In the present work we deal with the stability of the space-time discontinuous Galerkin method applied to non-stationary, nonlinear convection - diffusion problems. Discontinuous Galerkin method is a very efficient tool for numerical solution of partial differential equations, combines the advantages of the finite element method (polynomial approximations of high order of accuracy) and the finite volume method (discontinuous approximations). After the formulation of the continuous problem its discretization in space and time is described. In the formulation of the discontinuous Galerkin method the non-symmetric, symmetric and incomplete version of discretization of the diffusion term is used and there are added penalty terms to the scheme also. In the third chapter are estimated individual terms of the previously derived approximate solution by special norms. Using the concept of discrete characteristic functions and the discrete Gronwall lemma, it is shown that the analyzed scheme is unconditionally stable. At the end, in the fourth chapter, are given some numerical experiments, which verify theoretical results from the previous chapter.

Aktuelle technologische Herausforderungen, z.B. in der Werkzeugmaschinenentwicklung, erfordern aufgrund der steigenden Genauigkeitsanforderungen an die thermische Simulation eines zu betrachtenden Systems, dass ebenfalls die Auswirkungen relevanter, translatorischer Relativbewegungen zwischen unterschiedlichen Teilen des Systems berücksichtigt werden. Das Vorgehen, diese Bewegung in den Simulationen durch diskrete Verschiebungen zwischen den Lastschritten einer transienten Analyse umzusetzen, führt bei der Verwendung einer infinit kleinen Zeitschrittweite auf die Abbildung einer kontinuierlichen Bewegung, bringt aber gleichzeitig eine problematische Steigerung des notwendigen Rechenaufwands mit sich. Die Anwendung einer langen Zeitschrittweite bei gleichzeitiger Konservierung der Ergebnisgenauigkeit stellt nun einen Ansatz dar, die Effizienz solcher Analysen über den eingesparten Aufwand der nicht auszuwertenden Lastschritte zu steigern. In dieser Arbeit wurden durch eine gezielte Partitionierung der aus einer Ortsdiskretisierung resultierenden Systemmatrizen zunächst vier qualitativ unterscheidbare Fehlerquellen identifiziert, welche die Verwendung einer groben Zeitdiskretisierung potentiell nach sich ziehen kann. Konkret gehören dazu die Leistungsfähigkeit des zur transienten Auswertung verwendeten Integrationsverfahrens, die diskrete Umsetzung der Bewegung sowie die seltene Aktualisierung der beiden Arten von Kontaktlasten. Für die einzelnen Fehler werden die möglichen Auswirkungen jeweils allgemein quantifiziert. Für zwei, dabei als relevant identifizierte Fehlerquellen werden mit der BD- und der RUMHI-Korrektur zugehörige Verfahren entwickelt, mit denen die Ergebnisgenauigkeit trotz grober Zeitdiskretisierung aufwandsarm bewahrt werden kann. Dass ein strukturvariables, thermisches Problem durch die kombinierte dieser Korrekturverfahren deutlich effizienter berechnet werden kann, wird in der Arbeit abschließend an zwei stellvertretenden Problemen beispielhaft gezeigt.

