Cette thèse s'intéresse à la conception de méthodes de discrétisation non-conforme pour un modèle de poromécanique. Le but de ce travail est de simplifier les couplages liant la géomécanique d'un milieu poreux à l'écoulement polyphasique compositionnel ayant cours en son sein tels qu'ils sont réalisés actuellement dans l'industrie pétrolière, en discrétisant sur un même maillage, typiquement non-conforme car à l'image de la lithologie, la mécanique et l'écoulement. La nouveauté consiste donc à traiter la mécanique par une méthode d'approximation non-conforme sur maillages généraux. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur un modèle d'élasticité linéaire. Les difficultés inhérentes à son approximation non-conforme sont son manque de coercivité (se traduisant par la nécessité de satisfaire une inégalité de Korn sur un espace discret discontinu), ainsi que le phénomène de verrouillage numérique lorsque le matériau tend à devenir incompressible. Dans une première partie, nous construisons un espace d'approximation sur maillages généraux, s'apparentant à une extension de l'espace de Crouzeix-Raviart. Nous explicitons ses propriétés d'approximation et de conformité, et montrons que ce dernier est adapté à une discrétisation primale coercive et robuste au locking du modèle d'élasticité sur maillages généraux. La méthode proposée est moins coûteuse que son équivalent éléments finis (en termes de propriétés) P2. Nous nous intéressons dans une deuxième partie à l'approximation non-conforme d'un modèle couplé de poroélasticité. Nous étudions la convergence d'une famille de schémas numériques dont la discrétisation en espace utilise le formalisme des schémas Gradient, auquel appartient la méthode développée pour la mécanique. Nous prouvons la convergence de telles approximations vers la solution de régularité minimale du problème continu, indépendamment des paramètres physiques du système / This manuscript focuses on the conception of nonconforming discretization methods for a poromechanical model. The aim of this work is to ease the coupling between the geomechanics and the multiphase compositional Darcy flow in porous media by discretizing mechanics and flow on the same mesh, typically nonconforming as it represents the lithology. Hence, the novelty hinges on a nonconforming treatment of mechanics on general meshes. In this work, we focus on a linear elasticity model. The nonconforming approximation of such a model is not straightforward owing to its lack of coercivity (meaning that a discrete Korn's inequality must hold on a discontinuous discrete space) and to the numerical locking phenomenon occurring as the material becomes incompressible. In a first part, we design an approximation space on general meshes, which can be viewed as an extension of the so-called Crouzeix-Raviart space. We study its approximation and conformity properties, and prove that this latter is well-adapted to the design of a primal, coercive, and locking-free discretization of the elasticity model on general meshes. The proposed method is less costly than its finite element equivalent (in terms of properties) P2. In a second part, we tackle the nonconforming approximation of a coupled poroelasticity model. We study the convergence of a family of numerical schemes whose space discretization relies on the Gradient schemes framework, to which belongs the method developed for mechanics. We prove the convergence of such approximations toward the minimal regularity solution of the continuous problem, and independently of the choice of physical parameters

Dans cette thèse, nous avons étudié la simulation numérique des phénomènes d'interaction fluide-structure entre un fluide compressible et une structure déformable. En particulier, nous nous sommes intéressés au couplage par une approche partitionnée entre une méthode de Volumes Finis pour résoudre les équations de la mécanique des fluides compressibles et une méthode d'Eléments discrets pour le solide, capable de prendre en compte la fissuration. La revue des méthodes existantes de domaines fictifs ainsi que des algorithmes partitionnés couramment utilisés pour le couplage conduit à choisir une méthode de frontières immergées conservative et un schéma de couplage explicite. Il est établi que la méthode d'Eléments Discrets utilisée permet de retrouver le comportement macroscopique du matériau et que le schéma symplectique employé assure la préservation de l'énergie du solide. Puis nous avons développé un algorithme de couplage explicite entre un fluide compressible non-visqueux et un solide indéformable. Nous avons montré des propriétés de conservation exacte de masse, de quantité de mouvement et d'énergie du système ainsi que de consistance du schéma de couplage. Cet algorithme a été étendu au couplage avec un solide déformable, sous la forme d'un schéma semi-implicite. Cette méthode a été appliquée à l'étude de problèmes d'écoulements non-visqueux autour de structures mobiles : les comparaisons avec des résultats numériques et expérimentaux existants démontrent la très bonne précision de notre méthode / This work aims at the numerical simulation of compressible fluid/deformable structure interactions. In particular, we have developed a partitioned coupling algorithm between a Finite Volume method for the compressible fluid and a Discrete Element method capable of taking into account fractures in the solid. A survey of existing fictitious domain methods and partitioned algorithms has led to choose an Embedded Boundary method and an explicit coupling scheme. We first showed that the Discrete Element method used for the solid yielded the correct macroscopic behaviour and that the symplectic time-integration scheme ensured the preservation of energy. We then developed an explicit coupling algorithm between a compressible inviscid fluid and an undeformable solid. Mass, momentum and energy conservation and consistency properties were proved for the coupling scheme. The algorithm was then extended to the coupling with a deformable solid, in the form of a semi-implicit scheme. Finally, we applied this method to unsteady inviscid flows around moving structures: comparisons with existing numerical and experimental results demonstrate the excellent accuracy of our method

