La partie 1 releve de l'Analyse Numerique. Partant de l'interpretation Element Finis Mixtes des schemas volumes finis classiques, l'estimation a posteriori de l'erreur est analysee dans la hierarchie des elements de Raviart-Thomas. Un estimateur calculable est explicite pour ces schemas volumes finis.<br />La partie 2 introduit, d'abord un maillage rectangulaire, puis un maillage structure, une famille de schemas volumes finis de type differences finies. Des essais numeriques sur des problemes modeles montrent que l'ordre prevu par l'analyse peut etre atteint.<br />La partie 3 presente l'application de ces schemas volumes finis a la simulation numerique du comportement d'un bloc de gomme en presence d'une fissure finie. Il s'agit d'un materiau hyperelastique compressible en grandes deformations et differents tenseurs de contraintes, avec tests en quasi-incompressible et des simulations d'endommagement.

Ce travail présente quelques contributions à la modélisation<br />et à la simulation de genèse de bassins sédimentaires.<br />Nous présentons tout d'abord les modèles mathématiques et <br />les schémas numériques mis en oeuvre à l'Institut Français<br />du Pétrole dans le cadre du projet Temis. Cette première partie <br />est illustrée à l'aide de tests numériques portant sur des bassins 1D/2D.<br />Nous étudions ensuite le schéma amont des pétroliers utilisé pour la résolution des équations de Darcy et nous établissons des résultats mathématiques nouveaux<br />dans le cas d'un écoulement de type Dead-Oil.<br />Nous montrons également comment construire un schéma à nombre<br />de Péclet variable en présence de pression capillaire. <br />Là encore, nous effectuons une étude mathématique<br />détaillée et nous montrons la convergence du schéma<br />dans un cas simplifié. Des tests numériques réalisés<br />sur un problème modèle montrent que l'utilisation d'un nombre<br />de Péclet variable améliore la précision des calculs.<br />Enfin nous considérons dans une dernière partie <br />un modèle d'écoulement où les changements de lithologie et <br />les changements de courbes de pression capillaire sont liés.<br />Nous précisons la condition physique que doivent vérifier<br />les solutions en saturation aux interfaces de changement de roche et<br />nous en déduisons une formulation faible originale.<br />L'existence d'une solution à ce problème est obtenue<br />par convergence d'un schéma volumes finis.<br />Des exemples numériques montrent l'influence de la condition<br />d'interface sur le passage ou la retenue des hydrocarbures.

Dans cette these, nous etudions les schemas boite. Ils ont ete introduits par H.B. Keller en 1971. Dans un premier temps, on s'est interesse a des problemes elliptiques de type Poisson. Plusieurs schemas boite pour des domaines de $\mathbb(R)^2$ mailles par des triangles ou des rectangles ont ete introduits. Dans ce cas, la discretisation s'effectue sur la forme mixte du probleme en prenant la moyenne des deux equations (conservation et flux) sur les cellules du maillage. La methode peut etre qualifiee de ``methode volumes finis mixte de type Petrov-Galerkin ``. Une des difficultes du design de cette famille de schemas reside dans le choix des differents espaces de fonctions (approximation et test) qui doivent satisfaire des conditions de compatibilite de type Babuska-Brezzi. En revanche, cette methode de discretisation ne necessite qu'un seul maillage (le maillage du domaine). De plus, on montre dans la plupart des cas que le schema obtenu est equivalent a un probleme découplé : la résolution d'un probleme variationnel pour l'inconnue principale et une formule locale pour le gradient (le flux). Cette formulation facilite le calcul des inconnues discretes. Des resultats de stabilite et les calculs d'erreurs reposant sur la theorie des elements finis ont ete etablis. Une etude numérique valide ces resultats pour quelques cas tests. Dans le cadre du Groupement de Recherche MoMaS pour le stockage des dechets nucleaires dans la Meuse, j'ai ensuite etudie des problemes de convection-diffusion instationnaires. Un schéma boite permettant d'approcher ces equations dans le cas monodimensionnel a ete introduit. Des coefficients de decentrement propres a chaque maille permettent de controler le schema (precision, stabilite). Afin de generaliser rapidement ce schema au cas bidimensionnel, je me suis concentree sur une extension du schema boite monodimensionnel par la methode ADI (Alternating Direction Implicit).

