Ce travail a été consacré à la simulation numérique des équations de la mécanique des fluides par des méthodes de volumes finis implicites. Tout d'abord, nous avons étudié et mis en place une version implicite du schéma de Roe pour les écoulements monophasiques et diphasiques compressibles. Grâce à la méthode de Newton utilisée pour résoudre les systèmes nonlinéaires, nos schémas sont conservatifs. Malheureusement, la résolution de ces systèmes est très coûteuse. Il est donc impératif d'utiliser des algorithmes de résolution performants. Pour des matrices de grande taille, on utilise souvent des méthodes itératives dont la convergence dépend de leur spectre. Nous avons donc étudié le spectre du système linéaire et proposé une stratégie de Scaling pour améliorer le conditionnement de la matrice. Combinée avec le préconditionneur classique ILU, notre stratégie de Scaling a réduit de façon significative le nombre d'itérations GMRES du système local et le temps de calcul. Nous avons également montré l'intérêt du schéma centré pour la simulation de certains écoulements à faible nombre de Mach. Nous avons ensuite étudié et implémenté la méthode de décomposition de domaine pour les écoulements compressibles. Nous avons proposé une nouvelle variable interface qui rend la méthode du complément de Schur plus facile à construire et nous permet de traiter les termes de diffusion. L'utilisation du solveur itératif GMRES plutôt que Richardson pour le système interface apporte aussi une amélioration des performances par rapport aux autres méthodes. Nous pouvons également découper notre domaine de calcul en un nombre quelconque de sous-domaines. En utilisant la stratégie de Scaling pour le système interface, nous avons amélioré le conditionnement de la matrice et réduit le nombre d'itérations GMRES de ce système. En comparaison avec le calcul distribué classique, nous avons montré que notre méthode est robuste et efficace.

Thèse (D.Eng.)--Université du Québec à Chicoutimi, 2001. / Document électronique également accessible en format PDF. CaQCU

Les techniques de microscopie en champ proche se sont fortement diversifiées au cours des dernières années et ne sont plus désormais cantonnées aux seuls laboratoires experts dans le domaine mais sont exploitées plus largement par les spécialistes des matériaux et des 'micro-' ou 'nano-'objets. Pour ce qui concerne les matériaux diélectriques, des techniques dérivées de la microscopie à force atomique -AFM-, telles que la microscopie à force électrostatique -EFM, ou à force de Kelvin -KFM, permettent d'obtenir de nouvelles informations, à l'échelle nanométrique, sur l'état de charge des isolants et sur leur capacité à stocker/dissiper les charges. Cependant, ces techniques ne permettent pas de connaître précisément la répartition spatiale de la charge en latéral et en profondeur dans les matériaux isolants, données indispensables pour une meilleure compréhension des phénomènes de transport et de piégeage de charges. C'est pourquoi, nous nous sommes intéressés aux courbes de forces électrostatiques comme nouvel outil susceptible de permettre la localisation de la charge. L'objectif de la thèse est donc de comprendre le lien entre l'allure de la courbe de force et le positionnement spatial de la charge dans le matériau. Pour ce faire, deux études sont menées en parallèle : une étude expérimentale et une étude par modélisation numérique. Les travaux de recherche sont focalisés principalement sur la partie simulation de la sonde AFM par une modélisation électrostatique des phénomènes physiques en jeu. Un des verrous à lever dans ces travaux est la disparité d'échelle des objets modélisés et le caractère tridimensionnel du système. Dans cet objectif, un modèle mathématique pour l'étude des interactions électrostatiques entre une pointe AFM et la surface d'un matériau diélectrique a été développé en 2D. La discrétisation des équations décrivant le système est basé sur un nouveau schéma numérique du type volumes finis d'ordre élevé obtenu par le principe de la reconstruction polynômiale. Ce premier modèle a permis de comprendre l'influence de la géométrie de la pointe, notamment le rayon de courbure de l'apex et l'angle de demi-ouverture, sur l'aspect qualitatif et quantitatif des courbes de force. Les résultats montrent, par exemple, que plus le rayon de courbure de la pointe est faible plus la courbure de la courbe de force est prononcée. Ces résultats sont conformes à l'expérience. Pour parfaire notre étude sur la géométrie de la pointe, un premier modèle en 3D a été développé à l'aide du logiciel commercial Comsol Multiphysics(r). Plusieurs formes de pointe ont été testées : conique, tétraèdre et pyramidale. Les courbes de forces obtenues par simulation ont été comparées aux données expérimentales permettant ainsi de trouver une forme optimale représentative de la pointe réelle. Un