Cette thèse est consacrée à l'analyse, à l'application et à l'extension bidimensionnelle, d'un nouveau schéma aux volumes finis (SRNH) proposé récemment pour une classe de système non homogène. L'analyse de stabilité du schéma, d'abord dans le cas scalaire ensuite dans le cas de systèmes, mène à une nouvelle formulation où intervient le signe de la matrice Jacobienne du système de lois de bilan considéré. Pour le système de Saint Venant avec terme de pente, on montre formellement que le schéma SRNHS vérifie la C-propriété exacte introduite pour les schémas équilibres par Bermùdez et Vázquez. Les résultats numériques 1D et 2D, en particulier du cas de rupture de barage sur un fond en forme de marche, montrent le degrés d'efficacité du schéma. Pour le système diphasiques des zones de non hyperbolicité peuvent exister, avec apparition de valeurs propres complexes dans la Jacobienne du système. On montre que pour les configurations faiblement non hyperboliques, on peut calculer le signe de la Jacobienne par l'algorithme de Newton-Schultz. Pour les configurations plus raides, où la méthode précédente ne fonctionne plus, on a recours à la méthode de perturbation par densité. Dans les deux cas évoqués, les tests numériques montrent que l'on approche la solution exacte du problème de Ransom avec une grande précision, et que l'on conserve la stabilité des calculs même avec un maillage de finesse relativement élevée.

On étudie les équations gouvernant un fluide soumis aux effets de thermodiffusion et d'adsorption en milieu poreux. La répartition des espèces à l'intérieur du fluide est alors régie à l'échelle locale par un système d'équations d'évolution paraboliques non linéaires de type divergentielles. On montre que le système ainsi constitué est bien posé au sens de Hadamard. L'existence d'une solution au problème est démontrée à l'aide d'une méthode de type point fixe, l'unicité par le biais d'une technique de dualité. Cette approche théorique a pu être complétée par des simulations numériques à l'échelle d'un pore, à l'aide d'un schéma fondé sur une méthode " volumes finis " dont l'étude est effectuée, et pour lequel on exhibe un résultat de convergence. La détermination des équations macroscopiques de conservation fait l'objet du deuxième volet de cette étude. Nous démontrons qu'elles sont de la même forme que les équations locales, le changement d'échelle introduisant des tenseurs gouvernant les flux et des coefficients de porosité modulant les grandeurs scalaires. Plusieurs techniques ont été utilisées : le passage de la loi de Navier-Stokes à l'équation de Darcy linéaire a pu ainsi être démontré à l'aide de développements asymptotiques. Les lois de conservation de l'énergie et de la masse ont été établies par le biais de la convergence à deux échelles. Le modèle macroscopique peut alors être complètement déterminé via la résolution de problèmes locaux, posés sur une cellule élémentaire, représentative du milieu périodique. Une dernière partie est consacrée à la modélisation de la contamination de nappes aquifères par des produits polluants ; les équations de conservation de la masse y sont déterminées dans deux cas, les cas réversible et irréversible. Deux approches sont envisagées, l'une se fondant sur une version de la convergence à deux échelles appliquées aux traces, l'autre sur un résultat établi dans le cas de réactions chimiques.

L'approximation isobare du système d'équations de bilan de masse, de quantité de mouvement, d'énergie et des espèces chimiques est une approximation appropriée pour représenter les écoulements réactifs à faible nombre de Mach. Dans cette approximation, qui néglige les phénomènes acoustiques, le mélange est hydrodynamiquement incompressible et les effets thermodynamiques conduisent à une compression uniforme du système. Nous présentons une nouvelle méthode numérique pour cette approximation. Une méthode de projection incrémentale, qui utilise la forme originale du bilan de masse, assure la discrétisation temporelle des équations de Navier-Stokes. La discrétisation spatiale est réalisée avec une méthode de volumes finis sur un maillage décalé de type MAC. Un schéma de décentrement d'ordre élevé est utilisé pour les flux convectifs. Nous associons à cette discrétisation, une méthode de raffinement local multi-niveaux, basée sur l'approche de Correction de Flux à l'Interface. Une première application concerne un écoulement forcé avec masse volumique variable donnée, imitant un problème de combustion. La deuxième application est le problème de convection naturelle, tout d'abord pour de faibles variations de température puis au-delà de la limite de validité de l'approximation de Boussinesq. Enfin, la troisième application est une flamme de diffusion laminaire. Pour chacun de ces cas-test, nous montrons la robustesse de la méthode numérique proposée, notamment vis à vis des variations de masse volumique. Et nous analysons le gain en précision obtenu par la méthode de raffinement local multi-niveaux.

