Cette thèse est dédiée à l'étude de problèmes de couplage en espace entre différents modèles d'écoulements compressibles. Nous considérons des formulations monodimensionnelles où l'interface de couplage est mince, fixe et séparant deux régions de l'espace correspondant aux deux modèles à coupler. L'objectif de notre travail consiste à définir une condition de couplage à l'interface et à résoudre numériquement le problème de couplage muni de cette condition. Après un état de l'art non exhaustif sur le couplage de systèmes hyperboliques de lois de conservation, nous proposons une nouvelle formulation de condition de couplage basée sur l'ajout d'un terme source mesure agissant exactement sur l'interface de couplage. Nous supposons, dans un premier temps, que le poids associé à ce terme source est connu et constant. Deux solveurs de Riemann sont développés dont une approche par relaxation préservant les solutions équilibres du problème de couplage. Cette méthode par relaxation est reprise par la suite dans le cadre d'un problème d'optimisation sous contraintes pour déterminer un poids dynamique en temps selon différentes motivations de transmission à l'interface. Dans une seconde partie, nous développons un solveur de Riemann approché pour un modèle bifluide à deux pressions dans le cas d'un écoulement diphasique isentropique par phase. Le modèle en question a pour particularité de comprendre des termes non conservatifs que l'on réécrit alors sous la forme de termes sources mesures. L'approche par relaxation établie dans la partie précédente est alors étendue au cas du modèle bifluide, moyennant une estimation a priori des contributions non conservatives. Cette méthode nous permet, dans un dernier chapitre, de résoudre numériquement le problème de couplage interfacial entre un modèle bifluide à deux pressions et un modèle de drift-flux grâce à l'approche dite du modèle père.

Cette thèse porte sur l'utilisation de modèles hyperboliques pour la simulation des écoulements diphasiques compressibles, pour trouver des alternatives au modèle bifluide classique. Nous établissons tout d'abord une hiérarchie des modèles diphasiques, obtenue selon des hypothèses d'équilibres des variables physiques entre chaque phase. L'utilisation de développements de Chapman-Enskog permet de relier entre eux les différents modèles existants. De plus, des modèles prenant en compte de petits déséquilibres physiques sont obtenus par des développements à l'ordre un. La deuxième partie de cette thèse porte sur la simulation des écoulements caractérisés par des déséquilibres de vitesses et des équilibres de pression, que nous modélisons de deux manières différentes. Tout d'abord, un modèle à deux vitesses et deux pressions est utilisé, avec l'application de relaxations des vitesses et pressions à temps finis afin d'obtenir un retour à l'équilibre de ces grandeurs. On propose ensuite un nouveau modèle dissipatif à une vitesse et une pression, où l'apparition de termes du second ordre permet de prendre en compte les déséquilibres de vitesse entre les phases. Une méthode numérique basée sur une approche par pas fractionnaires est développée pour ce modèle.

Lorsqu'un fluide en écoulement ou au repos est chauffé par le bas, l'instabilité thermique apparaît permettant une dissipation du gradient de température au-delà de ce qui est possible par simple conduction ou diffusion. Le fluide est soumis à des forces qui permettent un écoulement convectif lié à la différence de température entre les faces inférieure et supérieure de la couche. Le problème est rendu encore plus complexe par le fait que la distribution de température est elle-même déterminée par l'écoulement convectif. En d'autres termes, la force qui engendre l'écoulement est elle-même modifiée par l'écoulement. Pour un fluide multi composants, et avec prise en compte de l'effet SORET le phénomène devient d'une complexité particulièrement ardue, car la séparation des constituants engendre une compétition entre les forces volumiques d'origine thermique et compositionnelle. Le phénomène admet des développements extrêmement larges et de multiples applications en science et en ingénierie. En effet, l'instabilité thermique peut être étudiée avec tension superficielle variable, sans approximation de BOUSSINESQ, avec génération de chaleur au sein du fluide, avec ou sans confinement, etc. Ici, par souci de simplicité, nous étudierons le cas particulier d'une couche de mélange de fluides binaires entre deux plaques horizontales à températures fixées influencée par un écoulement forcé à faible nombres de PECLET. Nous commencerons par une étude qualitative du phénomène via une analyse de stabilité linéaire marginale et transitoire par éléments finis, laquelle démarche nous a conduit à réduire sous forme diagonale un opérateur linéaire rigoureusement déterminé. Les éléments spectraux de cet opérateur contiennent les informations utiles à déterminer les plus déstabilisants parmi une infinité de modes propres. Ces résultats nous serviront comme guide afin de déterminer une démarche d'expérimentation numérique par usage d'un code 3D en volumes finis hautement précis en espace, et utilisant le schéma d'EULER en temps, ouvrant la porte à des études qualitative spatiale et quantitative ultérieures. <br />L'ensemble de ces opérations nous ont conduit à déterminer le comportement d'un fluide binaire en convection mixte. Des relations littérales déterminant les seuils de transitions entre les différents états du système ont été démontrées. Des diagrammes de stabilité généraux ont été établis ; la mécanique de la convection est mieux éclaircie, l'influence de l'allongement du canal a été étudiée, la propagation dans les deux sens des ondes progressives des rouleaux transversaux ont été mises en évidence, un recueil de paramètres caractéristiques de ces écoulements est donné en termes de nombre d'ondes, pulsations, vitesses de phase et de transferts de chaleur et de masse. Pour finir, nous nous sommes intéressés au cas particulier de la séparation en essayant de mettre au point des idées permettant de séparer des constituants par appui sur les résultats trouvés.