With steadily increasing computational power, computational fluid dynamics (CFD) can be applied to unsteady problems such as seakeeping simulations. Therefore, a good balance between accuracy and computational speed is required. This thesis investigates the application of CFD to seakeeping performance predictions and aims to propose a best-practice procedure for efficient seakeeping simulations. The widely used KVLCC2 research vessel serves as a test case for this thesis and FINEŠ/Marine software package is used for CFD computations. In order to validate the simulations, results are compared to recent experimental data from SSPA as well as predictions with potential ˛ow code SHIPFLOW® Motions. As for the calm water simulations, both inviscid and viscous ˛ow computations are performed in combination with three mesh refinement levels. Seakeeping simulations with regular head waves of different wavelengths are set-up correspondingly. Furthermore, different strategies for time discretization are investigated. With the given computational resources, it is not feasible to complete seakeeping simulations with a ˝ne mesh. However, already the coarse meshes give good agreement to experiments and SHIPFLOW® Motions' predictions. Viscous ˛ow simulations turn out to be more robust than Euler ˛ow computations and thus should be preferred. Regarding the time discretization, a fixed time discretization of 150 steps per wave period has shown the best balance between accuracy and speed. Based on these findings, a best-practice procedure for seakeeping performance predictions in FINEŠ/Marine is established. Taking the most efficient settings obtained from head wave simulations, the vessel is subjected to oblique waves with 160° encounter angle. Under similar wave conditions, CFD predictions of a similar thesis show close agreement in terms of added wave resistance. Compared to the previous head wave conditions of this study, added resistance in 160° oblique waves is found to be significantly higher. This underlines that oblique bow quartering waves represent a relevant case for determining the maximum required power of a ship. CFD and potential ˛ow show similar accuracy with respect to ship motions and added wave resistance, albeit potential ˛ow outperforms CFD in terms of computational speed. Hence, CFD should be applied in cases where viscous effects are known to have large influence on a vessel's seakeeping behavior. This can be the case if motion control and damping devices are to be evaluated, for instance. / Tack vare den stadigt ökande beräkningskraften kan beräkningsuiddynamik (CFD) idag användas på beräkningsintensiva problem som sjöegenskapssimulationer. Den här rapporten undersöker användning av CFD på sjöegenskapsprestanda och syftar till att foreslå ett best-practice förfaringssätt för effektiv sjöegenskapssimulationer. Forskningsskrovet KVLCC2 fungerar som ett testfall för denna rapport och FINE—/Marine-mjukvarupaketet används för CFD-beräkningar. Viktiga parametrar, såsom ödestyp, beräkningsnät och tidssteg varierars systematiskt. Resultaten jämförs med experiment gjorda vid SSPA. Baserat på resultaten förelås en best-practice. Den föreslagna best-practice användas vidare för berökningar av sjöegenskaper i sneda vågor. Jämförelse av resultaten med liknande studier visar god överensstämmelse. Genom att använda det föreslagna förfarandet för best-practice kan CFD-sjöegenskapssimulationer användas på fall där viskösa krafter måste beaktas, till exempel rörelseregleringsanordningar.

This paper explores the noise shaping and noise producing qualities of Delta-Sigma Modulators (DSM) and Pulse-Width Modulators (PWM). DSM has long been dominant in the Delta Sigma Analog-to-Digital Converter (DSADC) as a noise-shaped quantizer and time discretizer, while PWM, with a similar self oscillating structure, has seen use in Class D Power Amplifiers, performing a similar function. It has been shown that the PWM in Class D Amplifiers outperforms the DSM [1], but could this advantage be used in DSADC use-cases? LTSpice simulation and printed circuit board implementation and test are used to present data on four variations of these modulators: The DSM, PWM, the out-of-loop discretized PWM (OOLDP), and the cascaded modulator. A generic form of an Nth order loop filter is presented, where three orders of this generic topology are analyzed in simulation for each modulator, and two orders are used in physical testing.

