Konstanz, Univ., Diss., 1983.

Chemnitz, Techn. Univ., Masterarb., 2008.

Next to the emergence of nearly isolated quantum systems such as ultracold atoms with unprecedented experimental tunability, the conceptualization of the eigenstate thermalization hypothesis (ETH) by Deutsch and Srednicki in the late 20th century has sparked exceptional interest in the mechanism of quantum thermalization. The ETH conjectures that the expectation value of a local observable within the quantum state of an isolated, interacting quantum system converges to the thermal equilibrium value at large times caused by a loss of phase coherence, referred to as dephasing. The thermal behavior within the quantum expectation value is traced back to the level of individual eigenstates, who locally act as a thermal bath to subsystems of the full quantum system and are hence locally indistinguishable to thermal states. The ETH has important implications for the understanding of the foundations of statistical mechanics, the quantum-to-classical transition, and the nature of quantum entanglement. Irrespective of its theoretical success, a rigorous proof has remained elusive so far. $$ \ $$ An alternative approach to explain thermalization of quantum states is given by the concept of typicality. Typicality deals with typical states \(\Psi\) chosen from a subspace of Hilbert space with energy \(E\) and small fluctuations \(\delta\) around it. It assumes that the possible microstates of this subspace of Hilbert space are uniformly distributed random vectors. This is inspired by the microcanonical ensemble in classical statistical mechanics, which assumes equal weights for all accessible microstates with energy \(E\) within an energy allowance \(\delta\). It follows from the ergodic hypothesis, which states that the time spent in each part of phase space is proportional to its volume leading to large time averages being equated to ensemble averages. In typicality, the Hilbert space of quantum mechanics is hence treated as an analogue of classical phase space where statistical and thermodynamic properties can be defined. Since typicality merely shifts assumptions of statistical mechanics to the quantum realm, it does not provide a complete understanding of the emergence of thermalization on a fundamental microscopic level. $$ \ $$ To gain insights on quantum thermalization and derive it from a microscopic approach, we exclusively consider the fundamental laws of quantum mechanics. In the joint work with T. Hofmann, R. Thomale and M. Greiter, on which this thesis reports, we explore the ETH in generic local Hamiltonians in a two-dimensional spin-\(1/2\) lattice with random nearest neighbor spin-spin interactions and random on-site magnetic fields. This isolated quantum system is divided into a small subsystem weakly coupled to the remaining part, which is assumed to be large and which we refer to as bath. Eigenstates of the full quantum system as well as the action of local operators on those can then be decomposed in terms of a product basis of eigenstates of the small subsystem and the bath. Central to our analysis is the fact that the coupling between the subsystem and the bath, represented in terms of the uncoupled product eigenbasis, is given by an energy dependent random band matrix, which is obtained from both analytical and numerical considerations. $$ \ $$ Utilizing the methods of Dyson-Brownian random matrix theory for random band matrices, we analytically show that the overlaps of eigenstates of the full quantum system with the uncoupled product eigenbasis are described by Cauchy-Lorentz distributions close to their respective peaks. The result is supported by an extensive numerical study using exact diagonalization, where the numerical parameters for the overlap curve agree with the theoretical calculation. The information on the decomposition of the eigenstates of the full quantum system enables us to derive the reduced density matrix within the small subsystem given the pure density matrix of a single eigenstate. We show that in the large bath limit the reduced density matrix converges to a thermal density matrix with canonical Boltzmann probabilities determined by renormalized energies of the small subsystem which are shifted from their bare values due the influence of the coupling to the bath. The behavior of the reduced density matrix is confirmed through a finite size scaling analysis of the numerical data. Within our calculation, we make use of the pivotal result, that the density of states of a local random Hamiltonian is given by a Gaussian distribution under very general circumstances. As a consequence of our analysis, the quantum expectation value of any local observable in the subsystem agrees with its thermal expectation value, which proves the validity of the ETH in the equilibrium phase for the considered class of random local Hamiltonians and