Dans cette thèse nous donnons une solution des chaînes quantiques de spin-1/2 XXZ et XYZ ouvertes avec les termes de bord intégrables les plus généraux. En utilisant la méthode de la Séparation des Variable (SoV), à la Sklyanin, on est capable, dans le cas inhomogène, de construire l’ensemble complet des états propres et des valeurs propres associés. La caractérisation de ces quantités est faite par un système maximal de N équations quadratiques, où N est la taille du système. Des méthodes différentes, comme l’ansatz de Bethe algébrique (ABA) ou autres généralisations de l’ansatz de Bethe, ont été utilisés dans le passé pour résoudre ces problèmes. Aucune méthode a pu effectivement reproduire l’ensemble complet des états propres et valeur propres dans le cas de conditions au bord les plus génériques. Une expression, sous forme d’un déterminant à la Vandermonde, pour les produits scalaires entre les états en représentation de SoV est aussi obtenue. La formule pour les produits scalaires représente la première étape pour approcher le problème relié au calcul des facteurs de forme et fonctions de corrélations. / In this thesis we give accounts on the solution of the open XXZ and XYZ quantum spin-1/2 chains with the most generic integrable boundary terms. By using the the Separation of Variables method (SoV), due to Sklyanin, we are able, in the inhomogeneous case, to build the complete set of eigenstates and the associated eigenvalues. The characterization of these quantities is made through a maximal system of N quadratic equations, where N is the size of the chain. Different methods, like the Algebraic Bethe ansatz (ABA) or other generalized Bethe ansatz techniques, have been used, in the past, in order to tackle these problems. None of them resulted effective in the reproduction of the full set of eigenstates and eigenvalues in the case of most general boundary conditions. A Vandermonde determinant formula for the scalar products of SoV states is obtained as well. The scalar product formula represents a first step towards the calculation of form factors and correlation functions.

Cette thèse développe un cadre rigoureux qui permet de démontrer des représentations exactes associées à divers observables de la chaîne XXZ de Heisenberg de spin 1/2 à température finie. Il a était argumenté dans la littérature que l’énergie libre par site ou les longueurs de corrélations admettent des représentations intégrales où les intégrandes sont exprimées en termes de solutions d’équations intégrales non-linéaires. Les dérivations de ces représentations reposaient sur divers conjectures telles que l’existence d’une valeur propre de la matrice de transfert quantique, real, non-dégénérée, de module maximale, de l’échangeabilitée de la limite du volume infinie et du nombre de Trotter à l’infinie, de l’existence et de l’unicité des solutions des equation intégrales non-linéaires auxiliaires et finalement de l’identification des valeurs propers de la matrice de transfert quantiques avec les solutions de l’équations intégrales non-linéaires. Nous démontrons toutes ces conjectures dans le regime de haute température. Nôtre analyse nous permet aussi de démontrer que pour ces température suffisamment élevées, il est possible d’avoir une description d’un certain sous-ensemble de valeurs propres sous-dominante de la matrice de transfert quantique décrite en terme de solutions d’une chaîne de spin-1 de taille finie. / This thesis develops a rigorous framework allowing one to prove the exact representations for various observables in the XXZ Heisenberg spin-1/2 chain at finite temperature. Previously it has been argued in the literature that the per-site free energy or the correlation lengths admit integral representations whose integrands are expressed in terms of solutions of non-linear integral equations. The derivations of such representations relied on various conjectures such as the existence of a real, non-degenerate, maximal in modulus Eigenvalue of the quantum transfer matrix, the exchangeability of the infinite volume limit and the Trotter number limits, the existence and uniqueness of the solutions to the auxiliary non-linear integral equations and finally the identification of the quantum transfer matrix’s Eigenvalues with solutions to the non-linear integral equation. We rigorously prove all these conjectures in the high temperature regime. Our analysis also allows us to prove that for temperatures high enough, one may describe a certain subset of sub-dominant Eigenvalues of the quantum transfer matrix described in terms of solutions to a spin-1 chain of finite length.