Ce travail est dédié à la mise en place de modèles d'écoulements de fluides complexes, à leur analyse théorique ainsi qu'au développement et à l'analyse de convergence de schémas numériques appropriés. <br /><br />Une première partie du travail concerne l'étude de modèles dits à interface diffuse pour les écoulements incompressibles multiphasiques. Après une étude assez précise du cadre diphasique, on propose la généralisation au cadre triphasique, ce qui nécessite d'introduire la notion importante de consistance des modèles. Des résultats numériques confirment la pertinence des modèles proposés. Ensuite, on s'intéresse au modèle plus classique de Navier-Stokes non-homogène incompressible pour lequel on établit le caractère bien posé du problème pour des conditions aux limites ouvertes non-linéaires en sortie d'un écoulement. Une brique essentielle de ce travail est l'étude détaillée du problème de traces pour l'équation de transport associée à un champ de vitesse peu régulier. Ce travail, dont l'intérêt dépasse le cadre applicatif décrit ci-dessus, fait l'objet d'un chapitre à part entière.<br /><br />Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'approximation numérique par des méthodes de volumes finis des solutions de problèmes elliptiques non-linéaires monotones (du type p-laplacien). Un premier chapitre décrit un certain nombre de résultats obtenus dans le contexte de maillages cartésiens. Un second chapitre est consacré à l'étude d'un cadre géométrique plus général par le biais de méthodes dites en dualité discrète. Une attention particulière est portée au cas où les coefficients du problème présentent des discontinuités spatiales, ce qui mène à des problèmes de transmission non-linéaire entre deux milieux.<br /><br />Le mémoire s'achève par la description de quelques travaux connexes, d'une part sur une classe de schémas VF pour les équations elliptiques linéaires adaptés à des maillages non orthogonaux, et d'autre sur l'étude numérique de problèmes elliptiques couplés 2D/1D issus de la description asymptotique d'écoulements dans des milieux poreux fracturés.

Cette thèse est consacrée à l'étude des phénomènes aéroélastiques dans les tuyères de propulseurs. Elle s'inscrit dans le cadre des activités du groupe de recherche Aérodynamique des Tuyères et Arrière-Corps (ATAC). Un des principaux objectifs de ce travail est de démontrer que les phénomènes aéroélastiques peuvent être nuisibles pour les moteurs fusée (présence de modes instables) au même titre que les charges latérales qu'ils peuvent amplifier. Dans cet objectif, deux modèles permettant de prédire la stabilité aéroélastique de divergents flexibles en présence un choc de décollement sont détaillés. Par ailleurs, un outil numérique, reposant sur un couplage faible des codes fluide et structure dont dispose le LMFN-CORIA, est développé pour étudier ce type de problème. Cet outil performant est ensuite validé sur le cas-test classique du "flutter". Une application et une analyse approfondie des modèles de stabilité aéroélastique sont réalisées. Les modèles sont employés pour étudier la stabilité d'un divergent bidimensionnel plan soumis à un choc de décollement. L'influence de plusieurs paramètres sur la stabilité de la structure est évaluée. Les résultats obtenus sont ensuite confrontés aux résultats de simulations numériques couplées. En dernier lieu, les modèles sont utilisés pour étudier la stabilité de la tuyère LEA souple sur laquelle l'ONERA effectue des mesures expérimentales. Enfin, des travaux complémentaires sur l'amorçage rapide d'une tuyère supersonique sont présentés en annexes.

