La modélisation numérique des décharges plasma joue un rôle important dans la compréhension des mécanismes physiques ou chimiques ayant lieu dans les dispositifs assistés par plasma. Une grande partie de ces mécanismes est déjà prise en compte dans les codes actuels. En revanche, beaucoup d'entre eux ne permettent pas de travailler avec des géométries complexes. Cette limitation provient essentiellement de l'utilisation de maillages structurés, cartésiens. Ceux-ci ne sont pas bien adaptés aux géométries courbes. Les calculs en maillages structurés deviennent rapidement compliqués et spécifiques à une géométrie donnée. Notre travail concerne la modélisation de décharge pour un réacteur de traitement à la pression atmosphérique développé par Dow Corning. Sa configuration complexe ainsi que ses grandes dimensions nous ont incités à faire un nouveau code fonctionnant en maillages non structurés. Celui-ci doit être capable de s'adapter à la présence d'une pointe, d'arrondis et de multiples diélectriques mais aussi permettre le passage rapide à de nouvelles géométries. De plus ses grandes dimensions nécessitent l'utilisation de maillages raffinés uniquement aux endroits nécessaires (pointe, surfaces des diélectriques...). Le modèle mathématique utilisé est basé sur l'équation de Poisson couplée aux équations de transport de type dérive-diffusion. Plusieurs discrétisations numériques ont été testées dans des configurations physiques différentes. Nous présentons et validons les méthodes numériques choisies. Les résultats obtenus pour le réacteur Dow Corning sont alors exposés et commentés.

En premier lieu, nous proposons, étudions et optimisons différentes politiques de maintenance pour des systèmes réparables à dégradation markovienne ou semi-markovienne, dont les durées de réparation suivent des lois générales. <br /> Nous nous intéressons ensuite au remplacement préventif de composants devenus obsolescents, du fait de l'apparition de nouveaux composants plus performants. Le problème est ici de déterminer la stratégie optimale de remplacement des anciens composants par les nouveaux. Les résultats obtenus conduisent à des stratégies très différentes selon que les composants ont des taux de panne constants ou non.<br /> Les travaux suivants sont consacrés à l'évaluation numérique de différentes quantités fiabilistes, les unes liées à des sommes de variables aléatoires indépendantes, du type fonction de renouvellement par exemple, les autres liées à des systèmes markoviens ou semi-markoviens. Pour chacune de ces quantités, nous proposons des bornes simples et aisément calculables, dont la précision peut être ajustée en fonction d'un pas de temps. La convergence des bornes est par ailleurs démontrée, et des algorithmes de calcul proposés.<br /> Nous nous intéressons ensuite à des systèmes hybrides, issus de la fiabilité dynamique, dont l'évolution est modélisée à l'aide d'un processus de Markov déterministe par morceaux (PDMP). Pour de tels systèmes, les quantités fiabilistes usuelles ne sont généralement pas atteignables analytiquement et doivent être calculées numériquement. Ces quantités s'exprimant à l'aide des lois marginales du PDMP (les lois à t fixé), nous nous attachons plus spécifiquement à leur évaluation. Pour ce faire, nous commençons par les caractériser comme unique solution d'un système d'équations intégro-différentielles. Puis, partant de ces équations, nous proposons deux schémas de type volumes finis pour les évaluer, l'un explicite, l'autre implicite, dont nous démontrons la convergence. Nous étudions ensuite un cas-test issu de l'industrie gazière, que nous modélisons à l'aide d'un PDMP, et pour lequel nous calculons différentes quantités fiabilistes, d'une part par méthodes de volumes finis, d'autre part par simulations de Monte-Carlo. Nous nous intéressons aussi à des études de sensibilité : les caractéristiques d'un PDMP sont supposées dépendre d'une famille de paramètres et le problème est de comparer l'influence qu'ont ces différents paramètres sur un critère donné, à horizon fini ou infini. Cette étude est faite au travers des dérivées du critère d'étude par rapport aux paramètres, dont nous démontrons l'existence et que nous calculons.<br /> Enfin, nous présentons rapidement les travaux effectués par Margot Desgrouas lors de sa thèse consacrée au comportement asymptotique des PDMP, et nous donnons un aperçu de quelques travaux en cours et autres projets.