In this thesis we present results from quantum Monte Carlo for the fully-frustrated honeycomb lattice. The XXZ model is of interest in the classical limit, as there is a mapping between the classical fully-frustrated honeycomb Ising model groundstates and the classical hard-core dimer model groundstate. The aim of this work is to explore the effect of quantum fluctuations on the fully-frustrated honeycomb model to see what sort of interesting physics arises. One might expect unusual physics due to the quantum hard-core dimer model, where interesting physics are known to exist. This is because there is a duality mapping between the classical dimer model and the classical fully-frustrated honeycomb Ising model. Indeed, by studying the fully-frustrated honeycomb XXZ model we find that in some cases the system orders into crystal-like structures, a case of order-by-disorder. The most interesting case, when the frustrating bonds are chosen randomly, reveals to us a novel state without any discernible order while at the same time avoiding the freezing one would expect of a glass. This state is a featureless system lacking low temperature magnetic susceptibility---a candidate ``quantum spin liquid''. Future work that might more easily measure quantum spin liquid criteria is suggested.

In this thesis we present results from quantum Monte Carlo for the fully-frustrated honeycomb lattice. The XXZ model is of interest in the classical limit, as there is a mapping between the classical fully-frustrated honeycomb Ising model groundstates and the classical hard-core dimer model groundstate. The aim of this work is to explore the effect of quantum fluctuations on the fully-frustrated honeycomb model to see what sort of interesting physics arises. One might expect unusual physics due to the quantum hard-core dimer model, where interesting physics are known to exist. This is because there is a duality mapping between the classical dimer model and the classical fully-frustrated honeycomb Ising model. Indeed, by studying the fully-frustrated honeycomb XXZ model we find that in some cases the system orders into crystal-like structures, a case of order-by-disorder. The most interesting case, when the frustrating bonds are chosen randomly, reveals to us a novel state without any discernible order while at the same time avoiding the freezing one would expect of a glass. This state is a featureless system lacking low temperature magnetic susceptibility---a candidate ``quantum spin liquid''. Future work that might more easily measure quantum spin liquid criteria is suggested.

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第23731号 / 理博第4821号 / 新制||理||1689(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科化学専攻 / (主査)教授 谷村 吉隆, 教授 林 重彦, 教授 渡邊 一也 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DGAM

Dans cette thèse, la connexion entre certaines structures algébriques récentes (algèbres tridiagonales, algèbre q-Onsager, algèbres q-Onsager généralisées), la théorie des représentations (paire tridiagonale, paire de Leonard, polynômes orthogonaux), certaines des propriétés de ces algèbres et l’analyse de modèles intégrables quantiques sur le réseau (la chaîne de spin XXZ ouverte aux racines de l’unité) est considérée. / In this thesis, the connection between recently introduced algebraic structures (tridiagonal algebra, q-Onsager algebra, generalized q-Onsager algebras), related representation theory (tridiagonal pair, Leonard pair, orthogonal polynomials), some properties of these algebras and the analysis of related quantum integrable models on the lattice (the XXZ open spin chain at roots of unity) is considered.

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Les modèles sur réseau comme ceux de la percolation, d’Ising et de Potts servent à décrire les transitions de phase en deux dimensions. La recherche de leur solution analytique passe par le calcul de la fonction de partition et la diagonalisation de matrices de transfert. Au point critique, ces modèles statistiques bidimensionnels sont invariants sous les transformations conformes et la construction de théories des champs conformes rationnelles, limites continues des modèles statistiques, permet un calcul de la fonction de partition au point critique. Plusieurs chercheurs pensent cependant que le paradigme des théories des champs conformes rationnelles peut être élargi pour inclure les modèles statistiques avec des matrices de transfert non diagonalisables. Ces modèles seraient alors décrits, dans la limite d’échelle, par des théories des champs logarithmiques et les représentations de l’algèbre de Virasoro intervenant dans la description des observables physiques seraient indécomposables. La matrice de transfert de boucles D_N(λ, u), un élément de l’algèbre de Temperley- Lieb, se manifeste dans les théories physiques à l’aide des représentations de connectivités ρ (link modules). L’espace vectoriel sur lequel agit cette représentation se décompose en secteurs étiquetés par un paramètre physique, le nombre d de défauts. L’action de cette représentation ne peut que diminuer ce nombre ou le laisser constant. La thèse est consacrée à l’identification de la structure de Jordan de D_N(λ, u) dans ces représentations. Le paramètre β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixe la théorie : β = 1 pour