Abstract We study in this thesis functional spaces involved in crack problems in unbounded domains. These spaces are defined by closing spaces of Sobolev H1 regularity functions (or vector fields) of bounded support, by the L2 norm of the gradient. In the case of linear elasticity, the closure is done under the L2 norm of the symmetric gradient. Our main result states that smooth functions are in this closure if and only if their gradient, (respectively symmetric gradient for the elasticity case), is in L2. We provide examples of functions in these newly defined spaces that are not in L2. We show however that some limited growth in dimension 2, or some decay in dimension 3 must hold for functions in those spaces: this is due to Hardy's inequalities.

We studied some semilinear elliptic equations on the entire space R^N. Our approach was variational, and the major obstacle was the breakdown in compactness due to the unboundedness of the domain. First, we considered an asymptotically linear Scltrodinger equation under the presence of a steep potential well. Using Lusternik-Schnirelmann theory, we obtained multiple solutions depending on the interplay between the linear, and nonlinear parts. We also exploited the nodal structure of the solutions. For periodic potentials, we constructed infinitely many homoclinic-type multibump solutions. This recovers the analogues result for the superlinear case. Finally, we introduced weights on the linear and nonlinear parts, and studied how their interact ion affects the local and global compactness of the problem. Our approach is based on the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities.

Neste trabalho, apresenta-se o resultado da existência de soluções fracas em domínios não-limitados para as equações de Navier-Stokes, desde que a fronteira satisfaça uma certa condição de regularidade que é necessária para a obtenção de estimativas em domínios não-limitados semelhantes à desigualdade de Poincaré em domínios limitados. Apresenta-se o desenvolvimento detalhado do método de Galerkin para as equações de Navier-Stokes em domínios não-limitados com cálculo explícito de várias constantes e com forças externas não nulas. Apresenta-se dois teoremas fundamentais: um fornecendo condições para existência de soluções do problema estacionário e o outro fornecendo condições para existência de soluções do problema não-estacionário. / In the work it is presented results of existence of weak solutions in unbounded doroains for the Navier-Stokes equations. The roain condition to obtain similar results as those for bounded doroains; for e."'Carople the Poincaré inequality; is a certain condition of regularity at the boundary of the doroain. It is presented the detailed developroent of the Galerkin roethod for the t.he Navier-Stokes equations in unbounded doroains ~vith the explicit calculat ions of many constants and ''rith non null externai forces. It is presented two basic theorern: one presenting condition for the existence of solutions for the stationary problem and the other presenting conditions for existence of solution for the non stationary problem.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1816441 bytes, checksum: 97d911fa4449e54f12d9f203b8b50c90 (MD5) Previous issue date: 2013-03-08 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work, we study qualitative properties of solutions of the semilinear elliptic equation class 8<: u + f(u) = 0, em , u = 0, em @ , defined in different kinds of unbounded domains of Rn, among them, infinite cylinders, half spaces and Lipschitz domains. We analyze properties like convergence, monotonocity and symmetry of solutions of the problem (1), when f satisfy certain conditions suitable. For this purpose, we will use various kinds of maximum principles, the moving planes method,elliptic estimates and compacity theorems. We also studied some results about Schrödinger operators and we prove the De Giorge conjecture in dimension n = 2. / Neste trabalho, estudamos propriedades qualitativas de soluções da seguinte classe de equações elípticas semilineares 8<:u + f(u) = 0, em u = 0, em @ , (1) definidas em vários tipos de domínios não limitados do Rn, dentre eles, cilíndros infinitos, semi espaços e domínios Lipschitzianos. Analisamos propriedades de convergência, monotonicidade e simetria de soluções de (1), quando f satisfaz certas condições adequadas. Para tanto, utilizaremos várias versões do princípio do máximo, o método dos planos móveis (moving planes), estimativas elípticas e teoremas de compacidade. Estudamos ainda resultados sobre operadores de Schrödinger e, como consequência, provamos a conjectura de De Giorgi em dimensão n = 2.

Neste trabalho, apresenta-se o resultado da existência de soluções fracas em domínios não-limitados para as equações de Navier-Stokes, desde que a fronteira satisfaça uma certa condição de regularidade que é necessária para a obtenção de estimativas em domínios não-limitados semelhantes à desigualdade de Poincaré em domínios limitados. Apresenta-se o desenvolvimento detalhado do método de Galerkin para as equações de Navier-Stokes em domínios não-limitados com cálculo explícito de várias constantes e com forças externas não nulas. Apresenta-se dois teoremas fundamentais: um fornecendo condições para existência de soluções do problema estacionário e o outro fornecendo condições para existência de soluções do problema não-estacionário. / In the work it is presented results of existence of weak solutions in unbounded doroains for the Navier-Stokes equations. The roain condition to obtain similar results as those for bounded doroains; for e."'Carople the Poincaré inequality; is a certain condition of regularity at the boundary of the doroain. It is presented the detailed developroent of the Galerkin roethod for the t.he Navier-Stokes equations in unbounded doroains ~vith the explicit calculat ions of many constants and ''rith non null externai forces. It is presented two basic theorern: one presenting condition for the existence of solutions for the stationary problem and the other presenting conditions for existence of solution for the non stationary problem.

