one about individual research called detailed study. The aim of pre-study was to verify and confirm that high school and undergraduate students tends to mobilize and articulate concepts with better form in accordance with their level; those studies are called cross-grade or longitudinal studies. We applied and categorized 158 questionnaires which had been possible to approximate data related in longitudinal researches. After that, according to the literature, it was possible to organize 8 situations to carefully investigate how do the learning process occur, explicitly or implicitly, in 6 students about key concepts that have been appeared during the act of the resolution of the situations with mediation of the researcher. The mediations were recorded in video and audio and fully transcribed to our analysis. The framework adopted to investigate the conceptualization was the Theory of Conceptual Fields developed by the French cognitivist Gérard Vergnaud. The conduct analyses of the subjects action allowed us to infer, for example, that students recognized the conservation of the mechanical energy during the action of the students and implicitly they recognized the mathematical function that express this conservation in integral form. Moreover, the data suggests that the Newtonian dynamics acts as epistemological obstacle to the learning of the conservation of the mechanical energy.

Nesta tese, foi desenvolvida uma investigação, utilizando, principalmente, atividades digitais relacionadas com a aprendizagem dos conceitos de proporcionalidade. A base para analisar as construções conceituais dos alunos é a Teoria dos Campos Conceituais, de Gerard Vergnaud. Esta teoria é considerada cognitivista e busca compreender os processos de conceitualização, situando e estudando as filiações e rupturas entre conhecimentos do ponto de vista de seu conteúdo conceitual. Além disso, esta teoria trabalha com a noção de conhecimento a partir das habilidades e informações expressas pelas crianças e adolescentes. Para garantir uma maior abrangência de situações envolvendo o campo conceitual das estruturas multiplicativas e da proporcionalidade, selecionou-se os softwares Régua e Compasso, planilha eletrônica, geoplano, dois objetos de aprendizagem criados pelo grupo de pesquisa RIVED/UNIFRA, um vídeo “Matemática na Vida: Razão e Proporção”, do portal Domínio Público e objetos materiais como maquetes, molas, moedas, folhas de papel. Para o acompanhamento das aulas e permitir a socialização e a interação por meio de comentários, foi criado um Blog no Wordpress. A metodologia escolhida foi a Engenharia Didática, que valoriza as relações de dependência entre a dimensão teórica e a prática da pesquisa. Os sujeitos da pesquisa foram alunos da oitava série de uma escola municipal, situada na zona rural do município de Silveira Martins, RS. Os resultados demonstram potenciais contribuições das atividades digitais para o desenvolvimento das estruturas multiplicativas e da proporcionalidade. Verificou-se que as duplas de alunos conseguiram maior coerência no uso de modelos explicativos em diferentes situações, interpretando as situações e resolvendo-as de forma a explicitar seus conhecimentos, utilizando a linguagem natural ou simbólica e estabelecendo relações com as novas situações a vencer. Nesse sentido, os teoremas em ação e os conceitos em ação se tornaram mais claros, atingindo um novo patamar, em que os conceitos espontâneos evoluíram para conceitos científicos. Há de se destacar que o professor tem um papel importante no planejamento, na escolha das atividades e no nível de profundidade abordado, devendo levar em conta o desenvolvimento cognitivo dos sujeitos, pois isto é um fator que poderá motivar ou não o aluno a “aprender a aprender”, ou seja, a querer ser o autor do seu próprio processo de construção de conhecimento. / In this thesis, it was developed a research, using mainly digital activities related to learning the concepts of proportionality. The basis for analyzing the conceptual constructions of the students is the Theory of Conceptual Fields, Gerard Vergnaud. This theory is considered cognitive and seeks to understand the processes of conceptualization, standing and studying the breaks between affiliations and knowledge in terms of its conceptual content. Moreover, this theory works with the notion of knowledge from the skills and information expressed by children and teenagers. To ensure a wider range of situations involving such concepts of mul-tiplicative structures and proportionality, we selected the software ruler and compass, spread-sheet, geoplano, two learning objects created by the research group RIVED / UNIFRA, a video "MATEMÁTICA NA VIDA: RAZÃO E PROPORÇÃO", Domínio Público gateway material objects as models, springs, coins, pieces of paper. In monitoring the lessons and allow socialization and interaction through comments, it was created a blog on Wordpress. The method chosen was the Engineering Curriculum, which values the relations of dependence between the size of the theoretical and practical research. The subjects of the research were eighth graders students in a school hall, located in the rural area of Silveira Martins, RS. The results demonstrate the potential contributions of digital activities for the development of multiplicative structures and proportionality. It was found that pairs of students achieved greater consistency in the use of explanatory models in different situations. In this way, the theorems in action and the concepts in action became clearer, reaching a new level, where the spontaneous concepts to evolved to scientific concepts, getting interpret situations and resolve them in order to clarify their knowledge, using the natural or symbolic language and establishing relationships with new situations to win. It must be noted that the teacher has an important role in planning, choice of activities and level of depth addressed, should take into account the cognitive development of individuals, as this is one factor that may or may not motivate stu-dents to learn to learn, in other words, wanting to be the author of their own process of knowledge construction.