la percolation et √2 pour le modèle d’Ising, par exemple. Sur la géométrie du ruban, nous montrons que D_N(λ, u) possède les mêmes blocs de Jordan que F_N, son plus haut coefficient de Fourier. Nous étudions la non diagonalisabilité de F_N à l’aide des divergences de certaines composantes de ses vecteurs propres, qui apparaissent aux valeurs critiques de λ. Nous prouvons dans ρ(D_N(λ, u)) l’existence de cellules de Jordan intersectorielles, de rang 2 et couplant des secteurs d, d′ lorsque certaines contraintes sur λ, d, d′ et N sont satisfaites. Pour le modèle de polymères denses critique (β = 0) sur le ruban, les valeurs propres de ρ(D_N(λ, u)) étaient connues, mais les dégénérescences conjecturées. En construisant un isomorphisme entre les modules de connectivités et un sous-espace des modules de spins du modèle XXZ en q = i, nous prouvons cette conjecture. Nous montrons aussi que la restriction de l’hamiltonien de boucles à un secteur donné est diagonalisable et trouvons la forme de Jordan exacte de l’hamiltonien XX, non triviale pour N pair seulement. Enfin nous étudions la structure de Jordan de la matrice de transfert T_N(λ, ν) pour des conditions aux frontières périodiques. La matrice T_N(λ, ν) a des blocs de Jordan intrasectoriels et intersectoriels lorsque λ = πa/b, et a, b ∈ Z×. L’approche par F_N admet une généralisation qui permet de diagnostiquer des cellules intersectorielles dont le rang excède 2 dans certains cas et peut croître indéfiniment avec N. Pour les blocs de Jordan intrasectoriels, nous montrons que les représentations de connectivités sur le cylindre et celles du modèle XXZ sont isomorphes sauf pour certaines valeurs précises de q et du paramètre de torsion v. En utilisant le comportement de la transformation i_N^d dans un voisinage des valeurs critiques (q_c, v_c), nous construisons explicitement des vecteurs généralisés de Jordan de rang 2 et discutons l’existence de blocs de Jordan intrasectoriels de plus haut rang. / Lattice models such as percolation, the Ising model and the Potts model are useful for the description of phase transitions in two dimensions. Finding analytical solutions is done by calculating the partition function, which in turn requires finding eigenvalues of transfer matrices. At the critical point, the two dimensional statistical models are invariant under conformal transformations and the construction of rational conformal field theories, as the continuum limit of these lattice models, allows one to compute the partition function at the critical point. Many researchers think however that the paradigm of rational conformal conformal field theories can be extended to include models with non diagonalizable transfer matrices. These models would then be described, in the scaling limit, by logarithmic conformal field theories and the representations of the Virasoro algebra coming into play would be indecomposable. We recall the construction of the double-row transfer matrix D_N(λ, u) of the Fortuin-Kasteleyn model, seen as an element of the Temperley-Lieb algebra. This transfer matrix comes into play in physical theories through its representation in link modules (or standard modules). The vector space on which this representation acts decomposes into sectors labelled by a physical parameter d, the number of defects, which remains constant or decreases in the link representations. This thesis is devoted to the identification of the Jordan structure of D_N(λ, u) in the link representations. The parameter β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixes the theory : for instance β = 1 for percolation and √2 for the Ising model. On the geometry of the strip with open boundary conditions, we show that D_N(λ, u) has the same Jordan blocks as its highest Fourier coefficient, F_N. We study the non-diagonalizability of F_N through the divergences of some of the eigenstates of ρ(F_N) that appear at the critical values of λ. The Jordan cells we find in ρ(D_N(λ, u)) have rank 2 and couple sectors d and d′ when specific constraints on λ, d, d′ and N are satisfied. For the model of critical dense polymers (β = 0) on the strip, the eigenvalues of ρ(D_N(λ, u)) were known, but their degeneracies only conjectured. By constructing an isomorphism between the link modules on the strip and a subspace of spin modules of the XXZ model at q = i, we prove this conjecture. We also show that the restriction of the Hamiltonian to any sector d is diagonalizable, and that the XX Hamiltonian has rank 2 Jordan cells when N is even. Finally, we study the Jordan structure of the transfer matrix T_N(λ, ν) for periodic boundary conditions. When λ = πa/b and a, b ∈ Z×, the matrix T_N(λ, ν) has Jordan blocks between sectors, but also within sectors. The approach using F_N admits a generalization to the present case and allows us to probe the Jordan cells that tie different sectors. The rank of these cells exceeds 2 in some cases and can grow indefinitely with N. For the Jordan blocks within a sector, we show that the link modules on the cylinder and the XXZ spin modules are isomorphic except for specific curves in the (q, v) plane. By using the behavior of the transformation i_N^d in a neighborhood of the critical values (q_c, v_c), we explicitly build Jordan partners of rank 2 and discuss the existence of Jordan cells with higher rank.

