Dans ce projet de recherche, on s'intéresse au développement et à l'évaluation de nouvelles méthodes numériques pour les écoulements peu profonds. De nouvelles techniques de discrétisation spatiales et temporelles des équations sont proposées. La première partie de la thèse est dédiée au développement d'une méthode des volumes finis explicite d'ordre élevé et d'une famille de schémas semi-implicites qui sont efficaces pour la modélisation des processus lents et rapides dans les écoulements océaniques et atmosphériques. La deuxième partie du projet de recherche concerne la construction d'un schéma numérique efficace sans solveur de Riemann pour les écoulements peu profonds avec une topographie variable sur un maillage non structuré. Dans cette partie de la thèse, une nouvelle approche est proposée pour l'analyse de stabilité des schémas numériques non structurés pour les équations en eaux peu profondes. Dans la troisième partie de la thèse, deux schémas de volumes finis sont développés pour les lois de conservation sur des surfaces courbes qui ont un large potentiel d'être appliqués aux écoulements peu profonds sur la sphère. Dans ces cas, les schémas numériques sont développés en adoptant la démarche suivie par Stanley Osher. Cette démarche consiste à utiliser des systèmes hyperboliques simples qui génèrent des phénomènes d'ondes complexes et des solutions qui ont différentes structures. Ces solutions sont très efficaces pour tester les méthodes numériques. Dans notre cas, nous avons utilisé les équations de Burgers qui ont joué un rôle très important dans le développement des schémas numériques à capture de chocs en mécanique des fluides. / This research project focuses on the development and evaluation of numerical methods for shallow flows by proposing new spatial and temporal discretization techniques. First, a new high-order explicit finite volume method and a class of semi-implicit schemes are introduced which are effective for modelling fast and slow waves in oceanic and atmospheric flows. In the second part of the research project, a central-upwind scheme is proposed for shallow water flows on variable topography using unstructured grids. In this part of the project, a new approach is proposed for the stability analysis of unstructured numerical schemes for shallow water equations. In the third part of the thesis, two finite volume methods are developed for the conservation laws on curved geometries which are potentially applicable to shallow flows on a sphere. For such cases, numerical schemes are developed by using the approach followed by Stanley Osher. This approach employs simple hyperbolic systems which generate complex wave phenomena, and solutions that are effective for assessing numerical methods. In our case, Burgers’ equations are used since they have played an important role in the development of shock-capturing schemes in fluid mechanics.

Cette thèse est dédiée à l'analyse mathématique et la simulation numérique des équations intervenant dans la modélisation de l’électrophysiologie cardiaque. D'abord, nous donnons une justification mathématique rigoureuse du processus d’homogénéisation périodique à l’aide de la méthode d'éclatement périodique. Nous considérons des conductivités électriques tensorielles qui dépendent de l’espace et des modèles ioniques non linéaires physiologiques et phénoménologiques. Nous montrons l'existence et l'unicité d’une solution du modèle microscopique en utilisant une approche constructive de Faedo- Galerkin suivie par un argument de compacité dans L2. Ensuite, nous montrons la convergence de la suite de solutions du problème microscopique vers la solution du problème macroscopique. À cause des termes non linéaires sur la variété oscillante, nous utilisons l’opérateur d’éclatement sur la surface et un argument de compacité de type Kolmogorov pour les modèles phénoménologiques et de type Minty pour les modèles physiologiques. En outre, nous considérons le modèle monodomaine couplé au modèle physiologique de Beeler-Reuter. Nous proposons un schéma volumes finis et nous analysons sa convergence. D'abord, nous dérivons la formulation variationnelle discrète correspondante et nous montrons l'existence et l'unicité de sa solution. Par compacité, nous obtenons la convergence de la solution discrète. Comme le schéma TPFA (two point flux approximation) est inefficace pour approcher les flux diffusifs avec des tenseurs anisotropes, nous proposons et analysons, ensuite, un schéma combiné non-linéaire qui préserve le principe de maximum. Ce schéma est basé sur l’utilisation d’un flux numérique de Godunov pour le terme de diffusion assurant que les solutions discrètes soient bornées sans restriction sur le maillage du domaine spatial ni sur les coefficients de transmissibilité. Enfin, dans la perspective d'étudier la solvabilité des modèles électromécaniques couplés avec des modèles ioniques physiologiques, nous considérons un modèle avec une description linéarisée de la réponse élastique passive du tissu