Cette thèse est consacrée à l'étude de méthodes numériques pour la simulation des écoulements polyphasiques en milieu poreux, en vue de leur application à des problèmes d'ingénierie pétrolière ou environnementale. Nous présentons une formulation générique du modèle d'écoulements à nombre quelconque de composants présents dans un nombre quelconque de phases. Dans notre approche l'approximation des flux diffusifs (issus, par exemple, de la loi de Darcy) s'appuie sur de nouveaux schémas, appelés schémas gradient, qui ont plusieurs avantages sur les schémas industriels standard : ces derniers, qui sont des schémas volumes finis multi-points centrés aux mailles, ne sont généralement pas symétriques et convergent difficilement sur des cas à forts rapports d'anisotropie. Nous montrons en revanche que les schémas gradient conduisent naturellement à des approximations symétriques et convergentes. Parmi cette classe de schémas, nous étudions plus particulièrement le schéma "VAG" qui fait intervenir des inconnues au centre des mailles et aux sommets du maillage. Ce schéma conduit à la définition de flux entre le centre d'une maille et ses sommets, qui sont utilisés pour généraliser la méthode "VAG" au contexte polyphasique. Des tests numériques montrent alors que ce schéma est robuste, et conduit à un très bon compromis précision/coût, ce qui en fait un candidat idoine pour les applications industrielles. Nous présentons notamment un cas test, basé sur des observations de terrains, d'injection et de dissolution de CO2 dans la région proche d'un puits foré dans un aquifère salin. Nous montrons alors que le schéma numérique permet de simuler l'assèchement et la précipitation de minéral observée en pratique. Un chapitre de la thèse est enfin consacré à l'étude pratique et théorique d'une méthode numérique générique pour contrôler l'effet d'axe lors de l'utilisation de schémas industriels

Cette thèse est dédiée au développement et à l'analyse de schémas numériques de type volumes finis pour des équations de convection-diffusion, qui apparaissent notamment dans des modèles issus de la physique ou de la biologie. Nous nous intéressons plus particulièrement à la préservation de comportements asymptotiques au niveau discret. Ce travail s'articule en trois parties, composées chacune de deux chapitres. Dans la première partie, nous considérons la discrétisation du système de dérive diffusion linéaire pour les semi-conducteurs par le schéma de Scharfetter-Gummel implicite en temps. Nous nous intéressons à la préservation par ce schéma de deux types d'asymptotiques : l'asymptotique en temps long et la limite quasi-neutre. Nous démontrons des estimations d'énergie-dissipation d'énergie discrètes qui permettent de prouver d'une part la convergence en temps long de la solution approchée vers une approximation de l'équilibre thermique, d'autre part la stabilité à la limite quasi-neutre du schéma. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à des schémas volumes finis préservant l'asymptotique en temps long dans un cadre plus général. Plus précisément, nous considérons des équations de type convection-diffusion non linéaires qui apparaissent dans plusieurs contextes physiques : équations des milieux poreux, système de dérive-diffusion pour les semi-conducteurs... Nous proposons deux discrétisations en espace permettant de préserver le comportement en temps long des solutions approchées. Dans un premier temps, nous étendons la définition du flux de Scharfetter-Gummel pour une diffusion non linéaire. Ce schéma fournit des résultats numériques satisfaisants si la diffusion ne dégénère pas. Dans un second temps, nous proposons une discrétisation dans laquelle nous prenons en compte ensemble les termes de convection et de diffusion, en réécrivant le flux sous la forme d'un flux d'advection. Le flux numérique est défini de telle sorte que les états d'équilibre soient préservés, et nous utilisons une méthode de limiteurs de pente pour obtenir un schéma précis à l'ordre deux en espace, même dans le cas dégénéré. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à l'étude d'un schéma numérique pour un modèle de chimiotactisme avec diffusion croisée pour lequel les solutions n'explosent pas en temps fini, quelles que soient les données initiales. L'étude de la convergence du schéma repose sur une estimation d'entropie discrète nécessitant l'utilisation de versions discrètes d'inégalités fonctionnelles telles que les inégalités de Poincaré-Sobolev et de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. La démonstration de ces inégalités fait l'objet d'un chapitre indépendant dans lequel nous proposons leur étude dans un contexte assez général, incluant notamment le cas de conditions aux limites mixtes et une généralisation au cadre des schémas DDFV.

