Cette thèse comporte trois parties indépendantes. La première traite des formes fermées de la factorisation de Wiener-Hopf pour les processus de Lévy. Nous recensons la demie-douzaine de cas pour lesquels la factorisation peut être écrite explicitement, et mettons l'accent sur les fonctions méromorphes ayant des pôles d'ordre deux. La deuxième partie se focalise sur l'inversion de la transformée de Laplace. Son but est de présenter une nouvelle méthode approximative, dans un contexte probabiliste. Si la transformée de Laplace a un comportement facilement identifiable en zéro et si la densité associée est bornée, alors cette méthode permet d'obtenir une borne uniforme pour l'erreur commise sur la fonction de répartition. L'efficacité de cette méthode est testée sur deux exemples non triviaux. Enfin, la troisième et dernière partie est dédiée au pricing d'options exotiques dans le modèle log-stable aux moments finis de Carr et Wu. Dans certains cas, il est possible d'obtenir des formules fermées sous forme de séries convergentes pour les prix d’options lookback et barrières. Pour tous les autres cas, nous étudions divers techniques de simulation pour les trajectoires du processus sous-jacent, dans le but d'une évaluation par méthode de Monte-Carlo. / This thesis consists of three independent chapters.The first one deals with closed forms of the Wiener-hopf factorization for Lévy processes. We list the known cases for which this factorization can be explicitely written and provide a detailed account when the underlying functions are meromorphic of order two.The second chapter focuses on the inversion of the Laplace transform. We present an approximative method in a probabilistic setting. If the behavior of the Laplace transform near zero is known and if the underlying density is bounded, then this method yields a uniform bound for the error on the cumulative distribution function. We test this technique on two non-trivial examples.The final chapter of the thesis is dedicated to the pricing of exotic options in the Finite Moment Log-Stable model of Carr and Wu. In some cases, it is possible to obtain closed forms (converging series) for the prices of lookback and barrier options. In all other cases, we study several simulation techniques for the trajectories of the underlying for the purpose of Monte-Carlo valuation.

This thesis considers linear perturbations to the steady flow of a compressible inviscid perfect gas along a cylindrical or annular duct. Particular consideration is given to the model of the duct boundary, and to the effect of curvature of the duct centreline. For a duct with a straight centreline and a locally-reacting boundary, the acoustic duct modes can be segregated into ordinary duct modes and surface modes. Previously-known asymptotics for the surface modes are generalized, and the generalization is shown to provide a distinctly better approximation in aeroacoustically relevant situations. The stability of the surface modes is considered, and previous stability analyses are shown to be incorrect, as their boundary model is illposed. By considering a metal thin-shell boundary, this illposedness is explained, and stability analysed using the Briggs-Bers criterion. The stability of a cylindrical thin shell containing compressible fluid is shown to differ significantly from the stability for an incompressible fluid, even for parameters for which the fluid would otherwise be expected to behave incompressibly. The scattering of sound by a sudden hard-wall to thin-shell boundary change is considered, using the Wiener-Hopf technique. The causal acoustic field is derived analytically, without the need to apply a Kutta-like condition or to include an instability wave, as had previously been necessary. Attention is then turned to a cylindrical duct with a curved centreline and either hard or locally-reacting walls. The centreline curvature (which is not assumed small) and wall radii vary slowly along the duct, enabling an asymptotic multiple scales analysis. The duct modes are found numerically at each axial location, and interesting characteristics are explained using ray theory. This analysis is applied to a hard-walled RAE 2129 duct, and frequency-domain solutions are convolved to give a time-domain example of a pulse propagating along this duct. Finally, some numerical work on the nonlinear propagation of a large-amplitude pulse along a curved duct is presented. This is aimed at modelling a surge event in an aeroengine with a convoluted intake.

This paper is devoted to asymptotic estimates for the condition numbers $\kappa(T_n(a))=||T_n(a)|| ||T_n^(-1)(a)||$ of large $n\cross n$ Toeplitz matrices $T_N(a)$ in the case where $\alpha \element L^\infinity$ and $Re \alpha \ge 0$ . We describe several classes of symbols $\alpha$ for which $\kappa(T_n(a))$ increases like $(log n)^\alpha, n^\alpha$ , or even $e^(\alpha n)$ . The consequences of the results for singular values, eigenvalues, and the finite section method are discussed. We also consider Wiener-Hopf integral operators and multidimensional Toeplitz operators.

