En el presente trabajo, estudiamos el problema de transmision de una viga viscoel astica con viscosidad del tipo Kelvin Voight. Esto es, estudiamos las oscilaciones de una viga compuesta de dos tipos de materiales. Una parte simplemente el astica, que obedece la ley de Hook, y la otra componente constituida de un material viscoso. Estudiamos la buena colocaci on de este problema, esto es, usando la teoria de semigrupos, mostramos la existencia, unicidad y regularidad del modelo matem atico. Finalmente, demostramos que las soluciones de este modelo decaen polinomialmente para cero. El metodo que usamos para probar este resultado es basado tambien en la Teoria de semigrupos y en un resultado reciente debido a Borichev y Tomilov. Palabras Clave: Semigrupos. Espacios de Sobolev. Problema de Cauchy. Estabilidad Polinomial. / ---In this paper we study the transmission problem of a viscoelastic beam with viscosity of Kelvin Voight type. That is to say, we study the oscilations of a beam composed by two di erents types of materials. One of its components is just an elastic part that follows the Hook law and the other component is a viscous material. We prove the well possedness, that is, using the semigroup theory we show the existence, uniqueness and regularity of the corresponding mathematica model. Finally we show that the solution decays polynomially to zero. The method we use to show the decay is based on the semigroup theory and the Borichev-Tomilov theorem. Keywords:Semigroups. Sobolev Spaces. Cauchy Problem. Polinomial Stability.

La elastografía es una modalidad de imagen médica que muestra las propiedades elásticas de los tejidos. La motivación principal para el desarrollo de ésta técnica es que distintas patologías, como el cáncer de mama, hígado o de próstata, muestran mayor rigidez que el tejido sano circundante. Desde fines de la década de 1980, diversos grupos de investigación han propuesto metodologías para medir la elasticidad del material de interés utilizando técnicas de ultrasonido. De esta manera, para la validación y verificación de los métodos propuestos se han utilizado maniquíes que simulen propiedades biomecánicas similares a las del tejido humano como la velocidad de onda de corte y el módulo de Young. La validación de métodos elastrográficos se beneficia del uso de maniquíes correctamente calibrados. En este trabajo, se construyeron maniquíes de bajo costo en base a gelatina y otros ingredientes comerciales. El módulo elástico se estimó para frecuencias entre 80 y 340 Hz, temperaturas entre 12 y 20 grados Celsius y para dos concentraciones de gelatina de 22% y 30%. Se encontró que el promedio del modulo elástico de un solo maniquí esta en el rango de 50 a 140 Pa dependiendo de la concentración de gelatina, la frecuencia de vibración y la temperatura. Se encontró que a mayor temperatura los valores de elasticidad encontrados eran menores y que a mayores concentraciones los valores de elasticidad eran mayores. Estos resultados son consistentes con valores que se encontraron en la literatura para maniquíes realizados de manera similar. / Tesis

Considera la ecuación viscoelástica con condiciones de frontera de Dirichlet y datos iniciales dadas, donde Ω es un abierto acotado, bien regular de Rn; n≥1 con frontera Г y ɡ : R+ → R+ es una función positiva, acotada y de clase C2. Para funciones positivas no crecientes ɡ, prueba un teorema de existencia global. Además prueba que cuando la función relajación ɡ decae exponencialmente las energías de primer y segundo orden de la solución, decaen exponencialmente. / Tesis

Desarrolla en forma didáctica y explícita la existencia de solución y la estabilidad asintótica, esto es, el decaimiento exponencial de la energía asociada al sistema viscoelástico no lineal con amortiguamiento fuerte. El estudio de problemas viscoelástico que se caracterizan por el término memoria que, es representado por el término integral y que tiene mucho que ver con la disipación de la ecuación. El desenvolvimiento de la teoría de viscoelasticidad se dio en primer lugar, debido al uso de materiales poliméricos en diversos campos. La investigación de las propiedades viscoelástico de los polímeros es grandemente estimulada por la importancia práctica del comportamiento mecánico en el procesamiento y utilización de cauchos, fibras plásticas, entre otros. / Tesis