cardiaque, une linéarisation de la contrainte d'incompressibilité et une approximation tronquée des diffusivités non linéaires intervenant dans les équations du modèle bidomaine. La preuve utilise des approximations par des systèmes non-dégénérés et la méthode Faedo-Galerkin suivie par un argument de compacité. / This thesis is concerned with the mathematical analysis and numerical simulation of cardiac electrophysiology models. We use the unfolding method of homogenization to rigorously derive the macroscopic bidomain equations. We consider tensorial and space dependent conductivities and physiological and simplified ionic models. Using the Faedo-Galerkin approach followed by compactness, we prove the existence and uniqueness of solution to the microscopic bidomain model. The convergence of a sequence of solutions of the microscopic model to the solution of the macroscopic model is then obtained. Due to the nonlinear terms on the oscillating manifold, the boundary unfolding operator is used as well as a Kolmogorov compactness argument for the simplified models and a Minty type argument for the physiological models. Furthermore, we consider the monodomain model coupled to Beeler- Reuter's ionic model. We propose a finite volume scheme and analyze its convergence. First, we show existence and uniqueness of its solution. By compactness, the convergence of the discrete solution is obtained. Since the two-point flux approximation (TPFA) scheme is inefficient in approximating anisotropic diffusion fluxes, we propose and analyze a nonlinear combined scheme that preserves the maximum principle. In this scheme, a Godunov approximation to the diffusion term ensures that the solutions are bounded without any restriction on the transmissibilities or on the mesh. Finally, in view of adressing the solvability of cardiac electromechanics coupled to physiological ionic models, we considered a model with a linearized description of the passive elastic response of cardiac tissue, a linearized incompressibility constraint, and a truncated approximation of the nonlinear diffusivities appearing in the bidomain equations. The existence proof is done using nondegenerate approximation systems and the Faedo-Galerkin method followed by a compactness argument.

La curiethérapie est une méthode pour traiter les tumeurs cancéreuses qui consiste à placer à leur proximité des sources radioactives dont les rayonnements endommagent les cellules et mènent éventuellement à leur destruction. En curiethérapie conventionnelle, les sources utilisées sont scellées et seuls des rayonnements bêta et gamma s’en échappent. Dans une méthode de curiethérapie récemment commercialisée, la source n’est pas scellée et permet à des radionucléides, situés à quelques nanomètres sous sa surface, de s’échapper par mouvement de recul lors de leur désintégration. Ces radionucléides se diffusent par la suite dans la tumeur tout en poursuivant une chaîne de désintégration au cours de laquelle ils émettent principalement des particules alpha. L’énergie déposée par les particules alpha par unité de masse de tissu tumoral constitue la dose alpha. Les outils numériques de la curiethérapie conventionnelle ne tiennent pas compte de la diffusion des émetteurs et sont de ce fait inaptes à calculer correctement la distribution spatiale de la dose alpha. Le travail présenté ici avait pour but de développer des outils numériques incluant la modélisation de la diffusion, permettant ainsi un calcul adéquat de la distribution de dose. La méthode des volumes fnis a été utilisée pour développer des modèles en une, deux et trois dimensions, en coordonnées cylindriques et cartésiennes. Ces modèles déterminent où et quand se produisent les désintégrations, une information clé dans ce travail qui pourra aussi être utilisée dans des travaux futurs comme donnée d’entrée des outils numériques de la curiethérapie conventionnelle pour calculer les doses bêta et gamma. / Brachytherapy is a method for treating cancerous tumors which consists of placing near them radioactive sources whose radiation damages cells which eventually leads to their destruction. In conventional brachytherapy, the sources are sealed and only beta and gamma radiations escape. In a recently commercialized method of brachytherapy, the source is not sealed and allows radionuclides, located a few nanometers below its surface, to be released by recoil during their decay. These radionuclides then diffuse into the tumor while continuing to follow a decay chain during which they mainly emit alpha particles. The energy deposited by alpha particles per unit mass of tumor tissue constitutes the alpha dose. The numerical tools of conventional brachytherapy do not take into account the diffusion of emitters and are therefore unable to correctly calculate the spatial distribution of the alpha dose. The work presented here aimed at developing numerical tools including diffusion modeling, thus allowing an adequate calculation of the dose distribution. The finite volume method was used to develop models in one, two and three dimensions, in cylindrical and Cartesian coordinates. These models determine where and when radioactive decays occur, a key information in this work having also the potential of being used in future work as an input data for conventional brachytherapy numerical tools to calculate beta and gamma doses.