We consider a family of variational time discretizations that generalizes discontinuous Galerkin (dG) and continuous Galerkin-Petrov (cGP) methods. In addition to variational conditions the methods also contain collocation conditions in the time mesh points. The single family members are characterized by two parameters that represent the local polynomial ansatz order and the number of non-variational conditions, which is also related to the global temporal regularity of the numerical solution. Moreover, with respect to Dahlquist’s stability problem the variational time discretization (VTD) methods either share their stability properties with the dG or the cGP method and, hence, are at least A-stable. With this thesis, we present the first comprehensive theoretical study of the family of VTD methods in the context of non-stiff and stiff initial value problems as well as, in combination with a finite element method for spatial approximation, in the context of parabolic problems. Here, we mainly focus on the error analysis for the discretizations. More concrete, for initial value problems the pointwise error is bounded, while for parabolic problems we rather derive error estimates in various typical integral-based (semi-)norms. Furthermore, we show superconvergence results in the time mesh points. In addition, some important concepts and key properties of the VTD methods are discussed and often exploited in the error analysis. These include, in particular, the associated quadrature formulas, a beneficial postprocessing, the idea of cascadic interpolation, connections between the different VTD schemes, and connections to other classes of methods (collocation methods, Runge-Kutta-like methods). Numerical experiments for simple academic test examples are used to highlight various properties of the methods and to verify the optimality of the proven convergence orders.:List of Symbols and Abbreviations Introduction I Variational Time Discretization Methods for Initial Value Problems 1 Formulation, Analysis for Non-Stiff Systems, and Further Properties 1.1 Formulation of the methods 1.1.1 Global formulation 1.1.2 Another formulation 1.2 Existence, uniqueness, and error estimates 1.2.1 Unique solvability 1.2.2 Pointwise error estimates 1.2.3 Superconvergence in time mesh points 1.2.4 Numerical results 1.3 Associated quadrature formulas and their advantages 1.3.1 Special quadrature formulas 1.3.2 Postprocessing 1.3.3 Connections to collocation methods 1.3.4 Shortcut to error estimates 1.3.5 Numerical results 1.4 Results for affine linear problems 1.4.1 A slight modification of the method 1.4.2 Postprocessing for the modified method 1.4.3 Interpolation cascade 1.4.4 Derivatives of solutions 1.4.5 Numerical results 2 Error Analysis for Stiff Systems 2.1 Runge-Kutta-like discretization framework 2.1.1 Connection between collocation and Runge-Kutta methods and its extension 2.1.2 A Runge-Kutta-like scheme 2.1.3 Existence and uniqueness 2.1.4 Stability properties 2.2 VTD methods as Runge-Kutta-like discretizations 2.2.1 Block structure of A VTD 2.2.2 Eigenvalue structure of A VTD 2.2.3 Solvability and stability 2.3 (Stiff) Error analysis 2.3.1 Recursion scheme for the global error 2.3.2 Error estimates 2.3.3 Numerical results II Variational Time Discretization Methods for Parabolic Problems 3 Introduction to Parabolic Problems 3.1 Regularity of solutions 3.2 Semi-discretization in space 3.2.1 Reformulation as ode system 3.2.2 Differentiability with respect to time 3.2.3 Error estimates for the semi-discrete approximation 3.3 Full discretization in space and time 3.3.1 Formulation of the methods 3.3.2 Reformulation and solvability 4 Error Analysis for VTD Methods 4.1 Error estimates for the l th derivative 4.1.1 Projection operators 4.1.2 Global L2-error in the H-norm 4.1.3 Global L2-error in the V-norm 4.1.4 Global (locally weighted) L2-error of the time derivative in the H-norm 4.1.5 Pointwise error in the H-norm 4.1.6 Supercloseness and its consequences 4.2 Error estimates in the time (mesh) points 4.2.1 Exploiting the collocation conditions 4.2.2 What about superconvergence!? 4.2.3 Satisfactory order convergence avoiding superconvergence 4.3 Final error estimate 4.4 Numerical results Summary and Outlook Appendix A Miscellaneous Results A.1 Discrete Gronwall inequality A.2 Something about Jacobi-polynomials B Abstract Projection Operators for Banach Space-Valued Functions B.1 Abstract definition and commutation properties B.2 Projection error estimates B.3 Literature references on basics of Banach space-valued functions C Operators for Interpolation and Projection in Time C.1 Interpolation operators C.2 Projection operators C.3 Some commutation properties C.4 Some stability results D Norm Equivalences for Hilbert Space-Valued Polynomials D.1 Norm equivalence used for the cGP-like case D.2 Norm equivalence used for final error estimate Bibliography