Neste trabalho, apresenta-se o resultado da existência de soluções fracas em domínios não-limitados para as equações de Navier-Stokes, desde que a fronteira satisfaça uma certa condição de regularidade que é necessária para a obtenção de estimativas em domínios não-limitados semelhantes à desigualdade de Poincaré em domínios limitados. Apresenta-se o desenvolvimento detalhado do método de Galerkin para as equações de Navier-Stokes em domínios não-limitados com cálculo explícito de várias constantes e com forças externas não nulas. Apresenta-se dois teoremas fundamentais: um fornecendo condições para existência de soluções do problema estacionário e o outro fornecendo condições para existência de soluções do problema não-estacionário. / In the work it is presented results of existence of weak solutions in unbounded doroains for the Navier-Stokes equations. The roain condition to obtain similar results as those for bounded doroains; for e."'Carople the Poincaré inequality; is a certain condition of regularity at the boundary of the doroain. It is presented the detailed developroent of the Galerkin roethod for the t.he Navier-Stokes equations in unbounded doroains ~vith the explicit calculat ions of many constants and ''rith non null externai forces. It is presented two basic theorern: one presenting condition for the existence of solutions for the stationary problem and the other presenting conditions for existence of solution for the non stationary problem.

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 346839 bytes, checksum: cab5395001fcc113256f79ba4e365ce8 (MD5) Previous issue date: 2010-02-26 / In this work we study two class of elliptic problems modeled on unbounded domains. The study of these class of problems is relevant not only in applied mathematics, but also in nonlinear analysis. In the these problems, since the domain is unbounded, there is a lack of compactness of the Sobolev embedding, bringing some difficults to show the convergence of the Palais-Smale sequence. To solve this difficulty we work in a subspace of the usual Sobolev space where we can recover some compactness result. The solutions are obtained by Lagrange multiplier. We give another proof of results in [6] due to Wei-Yue Ding and Wei-Ming Ni, who used to solve The Mountain Pass Theorem and a priori estimates. The results of our study are due to Habao Su, Zhi-Qiang Wang and Michel Willem. / Neste trabalho, estudamos duas classes de problemas elípticos modeladas em domínios ilimitados. O estudo dessas classes de problemas e relevante não só no campo da matemática aplicada, mas também na área de análise não linear. Nesses problemas, como o domínio é ilimitado, há a perda de compacidade da &#8220;imersão" de Sobolev, dificultando a convergência da sequência de &#8220;soluções" (sequência de Palais Smale). Essa dificuldade é contornada trabalhando num subespaço do espaço de Sobolev usual onde se recupera a compacidade utilizando resultados de imersão. As soluções são obtidas via multiplicadores de Lagrange. Apresentamos uma outra maneira de resolver um problema em [6], devido a Wei-Yue Ding e Wei-Ming Ni, que utilizaram na solução o Teorema do Passo da Montanha e estimativas a priori. Os resultados de nosso estudo são devidos a Habao Su, Zhi-Qiang Wang e Michel Willem.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 903709 bytes, checksum: 4a8dba984b00ee5480eecf90097b2745 (MD5) Previous issue date: 2014-06-18 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, we study the Navier-Stokes flow in R2 8> >>>>>><> >>>>>>: @u @t − ⌫!u + (u ·r)u + rp = f em ⌦ ⇥ [0,+1) , divu = r· u = 0 em ⌦⇥ [0,+1) , u = 0 sobre @⌦ ⇥ [0,+1) , u(·, 0) = u0 em ⌦, in an unbounded domain such that the Poincar´e s inequality is holds, i.e., there is a constant #1 > 0 such that we have the following inequality Z⌦ $2dx  1 #1 Z⌦ |r$|2dx, for all $ 2 H1 0 (⌦). We show the existence of global attractor in the natural phases spaces for this system exploring the energy equation of the problem / Neste trabalho, estudamos o sistema de equa¸c oes de Navier-Stokes em R2 8> >>>>>><> >>>>>>: @u @t − ⌫!u + (u ·r)u + rp = f em ⌦ ⇥ [0,+1) , divu = r· u = 0 em ⌦⇥ [0,+1) , u = 0 sobre @⌦ ⇥ [0,+1) , u(·, 0) = u0 em ⌦, em dom´ınios ilimitados sob os quais vale a desigualdade de Poincar´e, isto ´e, existe uma constante #1 > 0 tal que Z⌦ $2dx  1 #1 Z⌦ |r$|2dx, para todo $ 2 H1 0 (⌦). Provamos a exist encia de atrator global no espa¸co de fases natural para este sistema explorando a equa¸c ao de energia do problema.