deuxième modèle en 3D basé sur les équations électromécaniques a été développé pour prendre en compte l'effet du bras de levier sur les courbes de force. Les résultats obtenus montrent que le bras de levier ne modifie pas la forme de la courbe de force obtenue par la pointe seule mais rajoute simplement une composante continue sur celle-ci. / The Scanning Probe Microscopy techniques (SPM) are highly diversified and no longer confined to expert laboratories, being widely used by material scientists for "micro" or "nano" applications. The use of Atomic Force Microscopy (AFM), and techniques derived from it, such as Electrostatic Force Microscopy (EFM) or Kelvin Force Microscopy (KFM), provides a considerable advantage allowing the acquisition of new information down to nanoscale, such as the charge state of dielectric materials and their ability to store and dissipate charges. However, these techniques do not allow to precisely know the spatial distribution of the lateral and deep distribution of the space charge in the insulating materials, required for a better understanding of the phenomena of transportation and charge trapping data. For this purpose, we are interested in the electrostatic force distance curve -EFDC- as a new tool to allow the location of the space charge. The aim of the thesis is to understand the relationship between the shape of the force curve and the spatial positioning of the space charge in the material. To do this, two studies were conducted in parallel: an experimental study and a study by numerical modeling. The research work here is focused mainly on the simulation of the AFM probe by electrostatic modeling of physical phenomena. One of the difficult obstacles to do in this work is the taken in account disparity of scale objects modeled and the three-dimensionality of the system. For this purpose, a mathematical model for the study of electrostatic interactions between an AFM tip and the surface of a dielectric material has been developed in 2D. The discretization of equations describing the system is based on a new numerical scheme of high order finite volume method obtained by the principle of polynomial reconstruction operator. This first model was used to understand the influence of the geometry of the tip, including the radius of curvature of the apex and the half-opening angle on the qualitative and quantitative aspects of the force curves. The results show, for example, more than the radius of curvature of the tip is smaller the curvature of the force curve is pronounced.

Cette thèse aborde la résolution des problèmes d'interaction fluide-structure par un algorithme consistant en un couplage entre deux solveurs : un pour le fluide et un pour la structure. Pour assurer la cohérence entre les maillages fluide et structure, on considère également une discrétisation de chaque domaine par volumes finis. En raison des difficultés de décomposition du domaine en sous-domaines, nous considérons pour chaque environnement un algorithme parallèle de multi-splitting (ou multi-décomposition) qui correspond à une présentation unifiée des méthodes de sous-domaines avec ou sans recouvrement. Cette méthode combine plusieurs applications de points fixes contractantes et nous montrons que, sous des hypothèses appropriées, chaque application de points fixes est contractante dans des espaces de dimensions finies normés par des normes hilbertiennes et non-hilbertiennes. De plus, nous montrons qu'une telle étude est valable pour les résolutions parallèles synchrones et plus généralement asynchrones de grands systèmes linéaires apparaissant lors de la discrétisation des problèmes d'interaction fluide-structure et peut être étendue au cas où le déplacement de la structure est soumis à des contraintes. Par ailleurs, nous pouvons également considérer l’analyse de la convergence de ces méthodes de multi-splitting parallèles asynchrones par des techniques d’ordre partiel, lié au principe du maximum discret, aussi bien dans le cadre linéaire que dans celui obtenu lorsque les déplacements de la structure sont soumis à des contraintes. Nous réalisons des simulations parallèles pour divers cas test fluide-structure sur différents clusters, en considérant des communications bloquantes et non bloquantes. Dans ce dernier cas nous avons eu à résoudre une difficulté d'implémentation dans la mesure où une erreur irrécupérable survenait lors de l'exécution ; cette difficulté a été levée par introduction d’une méthode assurant la terminaison de toutes les communications non bloquantes avant la mise à jour du maillage. Les performances des simulations parallèles sont présentées et analysées. Enfin, nous appliquons la méthodologie présentée précédemment à divers contextes d'interaction fluide-structure de type industriel sur des maillages non structurés, ce qui constitue une difficulté supplémentaire.