L’élimination des inclusions indésirables par flottation en cuve agitée est un procédé largement utilisé dans l’industrie de l’aluminium. Ce procédé consiste en l’injection de gaz au sein de la cuve par le biais d’un rotor ; les bulles ainsi formées captent, lors de leur ascension dans le métal liquide, les inclusions et les drainent en surface où elles sont éliminées mécaniquement.Dans le but de prédire l’évolution numérale de la population d’inclusions dans la cuve de flottation au cours du temps, un modèle 2D a été développé. Afin de rendre compte du transport convectif des inclusions au sein de l’écoulement diphasique métal liquide – bulles, des phénomènes de décantation, d’agglomération et de flottation, ce modèle couple la Mécanique des Fluides Numérique et la technique des Bilans de Population. Une attention particulière a été portée aux modèles d’agglomération et de flottation pour qu’ils soient applicables sur une grande plage de conditions de turbulence.Les simulations numériques réalisées, nous ont notamment permis de mettre en évidence l’importance de veiller à une bonne répartition des bulles dans la cuve, en particulier dans les zones de forte turbulence. En parallèle de ce travail de modélisation, une analyse de la littérature et des travaux expérimentaux sur métal liquide ont été réalisés, afin de mieux comprendre le rôle du chlore dans le procédé de flottation. Un effet de seuil a ainsi pu être mis en évidence : une certaine quantité de chlore injectée dans le métal est nécessaire pour que la flottation devienne efficace. La compréhension du rôle du chlore reste cependant partielle, mais des pistes de recherche prometteuses ont put être identifiées / Inclusions removal by flotation in mechanically agitated vessels is widely used in liquid aluminium treatments. This process consists of gas injection in a molten aluminium reactor using an impeller. Inclusions are attached to the bubbles while rising into the liquid bulk and released in the froth at the vessel surface.With the aim of both a better understanding of the physical processes acting during flotation and the optimization of the refining process, a 2D mathematical modelling of the flotation tank was set up. Transport phenomena, sedimentation, agglomeration and flotation of inclusions were considered here. The model couples Population Balance with convective transport of the inclusions, in the multiphase flow field. Simulations showed that a good dispersion of the bubbles into the tank, especially in the high turbulence zones, is essential for an efficient process. This situation was achieved with a strong agitation. Gas flow affected the process efficiency weakly.Theoretical and experimental studies on chlorine effects were done. It was noticed that a critical amount of chlorine into the melt is required for the flotation to be efficient. Complete understanding of chlorine role is not achieved yet, but promising ideas for future research have been exhibited

La simulation numérique est largement utilisée pour évaluer les performances aérodynamiques des aéronefs ainsi qu'en optimisation de forme. Ainsi l'objectif de ces simulations est souvent le calcul de fonctions aérodynamiques. L'objet de cette thèse est d'étudier des méthodes d'adaptation de maillages basées sur la dérivée totale de ces fonctions par rapport aux coordonnées du maillage (notée dJ/dX). Celle-ci pouvant être calculée par la méthode adjointe discrète. La première partie de cette étude concerne l'application de méthodes d'adaptation de maillages appliquées à des écoulements de fluides parfaits. Le senseur qui détecte les zones de maillage à raffiner s'appuie sur la norme de cette dérivée pour adapter des maillages pour le calcul d'une fonction J. La seconde partie du travail est la construction et l'étude de critères plus fiables basés sur dJ/dX pour d'une part adapter des maillages et d'autre part estimer si un maillage est bien adapté ou non pour le calcul de la fonction J. De plus une méthode de remaillage plus efficace basée sur une EDP elliptique est aussi présentée. Cette nouvelle méthode est appliquée pour des écoulements bidimensionnels de fluides parfaits ainsi que pour un écoulement décrit par les équations RANS. La dernière partie de l'étude est consacrée à l'application de la méthode proposée à des cas tridimensionnels d'écoulement RANS sur des géométries d'intérêt industriel. / Numerical simulation is widely used for the assessment of aircraft aerodynamic performances and shape optimizations. Hence the objective of these simulations is often to compute aerodynamic outputs. The purpose of this thesis is to study mesh adaptation methods based on the total derivative of the outputs with respect to mesh coordinates (denoted dJ/dX). This derivative can be computed using the discrete adjoint method. The first part of this study is about the application of mesh adaptation methods applied for Eulerian flows. The mesh locations to refine are detected using a sensor based on the norm of the derivative dJ/dX. This study confirmed that this derivative is relevant in order to adapt a mesh for the computation of the output J. The second part of this work is the construction and the study of reliable criteria based on dJ/dX for both mesh adaptation and the quality assessment of a given mesh for the computation of the output J. Moreover a more efficient remeshing method based on an elliptic PDE is presented too. This new method is applied for both two-dimensional Eulerian flows and a flow described by the RANS equations. The last part of the study is devoted to the application of the proposed method to three-dimensional RANS flows on geometries of industrial interest.