elevates it from hypothesis to theory. $$ \ $$ Our analysis of quantum thermalization solely relies on the application of quantum mechanics to large systems, locality and the absence of integrability. With the self-averaging property of large random matrices, random matrix theory does not entail a statistical assumption, but is rather applied as a mathematical tool to extract information about the behavior of large quantum systems. The canonical distribution of statistical mechanics is derived without resorting to statistical assumptions such as the concepts of ergodicity or maximal entropy, nor assuming any characteristics of quantum states such as in typicality. In future research, with this microscopic approach it may become possible to exactly pinpoint the origin of failure of quantum thermalization, e.g. in systems that exhibit many body localization or many body quantum scars. The theory further enables the systematic investigation of equilibration, i.e. to study the time scales on which thermalization takes place. / Neben der Entwicklung experimentell zugänglicher nahezu isolierter Quantensysteme wie ultrakalter Gase hat die Formulierung der Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH) durch Deutsch und Srednicki im späten 20. Jahrhundert ein gesteigertes Interesse am Mechanismus der Quantenthermalisierung geweckt. Die ETH postuliert, dass der Erwartungswert einer lokalen Observablen innerhalb des Quantenzustands eines isolierten, wechselwirkenden Quantensystems bei großen Zeiten zum thermischen Gleichgewichtswert konvergiert. Dies vollzieht sich durch den Verlust der Phasenkohärenz im Erwartungswert der lokalen Observable, was als Dephasing bekannt ist. Das thermische Verhalten innerhalb des Quantenerwartungswerts wird auf die Ebene einzelner Eigenzustände zurückgeführt, die lokal als thermisches Bad für Untersysteme des gesamten Quantensystems wirken und daher lokal nicht von thermischen Zuständen unterscheidbar sind. Die ETH hat wichtige Auswirkungen auf das Verständnis der Grundlagen der statistischen Mechanik, des Übergangs von der Quanten- zur klassischen Physik und der Natur der Quantenverschränkung. Ungeachtet ihres theoretischen Erfolges ist ein rigoroser Beweis der Hypothese bisher nicht erfolgt. $$ \ $$ Ein alternativer Ansatz zur Erklärung der Thermalisierung von Quantenzuständen ist das Konzept der typicality. Typicality befasst sich mit typischen Zuständen \(\Psi\), die aus einem Unterraum des Hilbertraums mit Energie \(E\) und kleinen Fluktuationen \(\delta\) ausgewählt werden. Dabei wird angenommen, dass die möglichen Mikrozustände dieses Unterraums des Hilbertraums gleichmäßig verteilte Zufallsvektoren sind. Dies ist ein aus dem klassischen mikrokanonischen Ensemble übertragener Ansatz, der von einer Gleichgewichtung aller Mikrozustände mit der Energie \(E\) in einem Energiebereich \(\delta\) ausgeht. Das geht auf die ergodische Hypothese zurück, die besagt, dass die verbrachte Zeit in jedem Teil des klassischen Phasenraums proportional zu dessen Volumen ist. Dies führt schlussendlich zu einer Gleichsetzung der Mittelwerte bei großen Zeiten mit Ensemblemittelwerten. Der Hilbertraum in der Quantenmechanik wird mit typicality daher als Analogon des klassischen Phasenraums behandelt, in dem statistische und thermodynamische Eigenschaften definiert werden können. Da typicality lediglich Annahmen der statistischen Mechanik auf den Quantenbereich überträgt, kann sie kein vollständiges mikroskopisches Bild der Entstehung von Thermalisierung liefern. $$ \ $$ Um Erkenntnisse über die Quantenthermalisierung zu gewinnen und sie aus einem mikroskopischen Ansatz abzuleiten, stützen wir uns ausschließlich auf die grundlegenden Gesetze der Quantenmechanik. In der gemeinsamen Arbeit mit T. Hofmann, R. Thomale und M. Greiter, von der diese Arbeit berichtet, untersuchen wir die ETH in generischen lokalen Hamiltonians in einem zweidimensionalen Spin-\(1/2\)-Gitter mit zufälligen Spin-Spin-Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn und zufälligen lokalen Magnetfeldern. Dieses isolierte Quantensystem wird in ein kleines Untersystem aufgeteilt, das schwach an den verbleibenden Teil gekoppelt ist, der als groß angenommen und als Bad bezeichnet wird. Die Eigenzustände des gesamten Quantensystems sowie die Wirkung lokaler Operatoren auf diese können dann in Form einer Produktbasis von Eigenzuständen des kleinen Untersystems und des Bades zerlegt werden. Von zentraler Bedeutung für unsere Analyse ist die Tatsache, dass die Kopplung zwischen dem Untersystem und dem Bad, die in Form der ungekoppelten Produkteigenbasis dargestellt wird, durch eine energieabhängige Zufallsbandmatrix gegeben ist, welche sowohl aus analytischen als auch numerischen Überlegungen gewonnen wird. $$ \ $$ Unter Verwendung der Methoden der mathematischen Theorie für zufällige Bandmatrizen finden wir analytisch heraus, dass der Überlapp von