Ce travail a été consacré à la simulation numérique des équations de la mécanique des fluides par des méthodes de volumes finis implicites. Tout d’abord, nous avons étudié et mis en place une version implicite du schéma de Roe pour les écoulements monophasiques et diphasiques compressibles. Grâce à la méthode de Newton utilisée pour résoudre les systèmes nonlinéaires, nos schémas sont conservatifs. Malheureusement, la résolution de ces systèmes est très coûteuse. Il est donc impératif d’utiliser des algorithmes de résolution performants. Pour des matrices de grande taille, on utilise souvent des méthodes itératives dont la convergence dépend de leur spectre. Nous avons donc étudié le spectre du système linéaire et proposé une stratégie de Scaling pour améliorer le conditionnement de la matrice. Combinée avec le préconditionneur classique ILU, notre stratégie de Scaling a réduit de façon significative le nombre d’itérations GMRES du système local et le temps de calcul. Nous avons également montré l’intérêt du schéma centré pour la simulation de certains écoulements à faible nombre de Mach. Nous avons ensuite étudié et implémenté la méthode de décomposition de domaine pour les écoulements compressibles. Nous avons proposé une nouvelle variable interface qui rend la méthode du complément de Schur plus facile à construire et nous permet de traiter les termes de diffusion. L’utilisation du solveur itératif GMRES plutôt que Richardson pour le système interface apporte aussi une amélioration des performances par rapport aux autres méthodes. Nous pouvons également découper notre domaine de calcul en un nombre quelconque de sous-domaines. En utilisant la stratégie de Scaling pour le système interface, nous avons amélioré le conditionnement de la matrice et réduit le nombre d’itérations GMRES de ce système. En comparaison avec le calcul distribué classique, nous avons montré que notre méthode est robuste et efficace. / This thesis deals with numerical simulations of compressible fluid flows by implicit finite volume methods. Firstly, we studied and implemented an implicit version of the Roe scheme for compressible single-phase and two-phase flows. Thanks to Newton method for solving nonlinear systems, our schemes are conservative. Unfortunately, the resolution of nonlinear systems is very expensive. It is therefore essential to use an efficient algorithm to solve these systems. For large size matrices, we often use iterative methods whose convergence depends on the spectrum. We have studied the spectrum of the linear system and proposed a strategy, called Scaling, to improve the condition number of the matrix. Combined with the classical ILU preconditioner, our strategy has reduced significantly the GMRES iterations for local systems and the computation time. We also show some satisfactory results for low Mach-number flows using the implicit centered scheme. We then studied and implemented a domain decomposition method for compressible fluid flows. We have proposed a new interface variable which makes the Schur complement method easy to build and allows us to treat diffusion terms. Using GMRES iterative solver rather than Richardson for the interface system also provides a better performance compared to other methods. We can also decompose the computational domain into any number of subdomains. Moreover, the Scaling strategy for the interface system has improved the condition number of the matrix and reduced the number of GMRES iterations. In comparison with the classical distributed computing, we have shown that our method is more robust and efficient.