Orientadores: Alberto Vazquez Saa, Orlando Luis Goulart Peres / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-24T13:09:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Oliveira_ClaitonPimentelde_D.pdf: 6246469 bytes, checksum: 74e9bd5e915848a1681572fd38bcf297 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Matéria, ao se acumular ao redor de um objeto compacto (e.g., um buraco negro), se configura naturalmente na forma de um disco grosso (toro) em rotação. A matéria do disco pode ser considerada como um fluido, e suas estruturas de equilíbrio hidrodinâmico podem ser obtidas a partir das equações básicas da hidrodinâmica. Nesse trabalho apresento uma extensa revisão da teoria básica de discos grossos de acreção, no âmbito das teorias clássica e relativística, incluindo uma análise da chamada órbita circular marginalmente estável. Formulo o problema incluindo a autointeração gravitacional do toro, caso em que o problema das estruturas de equilíbrio se torna um problema de fronteira livre, o que dificulta a obtenção das soluções. Reviso os métodos e técnicas numéricas já utilizadas ao se atacar esse problema e desenvolvo um código numérico próprio, chamado BLATOS, que gera soluções autogravitantes de toros ao redor de buracos negros. Desenvolvo ainda uma metodologia para se aplicar o método nodal dos elementos espectrais a domínios não limitados. O desenvolvimento desse novo tipo de elemento, os chamados elementos infinitos, gera uma extensão natural a elementos não limitados com bordas curvas assintóticas. Aplico as soluções numéricas obtidas no estudo da instabilidade runaway, mostrando como a identificação da situação de instabilidade pode ser feita a partir dessas soluções. A partir do código numérico é possível alterar o perfil de rotação e a razão das massas toro/buraco negro, de forma a se realizar um estudo do espaço de soluções / Abstract: Matter, accumulating around a compact object (e.g., a black hole), appears naturally in the form of a thick disk (torus) in rotation. The material of the disk can be considered as a fluid, and its hydrodynamic equilibrium structures can be obtained from the basic equations of hydrodynamics. In this work I present an extensive review of the basic theory of thick accretion disks, in the framework of the classical and relativistic theories, including an analysis of the so called marginally stable circular orbit. I formulate the problem including the torus self gravitational interaction, in which case the equilibrium structures problem becomes a free boundary problem, making it difficult getting the solutions. I revise the methods and numerical techniques used to attack this problem and I develop a numeric code, named BLATOS, that generates autogravitating tori solutions around black holes. Further, I develop a methodology for applying the nodal spectral element method to unbounded domains. The development of this new type of element, the so called infinite element, generates a natural extension to unbounded elements with asymptotic curved edges. I apply the resulting numerical solutions in the study of runaway instability, showing how the identification of the instability can be done from these solutions. The rotation law and the torus/black hole mass ratio can be changed from the numerical code in order to conduct a study of the solution space / Doutorado / Física / Doutor em Ciências

La méthode des éléments finis inversés est une méthode sans troncature qui a été introduite pour résoudre des équations aux dérivées partielles en domaines non bornés. L’objective de cette thèse est d’analyser, d’adapter puis d’implémenter cette méthode pour résoudre quelques problèmes issus de la physique, notamment lorsque le domaine géométrique est l’espace R3 tout entier. Dans un premier temps, nous présentons de manière détaillée les aspects et les principes fondamentaux de la méthode. Ensuite, nous adapterons la méthode à des problèmes de type div-rot et de potentiels vecteurs posés dans R3. Après avoir analysé la convergence de la méthode, on montrera quelques résultats numériques obtenus avec un code tridimensionnel. On s’intéresse ensuite au problème de calcul de l’énergie magnétostatique dans des problèmes de micromagnétisme, où on développe avec succès une approche numérique utilisant les éléments finis inversés. Dans la dernière partie, on adapte la méthode à un problème provenant de la chimie quantique (modèle de continuum polarisable) pour lequel on prouve qu’elle donne des résultats numériques très prometteurs. La thèse comporte beaucoup de résultats numériques issus de codes tridimensionnels écrits ou co-écrits, notamment lorsque le domaine est l’espace tout entier. Elle comporte aussi des résultats théoriques liés à l’utilisation des espaces de Sobolev à poids comme cadre fonctionnel. On apporte en particulier une preuve constructive de quelques inégalités de type div-rot dans des domaines non bornés. / Inverted finite element method (IFEM) is a non runcature method which was introduced for solving partial differential equations in unbounded domains. The objective of this thesis is to analyze, to adapt and to implement IFEM for solving several problems arising in physics, especially when the domain is the whole space R3. We first give a presentation in which we detail the principles and the main features of the method. Then, we adapt IFEM for solving some div-curl systems and vector potential problems in the whole space. In a second part, we successfully develop an IFEM based approach for computing the stray-field energy in micromagnetism. In the last part, we are interested in the study of the polarizable continuum model arising in quantum chemistry. The manuscript contains a large number of numerical results obtained with some 3D codes, especially when the domain is the whole space R3. It also contains some theoretical results in relation with weighted Sobolev spaces. We give in particular a constructive proof of some div-curl inequalities in unbounded domains.