Nesta tese, foi desenvolvida uma investigação, utilizando, principalmente, atividades digitais relacionadas com a aprendizagem dos conceitos de proporcionalidade. A base para analisar as construções conceituais dos alunos é a Teoria dos Campos Conceituais, de Gerard Vergnaud. Esta teoria é considerada cognitivista e busca compreender os processos de conceitualização, situando e estudando as filiações e rupturas entre conhecimentos do ponto de vista de seu conteúdo conceitual. Além disso, esta teoria trabalha com a noção de conhecimento a partir das habilidades e informações expressas pelas crianças e adolescentes. Para garantir uma maior abrangência de situações envolvendo o campo conceitual das estruturas multiplicativas e da proporcionalidade, selecionou-se os softwares Régua e Compasso, planilha eletrônica, geoplano, dois objetos de aprendizagem criados pelo grupo de pesquisa RIVED/UNIFRA, um vídeo “Matemática na Vida: Razão e Proporção”, do portal Domínio Público e objetos materiais como maquetes, molas, moedas, folhas de papel. Para o acompanhamento das aulas e permitir a socialização e a interação por meio de comentários, foi criado um Blog no Wordpress. A metodologia escolhida foi a Engenharia Didática, que valoriza as relações de dependência entre a dimensão teórica e a prática da pesquisa. Os sujeitos da pesquisa foram alunos da oitava série de uma escola municipal, situada na zona rural do município de Silveira Martins, RS. Os resultados demonstram potenciais contribuições das atividades digitais para o desenvolvimento das estruturas multiplicativas e da proporcionalidade. Verificou-se que as duplas de alunos conseguiram maior coerência no uso de modelos explicativos em diferentes situações, interpretando as situações e resolvendo-as de forma a explicitar seus conhecimentos, utilizando a linguagem natural ou simbólica e estabelecendo relações com as novas situações a vencer. Nesse sentido, os teoremas em ação e os conceitos em ação se tornaram mais claros, atingindo um novo patamar, em que os conceitos espontâneos evoluíram para conceitos científicos. Há de se destacar que o professor tem um papel importante no planejamento, na escolha das atividades e no nível de profundidade abordado, devendo levar em conta o desenvolvimento cognitivo dos sujeitos, pois isto é um fator que poderá motivar ou não o aluno a “aprender a aprender”, ou seja, a querer ser o autor do seu próprio processo de construção de conhecimento. / In this thesis, it was developed a research, using mainly digital activities related to learning the concepts of proportionality. The basis for analyzing the conceptual constructions of the students is the Theory of Conceptual Fields, Gerard Vergnaud. This theory is considered cognitive and seeks to understand the processes of conceptualization, standing and studying the breaks between affiliations and knowledge in terms of its conceptual content. Moreover, this theory works with the notion of knowledge from the skills and information expressed by children and teenagers. To ensure a wider range of situations involving such concepts of mul-tiplicative structures and proportionality, we selected the software ruler and compass, spread-sheet, geoplano, two learning objects created by the research group RIVED / UNIFRA, a video "MATEMÁTICA NA VIDA: RAZÃO E PROPORÇÃO", Domínio Público gateway material objects as models, springs, coins, pieces of paper. In monitoring the lessons and allow socialization and interaction through comments, it was created a blog on Wordpress. The method chosen was the Engineering Curriculum, which values the relations of dependence between the size of the theoretical and practical research. The subjects of the research were eighth graders students in a school hall, located in the rural area of Silveira Martins, RS. The results demonstrate the potential contributions of digital activities for the development of multiplicative structures and proportionality. It was found that pairs of students achieved greater consistency in the use of explanatory models in different situations. In this way, the theorems in action and the concepts in action became clearer, reaching a new level, where the spontaneous concepts to evolved to scientific concepts, getting interpret situations and resolve them in order to clarify their knowledge, using the natural or symbolic language and establishing relationships with new situations to win. It must be noted that the teacher has an important role in planning, choice of activities and level of depth addressed, should take into account the cognitive development of individuals, as this is one factor that may or may not motivate stu-dents to learn to learn, in other words, wanting to be the author of their own process of knowledge construction.