La modélisation des propulseurs ioniques de type SPT pose de nombreux <br />problèmes dans le domaine du transport des particules chargées. Nous nous <br />intéressons à deux de ces problèmes, à savoir le transport des électrons et <br />le calcul du potentiel électrique.<br /><br />Le transport des électrons résulte de l'influence conjuguée des champs <br />(électrique et magnétique) établis dans la cavité du propulseur et des <br />collisions des électrons (dans la cavité et avec la paroi limitant celle-ci). <br />Nous avons participé au développement d'un modèle SHE (Spherical Harmonics <br />Expansion) qui résulte d'une analyse asymptotique de l'équation de Boltzmann <br />munie de conditions de réflexion aux bords. Ce modèle permet d'approcher la <br />fonction de distribution en énergie des électrons en résolvant une <br />équation de diffusion dans un espace \{position, énergie\}. Plus précisément, <br />nous avons étendu une démarche existante au cas où les collisions en volume <br />(excitation, ionisation) et les collisions inélastiques à la paroi <br />(attachement et émission secondaire) sont prises en compte. Enfin, nous <br />avons écrit un code de résolution du modèle SHE, dont les résultats ont <br />été comparés avec ceux d'une méthode de Monte Carlo. <br /><br />\vspace*{1mm}<br />Dans un deuxième temps, nous avons étudié le calcul du potentiel électrique. <br />La présence du champ magnétique impose d'écrire le courant d'électrons sous <br />la forme ${\cal J}=\sigma \nabla W$<br /> où W est le potentiel électrique et le tenseur de conductivité $\sigma$<br />est fortement anisotrope compte tenu des grandeurs physiques en jeu dans <br />le SPT. Pour résoudre $\mbox{div }{\cal J}(x,y)=S(x,y)$, <br />nous avons implémenté une méthode de volumes finis <br />sur maillage cartésien permettant de résoudre ce problème elliptique <br />anisotrope, et nous avons vérifié qu'elle échouait lorsque le rapport <br />d'anisotropie devenait grand. Aussi nous avons développé une méthode de <br />paramétrisation, qui consiste à extrapoler la solution d'un problème <br />anisotrope à l'aide d'une suite de problèmes isotropes. Cette méthode a <br />donné des résultats encourageants pour de forts rapports d'anisotropie, <br />et devrait nous permettre d'atteindre des cas réels.

Cette thèse est consacrée à la simulation numérique de problèmes d'écoulements de fluides raides régis par des systèmes de lois de bilan non homogènes, dans des configurations monodimensionnelles et bidimensionnelles. La méthode numérique utilisée est une extension d'un schéma à deux pas (SRNH), comportant un paramètre \alpha^n_(j+\frac(1)(2)) ajustable, proposé par le professeur F.Benkhaldoun dans un cadre monodimensionnel. Ainsi, en un premier temps on a introduit une variante SRNHR, obtenue en remplaçant la vitesse numérique (\frac(\Delta x)(\Delta t)) par la vitesse de Rusanov locale, en vue de l'extension du schéma au cas bidimensionnel. Par la suite, une analyse de stabilité du schéma, révèle que celui-ci peut être d'ordre 1 ou 2 selon la valeur du paramètre \alpha^n_(j+\frac(1)(2)). Une stratégie de variation de ce paramètre, basée sur la théorie des limiteurs a alors été adoptée. Le schéma peut ainsi être rendu d'ordre 1 dans les zones à forte variation de l'écoulement, et d'ordre 2, là où l'écoulement est régulier. Ensuite on a établi les conditions pour que ce schéma respecte la C-propriété exacte introduite par Bermùdez et Vazquez. Une étude d'implémentation des conditions aux limites, adaptée à ce schéma, a également été menée en se basant sur les invariants de Riemann. Dans la deuxième partie de la thèse, on a appliqué ce schéma à des systèmes monophasiques homogènes et non homogènes. Par exemple on a réalisé la simulation du problème de rupture de barrage sur une marche, pour des configurations 1D et 2D, en menant en particulier une étude de convergence numérique via la détermination des courbes d'erreurs. Enfin, on a utilisé le schéma pour la simulation numérique de systèmes diphasiques (Ransom 1D et 2D).