On s'intéresse dans ce travail à la simulation des écoulements diphasiques. Différents modèles, tous hyperboliques, sont considérés suivant les configurations étudiées. Dans un premier temps, plusieurs schémas Volumes Finis sont comparés pour l'approximation du modèle HEM (Homogeneous Equilibrium Model), notamment en présence de faibles densités. Ensuite on démontre l'existence et l'unicité de la solution faible entropique d'une loi de conservation scalaire gouvernant l'évolution de la saturation d'un écoulement diphasique dans un milieu poreux. On propose alors deux schémas Volumes Finis tenant compte du caractère résonnant de cette équation. La troisième partie concerne les écoulements en eaux peu profondes et l'approximation des termes sources raides. Une méthode permettant le maintien d'états au repos ainsi que le recouvrement et l'apparition de zones sèches, est présentée et comparée aux méthodes habituellement utilisées dans l'industrie. Enfin, une classe de modèles hyperboliques non conservatifs se basant sur l'approche bifluide à deux vitesses et deux pressions est proposée. Une étude des solutions discontinues du système convectif permet d'exhiber une classe de fermetures sur la vitesse interfaciale et sur la pression interfaciale, tout en permettant de définir de manière unique les produits non conservatifs. L'approximation se fait à l'aide d'une méthode de splitting d'opérateur. On utilise deux schémas Volumes Finis, le schéma de Rusanov et le schéma de Godunov approché VFRoe-ncv pour l'étape de convection. Plusieurs cas tests sont présentés et commentés : tubes à choc, conditions limites de paroi, robinet d'eau, sédimentation.

Ce travail concerne les fluides eulériens compressibles constitués de plusieurs espèces, qui peuvent être mélangées ou séparées par des interfaces. Le mémoire est composé de trois parties. La première partie est consacrée à la résolution numérique de problèmes modèles : équation d'advection, équation de Burgers, équations d'Euler, en dimensions un et deux. L'accent est mis sur la précision des méthodes (en particulier pour des données initiales discontinues), et des algorithmes non dissipatifs sont développés. Ils sont basés sur un décentrage aval des flux (de type volumes finis) sous des contraintes de stabilité. La seconde partie traite de la modélisation mathématique des mélanges de fluides. Nous y construisons et analysons une classe de modèles entropiques, symétrisables, hyperboliques, non forcément conservatifs. Ce sont des modèles à plusieurs températures et plusieurs pressions. Dans la troisième partie, nous utilisons les idées introduites dans la première partie (décentrage aval et schémas non dissipatifs) pour la résolution numérique des problèmes aux dérivées partielles construits dans la deuxième partie. Nous présentons des résultats numériques en dimensions un et deux.

Dans cette thèse, nous avons étudié la simulation numérique des phénomènes d'interaction fluide-structure entre un fluide compressible et une structure déformable. En particulier, nous nous sommes intéressés au couplage par une approche partitionnée entre une méthode de Volumes Finis pour résoudre les équations de la mécanique des fl uides compressibles et une méthode d'Éléments discrets pour le solide, capable de prendre en compte la fissuration. La revue des méthodes existantes de domaines fictifs ainsi que des algorithmes partitionnés couramment utilisés pour le couplage conduit à choisir une méthode de frontières immergées conservative et un schéma de couplage explicite. Il est établi que la méthode d'Éléments Discrets utilisée permet de retrouver le comportement macroscopique du matériau et que le schéma symplectique employé assure la préservation de l'énergie du solide. Puis nous avons développé un algorithme de couplage explicite entre un fluide compressible non-visqueux et un solide indéformable. Nous avons montré des propriétés de conservation exacte de masse, de quantité de mouvement et d'énergie du système ainsi que de consistance du schéma de couplage. Cet algorithme a été étendu au couplage avec un solide déformable, sous la forme d'un schéma semi-implicite. Cette méthode a été appliquée à l'étude de problèmes d'écoulements non-visqueux autour de structures mobiles : les comparaisons avec des résultats numériques et expérimentaux existants démontrent la très bonne précision de notre méthode.

Les méthodes numériques classiques sont inadaptées aux problèmes de diffusion au sein des matériaux cimentaires, du fait de l'écart entre l'échelle grossière de travail, de l'ordre du mètre, et l'échelle fine de la description du milieu, de l'ordre du micromètre, On présente dans cette thèse plusieurs méthodes de simulations multi-échelles couplant Volumes Finis et Éléments Finis, ainsi que leurs implémentations informatiques efficaces. En particulier, on a développé une chaîne de calcul multi-échelle utilisant la plate-forme SALOME (génération des maillages, post-traitement des solutions) et le code de calcul parallèle MPCube (résolution des problèmes) qui permet de réaliser automatiquement et efficacement des simulations multi-échelles. Un soin particulier a été apporté à la parallélisation des tâches et à l'optimisation des méthodes aux spécificités des matériaux cimentaires. On a appliqué cette chaîne de calcul à plusieurs échantillons de matériaux cimentaires, notamment des modèles de mortiers et de pâtes de ciment. Les résultats de ces simulations ont permis de déterminer une diffusivité numérique équivalente, ainsi que de reconstruire une solution à l'échelle fine.