Este trabalho investiga o processo de apreensão do princípio de conservação da energia mecânica por alunos em diferentes momentos da instrução formal. O trabalho é justificado pelos relatos existentes acerca da complexidade que envolve o conceito de energia, o princípio de conservação da energia, degradação e conversão relacionadas aos materiais didáticos, à sua estrutura epistemológica racional e, principalmente, à sua aprendizagem. Consideramos, para isso, duas dimensões que julgamos centrais para essa discussão: a primeira refere-se ao desenvolvimento histórico-epistemológico do conceito e, a segunda, ao seu desenvolvimento em nível individual ou cognitivo. Para a primeira dimensão resgatamos pontos chaves do desenvolvimento histórico do princípio de conservação da energia, sua relação com a conservação da vis viva e os diferentes desenvolvimentos do teorema trabalho-energia, sendo um realizado por Lazare Carnot e, outro, por Lagrange. Consoante a isso apresentamos, orbitando à primeira dimensão, de que maneira o conceito de energia mecânica é tratado em alguns manuais de ensino universitário e uma síntese dos trabalhos voltados para o conceito de energia na área de Ensino de Ciências. Para a segunda dimensão pesquisamos os conhecimentos mobilizados por estudantes de diferentes níveis privilegiando duas metodologias: a primeira num estudo coletivo, que chamamos de preliminar e, outra, em nível do indivíduo, aprofundado. A intenção do estudo preliminar foi a de verificar e confirmar que alunos que se encontram em momentos mais avançados de ensino tendem a mobilizar e articular conceitos com maior pertinência do que aqueles que se encontram em momentos anteriores. Foram aplicados 158 questionários e analisados à luz de categorias existentes na literatura da área, possibilitando a aproximação com os dados relatados em pesquisas longitudinais. A partir dessa análise e da literatura, foi possível elencar 8 situações na perspectiva de aprofundarmos o entendimento de como ocorre, de maneira explícita ou implícita, o processo de aprendizagem de 6 sujeitos para os conceitos-chaves levantados durante a ação da resolução das situações com mediação do investigador. As mediações foram gravadas em vídeo e áudio e integralmente transcritas para análise. O referencial teórico adotado para a investigação da conceitualização é a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud. A análise das condutas dos sujeitos-em-ação nos permitiu inferir, por exemplo, que os sujeitos-em-ação reconhecem a conservação da energia mecânica e até mesmo, implicitamente, a expressão matemática do teorema trabalho-energia capaz de representar essa conservação na sua forma integral. Por outro lado, os dados analisados no estudo aprofundado sugerem que a dinâmica newtoniana parece atuar como obstáculo epistemológico para a aprendizagem da conservação da energia mecânica. / This work investigates the learning process of the conservation of mechanical energy by students in different levels of formal education. The work is justified by researches involving the concept of energy, the principle of the conservation and degradation of energy and transforming process related to the instructional materials. Furthermore, the complexity of rational epistemological structure of those concepts and its learning. In this case, two dimensions are considered as main points: the first one refers to the development of historical-epistemological concept and the second one to the individual cognitive development. For the first dimension, we accomplished the key points of the historical development of the principle of conservation of energy, its relation with the vis viva conservation and different developments of the work-energy theorem which were made by Lazare Carnot and other by Lagrange. According to that, we present the concept of the mechanical energy within some university books and a synthesis of works devoting the concept of the mechanical energy within the Science Learning studies. For the second dimension, we made a research about knowledge utilized by the pupils of different levels specializing in two methodologies: first about collective research called pre-study and the second one about individual research called detailed study. The aim of pre-study was to verify and confirm that high school and undergraduate students tends to mobilize and articulate concepts with better form in accordance with their level; those studies are called cross-grade or longitudinal studies. We applied and categorized 158 questionnaires which had been possible to approximate data related in longitudinal researches. After that, according to the literature, it was possible to organize 8 situations to carefully investigate how do the learning process occur, explicitly or implicitly, in 6 students about key concepts that have been appeared during the act of the resolution of the situations with mediation of the researcher. The mediations were recorded in video and audio and fully transcribed to our analysis. The framework adopted to investigate the conceptualization was the Theory of Conceptual Fields developed by the French cognitivist Gérard Vergnaud. The conduct analyses of the subjects action allowed us to infer, for example, that students recognized the conservation of the mechanical energy during the action of the students and implicitly they recognized the mathematical function that express this conservation in integral form. Moreover, the data suggests that the Newtonian dynamics acts as epistemological obstacle to the learning of the conservation of the mechanical energy.