Dans ce projet de recherche, on s’intéresse au développement et à l’évaluation de nouvelles méthodes numériques pour les écoulements peu profonds. De nouvelles techniques de discrétisation spatiales et temporelles des équations sont proposées. Une partie de la thèse est dédiée au développement d’une méthode des volumes finis explicite d’ordre élevé et d’une famille de schémas semi-implicites qui sont efficaces pour la modélisation des processus lents et rapides dans les écoulements océaniques et atmosphériques. La deuxième partie du projet de recherche concerne la construction d’un schéma numérique efficace sans solveur de Riemann pour les écoulements peu profonds avec une topographie variable sur un maillage non structuré. Dans cette partie de la thèse, une nouvelle approche est proposée pour l'analyse de stabilité des schémas numériques non structurés pour les équations en eaux peu profondes. Dans la troisième partie de la thèse, deux schémas de volumes finis sont développés pour les lois de conservation sur des surfaces courbes qui ont un large potentiel d’être appliqués aux écoulements peu profonds sur la sphère. Dans ces cas, les schémas numériques sont développés en adoptant la démarche suivie par Stanley Osher. Cette démarche consiste à utiliser des systèmes hyperboliques simples qui génèrent des phénomènes d'ondes complexes et des solutions qui ont différentes structures. Ces solutions sont très efficaces pour tester les méthodes numériques. Dans notre cas, nous avons utilisé les équations de Burgers qui ont joué un rôle très important dans le développement des schémas numériques à capture de chocs en mécanique des fluides. Dans le premier article, une nouvelle méthode des volumes finis décentrée explicite est proposée pour le système de Saint-Venant avec un terme source qui comprend le paramètre de Coriolis en utilisant un maillage non structuré. La plupart des schémas numériques décentrés, efficaces pour les ondes rapides (ondes de gravité), conduisent à un niveau d'amortissement élevé pour les ondes lentes (ondes de Rossby). La méthode proposée donne de bons résultats à la fois pour les ondes de gravité et les ondes de Rossby. Les techniques proposées sont suffisantes pour supprimer le bruit numérique des ondes courtes sans amortissement des ondes longues, telles que les ondes de Rossby qui sont essentielles dans le transport de l’énergie dans les océans et l'atmosphère. Dans le cas où le système comprend une large gamme de fréquences des ondes, ce qui est le cas des écoulements atmosphériques, il est important d’utiliser des méthodes semi-implicites afin d’opter pour un pas de temps optimal. La méthode semi-implicite semi-lagrangienne à deux niveaux (SETTLS) proposée par Hortal (2002) a une région de stabilité absolue indépendante du nombre de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). La plupart des modèles de prévision numérique atmosphérique utilisent cette méthode comme schéma temporel. Cependant, la méthode SETTLS peut générer des oscillations pour le traitement du terme non linéaire surtout pour le cas des solutions qui ont un caractère oscillatoire. Pour remédier à ce problème, dans le deuxième article, nous avons proposé une nouvelle classe de schémas semi-implicites semi-lagrangiens potentiellement applicables aux modèles atmosphériques. Cette classe de schémas numériques présente plusieurs avantages de stabilité, de précision et de convergence. De bons résultats sont obtenus en comparaison à d'autres schémas semi-implicites semi-lagrangiens et méthodes semi-implicites de type prédicteur-correcteur. Dans le troisième article, un nouveau schéma équilibre partiellement centré est développé pour la résolution numérique des équations de Saint-Venant avec une topographie variable sur un maillage non structuré. Cette méthode est stable et simple puisqu'elle ne fait pas appel à la résolution du problème de Riemann. La méthode proposée est précise pour le cas des solutions discontinues et peut être appliquée aux écoulements peu profonds avec une topographie variable et une géométrie complexe où l'utilisation des maillages non structurés est avantageuse. Motivé par de nombreuses applications en dynamique des fluides, dans le projet de thèse on s’intéresse également au développement de méthodes numériques dans le cas des surfaces courbes. L'objectif est de concevoir des méthodes numériques robustes et efficaces pour le cas des solutions discontinues et qui préservent la structure fondamentale des équations, notamment les propriétés liées à la géométrie. Pour développer ces méthodes, l'approche suivie par Stanley Osher est adoptée et les équations de Burgers sont utilisées vu leur importance pour le