In this habilitation thesis a factorization theory for Toeplitz plus Hankel operators and singular integral operators with flip is established. These operators are considered with matrix-valued symbols and are thought of acting on the vector-valued analogues of the Hardy and Lebesgue spaces. A factorization theory for pure Toeplitz operators and singular integral operators without flip is known since decades and provides necessary and sufficient conditions for Fredholmness and formulas for the defect numbers. In particular, the invertibility of such operators is equivalent to the existence of a certain type of Wiener-Hopf factorization. In this thesis an analogous theory for the afore-mentioned more general classes of operators is developed. It turns out that a completely different kind of factorization is needed. This kind of factorization is studied extensively, and a corresponding Fredholm theory is established. A connection with the Hunt-Muckenhoupt-Wheeden condition is made, and several examples and applications are given as well. / In dieser Habilitationsschrift wird eine Faktorisierungstheorie für Toeplitz plus Hankel-Operatoren und singuläre Integraloperatoren mit Flip aufgestellt. Diese Operatoren werden mit matrixwertigem Symbol betrachtet und sind auf den vektorwertigen Analoga der Hardy- und Lebesgue-Räumen definiert. Eine Faktorisierungstheorie für reine Toeplitz bzw. singuläre Integraloperatoren ohne Flip ist seit Jahrzehnten bekannt. Sie liefert notwendige und hinreichende Bedingungen für die Fredholmeigenschaft und Formeln für die Defektzahlen. Insbesondere ist die Invertierbarkeit derartiger Operatoren äquivalent zur Existenz einer bestimmten Art der Wiener-Hopf-Faktorisierung. In dieser Habilitationsschrift wird eine entsprechende Theorie für die erwähnten, allgemeineren Klassen von Operatoren aufgestellt. Es stellt sich heraus, dass eine völlig andere Art der Faktorisierung benötigt wird. Diese Art der Faktorisierung wird eingehend studiert und eine entsprechende Fredholmtheorie wird entwickelt. Ein Zusammenhang mit der Hunt-Muckenhoupt-Wheeden Bedingung wird hergestellt. Mehrere Beispiele und Anwendungen werden ebenfalls angegeben.

L'objet de cette thèse est d'établir des théorèmes limites locaux pour des marches aléatoires réfléchies sur N. La théorie des fluctuations des marches aléatoires et la factorisation de Wiener-Hopf y jouent un rôle important. On développera dans la première partie une approche classique que l'on appliquera à l'étude des marches aléatoires sur R+ avec réflexions non élastiques en 0. Dans la deuxième partie, on explicitera une méthode différente qui fait intervenir des outils algébriques, d'analyse complexe et des techniques de factorisation utilisant de manière essentielle les fonctions génératrices. Cette approche a été développée il y a une cinquantaine d'année pour l'étude de marches de Markov, elle sera présentée dans cette partie dans le cas des marches aléatoires à pas i.i.d. où un certain nombre de simplifications apparaissent et sera ensuite utilisée pour étudier les marches aléatoires sur N avec réflexions élastiques ou non élastiques en zéro. Finalement, dans la dernière partie, nous mettons en place les outils nécessaires pour établir une factorisation de Wiener-Hopf dans un cadre markovien afin d'étudier les fluctuations des marches de Markov sur Z ; nous reprenons des travaux anciens dont les démonstrations méritaient d'être détaillées, l'objectif à moyen terme étant d'appliquer les méthodes algébriques décrites ci-dessus pour l'étude de marches de Markov réfléchies sur N.

No description available.

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This work is concerned with the applicability of several approximation methods (finite section method, Galerkin and collocation methods with maximum defect splines for uniform and non uniform meshes) to operators belonging to the closed subalgebra generated by operators of multiplication bz piecewise continuous functions and convolution operators also with piecewise continuous generating function.

This work is concerned with the applicability of several approximation methods (finite section method, Galerkin and collocation methods with maximum defect splines for uniform and non uniform meshes) to operators belonging to the closed subalgebra generated by operators of multiplication bz piecewise continuous functions and convolution operators also with piecewise continuous generating function.

L’objet de cette thèse est d’établir des théorèmes limites locaux pour des marches aléatoires réfléchies sur N. La théorie des fluctuations des marches aléatoires et la factorisation de Wiener- Hopf y jouent un rôle important. On développera dans la première partie une approche classique que l’on appliquera à l’étude des marches aléatoires sur R+ avec réflexions non élastiques en 0. Dans la deuxième partie, on explicitera une méthode différente qui fait intervenir des outils algébriques, d’analyse complexe et des techniques de factorisation utilisant de manière essentielle les fonctions génératrices. Cette approche a été développée il y a une cinquantaine d’année pour l’étude de marches de Markov, elle sera présentée dans cette partie dans le cas des marches aléatoires à pas i.i.d. où un certain nombre de simplifications apparaissent et sera ensuite utilisée pour étudier les marches aléatoires sur N avec réflexions élastiques ou non élastiques en zéro. Finalement, dans la dernière partie, nous mettons en place les outils nécessaires pour établir une factorisation de Wiener-Hopf dans un cadre markovien afin d’étudier les fluctuations des marches de Markov sur Z; nous reprenons des travaux anciens dont les démonstrations méritaient d’être détaillées, l’objectif à moyen terme étant d’appliquer les méthodes algébriques décrites ci-dessus pour l’étude de marches de Markov réfléchies sur N. / The purpose of this thesis is to establish some local limit theorems for reflected random walks on N. The fluctuations theory and the Wiener-Hopf factorization play a crucial role. We will develop in the first part a classical approach that we will apply to the study of random walks on R+ with non-elastic reflections at zero. In the second part, we will explicit a different method which involves algebraic tools, complex analysis and factorization techniques, using in an essential way generating functions. These approach was developed 50 years ago to cover Markov walks, it will be presented in this part in the case of random walks with i.i.d jumps where many simplifications appear and will be then used to study random walks on N with either elastic or non-elastic reflections at zero. Finally, in the last part, we will introduce the useful tools to establish a Wiener-Hopf factorization in a markovian framework in order to study the fluctuations of Markov walks on Z. We investigate some previous work, especially some proofs that warranted to be more detailed, with a mediumterm objective of applying the algebraic tools described above to study reflected Markov walks on N.