Nesta tese, foi desenvolvida uma investigação, utilizando, principalmente, atividades digitais relacionadas com a aprendizagem dos conceitos de proporcionalidade. A base para analisar as construções conceituais dos alunos é a Teoria dos Campos Conceituais, de Gerard Vergnaud. Esta teoria é considerada cognitivista e busca compreender os processos de conceitualização, situando e estudando as filiações e rupturas entre conhecimentos do ponto de vista de seu conteúdo conceitual. Além disso, esta teoria trabalha com a noção de conhecimento a partir das habilidades e informações expressas pelas crianças e adolescentes. Para garantir uma maior abrangência de situações envolvendo o campo conceitual das estruturas multiplicativas e da proporcionalidade, selecionou-se os softwares Régua e Compasso, planilha eletrônica, geoplano, dois objetos de aprendizagem criados pelo grupo de pesquisa RIVED/UNIFRA, um vídeo “Matemática na Vida: Razão e Proporção”, do portal Domínio Público e objetos materiais como maquetes, molas, moedas, folhas de papel. Para o acompanhamento das aulas e permitir a socialização e a interação por meio de comentários, foi criado um Blog no Wordpress. A metodologia escolhida foi a Engenharia Didática, que valoriza as relações de dependência entre a dimensão teórica e a prática da pesquisa. Os sujeitos da pesquisa foram alunos da oitava série de uma escola municipal, situada na zona rural do município de Silveira Martins, RS. Os resultados demonstram potenciais contribuições das atividades digitais para o desenvolvimento das estruturas multiplicativas e da proporcionalidade. Verificou-se que as duplas de alunos conseguiram maior coerência no uso de modelos explicativos em diferentes situações, interpretando as situações e resolvendo-as de forma a explicitar seus conhecimentos, utilizando a linguagem natural ou simbólica e estabelecendo relações com as novas situações a vencer. Nesse sentido, os teoremas em ação e os conceitos em ação se tornaram mais claros, atingindo um novo patamar, em que os conceitos espontâneos evoluíram para conceitos científicos. Há de se destacar que o professor tem um papel importante no planejamento, na escolha das atividades e no nível de profundidade abordado, devendo levar em conta o desenvolvimento cognitivo dos sujeitos, pois isto é um fator que poderá motivar ou não o aluno a “aprender a aprender”, ou seja, a querer ser o autor do seu próprio processo de construção de conhecimento. / In this thesis, it was developed a research, using mainly digital activities related to learning the concepts of proportionality. The basis for analyzing the conceptual constructions of the students is the Theory of Conceptual Fields, Gerard Vergnaud. This theory is considered cognitive and seeks to understand the processes of conceptualization, standing and studying the breaks between affiliations and knowledge in terms of its conceptual content. Moreover, this theory works with the notion of knowledge from the skills and information expressed by children and teenagers. To ensure a wider range of situations involving such concepts of mul-tiplicative structures and proportionality, we selected the software ruler and compass, spread-sheet, geoplano, two learning objects created by the research group RIVED / UNIFRA, a video "MATEMÁTICA NA VIDA: RAZÃO E PROPORÇÃO", Domínio Público gateway material objects as models, springs, coins, pieces of paper. In monitoring the lessons and allow socialization and interaction through comments, it was created a blog on Wordpress. The method chosen was the Engineering Curriculum, which values the relations of dependence between the size of the theoretical and practical research. The subjects of the research were eighth graders students in a school hall, located in the rural area of Silveira Martins, RS. The results demonstrate the potential contributions of digital activities for the development of multiplicative structures and proportionality. It was found that pairs of students achieved greater consistency in the use of explanatory models in different situations. In this way, the theorems in action and the concepts in action became clearer, reaching a new level, where the spontaneous concepts to evolved to scientific concepts, getting interpret situations and resolve them in order to clarify their knowledge, using the natural or symbolic language and establishing relationships with new situations to win. It must be noted that the teacher has an important role in planning, choice of activities and level of depth addressed, should take into account the cognitive development of individuals, as this is one factor that may or may not motivate stu-dents to learn to learn, in other words, wanting to be the author of their own process of knowledge construction.