Les modèles de turbulence de type Navier-Stokes en moyenne de Reynolds (RANS) au premier ordre sont étudiés dans cette thèse. Ils sont constitués des équations de Navier-Stokes, auxquelles on adjoint un système d'équations de bilan pour des échelles scalaires caractéristiques de la turbulence. L'évaluation de celles-ci permet, grâce à une relation algébrique, de calculer une viscosité additionnelle dite "turbulente", modélisant la contribution de l'agitation turbulente dans les équations de Navier-Stokes. Les problèmes d'analyse numérique abordés se placent dans le contexte d'un algorithme à pas fractionnaire constitué d'une approximation, sur un maillage régulier, des équations de Navier-Stokes par éléments finis non-conformes de Crouzeix-Raviart, ainsi que d'un ensemble d'équations de bilan de la turbulence de type convection-diffusion, discrétisées par la méthode de volumes finis standard. Un schéma numérique basé sur une discrétisation de volumes finis, permettant de préserver la positivité des échelles turbulentes telles que l'énergie cinétique turbulente (k) et son taux de dissipation (ε), est ainsi proposé dans le cas des modèles k − ε standard, k − ε RNG et leur extension k − ε − v2 − f. La convergence du schéma numérique proposé est ensuite étudiée sur un problème modèle constitué des équations de Stokes incompressibles et d'une équation de convection-diffusion stationnaires, couplées par les viscosités et le terme de production turbulente. Il permet d'aborder la difficulté principale de l'analyse d'un tel problème : l'expression du terme de production turbulente amène à considérer, pour les équations de bilan de la turbulence, un problème de convection-diffusion avec second membre appartenant à L1. Enfin, afin d'aborder le problème instationnaire, on montre la convergence du schéma de volumes finis pour une équation de convection-diffusion modèle avec second membre appartenant à L1. Les estimations a priori de la solution et de sa dérivée en temps sont obtenues dans des normes discrètes dont les espaces correspondants ne sont pas duaux. Un résultat de compacité plus général que le théorème de Kolmogorov usuel, qui se pose comme un équivalent discret du Lemme d'Aubin-Simon, est alors proposé et permet de conclure à la convergence dans L1 d'une suite de solutions discrètes.

Afin de réaliser l'isolement galvanique d'une partie d'un sous-système électrique suite à une manœuvre ou l'apparition d'un défaut (surcharge, court-circuit), les propriétés de limitation de l'arc électrique, sont exploitées afin de forcer un retour rapide au zéro de courant. La modélisation de ce processus est complexe car il met en jeu un grand nombre de phénomènes physiques (rayonnement, changement de phase, électromagnétisme, mécanique des fluides, physique des plasmas). La volonté de privilégier une résolution fortement couplée de ces phénomènes et l'analyse de leurs constantes de temps caractéristiques ont conduit à privilégier la méthode des volumes finis afin d'aboutir à une résolution numérique robuste. Celle-ci a tout d'abord été mise en œuvre dans le cadre de problèmes intrinsèques d'électromagnétisme (électrocinétique, magnétostatique – y compris des milieux non-linéaires – et magnétodynamique) pour lesquels des considérations énergétiques ont conduit à élaborer des critères de précision basés sur des conservations locales. Les modèles ainsi validés ont été implémentés avec succès dans le code de coupure utilisé par Schneider Electric et ont permis de faire progresser significativement la modélisation des appareils de coupure développés par Schneider Electric.

Nous développons dans cette thèse un schéma numérique pour la résolution sur des maillages non-structurés d'un système d'équations couplant les équations de Navier-Stokes dites ”à faible nombre de Mach” à un ensemble d'équations de bilan pour des quantités scalaires. La contribution principale de la thèse est le développement d'une approximation stable de la prédiction de vitesse discrétisée par éléments finis non-conformes et la mise au point d'un schéma par volumes finis qui soit à la fois stable et robuste vis-à-vis du principe du maximum pour les équations de bilan scalaires. L'approximation de Galerkin de la prédiction de vitesse des équations de Navier-Stokes est particulièrement sensible aux régimes à convection dominante et aux couches limites. Nous avons ainsi développé, pour des maillages quelconques en hexahèdres ou tétrahèdres et en maillage structuré axisymétrique, une approximation des termes d'inertie par des éléments finis non conformes de bas degré satisfaisant la condition de compatibilité inf-sup discrète qui respecte une inégalité d'énergie et permet le contrôle au niveau discret de la variation d'énergie cinétique par la dissipation visqueuse. Dans la définition d'un schéma volumes finis pour l'approximation des équations de convection-diffusion, nous sommes confrontés à la nécessité de s'adapter à des maillages potentiellement non-structurés voire non conformes et de respecter un principe de maximum discret. Nous avons donc proposé un couplage nouveau de schémas volumes finis pour l'équation de convection-diffusion. Tous les développements effectués sont enfin validés sur des cas concrets d'intérêt pour la simulation des écoulements turbulents réactifs.