Ce travail est consacré au développement de schémas numériques pour approcher les solutions de modèles d'écoulement type “depth averaged”. Dans un premier temps, nous détaillons la construction d'approches Volumes Finis pour le système Shallow Water avec termes sources sur maillages non structurés. En se basant sur une reformulation appropriée des équations, nous mettons en place un schéma équilibré et préservant la positivité de la hauteur d'eau, et suggérons des extensions MUSCL adaptées. La méthode est capable de gérer des topographies irrégulières et exhibe de fortes propriétés de stabilité. L'inclusion des termes de friction fait l'objet d'une analyse poussée, aboutissant à l'établissement d'une propriété type “Asymptotic Preserving” à travers l'amélioration d'un autre récent schéma Volumes Finis. La seconde composante de cette étude concerne les méthodes Elements Finis type Galerkin discontinu. Certaines des idées avancées dans le contexte Volumes Finis sont employées pour aborder le système Shallow Water surmaillages triangulaires. Des résultats numériques sont exposés et la méthode se révèle bien adaptée à la description d'une large variété d'écoulements. Partant de ces observations nous proposons finalement d'exploiter ces caractéristiques pour étendre l'approche à une nouvelle famille d'équations type Green-Nadghi. Des validations numériques sont également proposées pour valider le modèle numérique. / This work is devoted to the development of numerical schemes to approximatesolutions of depth averaged flow models. We first detail the construction of Finite Volume approaches for the Shallow Water system with source terms on unstructured meshes. Based on a suitable reformulation of the equations, we implement a well-balanced and positive preserving approach, and suggest adapted MUSCL extensions. The method is shown to handle irregular topography variations and demonstrates strong stabilities properties. The inclusion of friction terms is subject to a thorough analysis, leading to the establishment of some Asymptotic Preserving property through the enhancement of another recent Finite Volume scheme.The second aspect of this study concerns discontinuous Galerkin Finite Elementmethods. Some of the ideas advanced in the Finite Volume context areemployed to broach the Shallow Water system on triangular meshes. Numericalresults are exposed and the method turns out to be well suited to describe a large variety of flows. On these observations we finally propose to exploit its features to extend the approach to a new family of Green-Nadghi equations. Numerical experiments are also proposed to validate this numerical model.