Le comportement des matériaux multiphasiques couvre une multitude de phénomènes qui suscitent un grand intérêt dans le domaine scientifique et professionnel. Les propriétés mécaniques de ces types de matériau trouvent leur origine dans les phases dont ils sont composés, leur distribution et interaction. Un nouveau modèle hydrodynamique couplé est présenté dans ce travail de thèse, à appliquer à l'analyse de l'hydrodynamique des milieux granulaires saturés. Le modèle associe la méthode des éléments discrets (DEM) pour la modélisation de la phase solide, avec une formulation en volumes finis, à l'échelle des pores (PFV), du problème de l'écoulement. Une importance particulière est donné à la description de l'interaction entre les phases, avec la détermination des forces fluides à appliquer sur chacune des particule, tout en assurant un coût de calcul abordable, qui permet la modélisation de plusieurs milliers des particules en trois dimensions. Le milieux est considéré saturé par un fluide incompressible. Les pores et leur connectivité est basée sur une triangulation régulière des assemblages. L'analogie de cette formulation avec la théorie classique de Biot est présenté. Le modèle est validé par la comparaison des résultats numériques obtenus pour un problème de consolidation d'un sol granulaire avec la solution analytique de Terzaghi. Une approche pour analyser l'hydrodynamique d'un sédiment granulaire est finalement présenté. La reproduction du phénomène de liquéfaction d'un sol est également présentée.

La prévention des risques industriels nécessite de simuler la dispersion turbulente de polluants. Cependant, les outils majoritairement utilisés à ce jour ne permettent pas de traiter les champs proches dans le cas de géométries complexes, et il est nécessaire d'utiliser les outils de CFD (" Computational Fluid Dynamics ") plus adaptés, mais plus coûteux. Afin de simuler les écoulements atmosphériques avec dispersion de polluants, les modèles CFD doivent modéliser correctement d'une part, les effets de flottabilité, et d'autre part les effets de la turbulence. Plusieurs approches existent, notamment dans la prise en compte des effets de flottabilité et la modélisation de la turbulence, et nécessitent des méthodes numériques adaptées aux spécificités mathématiques de chacune d'entre elles, ainsi que des schémas numériques précis pour ne pas polluer la modélisation. Une formulation d'ordre élevé en volumes finis, sur maillages non structurés, parallélisée, est proposée pour simuler les écoulements atmosphériques avec dispersion de polluants. L'utilisation de schémas d'ordre élevé doit permettre d'une part de réduire le nombre de cellules et diminuer les temps de simulation pour atteindre une précision donnée, et d'autre part de mieux contrôler la viscosité numérique des schémas en vue de simulations LES (Large Eddy Simulation), pour lesquelles la viscosité numérique des schémas peut masquer les effets de la modélisation. Deux schémas d'ordre élevé ont été étudiés et implémentés dans un solveur 3D Navier Stokes incompressible sur des maillages volumes finis non structurés. Nous avons développé un premier schéma d'ordre élevé, correspondant à un schéma Padé volumes finis, et nous avons étendu le schéma de reconstruction polynomiale de Carpentier (2000) aux écoulements incompressibles. Les propriétés numériques des différents schémas implémentés dans le même code de calcul sont étudiées sur différents cas tests bi-dimensionnels (calcul de flux convectifs et diffusifs sur une solution a-priori, convection d'une tâche gaussienne, décroissance d'un vortex de Taylor et cavité entraînée) et tri-dimensionnel (écoulement autour d'un obstacle cubique). Une attention particulière a été portée à l'étude de la précision et du traitement des conditions limites. L'implémentation proposée du schéma polynomial permet d'approcher, pour un maillage identique, les temps de simulation obtenus avec un schéma décentré classique d'ordre 2, mais avec une précision supérieure. Le schéma compact donne la meilleure précision. En utilisant une méthode de Jacobi sans calcul implicite de la matrice pour calculer le gradient, le temps de simulation devient intéressant uniquement lorsque la précision requise est importante. Une alternative est la résolution du système linéaire par une méthode multigrille algébrique. Cette méthode diminue considérablement le temps de calcul du gradient et le schéma Padé devient performant même pour des maillages grossiers. Enfin, pour réduire les temps de simulation, la parallélisation des schémas d'ordre élevé est réalisée par une décomposition en sous domaines. L'assemblage des flux s'effectue naturellement et différents solveurs proposés par les librairies PETSC et HYPRE (solveur multigrille algébrique et méthode de Krylov préconditionnée) permettent de résoudre les systèmes linéaires issus de notre problème.