La elastografía es una modalidad de imagen médica que estima la viscoelasticidad de los tejidos blandos, permitiendo la diferenciación cuantitativa entre región sana y región afectada. Diversas técnicas convencionales se basan en la detección de las ondas de corte y la relación de su velocidad de propagación con la elasticidad del medio. Estas asumen que dicha propagación es unidireccional. Sin embargo, las heterogeneidades y fronteras de los tejidos generan reflejos, provocando artefactos en las estimaciones. Es por ello, que en los últimos tres años se ha desarrollado la técnica de elastografía por campo reverberante de ondas de corte, la cual presenta resultados prometedores en su aplicación clínica. Este nuevo enfoque hace uso de múltiples fuentes de vibración armónica controlada con el fin de aprovechar la naturaleza reverberante de los tejidos y producir un campo difuso en la región de interés. No obstante, la generación de dicho campo, la calidad del mismo y su relación con el desempeño de los estimadores son condiciones poco exploradas. Por ello, el presente trabajo tiene como objetivo principal realizar un estudio experimental para evaluar la generación de campo reverberante de ondas de corte en medio homogéneos. Así, se describen el procedimiento teórico-experimental y los resultados obtenidos de las simulaciones numéricas y los experimentos con maniquí de gelatina. El primero se basó en el método de simulación de Monte Carlo, mientras que el segundo consistió en la aplicación de combinatoria extrema con el fin de evaluar el efecto de superposición de fuentes de vibración externa. En ambos, se analizó la generación de campo reverberante con base en el parámetro de calidad derivado de la similitud de lo obtenido con los modelos teóricos: el coeficiente de determinación (𝑅2). Asimismo, se evaluó el desempeño de tres estimadores de la velocidad de propagación de las ondas de corte (𝐶𝑠): el ajuste de curva a las funciones teóricas (CF), la aproximación del número de onda (AoW), y, se propuso, una modificación en la aproximación del número de onda (MAoW). Finalmente, las simulaciones numéricas mostraron que son necesarios al menos 60 ondas planas incidentes para generar el campo reverberante deseado. La tendencia general es que, al aplicar más ondas incidentes, el coeficiente de determinación mejora y el error de estimación disminuye. Así, se reportó un error menor al 6% en la velocidad media estimada de la propagación de las ondas de corte. Los experimentos con maniquí de gelatina mostraron una tendencia similar. Se demostró que era posible la creación de un campo reverberante basado en la superposición de ondas incidentes. Así mismo, se determinó que, en medios homogéneos, isotrópicos y con baja atenuación, es posible obtener reverberación con un número limitado de puntos de contacto, aunque no de manera homogénea. De esta manera, se concluye que el coeficiente de determinación, en conjunto con la precisión y exactitud de los estimadores CF y/o MAoW, proporciona indicios en el éxito de generación de campo reverberante.

La elastografía es una modalidad de imagen médica que muestra las propiedades elásticas de los tejidos. La motivación principal para el desarrollo de ésta técnica es que distintas patologías, como el cáncer de mama, hígado o de próstata, muestran mayor rigidez que el tejido sano circundante. Desde fines de la década de 1980, diversos grupos de investigación han propuesto metodologías para medir la elasticidad del material de interés utilizando técnicas de ultrasonido. De esta manera, para la validación y verificación de los métodos propuestos se han utilizado maniquíes que simulen propiedades biomecánicas similares a las del tejido humano como la velocidad de onda de corte y el módulo de Young. La validación de métodos elastrográficos se beneficia del uso de maniquíes correctamente calibrados. En este trabajo, se construyeron maniquíes de bajo costo en base a gelatina y otros ingredientes comerciales. El módulo elástico se estimó para frecuencias entre 80 y 340 Hz, temperaturas entre 12 y 20 grados Celsius y para dos concentraciones de gelatina de 22% y 30%. Se encontró que el promedio del modulo elástico de un solo maniquí esta en el rango de 50 a 140 Pa dependiendo de la concentración de gelatina, la frecuencia de vibración y la temperatura. Se encontró que a mayor temperatura los valores de elasticidad encontrados eran menores y que a mayores concentraciones los valores de elasticidad eran mayores. Estos resultados son consistentes con valores que se encontraron en la literatura para maniquíes realizados de manera similar.