Le programme -Une école adaptée à tous ses élèves-, qui s'inscrit dans la réforme actuelle de l'éducation au Québec, nous a amenée à nous intéresser aux représentations dans les grandeurs en mesure en mathématiques des élèves en difficulté d'apprentissage. Nous nous sommes proposés de reconduire plusieurs paramètres de la recherche de Brousseau (1987, 1992) auprès de cette clientèle. La théorie des champs conceptuels (TCC) de Vergnaud (1991), appliquée aux structures additives, a été particulièrement utile pour l'analyse et l'interprétation de leurs représentations. Comme méthode de recherche, nous avons utilisé la théorie des situations didactiques en mathématiques (TSDM), réseau de concepts et de méthode de recherche appuyé sur l'ingénierie didactique qui permet une meilleure compréhension de l'articulation des contenus à enseigner. Grâce à la TSDM, nous avons observé les approches didactiques des enseignants avec leurs élèves. Notre recherche est de type exploratoire et qualitatif et les données recueillies auprès de 26 élèves de deux classes spéciales du deuxième cycle du primaire ont été traitées selon une méthode d'analyse de contenu. Deux conduites ont été adoptées par les élèves. La première, de type procédural a été utilisée par presque tous les élèves. Elle consiste à utiliser des systèmes de comptage plus ou moins sophistiqués, de la planification aux suites d'actions. La deuxième consiste à récupérer directement en mémoire à long terme le résultat associé à un couple donné et au contrôle de son exécution. L'observation des conduites révèle que les erreurs sont dues à une rupture du sens. Ainsi, les difficultés d'ordre conceptuel et de symbolisation nous sont apparues plus importantes lorsque l'activité d'échange demandait la compétence "utilisation" et renvoyait à la compréhension de la tâche, soit les tâches dans lesquelles ils doivent eux-mêmes découvrir les rapports entre les variables à travailler et à simuler les actions décrites dans les énoncés. En conséquence, les problèmes d'échanges se sont révélés difficiles à modéliser en actes et significativement plus ardus que les autres. L'étude des interactions enseignants et élèves a démontré que la parole a été presque uniquement le fait des enseignants qui ont utilisé l'approche du contrôle des actes ou du sens ou les deux stratégies pour aider des élèves en difficulté. Selon le type de situation à résoudre dans ces activités de mesurage de longueur et de masse, des mobilisations plurielles ont été mises en oeuvre par les élèves, telles que la manipulation d'un ou des étalon(s) par superposition, par reports successifs, par pliage ou par coupure lorsque l'étalon dépassait; par retrait ou ajout d'un peu de sable afin de stabiliser les plateaux. Nous avons également observé que bien que certains élèves aient utilisé leurs doigts pour se donner une perception globale extériorisée des quantités, plusieurs ont employé des procédures très diverses au cours de ces mêmes séances. Les résultats présentés étayent l'hypothèse selon laquelle les concepts de grandeur et de mesure prennent du sens à travers des situations problèmes liées à des situations vécues par les élèves, comme les comparaisons directes. Eles renforcent et relient les grandeurs, leurs propriétés et les connaissances numériques. / -An education system adjusted to all its pupils-, in line with the present reform of the education system of Québec has led us in this project, to examine how students with learning problems deal with numbers and measurements in mathematics. In the present study, our purpose is to double-check many of the parameters defined in the work of Brousseau (1987, 1992). The theory of the conceptual fields of Vergnaud (1991)applied to the additives structures, was particularly useful in our analysis of the facts and the interpretation of their representations. In this work, the methodology we adopted is the Didactic engineering, wich allow a better understanding in articulating the contents to each. Using Theory of didactic situations in mathematics, we examined the didactic approaches the teachers have in their relationship with their students. The data for our study, which is of the exploratory and qualitative type, was collected with twenty six students of the second cycle of the primary school. That data was analysed in conformity with a medthodology of content analysis. The examination of the student's behavior revealed two attitudes. Almost all the students used the first attitude, which is of the procedural type. It consisted in using counting systems more or less sophisticated from the planning to the folowing actions involved. The second attitude implied memorizing for the long term, the result associated with a specific couple of actions and the control