Cette thèse est centrée autour du développement et de l'analyse des schémas volumes finis robustes afin d'approcher les solutions du modèle diphasique compressible en milieux poreux hétérogènes et anisotropes. Le modèle à deux phases compressibles comprend deux équations paraboliques dégénérées et couplées dont les variables principales sont la saturation du gaz et la pression globale. Ce système est discrétisé à l'aide de deux méthodes différentes (CVFE et DDFV) qui font partie de la famille des volumes finis. La première classe à laquelle on s'intéresse consiste à combiner la méthode des volumes finis et celle des éléments finis. Dans un premier temps, on considère un schéma volume finis upwind pour la partie convective et un schéma de type éléments finis conformes pour la diffusion capillaire. Sous l'hypothèse que les coefficients de transmissibilités sont positifs, on montre que la saturation vérifie le principe du maximum et on établit des estimations d'énergies permettant de démontrer la convergence du schéma. Dans un second temps, on a mis en place un schéma positif qui corrige le précédent. Ce schéma est basé sur une approximation des flux diffusifs par le schéma de Godunov. L'avantage est d'établir la bornitude des solutions approchées ainsi que les estimations uniformes sur les gradients discrets sans aucune contrainte ni sur le maillage ni sur la perméabilité. En utilisant des arguments classiques de compacité, on prouve rigoureusement la converge du schéma. Chaque schéma est validé par des simulations numériques qui montrent bien le comportement attendu d'une telle solution. Concernant la deuxième classe, on s'intéressera tout d'abord à la construction et à l'étude d'un nouveau schéma de type DDFV (Discrete Duality Finite Volume) pour une équation de diffusion non linéaire dégénérée. Cette méthode permet d' avantage de prendre en compte des maillages très généraux et des perméabilités quelconques. L'idée clé de cette discrétisation est d'approcher les flux dans la direction normale par un schéma centré et d'utiliser un schéma décentré dans la direction tangentielle. Par conséquent, on démontre que la solution approchée respecte les bornes physiques et on établit aussi des estimations d'énergie. La convergence du schéma est également établie. Des résultats numériques confirment bien ceux de la théorie. Ils exhibent en outre que la méthode est presque d'ordre deux. / The objective of this thesis is the development and the analysis of robust and consistent numerical schemes for the approximation of compressible two-phase flow models in anisotropic and heterogeneous porous media. A particular emphasis is set on the anisotropy together with the geometric complexity of the medium. The mathematical problem is given in a system of two degenerate and coupled parabolic equations whose main variables are the nonwetting saturation and the global pressure. In view of the difficulties manifested in the considered system, its cornerstone equations are approximated with two different classes of the finite volume family. The first class consists of combining finite elements and finite volumes. Based on standard assumptions on the space discretization and on the permeability tensor, a rigorous convergence analysis of the scheme is carried out thanks to classical arguments. To dispense with the underlined assumptions on the anisotropy ratio and on the mesh, the model has to be first formulated in the factional flux formulation. Moreover, the diffusive term is discretized by a Godunov-like scheme while the convective fluxes are approximated using an upwind technique. The resulting scheme preserves the physical ranges of the computed solution and satisfies the coercivity property. Hence, the convergence investigation holds. Numerical results show a satisfactory qualitative behavior of the scheme even if the medium of interest is anisotropic. The second class allows to consider more general meshes and tensors. It is about a new positive nonlinear discrete duality finite volume method. The main point is to approximate a part of the fluxes using a non standard technique. The application of this ideato a nonlinear diffusion equation yields surprising results. Indeed,not only is the discrete maximum property fulfilled but also the convergence of the scheme is established. Practically, the proposed method shows great promises since it provides a positivity-preserving and convergent scheme with optimal convergence rates.

Ce manuscrit présente des contributions aux méthodes de propagation et d’analyse d’incertitude pour des applications en Mécanique des Fluides Numérique. Dans un premier temps, deux schémas numériques innovantes sont présentées: une approche de type ”Collocation”, et une autre qui est basée sur une représentation de type ”Volumes Finis” dans l’espace stochastique. Dans les deux, l’élément clé est donné par l’introduction d’une représentation de type ”Multirésolution” dans l’espace stochastique. L’objectif est à la fois de réduire le nombre de dimensions et d’appliquer un algorithme d’adaptation de maillage qui puisse être utilisé dans l’espace couplé physique/stochastique pour des problèmes non-stationnaires. Pour finir, une stratégie d’optimisation robuste est proposée, qui est basée sur une analyse de décompositionde la variance et des moments statistiques d’ordre plus élevé. Dans ce cas, l’objectif est de traiter des problèmes avec un grand nombre d’incertitudes. / In this manuscript, three main contributions are illustrated concerning the propagation and the analysis of uncertainty for computational fluid dynamics (CFD) applications. First, two novel numerical schemes are proposed : one based on a collocation approach, and the other one based on a finite volume like representation in the stochastic space. In both the approaches, the key element is the introduction of anon-linear multiresolution representation in the stochastic space. The aim is twofold : reducing the dimensionality of the discrete solution and applying a time-dependent refinement/coarsening procedure in the combined physical/stochastic space. Finally, an innovative strategy, based on variance-based analysis, is proposed for handling problems with a moderate large number of uncertainties in the context of the robust design optimization. Aiming to make more robust this novel optimization strategies, the common ANOVA-like approach is also extended to high-order central moments (up to fourth order). The new approach is more robust, with respect to the original variance-based one, since the analysis relies on new sensitivity indexes associated to a more complete statistic description.