El desorden muscular se origina debido a problemas neurológicos (e.g Parkinson) o patologías físicas (e.g. distensión muscular); sin embargo, los diagnósticos clínicos actuales no brindan información protocolar y cuantitativa que permitan monitorear la enfermedad. La elastografía es una técnica no invasiva con enfoque cuantitativo que complementa el diagnóstico clínico. Específicamente, Crawling Waves Sonoelastography es una técnica basada en la estimación de ondas de corte (SWS, por sus siglas en inglés) por propagación mecánica la cual ha logrado resultados prometedores para la caracterización de tejidos; no obstante, los estimadores utilizados para el cálculo de la SWS (i.e. Phase Derivative, Autocorrelación-Hoyt) han reportado limitaciones relevantes como la sobre estimación en los bordes o la presencia de artefactos distribuidos en el mapa de elasticidad. Esto ha sido disminuido en gran medida por el estimador Regularized Wavelength Average Velocity Estimator (R-WAVE); sin embargo, no ha sido implementado y probado para una propagación desde la normal a la superficie del objeto de estudio. En este trabajo de investigación se presenta un análisis de dos estimadores de velocidad de onda de corte: Phase Derivative (PD) [1] y Regularized Wavelength Average Velocity Estimator (R-WAVE) [2] para una propagación normal del patrón de interferencias generado por dos fuentes de vibración. Finalmente, este documento concluye en un modelo de solución el cual contempla la realización de simulaciones de entornos homogéneos y heterogéneos (multicapa y con inclusión), la aplicación de los dos estimadores de velocidad de onda de corte en las simulaciones y en data adquirida de maniquíes experimentales y finalmente el estudio del desempeño del coeficiente de regularización del estimador R-WAVE.

La elastografía es una modalidad de imagen médica que estima la viscoelasticidad de los tejidos, permitiendo la diferenciación cuantitativa entre región sana y región afectada [1]. Diversas técnicas convencionales se basan en la detección de las ondas de corte y la relación de su velocidad de propagación con la elasticidad del medio [2]. Estas asumen que dicha propagación es unidireccional. Sin embargo, las heterogeneidades y fronteras de los tejidos generan reflejos, provocando artefactos en las estimaciones [3]. Es por ello, que en los últimos tres años se ha desarrollado la técnica de elastografía por campo reverberante de ondas de corte, la cual presenta resultados prometedores en su aplicación clínica [3]–[8]. Este nuevo enfoque hace uso de múltiples fuentes de vibración armónica controlada con el fin de aprovechar la naturaleza reverberante de los tejidos y producir un campo difuso en la región de interés. No obstante, la generación de dicho campo, la calidad del mismo y su relación con el desempeño de los estimadores son condiciones poco exploradas. Por ello, el presente trabajo tiene como propósito delinear el objetivo principal, los objetivos específicos y el modelo de solución para realizar un futuro estudio experimental con el fin de evaluar la generación de campo reverberante de ondas de corte en medio homogéneos. Así, se describe el procedimiento teórico para la realización de simulaciones numéricas y experimentos con maniquí de gelatina. El primero se basa en el método de simulación de Monte Carlo, mientras que el segundo consiste en la aplicación de combinatoria extrema con el fin de evaluar el efecto de superposición de fuentes de vibración externa. En ambos, se analizará la generación de campo reverberante con base en el parámetro de calidad derivado de la similitud de lo obtenido con los modelos teóricos [8]: el coeficiente de determinación (R2). Asimismo, se evaluará el desempeño de tres estimadores de la velocidad de propagación de las ondas de corte (Cs): el ajuste de curva a las funciones teóricas [8], la aproximación del número de onda [3], [4], y, se propone, una modificación en la aproximación del número de onda.