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2005-2006 / Les équations en eaux peu profondes, encore appelées équations de Saint-Venant, sont utilisées dans de nombreux cas importants comme les fleuves, les lacs, les estuaires et les océans. La conservation de certaines quantités est une propriété importante qui est habituellement désirée pour assurer la précision des simulations à long terme et également pour le cas des écoulements complexes avec présence d'ondes de choc. Cette thèse examine tout d'abord la formulation de schémas semi-Lagrangiens, qui sont bien connus pour demeurer stables pour des nombres très élevés de CFL. Cependant, ces schémas perdent leur propriété de stabilité lorsque la conservation totale des quantités, qui est cruciale pour une simulation correcte les ondes de chocs, est imposée. Un schéma semi- Lagrangien entièrement conservatif est développé ici et ce dernier demeure stable pour des nombres élevés de CFL. L'approche proposée est ensuite étendue à la méthode des caractéristiques (MOC) et une version conservative du schéma MOC est développée. Contrairement au schéma MOC original, qui ne peut pas simuler correctement les ondes de choc à cause du manque de conservation, le schéma proposé les simule avec succès. De plus, le nouveau schéma présente des avantages sur le plan numérique, tant pour la diffusion et la dispersion que pour la stabilité. Le cas 2D est ensuite considéré, et la méthode de volume finie est utilisée à cause de son conservation inhérente. Le cas 2D est ensuite considéré, et la méthode de volumes finis est utilisée à cause de ses qualités inhérentes de conservation. La plupart des méthodes numériques disponibles sont sensibles au problème du déséquilibre entre les termes source et de flux, particulièrement en présence d'un maillage non structuré. D'autre part, la plupart des schémas numériques disponibles (par exemple les schémas HLL et ENO) induisent un niveau élevé de diffusion numérique en simulant des écoulements tourbillonnaires. Trois approches différentes, applicables sur des maillages non structurés sont développées ici. Elles peuvent simuler des conditions complexes d'écoulement comprenant les topographies variables, les écoulements tourbillonnaires, trans-critiques et discontinus. Finalement plusieurs méthodes de volumes finis upwind sont utilisées, via une analyse de type Fourier, pour évaluer le niveau d`amortissement des modes de Rossby. Contrairement aux bons résultats habituellement obtenus par les méthodes de volumes finis upwind dans iii le cas d'écoulements dominés par la convection, on remarque ici que les ondes de Rossby sont amorties de manière excessive. / Shallow water equations arise in many important cases such as in rivers, lakes, estuaries and oceans. Conservation is an important property which is usually desired to ensure the accuracy of the long term simulations and also for the case of complex flows with shockwaves. This thesis begins with semi-Lagrangian schemes, which are well known to remain stable for very high CFL numbers. However, they lose their high stability property when the fully conservative property, which is crucial for a correct simulation of shock waves, is imposed. An inherently fully conservative semi-Lagrangian scheme is developed here which remains stable for high CFL numbers. The proposed approach is then extended to the method of characteristics (MOC) and a conservative extension of MOC is developed. Contrary to the original MOC, which is unable to simulate shockwaves due to the lack of conservation, the proposed scheme easily simulates them. Further, the new scheme presents favorable features in terms of numerical diffusion and dispersion. The 2D case is then considered, and the finite volume method is employed due to its inherent conservation properties. Most available numerical methods face the problem of imbalance between the source and flux terms, particularly when unstructured grids are used. On the other hand, most available numerical schemes (such as the HLL and the ENO schemes) induce a high level of numerical diffusion in simulating recirculating flows. Three different approaches using unstructured grids are successfully developed here. The new schemes can simulate complex flow conditions including recirculating, trans-critical and discontinuous flows over variable topographies. Finally, the performance of the upwind finite volume schemes, for Rossby waves, is studied using a Fourier analysis approach. Contrary to the usual good results obtained for those schemes in the case of convection dominated flows, it is observed here that they lead to an excessive damping of the Rossby modes.