Ce sujet concerne un travail pluridisciplinaire mathématique et astrophysique. Le but de cette thèse est l'étude des modèles d'hydrodynamique radiative dont l'application est bien évidemment très vaste en physique et astrophysique. Les modèles M1-multigroupes sont explorés pour décrire le transfert radiatif sans faire à priori d'hypothèse sur la profondeur optique du milieu. L'intérêt qui découle directement de ce travail est le développement du code d'hydrodynamique radiative HADES 2D permettant le calcul massivement parallèle. Il autorise des simulations dans des configurations astrophysiques réalistes en termes de nombre de Mach et de contraste de densité et de température entre les différents milieux. Nous nous sommes concentrés sur deux applications intéressantes : les jets d'étoiles jeunes et les chocs radiatifs dont les premières simulations seront présentées. / This topic is a multidisciplinary work between mathematics and astrophysics. The aim of this thesis is the study of radiation hydrodynamic models of which application is obviously very broad in physics and astrophysics. M1-multigroup models are explored to describe the radiative transfer without a priori assumption on the optical depth of the medium. The interest ensuing directly from this work is the development of a radiation hydrodynamic code, namely HADES 2D, for massively parallel computing. It allows simulations in realistic astrophysical configurations in terms of Mach number, density and temperature contrasts between different environments. We focused on two interesting applications: the jets from young stars and the radiative shocks of which first simulations will be presented.

Dans cette thèse on s’intéresse à la simulation numérique d’écoulements des matériaux compressibles, voir fluides et solides élastiques. Les matériaux considérés sont décrits avec un modèle monolithique eulérian, fermé avec une loi d’état hyperélastique qui considère les différents comportements des matériaux. On propose un nouveau schéma de relaxation qui résout les écoulements compressibles dans des différents régimes, avec des nombres de Mach très petits jusqu’à l’ordre 1. Le schéma a une formulation générale qui est la même pour tous le matériaux considérés, parce que il ne dépend pas directement de la loi d’état. Il se base sur une discrétisation complétement implicite, facile à implémenter grâce à la linéarité de l’opérateur de transport du système de relaxation. La discrétisation en espace est donnée par la combinaison de flux upwind et centrés, pour retrouver la correcte viscosité numérique dans les différents régimes. L’utilisation de mailles cartésiennes pour les cas 2D s’adapte bien à une parallélisation massive, qui permet de réduire drastiquement le temps de calcul. De plus, le schéma a été adapté pour la résolution sur des mailles quadtree, pour implémenter l’adaptativité de la maille avec des critères entropiques. La dernière partie de la thèse concerne la simulation numérique d’écoulements multi-matériaux. On a proposé une nouvelle méthode d’interface “sharp”, en dérivant les conditions d’équilibre en implicite. L’objectif est la résolution d’interfaces physiques dans des régimes faiblement compressibles et avec un nombre de Mach faible, donc les conditions multi-matériaux sont couplées au schéma implicite de relaxation. / In this thesis we are concerned with the numerical simulation of compressible materials flows, including gases, liquids and elastic solids. These materials are described by a monolithic Eulerian model of conservation laws, closed by an hyperelastic state law that includes the different behaviours of the considered materials. A novel implicit relaxation scheme to solve compressible flows at all speeds is proposed, with Mach numbers ranging from very small to the order of unity. The scheme is general and has the same formulation for all the considered materials, since a direct dependence on the state law is avoided via the relaxation. It is based on a fully implicit time discretization, easily implemented thanks to the linearity of the transport operator in the relaxation system. The spatial discretization is obtained by a combination of upwind and centered schemes in order to recover the correct numerical viscosity in different Mach regimes. The scheme is validated with one and two dimensional simulations of fluid flows and of deformations of compressible solids. We exploit the domain discretization through Cartesian grids, allowing for massively parallel computations (HPC) that drastically reduce the computational times on 2D test cases. Moreover, the scheme is adapted to the resolution on adaptive grids based on quadtrees, implementing adaptive mesh refinement techinques. The last part of the thesis is devoted to the numerical simulation of heterogeneous multi-material flows. A novel sharp interface method is proposed, with the derivation of implicit equilibrium conditions. The aim of the implicit framework is the solution of weakly compressible and low Mach flows, thus the proposed multi-material conditions are coupled with the implicit relaxation scheme that is solved in the bulk of the flow.

Les travaux de recherche présentés dans ce manuscrit concernent l'application des méthodes multi-niveaux pour la simulation numérique des écoulements incompressibles turbulents dans le cadre d'une approximation Volumes Finis avec placement des inconnues sur grilles décalées (Harlow et Welch), ainsi que le développement d'une nouvelle méthode de type frontière immergée sur maillage cartésien pour la simulation numérique d'écoulements autour d'obstacles. Les écoulements considérés dans cette étude sont bidimensionnels.