Wormlike micelles are viscoelastic fluids that present an intermediate behavior between solids and ordinary liquids since they are elastic at short time scales but flow easily at large time scales. In opposition to Newtonian fluids, which have constant viscosity, these fluids usually exhibit a non-Newtonian response with a rate-dependent shear viscosity. Wall-bounded oscillatory flows of Newtonian and complex fluids are found in many practical situations. Oscillatory pipe flows are especially important in physiology in connection with the circulatory and respiratory systems of human beings, as well as in industrial processes such as fluid pumping, secondary oil recovery or filtration, and in acoustics. Pulsating flows are of particular interest also in the rheological characterization of complex fluids. We analyze the laminar oscillatory flow of viscoelastic fluids using the Maxwell and Oldroyd-B models. We have shown that in wall-bounded oscillatory flows of viscoelastic fluids the two characteristic lengths of the Ferry waves, the damping length and wavelength, together with the characteristic separation of the walls, define all the flow properties for fluid models with a linear shear-stress equation in unidirectional flow. In wall-bounded settings there exists the possibility that shear waves generated at different locations superpose themselves before decaying so that the shear waves interfere, giving rise to a resonant flow at well defined frequencies of driving. The theoretical predictions obtained for the laminar velocity profiles are validated by carrying out time-resolved Particle Image Velocimetry (PIV) experiments in a vertical pipe at small driving amplitudes. The oscillatory pipe flow has been investigated in the whole range of experimentally accessible driving frequencies and amplitudes, and classified in three main flow regimes: laminar, vortical, and non-axisymmetric vortical. By ramping up and down the driving amplitude at constant frequency we have been able to characterize the transition from laminar to more complex flows, under controlled driving conditions. The first hydrodynamic instability occurs when the laminar base flow becomes unstable against the formation of axisymmetric toroidal vortices that appear distributed along the cylinder. The calculation of root-mean-square fluctuations in the vertical direction, of the vertical and radial components of the velocity (averaged in time or over the tube diameter) has allowed to determine the critical amplitude at which the instability sets in with high accuracy. In the vortical flow an abrupt increase of the fluctuations is observed, that accounts for the loss of the vertical translational symmetry and the formation of vortices in the flow. This transition exhibits hysteresis when the driving amplitude is ramped up and down, which makes us presume that the bifurcation from the laminar flow has a subcritical nature. A second hydrodynamic instability occurs when the vortical flow loses the axial symmetry. In this flow regime the vortices are heavily distorted and no longer axisymmetric. The velocity and vorticity maps of the vortical flow measured in a meridional plane of the tube appear periodic in time, on time scales comparable to the driving period. Interestingly, the vortex formation is favored in the acceleration phases of the piston oscillation. Besides, we have uncovered a spatio-temporal dynamics on long time scales (much larger than the relaxation time of the fluid) that substantially modifies the flow organization. This slow dynamics is more effective in the bottom half of the cylinder, specially next to the driving piston. A global inspection of the vortical flow along the tube length reveals that the instability takes place earlier in the bottom part of the tube, in the vicinity of the driving piston. At increasing the driving amplitude the boundary between laminar and vortical flow progressively raises towards the top regions. And above a critical driving amplitude the entire fluid flow is vortical. The mechanism triggering the hydrodynamic instability from the laminar to the axisymmetric vortical flow is not yet clear. / L'objectiu d'aquesta Tesi és estudiar el flux oscil•latori vertical en fluids micel•lars. Els fluids micel•lars són fluids complexos amb propietats viscoelàstiques, de manera que mostren un comportament intermedi entre els sòlids i els líquids: són elàstics a escales de temps curtes però flueixen a escales de temps més llargues. En contraposició als fluids Newtonians, que tenen una viscositat constant, els fluids complexos mostren un comportament no-Newtonià, amb una viscositat que depèn del ritme de deformació. El fluxos oscil•latoris de fluids Newtonians o complexos en geometries confinades són especialment importants en fisiologia, en relació amb el sistema circulatori i respiratori d'éssers humans, i també en processos industrials com el bombejat de fluids, l'extracció de petroli, i en particular són interessants en la caracterització reològica de fluids complexos. Primer estudiem el flux oscil•latori des d'una perspectiva teòrica i analitzem el flux laminar de fluids viscoelàstics utilitzant els models de Maxwell i Oldroyd-B en un tub vertical. Hem mostrat que en fluxos confinats existeix la possibilitat que les ones de cisalla generades a les diferents parets se sobreposin abans d'esmorteir-se i que eventualment donin lloc a un fenomen de ressonància. Les prediccions teòriques obtingudes pel flux laminar són validades duent a terme experiments de Velocimetria d'Imatges de Partícules (PIV) en un tub vertical, per amplituds petites del forçament oscil•latori. Quan s'incrementa l'amplitud de l'oscil•lació el flux laminar evoluciona cap a fluxos que presenten una dependència espai-temporal més complexa. Fent rampes d'amplitud creixent a una freqüència fixada hem pogut caracteritzar experimentalment la transició del flux laminar a aquests fluxos més complexos, sota condicions de forçament ben controlades. La primera inestabilitat apareix quan el flux laminar esdevé inestable amb la corresponent formació d'anells de vorticitat apilats al llarg del tub. Es manifesta una segona inestabilitat per amplituds del forçament més grans, per la qual el flux vortical perd la simetria axial. En aquest nou règim els vòrtex estan fortament distorsionats i no són axisimètrics. Fent rampes d’amplitud creixent i decreixent hem observat que aquestes dues transicions presenten histèresi, i que per tant són de caràcter subcrític.