Cette thèse porte sur les phénomènes critiques survenant dans les modèles bidimensionnels sur réseau. Les résultats sont l'objet de deux articles : le premier porte sur la mesure d'exposants critiques décrivant des objets géométriques du réseau et, le second, sur la construction d'idempotents projetant sur des modules indécomposables de l'algèbre de Temperley-Lieb pour la chaîne de spins XXZ. Le premier article présente des expériences numériques Monte Carlo effectuées pour une famille de modèles de boucles en phase diluée. Baptisés "dilute loop models (DLM)", ceux-ci sont inspirés du modèle O(n) introduit par Nienhuis (1990). La famille est étiquetée par les entiers relativement premiers p et p' ainsi que par un paramètre d'anisotropie. Dans la limite thermodynamique, il est pressenti que le modèle DLM(p,p') soit décrit par une théorie logarithmique des champs conformes de charge centrale c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), où \kappa=p/p' est lié à la fugacité du gaz de boucles \beta=-2\cos\pi/\kappa, pour toute valeur du paramètre d'anisotropie. Les mesures portent sur les exposants critiques représentant la loi d'échelle des objets géométriques suivants : l'interface, le périmètre externe et les liens rouges. L'algorithme Metropolis-Hastings employé, pour lequel nous avons introduit de nombreuses améliorations spécifiques aux modèles dilués, est détaillé. Un traitement statistique rigoureux des données permet des extrapolations coïncidant avec les prédictions théoriques à trois ou quatre chiffres significatifs, malgré des courbes d'extrapolation aux pentes abruptes. Le deuxième article porte sur la décomposition de l'espace de Hilbert \otimes^nC^2 sur lequel la chaîne XXZ de n spins 1/2 agit. La version étudiée ici (Pasquier et Saleur (1990)) est décrite par un hamiltonien H_{XXZ}(q) dépendant d'un paramètre q\in C^\times et s'exprimant comme une somme d'éléments de l'algèbre de Temperley-Lieb TL_n(q). Comme pour les modèles dilués, le spectre de la limite continue de H_{XXZ}(q) semble relié aux théories des champs conformes, le paramètre q déterminant la charge centrale. Les idempotents primitifs de End_{TL_n}\otimes^nC^2 sont obtenus, pour tout q, en termes d'éléments de l'algèbre quantique U_qsl_2 (ou d'une extension) par la dualité de Schur-Weyl quantique. Ces idempotents permettent de construire explicitement les TL_n-modules indécomposables de \otimes^nC^2. Ceux-ci sont tous irréductibles, sauf si q est une racine de l'unité. Cette exception est traitée séparément du cas où q est générique. Les problèmes résolus par ces articles nécessitent une grande variété de résultats et d'outils. Pour cette raison, la thèse comporte plusieurs chapitres préparatoires. Sa structure est la suivante. Le premier chapitre introduit certains concepts communs aux deux articles, notamment une description des phénomènes critiques et de la théorie des champs conformes. Le deuxième chapitre aborde brièvement la question des champs logarithmiques, l'évolution de Schramm-Loewner ainsi que l'algorithme de Metropolis-Hastings. Ces sujets sont nécessaires à la lecture de l'article "Geometric Exponents of Dilute Loop Models" au chapitre 3. Le quatrième chapitre présente les outils algébriques utilisés dans le deuxième article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2", constituant le chapitre 5. La thèse conclut par un résumé des résultats importants et la proposition d'avenues de recherche qui en découlent. / This thesis is concerned with the study of critical phenomena for two-dimensional models on the lattice. Its results are contained in two articles: A first one, devoted to measuring geometric exponents, and a second one to the construction of idempotents for the XXZ spin chain projecting on indecomposable modules of the Temperley-Lieb algebra. Monte Carlo experiments, for a family of loop models in their dilute phase, are presented in the first article. Coined "dilute loop models (DLM)", this family is based upon an O(n) model introduced by Nienhuis (1990). It is defined by two coprime integers p,p' and an anisotropy parameter. In the continuum limit, DLM(p,p') is expected to yield a logarithmic conformal field theory of central charge c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), where the ratio \kappa=p/p' is related to the loop gas fugacity \beta=-2\cos\pi/\kappa. Critical exponents pertaining to valuable geometrical objects, namely the hull, external perimeter and