Quanteneigenzuständen mit der ungekoppelten Produkteigenbasis durch Cauchy-Lorentzverteilungen in den Badenergien in der Nähe ihrer jeweiligen Peaks beschrieben werden. Das Ergebnis wird durch eine umfangreiche numerische Studie mit exakter Diagonalisierung bestätigt, bei der die numerischen Parameter für die Überlapps mit der theoretischen Berechnung übereinstimmen. Die Information über die Form der Quanteneigenzustände ermöglicht es uns, die reduzierte Dichtematrix in dem kleinen Untersystem aus der reinen Dichtematrix eines einzelnen Eigenzustandes des isolierten Quantensystems abzuleiten. Wir zeigen, dass sie im Limes großer Bäder zu einer thermischen Dichtematrix mit kanonischen Boltzmann-Gewichten auf der Diagonalen konvergiert. Dies wird mithilfe einer numerischen Skalierungsanalyse für endliche Systeme bestätigt. In unseren Berechnungen verwenden wir das zentrale Ergebnis, dass die Zustandsdichte eines lokalen zufälligen Hamiltonians unter allgemeinen Bedingungen durch eine Gauß-Verteilung gegeben ist. Aus unserer Analyse folgt, dass der Quantenerwartungswert jeder lokalen Observablen in dem Untersystem mit ihrem thermischen Erwartungswert übereinstimmt, was die Gültigkeit der ETH in der Gleichgewichtsphase für die betrachtete Klasse von Hamiltonians beweist. $$ \ $$ Unsere Analyse der Quantenthermalisierung beruht ausschließlich auf der Anwendung der Quantenmechanik auf große Systeme, der Lokalität und der fehlenden Integrabilität. Stützend auf der mathematischen Eigenschaft des Self-averaging von großen Zufallsmatrizen impliziert die Zufallsmatrixtheorie keine statistische Annahme, sondern wird vielmehr als mathematisches Instrument eingesetzt, um Informationen über das Verhalten großer Quantensysteme zu extrahieren. Die kanonische Verteilung der statistischen Mechanik wird abgeleitet, ohne auf die Konzepte der Ergodizität oder der maximalen Entropie zurückzugreifen und ohne irgendwelche Eigenschaften von Quantenzuständen anzunehmen wie es etwa bei typicality der Fall ist. Mit diesem mikroskopischen Ansatz könnte es zudem in zukünftiger Forschung möglich werden, den Ursprung des Nichterfüllens der Quantenthermalisierung, z.B. in Systemen mit Vielteilchenlokalisierung oder Quanten-Scar-Zuständen, exakt zu bestimmen. Die Theorie könnte außerdem eine systematische Untersuchung der Equilibrierung ermöglichen, d.h. die Bestimmung der Zeitskalen, auf denen Thermalisierung stattfindet.

Uwe Stephan Dissertation This work is concerned with methods and results for the calculation of electronic properties of amorphous carbon models (a-C). These investigations are based upon a very efficient non-selfconsistent ab-initio procedure for the evaluation of electronic states of extended systems using modified self- consistent DFT-LDA states and potentials of neutral atoms. Starting from the LCAO matrices constructed in this method, the electronic densities of states (DOS) of model systems are calculated by diagonalization or with use of the recursion method. Both techniques and, in particular, several versions of the recursion method will be investigated and compared with respect to their numerical efficiency and practical applicability. For DOS calculations in carbon systems a modification of the atomic SCF routine will be proposed and tested in application to the crystalline carbon allotropes diamond and graphite. In this work, the investigation of a-C structures is based on various structural models which have been generated in the author's research group by means of molecular-dynamics simulations using the empirical Tersoff potential as well as the just mentioned DFT-LDA approach. The total energy in this latter procedure is calculated as the sum of the band-structure energy and an empirical repulsive pair potential; contrary to the purely empirical approach, this scheme therefore includes pi-bonding effects and gives rise to a superior description of defect states in these models. As suggested by an analysis of the localization properties of the eigenstates, the defect structure in a-C models depends primarily on the ability of pi- and weak-sigma-bonded undercoordinated atoms to cluster. To investigate these clustering effects, a pi-bonding analysis will be proposed which enables the quantification and classification of the defect states and the estimation of gaps between pi bands. This procedure, which will be justified by local DOS calculations, provides essential structure-property correlations in dependence on the mass densities of the models. Within predominantly fourfold-coordinated models, the occurrence of a certain fraction of threefold-coordinated atoms turns out to stabilize the network by achieving optimum stress and defect minimization due to the preferred formation of pi-bonded atom pairs. Such models exhibit mass densities and pi gaps of about 3.0 g/cm^3 and 2.4 eV, respectively, in close agreement with recent experimental results.