Cette étude est inspirée en particulier par le besoin, lors de la phase d'intégration d'un moteur aéronautique, de maîtriser a priori les risques d'endommagements liés à la possible décharge d'un écoulement de gaz brûlés à haute pression et haute température, issu d'un orifice apparaissant accidentellement au niveau de la paroi de la chambre de combustion. Après avoir brossé un tableau exhaustif de la phénoménologie des écoulements considérés, une stratégie est proposée afin de surmonter les difficultés numériques particulières associées à la simulation de tels jets, et d'obtenir des solutions stationnaires pour un rapport coût / précision raisonnable. La procédure retenue repose sur l'utilisation i) d'une méthode mixte volumes finis / éléments finis pour intégrer la formulation axisymétrique des équations de Navier-Stokes en régime compressible, ii) de schémas décentrés (TVD) pour évaluer les flux convectifs, iii) d'une méthode de réadaptation anisotrope de maillages non-structurés et iv) d'un modèle de turbulence k-ε modifié afin de réintégrer les principaux effets de compressibilité. L'analyse des résultats obtenus démontre que la stratégie retenue nous permet de prévoir correctement la structure d'ensemble des différents jets considérés et confirme que celle-ci est très sensible aux conditions d'entrée prévalant au niveau de l'orifice, ce qui nous conduit d'ores et déjà à préconiser une évolution de la définition des tests de certification.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des méthodes numériques pour un modèle d'écoulements incompressibles et miscibles ayant des application dans l'hydrogéologie et l'ingénierie pétrolière. Nous étudions et analysons un schéma numérique combinant une méthode d'éléments finis mixtes (EFM) et une méthode des volumes finis (VF) pour approcher le système couplé entre une équation elliptique (pression-vitesse) et une équation de convection-diffusion-réaction (concentration). Le schéma VF considérée est de type "vertex centred" semi-implicite en temps : explicite pour la convection et implicite pour la diffusion. On utilise un schéma de Godunov pour approcher le terme convectif et une approximation élément fini P1 pour le terme de diffusion. Nous montrons des résultats de stabilité L≂ estimations BV et le principe du maximum discret sous une condition CFL appropriée. Ensuite, nous montrons la convergence de la solution approchée obtenue par le schéma combiné EFM-VF vers la solution du problème couplé. La démonstration de la convergence se fait en plusieurs étapes : premièrement, on déduit la convergence forte de la solution approchée de la concentration dans L2(Q), en utilisant la stabilité L≂, les estimations BV et des arguments de compacité. Dans l'étape suivante, on étudie le schéma découplé EFM, en donnant des résultats de convergence pour la pression et la vitesse. Enfin, le processus de convergence de la solution approchée du schéma combiné EFM-VF vers la solution exacte est obtenu par passage à la limite et par unicité de solution pour le problème continu. Des simulations numériques académiques et réalistes pour des problèmes bidimensionnels confirment la stabilité et l'efficacité du schéma combiné. Enfin, nous étudions des estimateurs d'erreur a posteriori de type résiduel pour une équation de convection-diffusion-réaction discrétisée par un schéma VF "vertex centred" semi-implicite en temps. Nous introduisons deux sortes d'indicateurs. Le premier est local en temps et en espace et constitue un outil efficace pour l'adaptation du maillage à chaque pas de temps. Le second est global en espace mais local en temps et peut être utilisé pour l'adaptation en temps. Nous montrons que l'estimateur est une borne supérieure de l'erreur. Des résultats numériques d'adaptations de maillage sont présentés et montrent l'efficacité de la méthode. La partie logiciels de ce travail porte sur deux volets. Le premier a permis de réaliser un code de calcul 2D, MFlow, écrit en C++, pour la résolution du système des écoulements miscibles considérés dans cette thèse. Le second volet concerne la collaboration avec un groupe de chercheurs pour l'élaboration de la plate-forme Homogenizer++ réalisée dans le cadre du GDR MoMaS (http://momas.univ-lyon1.fr/).

Un bassin sédimentaire est un milieu poreux de grande dimension (plusieurs dizaines de kilomètres de long et de large pour une profondeur d'environ cinq kilomètres) qui évolue au cours du temps par les effets de compaction et de sédimentation. Au cours de cette évolution, des hydrocarbures vont se former et s'écouler dans le bassin. On établit alors un modèle permettant de simuler cette évolution de bassin ainsi que la création, la migration et le piégeage des hydrocarbures dans des roches appelées roches magasins. Ces phénomènes se déroulant sur des centaines de millions d'années, on s'est attaché à étudier principalement une discrétisation temporelle de ces équations. On a ainsi mis en avant un raffinement local du pas de temps dont le principe est de recalculer la solution sur une zone jugée "mauvaise". A l'extérieure de cette zone, la solution est admissible. La difficulté vient de la détermination de la zone qui doit - être suffisamment "grande" pour avoir une bonne qualité de la solution, mais suffisamment "petite" pour obtenir un gain calcul. Les estimateurs a posteriori permettent de contourner cette difficulté. On a donc entrepris une étude théorique de ces estimateurs a posteriori dans le cas des équations linéaires elliptique et parabolique. Des simulations numériques montrent l'efficacité de ces estimateurs dans des cas académiques.