Nous étudions plusieurs aspects d'équations aux dérivées partielles multi-échelles. Pour trois exemples, la présence de multiples échelles, spatiales ou temporelles, motive un travail de modélisation mathématique ou constitue un enjeu de discrétisation. La première partie est consacrée à la construction et l'étude d'un système multicouche de type Saint-Venant pour décrire un fluide à surface libre (océan). Son obtention s'appuie sur l'analyse des échelles spatiales, précisément l'hypothèse " eau peu profonde ". Nous justifions nos équations à partir du modèle primitif et montrons un résultat d'existence locale de solution. Puis nous proposons un schéma volumes finis et des simulations numériques. Nous étudions ensuite un problème hyperbolique de relaxation, inspiré de la théorie cinétique des gaz. Nous construisons un schéma numérique via une stratégie préservant l'asymptotique : nous montrons sa convergence pour toute valeur du paramètre de relaxation, ainsi que sa consistance avec le problème à l'équilibre local. Des estimations d'erreurs sont établies et des simulations numériques sont présentées. Enfin, nous étudions un problème d'écoulement sanguin dans une artère avec stent, modélisé par un système de Stokes dans un domaine contenant une petite rugosité périodique (géométrie double échelle). Pour éviter une discrétisation coûteuse du domaine rugueux (l'artère stentée), nous formulons un ansatz de développement de la solution type Chapman-Enskog, et obtenons une loi de paroi implicite sur le bord du domaine lisse (artère seule). Nous montrons des estimations d'erreurs et des simulations numériques

Dans le cadre de la conception des réacteurs, les schémas de calculs utilisant des codes de cal- culs neutroniques déterministes sont validés par rapport à un calcul stochastique de référence. Les biais résiduels sont dus aux approximations et modélisations (modèle d'autoprotection, développement en polynômes de Legendre des lois de choc) qui sont mises en oeuvre pour représenter les phénomènes physiques (absorption résonnante, anisotropie de diffusion respec- tivement). Ce document se penche sur la question de la pertinence de la modélisation de la loi de choc sur une base polynômiale tronquée. Les polynômes de Legendre sont utilisés pour représenter la section de transfert multigroupe dans les codes déterministes or ces polynômes modélisent mal la forme très piquée de ces sections, surtout dans le cadre des maillages énergétiques fins et pour les noyaux légers. Par ailleurs, cette représentation introduit aussi des valeurs négatives qui n'ont pas de sens physique. Dans ce travail, après une brève description des lois de chocs, les limites des méthodes actuelles sont démontrées. Une modélisation de la loi de choc par une fonction constante par morceaux qui pallie à ces insuffisances, a été retenue. Cette dernière nécessite une autre mod- élisation de la source de transfert, donc une modification de la méthode actuelle des ordonnées discrètes pour résoudre l'équation du transport. La méthode de volumes finis en angle a donc été développée et implantée dans l'environ- nement du solveur Sn Snatch, la plateforme Paris. Il a été vérifié que ses performances étaient similaires à la méthode collocative habituelle pour des sections représentées par des polynômes de Legendre. Par rapport à cette dernière, elle offre l'avantage de traiter les deux représenta- tions des sections de transferts multigroupes : polynômes de Legendre et fonctions constantes par morceaux. Dans le cadre des calculs des réacteurs, cette méthode mixte a été validée sur différents motifs : des cellules en réseau infini, des motifs hétérogènes et un calcul de réflecteur. Les principaux résultats sont : - un développement polynômial à l'ordre P 3 est suffisant par rapport aux biais résiduels dus aux autres modélisations (autoprotection, méthode de résolution spatiale). Cette modéli- sation est convergée au sens de l'anisotropie du choc sur les cas représentatifs des réacteurs à eau légère. - la correction de transport P 0c n'est pas adaptée, notamment sur les calculs d'absorbant B4 C. / In reactor physics, calculation schemes with deterministic codes are validated with respect to a reference Monte Carlo code. The remaining biases are attributed to the approximations and models induced by the multigroup theory (self-shielding models and expansion of the scattering law using Legendre polynomials) to represent physical phenomena (resonant absorption and scattering anisotropy respectively). This work focuses on the relevance of a polynomial expansion to model the scattering law. Since the outset of reactor physics, the latter has been expanded on a truncated Legendre polynomial basis. However, the transfer cross sections are highly anisotropic, with non-zero values for a very small range of the cosine of the scattering angle. Besides, the finer the energy mesh and the lighter the scattering nucleus, the more exacerbated is the peaked shape of this cross section. As such, the Legendre expansion is less suited to represent the scattering law. Furthermore, this model induces negative values which are non-physical. In this work, various scattering laws are briefly described and the limitations of the existing model are pointed out. Hence, piecewise-constant functions have been used to represent the multigroup scattering cross section. This representation requires a different model for the dif- fusion source. The discrete ordinates method which is widely employed to solve the transport equation has been adapted. Thus, the finite volume method for angular discretisation has been developed and imple- mented in Paris environment which hosts the Sn solver, Snatch. The angular finite volume method has been compared to the collocation method with Legendre moments to ensure its proper performance. Moreover, unlike the latter, this method is adapted for both the Legendre moments and the piecewise-constant functions representations of the scattering cross section. This hybrid-source method has been validated for different cases: fuel cell in infinite lattice, heterogeneous clusters and 1D core-reflector calculations. The main results are given below : - a P 3 expansion is sufficient to model the scattering law with respect to the biases due to the other approximations used for calculations (self-shielding, spatial resolution method). This order of expansion is converged for anisotropy representation in the modelling of light water reactors. - the transport correction, P 0c is not suited for calculations, especially for B4 C absorbant.