Ce travail est consacré à la construction de méthodes numériques permettant la simulation de processus d'implosion de coquilles en fusion par confinement inertiel (FCI) avec prise en compte des termes de champ magnétique auto-généré. Dans ce document, on commence par décrire le modèle de magnétohydrodynamique résistive à deux températures considéré ainsi que les relations de fermeture utilisées. Le système d'équations ainsi obtenu est alors divisé en sous-systèmes selon la nature de l'opérateur mathématique sous-jacent pour lesquels l'on propose ensuite des schémas numériques adaptés. On insiste notamment sur le développement de schémas volumes finis pour l'opérateur hyperbolique, ce dernier correspondant aux équations d'Euler ou de la magnétohydrodynamique idéale selon que l'on tienne compte ou non des termes de champ magnétique. Plus précisement, on propose une nouvelle classe de schémas d'ordre élevé à directions alternées construits dans le formalisme Lagrange + projection sur grille cartésienne qui présentent l'originalité d'être particulièrement bien adaptés aux calculateurs modernes grâce, entre autres, au traitement par directions alternées et à l'utilisation de techniques de viscosité artificielle. Cette propriété est illustrée par des mesures de performance séquentielle et d'efficacité parallèle. On combine ensuite les schémas hyperboliques développés avec des méthodes de type volumes finis permettant letraitement semi-implicite des termes de conduction thermique et résistive et une prise en compte explicite des termes de champ magnétique auto-générés. Afin d'étudier les caractéristiques et les effets des champs magnétiques auto-générés, on présente enfin un cas test de capsule FCI simulée à partir du début de la phase de décélération.

L'objet de ce travail est de présenter une partie des travaux entrepris au laboratoire CELIA (CEA, CNRS, Université Bordeaux I) dans le domaine de la modélisation numérique des écoulements fortement compressibles. Cette activité au sein de l'équipe Interaction-Fusion par Confinement Inertiel-Astrophysique, a eu pour objectif principal la mise au point et le développement de schémas numériques robustes dédiés à la simulation numérique des plasmas à haute densité d'énergie appliquée à la production d'énergie par fusion. Ces travaux se sont concrétisés par l'écriture du code CHIC (Code d'Hydrodynamique et d'Implosion du CELIA), logiciel permettant de concevoir et de restituer des expériences dans le domaine de la Fusion par Confinement Inertiel (FCI). Le modèle théorique numérique décrivant l'implosion d'une cible laser est un système d'équations aux dérivées partielles au centre duquel on trouve les équations d'Euler écrites dans le formalisme lagrangien, couplées à des équations de diffusion non linéaires modélisant le transport de l'énergie par les électrons et les photons. Dans cet exposé, après un bref rappel du contexte physique, nous décrirons les deux méthodes originales qui constituent l'ossature numérique du code CHIC. Il s'agit de deux schémas numériques d'ordre élevé du type volumes finis dédiés respectivement à la résolution des équations de l'hydrodynamique lagrangienne et à la résolution d'équations de diffusion anisotrope sur des maillages bi-dimensionnels non-structurés. Le premier schéma, dénommé EUCCLHYD (Explicit Unstructured Lagrangian HYDrodynamics), permet de résoudre les équations de la dynamique des gaz sur un maillage mobile qui se déplace à la vitesse du fluide. Il est obtenu à partir d'un formalisme général basé sur le concept de forces de sous-mailles. Dans ce cadre, les flux numériques sont exprimés en fonction des forces de sous-mailles et de la vitesse des noeuds. Leur détermination repose sur les trois principes fondamentaux suivants : compatibilité géométrique entre le mouvement des noeuds et la variation de volume des mailles (loi de conservation géométrique), compatibilité avec le second principe de la thermodynamique et conservation de l'énergie totale et de la quantité de mouvement. L'extension de ce schéma à l'ordre deux est mise en place à l'aide d'une méthode basée sur la résolution d'un problème de Riemann généralisé dans l'approximation acoustique. Le second schéma, appelé CCLAD (Cell-Centered LAgrangian Diffusion), concerne la résolution de l'équation de la chaleur anisotrope non-linéaire. La discrétisation correspondante s'appuye sur une formulation variationnelle locale au niveau des sous-mailles qui permet de construire une approximation multi-points du flux de chaleur. Cette discrétisation d'ordre élevé rend possible la résolution des équations de la diffusion anisotrope avec une précision satisfaisante sur des maillages lagrangiens fortement déformés. La précision et la robustesse de ces méthodes numériques sont démontrées sur des cas-tests représentatifs.