of their execution. The observaton of the student's attitudes reveals that the errors they made are related to a semantic disruption in their interpretation of the varied tips and strategies the teachers tried to help them with to solve the different problems. Thus, it appeared to us that the difficulties at the conceptual and symbolization levels were more important when the exchange activity involved their competence to evaluate and activity related to the understanding to the task to achieve. In other terms, they had more difficulty with the tasks where they had to establish by themselves to link between the variables, and simulate the actions involved by those tasks. Consequently, the tasks involving exchange operations happened to be more difficult to translate into actions, and were clearly more problematic than the other tasks. The study of the interaction between teachers and students revealed that only teachers used words in the process, where they used the approach of the control of the actions, or the approach of control of the meaning or both strategies to help students with problems. Depending on the type of problem encountered during these activities of measurements of length and masses, the students had recourse to numerous experiments such as manipulation of the standard measure(s). They proceeded by superimposing, by successive deferments, by folding, by cutting when the standard was exceeding in size; or by reduction or addition of some amount of sand to bring into balance the scale. We noticed also that despite the fact that certain students used their fingers to have a global idea of the external measures of the quantities, many of those same students had recourse to a diversity of other procedures during the same test. The result presented here support the hypothesis that says that the concepts of size and measurement get more meaning in a specific context, where they relate to real situations lived by the students, as well as by direct comparisons. They reinforce and establish links between the so-called sizes, their properties and the numeric knowledge.

La statistique est d’une grande importance pour l’éducation scientifique et citoyenne, et a été adoptée pour cette raison dans les programmes des collèges et lycées dans plusieurs pays, parmi lesquels le Brésil et la France. Les mesures de tendance centrale et les mesures de dispersion sont deux concepts fondamentaux de la statistique descriptive. À partir des problèmes identifiés dans différentes recherches sur l’apprentissage des mesures de tendance centrale et de dispersion dans l’enseignement secondaire et supérieur, nous formulons l’hypothèse qu’il existe une relation entre ces problèmes d’apprentissage et la façon dont ce savoir est transposé dans les manuels et les programmes. Nous considérons également que ces mesures doivent être enseignées en articulation avec la dispersion. Dans ce sens, cette étude se propose d’analyser la façon dont les mesures de tendance centrale et de dispersion sont présentées dans les programmes et dans certains manuels scolaires utilisés dans les lycées Brésiliens et Français. L’objet principal de cette recherche a donc été la réalisation d’une recherche bibliographique. Cette étude s’appuie sur un ensemble de recherches et de théories, et en particulier sur la théorie anthropologique de la didactique et la théorie des champs conceptuels. Les résultats produits incluent une proposition de systématisation de notre recherche de thèse, un chapitre sur le savoir scientifique relatif aux mesures de tendance centrale et de dispersion ainsi que l’analyse de la transposition didactique des programmes et des manuels scolaires qui comportent une discussion sur les caractéristiques de ces éléments au Brésil et en France. Les résultats indiquent des limitations parmi les programmes et les manuels scolaires sélectionnés, ce qui peut indiquer que les problèmes mis en évidence dans les recherches étudiées sont en partie liés à la façon dont cette connaissance est transposée dans les programmes et les manuels scolaires. / The statistic has a great importance in the scientific and civic education, and was adopted for this reason in the programs of middle and high schools in several countries, among which Brazil and France. Central tendency measures and dispersion measures are two fundamental concepts for descriptive statistic. From the problems identified in various researches about learning central tendencies and dispersion in secondary and higher education, we hypothesize that there is a relation between these learning problems and the way this knowledge is transposed in handbooks and school programs. We also consider that these measures must be taught articulated with dispersion. In that sense, this study