L’objectif de cette thèse est de répondre au besoin d’accélérer la restitution des résultats de calcul d’un code CFD pour la simulation d’écoulements hydrodynamiques quasi-incompressibles. Ce code présente l’originalité de résoudre explicitement les équations de Navier-Stokes sous l’hypothèse de faible compressibilité avec des schémas numériques d’ordre élevé. Les développements effectués visent à réduire les temps de calcul à précision équivalente.Une première partie est consacrée à l’implémentation d’une formulation purement incompressible avec une résolution implicite de la pression par un schéma de projection. La formulation incompressible autorise des pas de temps plus grand en s’affranchissant de la vitesse du son, mais au prix d’une algorithmique plus complexe et de la nécessité de résoudre un système linéaire. La comparaison des deux formulations,faiblement-compressible et incompressible, tend à montrer la pertinence du schéma de projection pour les écoulements laminaires instationnaires.Un deuxième axe de développement a consisté en la proposition d’une amélioration de la méthode de frontière immergée initialement présente dans le code.Si les résultats obtenus ne sont pas encore pleinement satisfaisants, ils montrent que la montée en ordre d’une méthode de frontière immergée peut être moins contraignante en formulation incompressible.Enfin la dernière partie traite de l’immersion rapide et robuste de géométries complexes telles qu’elles peuvent être rencontrées dans l’industrie. La localisation géométrique par arbre octal permet d’évaluer rapidement une fonction de distance signée indispensable pour la méthode de frontière immergée. / An original strategy to address hydrodynamic flow was recently proposed through a high-order weakly-compressible Cartesian grid approach. The method is based on a fully-explicit temporal scheme for solving the Navier-Stokes equations. The present thesis aims to reduce the computational time required to obtain the results without deteriorating the accuracy.A first part is dedicated to the implementation of a truly incompressible formulation with an implicit solution for the pressure field through a projection scheme. The incompressible solver allows larger time step size for time integration since the speed of sound tends to infinity. In return the algorithms are no longer straight forward and a linear system has to be solved through the Pressure Poisson Equation. Comparisons carried out between both formulations show that the projection scheme can be better adapted to efficiently simulate unsteady viscous flows. Then an improvement of the immersed boundary method has been proposed. Results are not fully satisfactory for now. However, it seems easier to develop a numerical scheme for the incompressible approach rather than the weakly-compressible one.Finally, the last part addresses the setup up of complex triangulations in immersed boundary simulations. A fast and robust procedure is developed for distance computation with an octree data structure.