Le travail de thèse exposé dans ce manuscrit porte sur le développement et l'analyse numérique de schémas volumes finis de type dualité discrète (DDFV) pour la discrétisation des équations de Darcy et des équations de Stokes. Un point commun à ces problèmes, qui motive l'emploi des schémas DDFV, est que leur résolution par volumes finis nécessite d'approcher toutes les composantes du gradient de la solution. On étudie tout d'abord la discrétisation du problème de diffusion scalaire anisotrope pour des conditions aux bords mixtes de type Dirichlet/Fourier. Le schéma que nous proposons permet de construire un algorithme de Schwarz discret associé à une décomposition de domaine sans recouvrement qui converge vers la solution obtenue sans décomposition. Des expériences numériques illustrent les résultats théoriques d'estimation d'erreur et de convergence des algorithmes de Schwarz DDFV. On se propose ensuite de discrétiser des problèmes de Stokes avec une viscosité variable. Les schémas DDFV correspondant sont en général mal posés. Pour y remédier, on stabilise le bilan de masse par différents termes en pression. Dans un second temps, on considère le cas où la viscosité est discontinue. Ces discontinuités doivent être prise en compte par le schéma pour surmonter la perte de consistance des contraintes à l'interface. Ensuite une première étude de l'extension des schémas DDFV aux équations de Navier-Stokes est présentée aussi qu'une généralisation des résultats pour le problème de Stokes avec une viscosité régulière dans le cas tridimensionnel.

Le travail présenté dans cette thèse est une contribution au développement des méthodes à maillage dynamique pour la résolution de système d'EDP en mécanique des fluides. Plus précisément, on met au point des schémas de volumes finis pour des maillages non-structurés, mobiles et à topologie éventuellement variable, basés sur la méthode Godunov. L'addition et la soustraction de noeuds reposent sur une généralisation des méthodes à maillage dynamique à des cas de volumes naissants ou disparaissants. Dans une première partie, on se restreint aux équations hyperboliques en une dimension. On montre que pour l'advection linéaire, le schéma satisfait les propriétés classiques des méthodes de volumes finis (principe du maximum, décroissance de la variation totale, stabilité L²) sous certaines contraintes de type CFL. Afin de s'affranchir de ces restrictions, l'intégration en temps du système discrêt est réalisée par une formulation implicite. La seconde partie de ce travail porte sur l'extension des schémas en deux dimensions d'espace. Le modèle mathématique abordé est décrit par les équations d'Euler. Par ailleurs, on cherche à intégrer le schéma dans un code où le maillage s'adapte automatiquement et simplement. On introduit alors une distribution de forces, soit attractives, soit répulsives, entre les noeuds du maillage. Le mouvement des noeuds résulte de l'obtention de l'état d'équilibre sur le domaine. Le raffinement et le déraffinement reposent sur des critères locaux, comme le gradient. Le dernier travail de cette thèse est consacré à la simultation numérique de phénomènes d'interaction fluide-structure afin de valider les algorithmes proposés. L'application concrête visée ici eset m'écoulement compressible autour d'une aile d'avion en mouvement.