La modélisation du vivant, en particulier la modélisation de l'activité cardiaque, est devenue un défi scientifique majeur. Le but de cette thématique est de mieux comprendre les phénomènes physiologiques et donc d'apporter des solutions à des problèmes cliniques. Nous nous intéressons dans cette thèse à la modélisation et à l'étude numérique de l'activité électrique du cœur, en particulier l'étude des électrocardiogrammes (ECGs). L'onde électrique dans le cœur est gouvernée par un système d'équations de réaction-diffusion appelé modèle bidomaine ce système est couplé à une EDO représentant l'activité cellulaire. Afin simuler des ECGs, nous tenons en compte la propagation de l'onde électrique dans le thorax qui est décrite par une équation de diffusion. Nous commençons par une démonstrer l'existence d'une solution faible du système couplé cœur-thorax pour une classe de modèles ioniques phénoménologiques. Nous prouvons ensuite l'unicité de cette solution sous certaines conditions. Le plus grand apport de cette thèse est l'étude et la simulation numérique du couplage électrique cœur-thorax. Les résultats de simulations sont représentés à l'aide des ECGs. Dans une première partie, nous produisons des simulations pour un cas normal et pour des cas pathologiques (blocs de branche gauche et droit et des arhythmies). Nous étudions également l'impact de certaines hypothèses de modélisation sur les ECGs (couplage faible, utilisation du modèle monodomaine, isotropie, homogénéité cellulaire, comportement résistance-condensateur du péricarde,. . . ). Nous étudions à la fin de cette partie la sensibilité des ECGs par apport aux paramètres du modèle. En deuxième partie, nous effectuons l'analyse numérique de schémas du premier ordre en temps découplant les calculs du potentiel d'action et du potentiel extérieur. Puis, nous combinons ces schémas en temps avec un traîtement explicite du type Robin-Robin des conditions de couplage entre le cœur et le thorax. Nous proposons une analyse de stabilité de ces schémas et nous illustrons les résultats avec des simulations numériques d'ECGs. La dernière partie est consacrée à trois applications. Nous commençons par l'estimation de certains paramètres du modèle (conductivité du thorax et paramètres ioniques). Dans la deuxième application, qui est d'originie industrielle, nous utilisons des méthodes d'apprentissage statistique pour reconstruire des ECGs à partir de mesures ('électrogrammes). Enfin, nous présentons des simulations électro-mécaniques du coeur sur une géométrie réelle dans diverses situations physiologiques et pathologiques. Les indicateurs cliniques, électriques et mécaniques, calculés à partir de ces simulations sont très similaires à ceux observés en réalité.

Title: Fluid-structure interaction of compressible flow Author: RNDr. Jaroslava Hasnedlová Department: Department of Numerical Mathematics, Institute of Applied Mathematics Supervisors: Prof. RNDr. Miloslav Feistauer, DrSc., Dr. h. c., Prof. Dr. Dr. h. c. Rolf Rannacher Supervisors' e-mail addresses: feist@karlin.mff.cuni.cz, rannacher@iwr.uni-heidelberg.de Abstract: The presented work is split into two parts. The first part is devoted to the theory of the discontinuous Galerkin finite element (DGFE) method for the space-time discretization of a nonstationary convection-diffusion initial-boundary value problem with nonlinear convection and linear diffusion. The DGFE method is applied sep- arately in space and time using, in general, different space grids on different time levels and different polynomial degrees p and q in space and time discretization. The main result is the proof of error estimates in L2 (L2 )-norm and in DG-norm formed by the L2 (H1 )-seminorm and penalty terms. The second part of the thesis deals with the realization of fluid-structure interaction problem of the compressible viscous flow with the elastic structure. The time-dependence of the domain occupied by the fluid is treated by the ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian) method, when the compress- ible Navier-Stokes equations are formulated in...

The subject of this thesis is the design and analysis of five-span bridge construction across the railway on the route Zábřeh - Šumperk and the Morava river. There will be made separated bridge for each direction, only right bridge is considered in the thesis. Object is located to 1st class road I/44 on the route between Mohelnice and Jeseník. Three variants were designed - two prestressed chamber girders, one prestressed chamber girder with prefabricated consoles and construction of concrete slab mixed with two steel girders. After these variants were weigh up and the first one, with the length of cantilevered construction 235,6 m and maximum lenght of span 60 m, was chosen for analysis. Calculation of load effects was made by software Scia Engineering 2013 and the analysis was made according to current standards by manual calculation depending on limit states and their influence on the design as well. Drawing documentation and visualization are also part of the thesis.