offers to analyze how central tendency and dispersion measures are presented in some programs and handbooks used in Brazilian and French high schools. The main objet of this research was the realization of a bibliographical research. This study is built on various theories and researches and in particular the anthropological theory of didactics and the theory of conceptual fields. The results produced include the proper proposition of systematization of the thesis research, a chapter about the scientific knowledge related to central tendency measures and dispersion measures as well as the analysis of didactic transposition of the programs and scholar handbooks that include a discussion about the characteristics of these elements in France and Brazil. The results show limitations among the selected handbooks and programs, which points out the problems highlighted in the studies are partly linked to how this knowledge is transposed in programs and handbooks. / A Estatística é importante para a educação científica e cidadã e por esta razão ela é adotada nos programas do ensino fundamental e médio de vários países, entre eles, o Brasil e a França. Dois conceitos fundamentais da estatística descritiva são as medidas de tendência central e dispersão. Partindo de problemas identificados em diversas pesquisas sobre a aprendizagem dessas medidas na educação básica e em cursos de graduação, propomos como hipótese que existe uma relação entre esses problemas e a forma como esse saber é transposto para o livro didático e os programas. Consideramos também que essas medidas devem ser ensinadas de forma articuladas com a dispersão. Nesse sentido, este estudo tem por objetivo a análise da forma como as medidas de tendência central e dispersão são apresentadas nos programas e em alguns livros didáticos utilizados no Brasil e na França no ensino médio. Para esta investigação, realizamos uma pesquisa bibliográfica. Apoiamos este estudo em diversos teóricos e pesquisas. Destacando em especial a teoria antropológica do didático e a teoria dos campos conceituais. Entre os resultados produzidos, temos a própria proposta de sistematização da pesquisa pela tese, um capítulo sobre o saber científico relativo às medidas de tendência central e dispersão e a análise da transposição didática dos programas e dos livros que envolvem uma discussão sobre as características destes elementos no Brasil e na França. Os resultados indicam limitações entre os programas e livros selecionados, o que pode indicar que em parte os problemas indicados, nas pesquisas levantadas, estão relacionados à forma como esse conhecimento é transposto nos programas e livros didáticos.

Le programme -Une école adaptée à tous ses élèves-, qui s'inscrit dans la réforme actuelle de l'éducation au Québec, nous a amenée à nous intéresser aux représentations dans les grandeurs en mesure en mathématiques des élèves en difficulté d'apprentissage. Nous nous sommes proposés de reconduire plusieurs paramètres de la recherche de Brousseau (1987, 1992) auprès de cette clientèle. La théorie des champs conceptuels (TCC) de Vergnaud (1991), appliquée aux structures additives, a été particulièrement utile pour l'analyse et l'interprétation de leurs représentations. Comme méthode de recherche, nous avons utilisé la théorie des situations didactiques en mathématiques (TSDM), réseau de concepts et de méthode de recherche appuyé sur l'ingénierie didactique qui permet une meilleure compréhension de l'articulation des contenus à enseigner. Grâce à la TSDM, nous avons observé les approches didactiques des enseignants avec leurs élèves. Notre recherche est de type exploratoire et qualitatif et les données recueillies auprès de 26 élèves de deux classes spéciales du deuxième cycle du primaire ont été traitées selon une méthode d'analyse de contenu. Deux conduites ont été adoptées par les élèves. La première, de type procédural a été utilisée par presque tous les élèves. Elle consiste à utiliser des systèmes de comptage plus ou moins sophistiqués, de la planification aux suites d'actions. La deuxième consiste à récupérer directement en mémoire à long terme le résultat associé à un couple donné et au contrôle de son exécution. L'observation des conduites révèle que les erreurs sont dues à une rupture du sens. Ainsi, les difficultés d'ordre conceptuel et de symbolisation nous sont apparues plus importantes lorsque l'activité d'échange demandait la compétence "utilisation" et renvoyait à la compréhension de la tâche, soit les tâches dans lesquelles ils doivent eux-mêmes découvrir les rapports entre les variables à travailler et à simuler les actions décrites dans les énoncés. En conséquence, les problèmes d'échanges se sont révélés difficiles à modéliser en actes et significativement plus