développement des schémas numériques à capture de chocs. Dans le quatrième article, une méthode des volumes finis satisfaisant la compatibilité géométrique est développée pour les lois de conservation sur la sphère. Cette méthode est basée sur la résolution du problème de Riemann généralisé et l'approche du «splitting» directionnel en latitude et en longitude sur la sphère. Les dimensions géométriques sont considérées de manière analytique et la forme discrète du schéma numérique proposé respecte la propriété de compatibilité géométrique. La méthode proposée est stable et précise pour le cas des solutions discontinues de grands chocs et amplitudes en comparaison avec des schémas numériques très connus. Une nouvelle classification des flux est proposée en introduisant les notions de flux feuilletés et de flux génériques. Le comportement asymptotique des solutions est étudié en fonction de la nature du flux et les propriétés des solutions discontinues sont analysées. Les résultats démontrent la capacité et le potentiel de la méthode proposée pour la résolution des lois de conservation sur la sphère dans le cas des solutions discontinues. Ce schéma numérique pourrait être étendu au cas des équations de Saint-Venant sur la sphère. Dans le cinquième article, on propose un schéma numérique efficace respectant la propriété de compatibilité géométrique pour les lois de conservation sur la sphère. La méthode proposée présente plusieurs avantages, notamment de bons résultats dans le cas des solutions discontinues avec des chocs d’amplitudes moyennes, une faible dissipation numérique et une simplicité puisqu'elle ne fait pas appel à la résolution du problème de Riemann. Cette méthode pourrait être étendue au cas des équations de Saint-Venant sur la sphère. Dans le sixième article, une nouvelle approche est proposée pour analyser la stabilité des schémas numériques appliqués aux écoulements peu profonds. Cette méthode utilise la notion du pseudo spectre des matrices. La méthode proposée est efficace en comparaison avec les méthodes couramment utilisées telles que la stabilité asymptotique et la stabilité de Lax-Richtmyer. Cette approche est utile pour le choix du type de maillage, des emplacements appropriés des variables primitives (hauteur et vitesses), et de la méthode de discrétisation la plus stable.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux équations aux dérivées partielles hyperboliques sous contraintes ; plus particulièrement aux problèmes provenant de la mécanique de la plasticité parfaite. Un bref historique de l'origine mécanique des problèmes de la plasticité parfaite ainsi que des résultats précédemment obtenus sont décrits dans le Chapitre 1. Dans le Chapitre 2, nous concentrons notre attention sur les systèmes hyperboliques avec conditions de bord. Nous développons une théorie faible pour ces problèmes et expliquons dans un cas simplifié le caractère bien posé de cette théorie. Puis, nous introduisons de manière similaire la notion de solution faible pour des systèmes hyperboliques avec condition de bord soumis à une contrainte. Nous nous dédions, dans le chapitre 3, à l'étude d'un modèle simplifié de la dynamique de la plasticité parfaite. Nous confrontons l'approche introduite au chapitre précédent avec celle, plus classique, provenant du calcul des variations qui permet d'obtenir l'existence et l'unicité des solutions pour ce modèle. Cela nous permet de mettre en évidence une nouvelle interaction entre les conditions de bord et les contraintes ainsi que d'aboutir à un théorème de régularité des solutions. Dans le chapitre 4, nous nous intéressons à l'approximation numérique des systèmes hyperboliques sous contraintes grâce à des schémas de type volumes finis. Cela nous permet d'obtenir un résultat de convergence pour les problèmes sans bord et d'illustrer numériquement les interactions entre les conditions de bord et les contraintes sur l'exemple du chapitre 3. / In this thesis, we consider constrained hyperbolic partial differential equations and more precisely mechanical problems coming from perfect plasticity. The goal of this thesis is to study these problems thanks to different approaches, to analyze the interactions between these different points of view and to confront these various analyzes to get new results. A brief review of the mechanical origin of perfect plasticity problems and also of the previous results on these topics are described in Chapter 1. In Chapter 2, we focus our attention on hyperbolic systems with boundary conditions. First, we develop a weak theory for these problems and explain, in a simplified case, why this theory is well-posed. Then, we introduce similarly a notion of weak solutions