Ce travail a pour objet le développement et l'étude d'une méthode de décomposition de domaine, la méthode Optimisée d'Ordre 2 (OO2), pour la résolution de l'équation de convection-diffusion. Son atout principal est de permettre d'utiliser un découpage quelconque du domaine, sans savoir à l'avance où sont situés les phénomènes physiques tels que les couches limites ou les zones de recirculation. La méthode OO2 est une méthode de décomposition de domaine sans recouvrement, itérative, parallélisable. Le domaine de calcul est divisé en sous-domaines, et on résout le problème de départ dans chaque sous-domaine, avec des conditions de raccord spécifiques sur les interfaces des sous-domaines. Ce sont des conditions différentielles d'ordre 1 dans la direction normale et d'ordre 2 dans la direction tangente à l'interface qui approchent, par une procédure d'optimisation, les Conditions aux Limites Artificielles (CLA). L'utilisation des CLA en décomposition de domaine permet de définir des algorithmes stables. Une reformulation de la méthode de Schwarz conduit à un problème d'interface. Celui-ci est résolu par une méthode itérative de type Krylov (BICG-STAB, GMRES, GCR). La méthode est appliquée à un schéma aux différences finies décentré, puis à un schéma volumes finis. Un préconditionneur ``basses fréquences'' est ensuite introduit et étudié, dans le but d'avoir une convergence indépendante du nombre de sous-domaines. Ce préconditionneur est une extension aux problèmes non-symétriques d'un préconditionneur utilisé pour des problèmes symétriques. Enfin, l'utilisation de conditions différentielles d'ordre 2 le long de l'interface nécessite d'ajouter des conditions de raccord aux points de croisement des sous-domaines. Une étude est menée a ce sujet, qui permet de montrer que les problèmes dans chaque sous-domaine sont bien posés.

L'objectif de cette thèse est de modéliser et de développer des outils numériques adaptés à l'étude de l'écoulement des eaux souterraines ainsi que la propagation des polluants en milieux poreux. La motivation de ce travail est un benchmark du GDR Momas et de l'Andra pour la simulation de la propagations 3-D des radionucléides autour d'un stockage profond de déchets nucléaires. Premièrement on a construit une nouvelle méthode d'éléments finis mixtes sur un maillage formé d'hexaèdres généraux. La convergence de la méthode est prouvée et confirmée par des tests numériques. Deuxièment, nous présentons une méthode de discrétisation en temps pour une équation d'advection telle que des pas de temps différents sont utilisés dans différents sous-domaines afin de prendre en compte les hétérogèneités.<br />Enfin une méthode numérique pour le calcul de transport de contaminants est proposée. Les techniques précédentes sont implémentées en 3-D et des résultats numériques sont présentés sur le benchmark 3-D champ lointain du GDR Momas et de l'Andra.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Un nouveau procédé propre et performant de préparation de surface reposant sur l'utilisation d'un jet d'azote sous très haute pression et basse température est développé. Comparativement aux techniques classiques de préparation de surface, ce nouveau procédé apporte des avantages environnementaux (pas de génération de déchets additionnels), techniques (modes d'action sur le revêtement à traiter) et énergétiques (consommation d'énergie). Cependant, le fonctionnement du procédé de traitement de surface en question, qui existe sous forme de prototype à l'heure actuelle, repose sur des bases empiriques et les phénomènes physiques qu'il met en jeu sont encore bien mal appréhendés. Pour comprendre ces phénomènes et les modéliser, une analyse numérique est présentée. Cette analyse s'inclut dans une stratégie d'étude qui vise à augmenter progressivement le degré de complexité de la modélisation. Un premier modèle vise à décrire l'évolution du fluide en temps et en espace en supposant un écoulement compressible visqueux et axisymétrique. Dans ce modèle, le fluide est considéré comme parfait. Une extension directe de ce modèle est ensuite présentée, elle propose de tenir compte des effets de fluide réel dans l'écoulement compressible monophasique. Ces modèles sont implémentés dans un code de calculs par volumes finis. Des cas tests sont étudiés afin de valider les modèles numériques. Une étude sur des configurations de type industrielles, représentatives des conditions d'utilisation du procédé de traitement de surface par jet d'azote, est ensuite menée / A new and efficient process of surface treatment is developed and exists in prototype form at present. The process aims at injecting an inert gas, such as nitrogen, at supercritical conditions through a nozzle. The jet resulting from the expansion of the fluid at high pressure and supercritical temperature impinges normally a flat surface. Alternatively to water jet technologies, which need expansive purification of water after use, and to other classical surface treatment process, this process provides environmental (no generation of additional waste), technical (action on the coating) and energetical (efficiency) benefits. However, the physical phenomena involved in the jet are still poorly understood at present. To understand and model these phenomena, numerical analysis is presented. This analysis is part of a study strategy that aims at gradually increasing the complexity of modeling. A first model aims at describing the evolution of the fluid in time and space, assuming a compressible axisymmetric viscous flow. In this model, the fluid is assumed perfect. A direct extension of this model is then presented where real fluid effects are taken into account in the compressible flow. These models are implemented in finite volume CFD code. Test cases are studied to validate the numerical models. A study of industrial-type configurations, representative of the conditions of use of the process of surface treatment by nitrogen is then conducted