ardus que les autres. L'étude des interactions enseignants et élèves a démontré que la parole a été presque uniquement le fait des enseignants qui ont utilisé l'approche du contrôle des actes ou du sens ou les deux stratégies pour aider des élèves en difficulté. Selon le type de situation à résoudre dans ces activités de mesurage de longueur et de masse, des mobilisations plurielles ont été mises en oeuvre par les élèves, telles que la manipulation d'un ou des étalon(s) par superposition, par reports successifs, par pliage ou par coupure lorsque l'étalon dépassait; par retrait ou ajout d'un peu de sable afin de stabiliser les plateaux. Nous avons également observé que bien que certains élèves aient utilisé leurs doigts pour se donner une perception globale extériorisée des quantités, plusieurs ont employé des procédures très diverses au cours de ces mêmes séances. Les résultats présentés étayent l'hypothèse selon laquelle les concepts de grandeur et de mesure prennent du sens à travers des situations problèmes liées à des situations vécues par les élèves, comme les comparaisons directes. Eles renforcent et relient les grandeurs, leurs propriétés et les connaissances numériques. / -An education system adjusted to all its pupils-, in line with the present reform of the education system of Québec has led us in this project, to examine how students with learning problems deal with numbers and measurements in mathematics. In the present study, our purpose is to double-check many of the parameters defined in the work of Brousseau (1987, 1992). The theory of the conceptual fields of Vergnaud (1991)applied to the additives structures, was particularly useful in our analysis of the facts and the interpretation of their representations. In this work, the methodology we adopted is the Didactic engineering, wich allow a better understanding in articulating the contents to each. Using Theory of didactic situations in mathematics, we examined the didactic approaches the teachers have in their relationship with their students. The data for our study, which is of the exploratory and qualitative type, was collected with twenty six students of the second cycle of the primary school. That data was analysed in conformity with a medthodology of content analysis. The examination of the student's behavior revealed two attitudes. Almost all the students used the first attitude, which is of the procedural type. It consisted in using counting systems more or less sophisticated from the planning to the folowing actions involved. The second attitude implied memorizing for the long term, the result associated with a specific couple of actions and the control of their execution. The observaton of the student's attitudes reveals that the errors they made are related to a semantic disruption in their interpretation of the varied tips and strategies the teachers tried to help them with to solve the different problems. Thus, it appeared to us that the difficulties at the conceptual and symbolization levels were more important when the exchange activity involved their competence to evaluate and activity related to the understanding to the task to achieve. In other terms, they had more difficulty with the tasks where they had to establish by themselves to link between the variables, and simulate the actions involved by those tasks. Consequently, the tasks involving exchange operations happened to be more difficult to translate into actions, and were clearly more problematic than the other tasks. The study of the interaction between teachers and students revealed that only teachers used words in the process, where they used the approach of the control of the actions, or the approach of control of the meaning or both strategies to help students with problems. Depending on the type of problem encountered during these activities of measurements of length and masses, the students had recourse to numerous experiments such as manipulation of the standard measure(s). They proceeded by superimposing, by successive deferments, by folding, by cutting when the standard was exceeding in size; or by reduction or addition of some amount of sand to bring into balance the scale. We noticed also that despite the fact that certain students used their fingers to have a global idea of the external measures of the quantities, many of those same students had recourse to a diversity of other procedures during the same test. The result presented here support the hypothesis that says that the concepts of size and measurement get more meaning in a specific context, where they relate to real situations lived by the students, as well as by direct comparisons. They reinforce and establish links between the so-called sizes, their properties and the numeric knowledge.