Les discrétisations adaptatives sont importantes dans les problèmes de fluxcompressible/incompressible puisqu'il est souvent nécessaire de résoudre desdétails sur plusieurs niveaux, en permettant de modéliser de grandes régionsd'espace en utilisant un nombre réduit de degrés de liberté (et en réduisant letemps de calcul).Il existe une grande variété de méthodes de discrétisation adaptative, maisles grilles cartésiennes sont les plus efficaces, grâce à leurs stencilsnumériques simples et précis et à leurs performances parallèles supérieures.Et telles performance et simplicité sont généralement obtenues en appliquant unschéma de différences finies pour la résolution des problèmes, mais cetteapproche de discrétisation ne présente pas, au contraire, un chemin faciled'adaptation.Dans un schéma de volumes finis, en revanche, nous pouvons incorporer différentstypes de maillages, plus appropriées aux raffinements adaptatifs, en augmentantla complexité sur les stencils et en obtenant une plus grande flexibilité.L'opérateur de Laplace est un élément essentiel des équations de Navier-Stokes,un modèle qui gouverne les écoulements de fluides, mais il se produit égalementdans des équations différentielles qui décrivent de nombreux autres phénomènesphysiques, tels que les potentiels électriques et gravitationnels. Il s'agitdonc d'un opérateur différentiel très important, et toutes les études qui ontété effectuées sur celui-ci, prouvent sa pertinence.Dans ce travail seront présentés des approches de différences finies et devolumes finis 2D pour résoudre l'opérateur laplacien, en appliquant des patchsde grilles superposées où un niveau plus fin est nécessaire, en laissant desmaillages plus grossiers dans le reste du domaine de calcul.Ces grilles superposées auront des formes quadrilatérales génériques.Plus précisément, les sujets abordés seront les suivants:1) introduction à la méthode des différences finies, méthode des volumes finis,partitionnement des domaines, approximation de la solution;2) récapitulatif des différents types de maillages pour représenter de façondiscrète la géométrie impliquée dans un problème, avec un focussur la structure de données octree, présentant PABLO et PABLitO. Le premier estune bibliothèque externe utilisée pour gérer la création de chaque grille,l'équilibrage de charge et les communications internes, tandis que la secondeest l'API Python de cette bibliothèque, écrite ad hoc pour le projet en cours;3) la présentation de l'algorithme utilisé pour communiquer les données entreles maillages (en ignorant chacune l'existence de l'autre) en utilisant lesintercommunicateurs MPI et la clarification de l'approche monolithique appliquéeà la construction finale de la matrice pour résoudre le système, en tenantcompte des blocs diagonaux, de restriction et de prolongement;4) la présentation de certains résultats; conclusions, références.Il est important de souligner que tout est fait sous Python comme framework deprogrammation, en utilisant Cython pour l'écriture de PABLitO, MPI4Py pour lescommunications entre grilles, PETSc4py pour les parties assemblage et résolutiondu système d'inconnues, NumPy pour les objets à mémoire continue.Le choix de ce langage de programmation a été fait car Python, facile àapprendre et à comprendre, est aujourd'hui un concurrent significatif pourl'informatique numérique et l'écosystème HPC, grâce à son style épuré, sespackages, ses compilateurs et pourquoi pas ses versions optimisées pour desarchitectures spécifiques. / Adaptive discretizations are important in compressible/incompressible flow problems since it is often necessary to resolve details on multiple levels,allowing large regions of space to be modeled using a reduced number of degrees of freedom (reducing the computational time).There are a wide variety of methods for adaptively discretizing space, but Cartesian grids have often outperformed them even at high resolutions due totheir simple and accurate numerical stencils and their superior parallel performances.Such performance and simplicity are in general obtained applying afinite-difference scheme for the resolution of the problems involved, but this discretization approach does not present, by contrast, an easy adapting path.In a finite-volume scheme, instead, we can incorporate different types of grids,more suitable for adaptive refinements, increasing the complexity on thestencils and getting a greater flexibility.The Laplace operator is an essential building block of the Navier-Stokes equations, a model that governs fluid flows, but it occurs also in differential equations that describe many other physical phenomena, such as electric and gravitational potentials, and quantum mechanics. So, it is a very importantdifferential operator, and all the studies carried out on it, prove itsrelevance.In this work will be presented 2D finite-difference and finite-volume approaches to solve the Laplacian operator, applying patches of overlapping grids where amore fined level is needed, leaving coarser meshes in the rest of the computational domain.These overlapping grids will have generic quadrilateral shapes.Specifically, the topics covered will be:1) introduction to the finite difference method, finite volume method, domainpartitioning, solution approximation;2) overview of different types of meshes to represent in a discrete way thegeometry involved in a problem, with a focuson the octree data structure, presenting PABLO and PABLitO. The first one is anexternal library used to manage each single grid’s creation, load balancing and internal communications, while the second one is the Python API ofthat library written ad hoc for the current project;3) presentation of the algorithm used to communicate data between meshes (beingall of them unaware of each other’s existence) using MPI inter-communicators and clarification of the monolithic approach applied building the finalmatrix for the system to solve, taking into account diagonal, restriction and prolongation blocks;4) presentation of some results; conclusions, references.It is important to underline that everything is done under Python as programmingframework, using Cython for the writing of PABLitO, MPI4Py for the communications between grids, PETSc4py for the assembling and resolution partsof the system of unknowns, NumPy for contiguous memory buffer objects.The choice of this programming language has been made because Python, easy to learn and understand, is today a significant contender for the numerical computing and HPC ecosystem, thanks to its clean style, its packages, its compilers and, why not, its specific architecture optimized versions.