for constrained hyperbolic systems with boundary conditions. Chapter 3 is devoted to the study of the simplified model of dynamical perfect plasticity. We confront the approach introduced in the previous chapter with the one, more standard, coming from calculus of variations that allows us to obtain existence and uniqueness of the solutions for this model. It allows us to bring to light a new interaction between the boundary conditions and the constraints and to get a short-time regularity theorem. Lastly, in Chapter 4, we are interested in the numerical approximation of constrained hyperbolic systems thanks to finite volume schemes. This work allows us to get a convergence result for problems without boundary condition and to show numerically the link between boundary conditions and constraints on the example of the previous chapter.

Retracer l’histoire d’un bassin est un préalable essentiel à toute recherche d’hydrocarbures. Pour cela, on a recours à un modèle stratigraphique, qui simule l'évolution des bassins sédimentaires sur de grandes échelles de temps (millions d'années) et d'espace (centaines de kilomètres). Le logiciel Dionisos, développé à IFPEN depuis 1992 et très apprécié par les compagnies pétrolières, permet d’effectuer ce type de calculs en prenant en compte deux grands processus physiques : (1) le transport gravitaire des sédiments dû à l’inclinaison du sol ; (2) l’écoulement de l’eau provenant des fleuves et des précipitations. Le transport gravitaire est décrit par une équation de diffusion dans laquelle le flux de sédiments dépend de la pente du sol. Initialement, cette dépendance est linéaire. Pour mieux s’approcher des observations réelles, on souhaite la rendre non-linéaire par l’intermédiaire d’un p-Laplacien. Ce changement nécessite la conception d’une nouvelle méthode de résolution numérique, qui doit offrir non seulement une grande rapidité d’exécution, mais aussi des garanties de robustesse et de précision des résultats. De plus, elle doit être compatible avec une contrainte sur le taux d’érosion présente dans le modèle. L’ajout de l’écoulement de l’eau est aussi une sophistication récente du modèle physique de Dionisos. Il se traduit par l’introduction d’une nouvelle équation aux dérivées partielles, couplée à celle du transport. Là encore, il est important d’élaborer une stratégie de résolution numérique innovante, en ce sens qu’elle doit être à la fois performante et bien adaptée au fort couplage de ces deux phénomènes. L'objectif de cette thèse est de moderniser le cœur numérique de Dionisos afin de traiter plus adéquatement les processus physiques ci-dessus. On cherche notamment à élaborer un schéma implicite par rapport à toutes les inconnues qui étend et améliore le schéma actuel. Les méthodologies retenues serviront de base à la prochaine génération du calculateur. / An essential prerequisite to finding hydrocarbons is to trace back the history of a basin. To this end, geologists resort to a stratigraphic model, which simulates the evolution of sedimentary basins over large time scales (million years) and space (hundreds of kilometers). The Dionisos software, developed by IFPEN since 1992 and highly praised by oil companies, makes this type of calculation possible by accounting for two main physical processes: (1) the sediment transport due to gravity; (2) the flow of water from rivers and rains. The gravity transport is described by a diffusion equation in which the sediment flow depends on the slope of the ground. Initially, this dependence is linear. To better match experimental observations, we wish to make it nonlinear by means of a p-Laplacian. This upgrade requires to design a dedicated numerical method which should not only run fast but also provide guarantees of robustness and accuracy. In addition, it must be compatible with a constraint on the erosion rate in the present model. The water flow due to rivers and rains is also a recent enhancement brought to the physical model of Dionisos. This is achieved by introducing a new partial differential equation, coupled with that of sediment transport. Again, it is capital to work out an innovative numerical strategy, in the sense that it must be both efficient and well suited to the strong coupling of these two phenomena. The objective of this thesis is to rejuvenate the numerical schemes that lie at the heart of Dionisos in order to deal more adequately with the physical processes above. In particular, we look for an implicit scheme with respect to all the unknowns that extends and improves the current scheme. The methodologies investigated in this work will serve as a basis for the next generation of stratigraphic modelling softwares.