red bonds, were measured. The Metropolis-Hastings algorithm, as well as several methods improving its efficiency, are presented. Despite the extrapolation of curves presenting large slopes, values as close as three to four digits from the theoretical predictions were attained through rigorous statistical analysis. The second article describes the decomposition of the XXZ spin chain Hilbert space \otimes^nC^2 using idempotents. The model of interest (Pasquier & Saleur (1990)) is described by a parameter-dependent Hamiltonian H_{XXZ}(q), q\in C^\times, expressible as a sum of elements of the Temperley-Lieb algebra TL_n(q). The spectrum of H_{XXZ}(q) in the continuum limit is also believed to be related to conformal field theories whose central charge is set by q. Using the quantum Schur-Weyl duality, an expression for the primitive idempotents of End_{TL_n}\otimes^nC^2, involving U_qsl_2 elements, is obtained. These idempotents allow for the explicit construction of the indecomposable TL_n-modules of \otimes^nC^2, all of which are irreducible except when q is a root of unity. This case, and the case where q is generic, are treated separately. Since a wide variety of results and tools are required to tackle the problems stated above, this thesis contains many introductory chapters. Its layout is as follows. The first chapter introduces theoretical concepts common to both articles, in particular an overview of critical phenomena and conformal field theory. Before proceeding to the article entitled \emph{Geometric Exponents of Dilute Loop Models} constituting Chapter 3, the second chapter deals briefly with logarithmic conformal fields, Schramm-Loewner evolution and the Metropolis-Hastings algorithm. The fourth chapter defines some algebraic concepts used in the second article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2" of Chapter 5. A summary of the main results, as well as paths to unexplored questions, are suggested in a final chapter.

Les modèles sur réseau comme ceux de la percolation, d’Ising et de Potts servent à décrire les transitions de phase en deux dimensions. La recherche de leur solution analytique passe par le calcul de la fonction de partition et la diagonalisation de matrices de transfert. Au point critique, ces modèles statistiques bidimensionnels sont invariants sous les transformations conformes et la construction de théories des champs conformes rationnelles, limites continues des modèles statistiques, permet un calcul de la fonction de partition au point critique. Plusieurs chercheurs pensent cependant que le paradigme des théories des champs conformes rationnelles peut être élargi pour inclure les modèles statistiques avec des matrices de transfert non diagonalisables. Ces modèles seraient alors décrits, dans la limite d’échelle, par des théories des champs logarithmiques et les représentations de l’algèbre de Virasoro intervenant dans la description des observables physiques seraient indécomposables. La matrice de transfert de boucles D_N(λ, u), un élément de l’algèbre de Temperley- Lieb, se manifeste dans les théories physiques à l’aide des représentations de connectivités ρ (link modules). L’espace vectoriel sur lequel agit cette représentation se décompose en secteurs étiquetés par un paramètre physique, le nombre d de défauts. L’action de cette représentation ne peut que diminuer ce nombre ou le laisser constant. La thèse est consacrée à l’identification de la structure de Jordan de D_N(λ, u) dans ces représentations. Le paramètre β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixe la théorie : β = 1 pour la percolation et √2 pour le modèle d’Ising, par exemple. Sur la géométrie du ruban, nous montrons que D_N(λ, u) possède les mêmes blocs de Jordan que F_N, son plus haut coefficient de Fourier. Nous étudions la non diagonalisabilité de F_N à l’aide des divergences de certaines composantes de ses vecteurs propres, qui apparaissent aux valeurs critiques de λ. Nous prouvons dans ρ(D_N(λ, u)) l’existence de cellules de Jordan intersectorielles, de rang 2 et couplant des secteurs d, d′ lorsque certaines contraintes sur λ, d, d′ et N sont satisfaites. Pour le modèle de polymères denses critique (β = 0) sur le ruban, les valeurs propres de ρ(D_N(λ, u)) étaient connues, mais les dégénérescences conjecturées. En construisant un isomorphisme entre les modules de connectivités et un sous-espace des modules de spins du modèle XXZ en q = i, nous prouvons cette conjecture. Nous