Cette thèse étudie la modélisation et la simulation numérique d'écoulements diphasiques à interfaces avec changement de phase. Cette transition est localisée en des interfaces qui sont produites dynamiquement. On prend également en compte la diffusion de la chaleur, la tension de surface et les forces de gravité. L'application envisagée est la simulation d'écoulements dans un réacteur à eau pressurisée dans l'industrie nucléaire civile. On s'intéresse ici plus précisément à un éventuel fonctionnement accidentel et en particulier au phénomène de la crise d'ébullition. On modélise les écoulements diphasiques avec changement de phase par un modèle basé sur le système des équations d'Euler fermé par une seule équation d'état obtenue en postulant un équilibre instantané et local des pressions, températures et potentiels chimiques de chaque phase. On en étudie ensuite l'hyperbolicité et le problème de Riemann qui lui est associé. Du point de vue numérique, puisqu'il n'y a pas d'expression analytique pour la loi à l'équilibre dans le cas général, on propose une méthode simple pour approcher cette loi d'état lorsque les propriétés des deux phases sont décrites par des lois très générales, éventuellement sous forme tabulée. Enfin, pour simuler des écoulements diphasiques avec changement de phase, on présente un schéma numérique de type relaxation/projection pour lequel la phase de projection utilise cette approximation de l'équilibre thermodynamique.

Les méthodes hybrides Moments/PDF sont bien adaptées pour la description des écoulements diphasiques turbulents, polydispersés, hors équilibre thermodynamique. Ces méthodes permettent d'avoir une description assez fine de la polydispersion, de la convection et des termes sources non-linéaires. Cependant, les approximations issues de telles simulations sont bruitées ce qui, dans certaines situations, occasionne un biais. L'approche alternative étudiée dans ce travail consiste à coupler une description Eulerienne des moments avec une description stochastique Lagrangienne à l'intérieur de la phase dispersée, permettant de réduire l'erreur statistique et d'éliminer le biais. La mise en oeuvre de cette méthode nécessite le développement de schémas numériques robustes. Les approches proposées sont basées sur l'utilisation simultanée des techniques de relaxation et de décentrement, et permettent d'obtenir des approximations stables des solutions instationnaires du système d'équations aux dérivées partielles, avec des données peu régulières provenant du couplage avec le modèle stochastique. Une comparaison des résultats de la méthode hybride Moments-Moments/PDF avec ceux issus de la méthode hybride ''classique'' est présentée en termes d'analyse des erreurs numériques sur un cas de jet co-courant gaz-particules.

Ce travail est consacré à l'étude d'un problème issu de la physique des plasmas: le transfert thermique des électrons dans un plasma proche de l'équilibre maxwellien. Dans un premier temps, le régime asymptotique de Spitzer-Harm est étudié. Un modèle proposé par Schurtz et Nicolai est analysé et situé dans le cadre des modeles hydrodynamiques en dehors de la limite strictement asymptotique. Le lien avec les modèles non-locaux de Luciani et Mora est établi, ainsi que les propriétés mathématiques tels que le principe du maximum et la dissipation entropique. Ensuite, une dérivation formelle à partir des équations de Vlasov est proposée. Une hiérarchie de modèles intermédiaires entre les équations cinétiques et la limite hydrodynamique est décrite. En particulier, un nouveau système hydrodynamique, de nature intégro-différentielle, est proposé. Le système Schurtz et Nicolai apparaît comme une simplification du modèle issu de la diversion. L'existence et l'unicité de la solution du système non-stationnaire sont établies dans un cadre simplifié. La dernière partie est consacrée à la mise en œuvre d'un schéma numérique spécifique pour la résolution de ces modèles. Nous proposons une approche par volumes finis efficace sur des maillages non-structurés. La précision de ce schéma permet de capturer des effets spécifiques aux modèles cinéiques, qui ne peut être reproduit par le modèle asymptotique de Spitzer-Harm. La consistance de ce schéma avec celui de l'équation Spitzer-Harm est mise en evidence, ouvrant la voie à une stratégie de couplage entre les deux modèles.