On considère l'équation de convection--diffusion--réaction instationnaire. On s'intéresse à la dérivation d'estimations d'erreur a posteriori pour la discrétisation de cette équation par la méthode des volumes finis centrés par mailles en espace et un schéma d'Euler implicite en temps. Les estimations, qui sont établies dans la norme d'énergie, bornent l'erreur entre la solution exacte et une solution post-traitée à l'aide de reconstructions $Hdiv$-conformes du flux diffusif et du flux convectif, et d'une reconstruction $H^1_0(Omega)$-conforme du potentiel. On propose un algorithme adaptatif qui permet d'atteindre une précision relative fixée par l'utilisateur en raffinant les maillages adaptativement et en équilibrant les contributions en espace et en temps de l'erreur. On présente également des essais numériques. Enfin, on dérive une estimation d'erreur a posteriori dans la norme d'énergie augmentée d'une norme duale de la dérivée en temps et de la partie antisymétrique de l'opérateur différentiel. Cette nouvelle estimation est robuste dans des régimes dominés par la convection et des bornes inférieures locales en temps et globales en espace sont également obtenues / We consider the time-dependent convection--diffusion--reaction equation. We derive a posteriori error estimates for the discretization of this equation by the cell-centered finite volume scheme in space and a backward Euler scheme in time. The estimates are established in the energy norm and they bound the error between the exact solution and a locally post processed approximate solution, based on $Hdiv$-conforming diffusive and convective flux reconstructions, as well as an $H^1_0(Omega)$-conforming potential reconstruction. We propose an adaptive algorithm which ensures the control of the total error with respect to a user-defined relative precision by refining the meshes adaptively while equilibrating the time and space contributions to the error. We also present numerical experiments. Finally, we derive another a posteriori error estimate in the energy norm augmented by a dual norm of the time derivative and the skew symmetric part of the differential operator. The new estimate is robust in convective-dominated regimes and local-in-time and global-in-space lower bounds are also derived

Dans cette thèse on s'est intéressé à l'étude de problèmes concernant la théorie des écoulements compressibles. Dans une première partie on a traité le problème de transport instationnaire avec un champ de vitesse peu régulier, on a établi un résultat d'existence en passant à la limite sur des schémas numériques volumes finis avec un choix décentré amont qui garantie la positivité de la masse volumique. Pour le problème de Stokes, le résultat est démontré par deux approches : une approche par schéma numérique et une approche par régularité visqueuse.Dans la première méthode on propose une discrétisation qui combine la méthode des éléments finis et la méthode des volumes finis qui repose sur les espaces Crouzeix-Raviart. Une première difficulté de ce travail est de démontrer les estimations sur la solution discrète, en particulier à cause de la présence de la gravité dans le terme source de l'équation de quantité de mouvement. Le fait de considérer une loi d'état très générale conduit des difficultés supplémentaires en particulier dans le passage à la limite sur cette équation.Dans la deuxième méthode, le résultat d'existence est démontré en utilisant une approximation par viscosité. Ceci consiste essentiellement en deux parties : l'étude du problème de convection diffusion (qui apparait dans le problème régularisé) où on démontre l'existence et l'unicité de solution et en deuxième partie le passage à la limite sur le problème régularisé. / This thesis is concerned with the study of problems relating in the theory of compressible flows . We prove the existence of the considered problems in a first part by passing to the limit on the numerical schemes proposed for the discretisation of these problems. In the second part, the existence result is obtained by passing to the limit on the approximate solutions given by a corresponding regularized problem.The main result is to prove the existence of a solution of the stationnary compressible Stokes problem with a general equation of state.We first prove this result by passing to the limit on the numerical scheme as the mesh size tends to zero. The fact to consider a general E.O.S induces some additional difficulties in particular to get estimates on the discrete solution (which comes also from the presence of the gravity in the momentum equation) and in the passage to the limit on the E.O.S.We also prove the existence result by passing to the limit on a regularized problem. We first treat the convection-diffusion problem (which appears in the regularized problem), we give an existence and uniqueness result, and we then prove estimates on the approwimate solutions and pass to the limit on the regularized problem.