montrons aussi que la restriction de l’hamiltonien de boucles à un secteur donné est diagonalisable et trouvons la forme de Jordan exacte de l’hamiltonien XX, non triviale pour N pair seulement. Enfin nous étudions la structure de Jordan de la matrice de transfert T_N(λ, ν) pour des conditions aux frontières périodiques. La matrice T_N(λ, ν) a des blocs de Jordan intrasectoriels et intersectoriels lorsque λ = πa/b, et a, b ∈ Z×. L’approche par F_N admet une généralisation qui permet de diagnostiquer des cellules intersectorielles dont le rang excède 2 dans certains cas et peut croître indéfiniment avec N. Pour les blocs de Jordan intrasectoriels, nous montrons que les représentations de connectivités sur le cylindre et celles du modèle XXZ sont isomorphes sauf pour certaines valeurs précises de q et du paramètre de torsion v. En utilisant le comportement de la transformation i_N^d dans un voisinage des valeurs critiques (q_c, v_c), nous construisons explicitement des vecteurs généralisés de Jordan de rang 2 et discutons l’existence de blocs de Jordan intrasectoriels de plus haut rang. / Lattice models such as percolation, the Ising model and the Potts model are useful for the description of phase transitions in two dimensions. Finding analytical solutions is done by calculating the partition function, which in turn requires finding eigenvalues of transfer matrices. At the critical point, the two dimensional statistical models are invariant under conformal transformations and the construction of rational conformal field theories, as the continuum limit of these lattice models, allows one to compute the partition function at the critical point. Many researchers think however that the paradigm of rational conformal conformal field theories can be extended to include models with non diagonalizable transfer matrices. These models would then be described, in the scaling limit, by logarithmic conformal field theories and the representations of the Virasoro algebra coming into play would be indecomposable. We recall the construction of the double-row transfer matrix D_N(λ, u) of the Fortuin-Kasteleyn model, seen as an element of the Temperley-Lieb algebra. This transfer matrix comes into play in physical theories through its representation in link modules (or standard modules). The vector space on which this representation acts decomposes into sectors labelled by a physical parameter d, the number of defects, which remains constant or decreases in the link representations. This thesis is devoted to the identification of the Jordan structure of D_N(λ, u) in the link representations. The parameter β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixes the theory : for instance β = 1 for percolation and √2 for the Ising model. On the geometry of the strip with open boundary conditions, we show that D_N(λ, u) has the same Jordan blocks as its highest Fourier coefficient, F_N. We study the non-diagonalizability of F_N through the divergences of some of the eigenstates of ρ(F_N) that appear at the critical values of λ. The Jordan cells we find in ρ(D_N(λ, u)) have rank 2 and couple sectors d and d′ when specific constraints on λ, d, d′ and N are satisfied. For the model of critical dense polymers (β = 0) on the strip, the eigenvalues of ρ(D_N(λ, u)) were known, but their degeneracies only conjectured. By constructing an isomorphism between the link modules on the strip and a subspace of spin modules of the XXZ model at q = i, we prove this conjecture. We also show that the restriction of the Hamiltonian to any sector d is diagonalizable, and that the XX Hamiltonian has rank 2 Jordan cells when N is even. Finally, we study the Jordan structure of the transfer matrix T_N(λ, ν) for periodic boundary conditions. When λ = πa/b and a, b ∈ Z×, the matrix T_N(λ, ν) has Jordan blocks between sectors, but also within sectors. The approach using F_N admits a generalization to the present case and allows us to probe the Jordan cells that tie different sectors. The rank of these cells exceeds 2 in some cases and can grow indefinitely with N. For the Jordan blocks within a sector, we show that the link modules on the cylinder and the XXZ spin modules are isomorphic except for specific curves in the (q, v) plane. By using the behavior of the transformation i_N^d in a neighborhood of the critical values (q_c, v_c), we explicitly build Jordan partners of rank 2 and discuss the existence of Jordan cells with higher rank.