[pt] Expansão de tecido é um processo fisiológico, definido como a capacidade de uma membrana biológica aumentar em área superficial devido a uma deformação imposta. É um processo que pode ser induzido artificialmente, através de técnicas ligadas à cirurgia plástica reparadora que têm como objetivo expandir a pele para a sua utilização em áreas danificadas (queimaduras, grandes cicatrizese tatuagens), reconstrução mamária (após mastectomia), entre outras. Para expandir-se a pele artificialmente, implanta-se o expansor sob a camada da pele do paciente, numa região adjacente ao local onde se deseja efetuar a reconstrução. Em seguida, através de um tubo externo, introduz-se um fluido que irá provocar o aumento do volume inicial e, consequentemente, o aumento da área superficial da pele sobre o expansor. Este é um processo lento, feito em etapas, até que se obtenha a área superficial de pele desejada para cada fim. O objetivo desta dissertação é modelar matematicamente o fenômeno da expansão axissimétrica de tecido biológico, através da teoria da viscoelasticidade para grandes deformações. / [en] Tissue expansion is a well-known plastic surgery technique, based on the ability of biologic membranes to increase its surface area when a deformation is imposed. It is used to repair a wound area (scars, burns), to remove tattoos, in breast reconstruction, etc. This involves inserting a silicon-rubber prosthesis (expander) in its collapsed state under the subcutaneous tissue of the patient, closing the incision, and then inflating the expander slowly with a saline fluid through a one way valve. The skin expands in the form of a dome in unison with the balloon underneath it. The purpose of this work is modelling mathematically axially symmetric tissue expansion of biologic tissue, using Theory of Viscoelasticity for Finite Deformations. / [es] La expansión de tejidos es un proceso fisiológico, definido como la capacidad de una membrana biológica de aumentar su área superficial como consequencia de una deformación impuesta. Este proceso, que puede ser inducido artificialmente a través de técnicas de cirurgía plástica reparadora, tiene como objetivo expandir la piel para utilizarla en áreas dañadas (ejemplo: quemaduras o grandes cicatrices), reconstrucción mamaria (después de mastectomía, etc.) Para expandir la piel artificialmente, se implanta el expansor sobre la piel del paciente, en una región adyacente al local donde se desea efectuar la reconstrucción. Enseguida se introduce, a través de un tubo externo, un fluído que provocará el aumento del volumen inicial y, consequentemente, el aumento del área superficial de la piel sobre el expansor. Éste es un proceso lento, que se realiza por etapas hasta obtener la expansión del área superficial deseada, según los fines. El objetivo de esta disertación es modelar matemáticamente el fenómeno de la expansión asimétrica de tejido biológico, a través de la teoría de la viscoelasticidad para grandes deformaciones.