Práce je zaměřená na numerickou simulaci dvoufázového proudění. Je studován matematický model a numerická aproximace toku dvou nemísitelných nestlačitelných tekutin. Rozhraní mezi tekutinami je popsáno pomocí pomocí tzv. level set metody. Představena je diskretizace problému v prostoru a v čase. Metoda konečných prvk· se zpětnou Eulerovou metodou je aplikována na Navierovy-Stokesovy rovnice a časoprostorová nespojitá Galerkinova metoda je použita k řešení transportního problému. D·raz je kladen na analýzu chyby nespojité Galerkinovy metody přímek a časoprostorové nespojité Galerkinovy metody pro transportní problém. Jsou prezentovány numerické výsledky. 1

Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires stochastiques. Nous nous intéressons à des EDP paraboliques et hyperboliques que l’on perturbe stochastiquement au sens d’Itô. Il s’agit d’introduire l’aléatoire via l’ajout d’une intégrale stochastique (intégrale d’Itô) qui peut dépendre ou non de la solution, on parle alors de bruit multiplicatif ou additif. La présence de la variable de probabilité ne nous permet pas d’utiliser tous les outils classiques de l’analyse des EDP. Notre but est d’adapter les techniques connues dans le cadre déterministe aux EDP non linéaires stochastiques en proposant des méthodes alternatives. Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous étudions une perturbation stochastique des équations de Barenblatt. En utilisant une semi- discrétisation implicite en temps, nous établissons l’existence et l’unicité d’une solution dans le cas additif, et grâce aux propriétés de la solution nous sommes en mesure d’étendre ce résultat au cas multiplicatif à l’aide d’un théorème de point fixe. Dans le Chapitre II, nous considérons une classe d’équations de type Barenblatt stochastiques dans un cadre abstrait. Il s’agit là d’une généralisation des résultats du Chapitre I. Dans le Chapitre III, nous travaillons sur l’étude du problème de Cauchy pour une loi de conservation stochastique. Nous montrons l’existence d’une solution par une méthode de viscosité artificielle en utilisant des arguments de compacité donnés par la théorie des mesures de Young. L’unicité repose sur une adaptation de la méthode de dédoublement des variables de Kruzhkov.. Dans le Chapitre IV, nous nous intéressons au problème de Dirichlet pour la loi de conservation stochastique étudiée au Chapitre III. Le point remarquable de l’étude repose sur l’utilisation des semi-entropies de Kruzhkov pour montrer l’unicité. Dans le Chapitre V, nous introduisons une méthode de splitting pour proposer une approche numérique du problème étudié au Chapitre IV, suivie de quelques simulations de l’équation de Burgers stochastique dans le cas unidimensionnel. / This thesis deals with the mathematical field of stochastic nonlinear partial differential equations’ analysis. We are interested in parabolic and hyperbolic PDE stochastically perturbed in the Itô sense. We introduce randomness by adding a stochastic integral (Itô integral), which can depend or not on the solution. We thus talk about a multiplicative noise or an additive one. The presence of the random variable does not allow us to apply systematically classical tools of PDE analysis. Our aim is to adapt known techniques of the deterministic setting to nonlinear stochastic PDE analysis by proposing alternative methods. Here are the obtained results : In Chapter I, we investigate on a stochastic perturbation of Barenblatt equations. By using an implicit time discretization, we establish the existence and uniqueness of the solution in the additive case. Thanks to the properties of such a solution, we are able to extend this result to the multiplicative noise using a fixed-point theorem. In Chapter II, we consider a class of stochastic equations of Barenblatt type but in an abstract frame. It is about a generalization of results from Chapter I. In Chapter III, we deal with the study of the Cauchy problem for a stochastic conservation law. We show existence of solution via an artificial viscosity method. The compactness arguments are based on Young measure theory. The uniqueness result is proved by an adaptation of the Kruzhkov doubling variables technique. In Chapter IV, we are interested in the Dirichlet problem for the stochastic conservation law studied in Chapter III. The remarkable point is the use of the Kruzhkov semi-entropies to show the uniqueness of the solution. In Chapter V, we introduce a splitting method to propose a numerical approach of the problem studied in Chapter IV. Then we finish by some simulations of the stochastic Burgers’ equation in the one dimensional case.