La première partie de ce travail concerne les équations elliptiques non coercitives. Nous prouvons, tout d'abord dans un cadre linéaire, l'existence et l'unicité d'une solution faible dans l'espace d'énergie habituel $H^1(\Omega)$ pour une classe d'équations de convection-diffusion pour lesquelles le terme de convection provoque la perte de coercitivité. Nous prouvons des résultats de régularité höldérienne sur les solutions de ces équations qui permettent ensuite de résoudre ces mêmes équations avec un second membre mesure. Nous étendons aussi les résultats d'existence et d'unicité d'une solution dans des cas variationnels non-linéaires non-coercitifs et nous étudions, pour une équation elliptique linéaire non-coercitive, la convergence d'un schéma volumes finis. La deuxième partie concerne l'unicité des solutions à des problèmes elliptiques non-linéaires avec seconds membres mesure. La troisième partie aborde la question de la condition d'hyperbolicité des systèmes du premier ordre à coefficients constants. Nous prouvons une CNS pour qu'un tel système ait une solution pour toute condition initiale de type Riemann (condition initiale naturelle dans l'étude des discrétisations numériques de ces systèmes). A l'aide d'un système particulier, nous étudions ensuite la différence entre notre CNS et les diverses conditions d'hyperbolicité de la littérature, puis nous prouvons que la solution d'un système hyperbolique n'est pas toujours stable par rapport au flux. La quatrième partie rassemble quelques autres travaux. Le premier concerne la densité dans $W^{1,p}(\Omega)$ des fonctions régulières satisfaisant une condition de Neumann. Le second est l'étude d'une discrétisation EF mixtes---VF pour un écoulement diphasique à travers un milieu poreux. Le troisième et dernier est l'étude des mesures sur $]0,T[\times \Omega$ ne chargeant pas le boréliens de capacité parabolique nulle et l'application de cette étude à la résolution d'une équation parabolique non-linéaire avec second membre mesure.

L'objectif de cette thèse est l'étude du problème de Cauchy pour les solutions faibles de trois problèmes (systèmes paraboliques dégénérés et fortement couplés) modélisant des écoulements diphasiques et compressibles en milieu poreux. La motivation de ce travail est un "benchmark" du GNR MoMaS pour l'étude de l'impact de l'écoulement du gaz d\^{u} à la corrosion des matériaux ferreux dans un site de stockage de déchets radioactifs. Cette thèse est divisée en trois chapitres indépendants. Premièrement, on s'intéresse à l'analyse mathématique d'un problème modélisant l'écoulement de deux phases immiscibles et en considérant qu'une phase est compressible et l'autre est incompressible (eau/gaz). Deuxièmement, on traite le cas général du déplacement de deux fluides compressibles et immiscibles dans un milieu poreux. Enfin, le dernier chapitre est consacré à la construction et à la convergence de la méthode des volumes finis pour le système eau-gaz sous l'hypothèse que la densité du gaz est une fonction de la pression globale.