In dieser Arbeit wird vor allem der Einflu¨s eines quasiperiodischen Gitters und dessen Topologie auf die Lokalisierungseigenschaften der Eigenzust¨ande und die elektronische Zustandsdichte untersucht. Ausgehend vom Penrosegitter und dessen dreidimensionalen Analogons werden auch die quasiperiodischen Gitter aus anderen lokal isomorphen Klassen untersucht. Durch den Einbau von Phasonendefekten werden weiterhin Random-Tiling-Gitter konstruiert. Ferner wird untersucht, inwieweit ein quasiperiodisches Gitter den Metall-Isolator-¨Ubergang beeinflu¨st. Zwei- und dreidimensionale Quasigitter werden mit der Gridmethode nach de Bruijn konstruiert und ¨Random Tiling¨-Gitter durch den Einbau von Phasonendefekten erzeugt. Im Vertexmodell wird jeder Ecke eines Rhombus ein s-Atomorbital zugewiesen mit ausschlie¨slich N¨achster-Nachbar-Wechselwirkung entlang der Kanten. Aus den berechneten Eigenzust¨anden werden Zustandsdichten berechnet und deren Partizipationzahlen und R¨uckkehrwahrscheinlichkeiten bestimmt, um das Lokalisierungsverhalten zu untersuchen. Im Penrosegitter zeigen die Zustandsdichten eine hohe Entartung in der Bandmitte. Die entsprechenden Zust¨ande sind stark lokalisiert (¨confined states¨) und durch eine Energiel¨ucke von den anderen Energieniveaus getrennt. Die Zust¨ande an der Bandkante sind dagegen ausgedehnt. Durch die Phasonen werden die Zustandsdichte und das Lokalisierungsverhalten ver¨andert. Im Falle dreidimensionaler Quasigitter ist die Energiel¨ucke verschwunden, und man findet eine wesentlich kleinere Anzahl entarteter Zust¨ande in der Bandmitte. Die anderen Zust¨ande in der Bandmitte sind nicht lokalisiert.

The parQ method, up to now only capable of calculating the density of states in the canonical ensemble, is extended to the grand canonical ensemble and compared to the Wang-Landau algorithm, a local-update flat-histogram method. Both algorithms have been implemented so that the performance and the respective benefits with increasing simulation time can be determined and compared.

Die elektronische Zustandsdichte ist die grundlegende Größe zum Verständnis von Ladungstransportprozessen in Materialien. In der vorliegenden Arbeit wird eine Methode zur Bestimmung dieser Dichte, die für organische Feldeffekttransistoren (OFET) vorgeschlagen wurde, für organischen Transistoren mit durchlässiger Basis (OPBT) adaptiert. Dabei wird aus temperaturabhängigen Transferkurven die Aktivierungsenergie für den Emitterstrom bestimmt und aus deren Spannungsabhängigkeit die Zustandsdichte abgeleitet. Es wird gezeigt, dass die Anwendung der Methode bei OPBTs unter bestimmten Voraussetzungen möglich ist. Die Qualität der Resultate hängt vom jeweiligen Transistor ab. Ein homogeneres und dickeres Basisoxid, wie es durch Anodisierung der Basiselektrode entsteht, wirkt sich positiv auf die Qualität aus. Die bestimmten Zustandsdichten liegen abhängig vom konkreten Transistor im Bereich 10^18 eV^−1 cm^−3…10^20 eV^−1 cm^−3 in einem Energiebereich von 200 meV. Die Form der Verteilung ist näherungsweise exponentiell mit einer Breite von etwa 4 meV.:1 Einleitung 2 Grundlagen 2.1 Organische Halbleiter 2.1.1 Organische Moleküle und Festkörper 2.1.2 Ladungstransport 2.1.3 Modelle und Konzepte 2.1.4 C60 2.2 Organische Transistoren 2.3 Organischer Transistor mit durchlässiger Basis 2.3.1 Geometrie 2.3.2 Zustände und Transferkurvenabschnitte 2.3.3 Energiediagramm 2.3.4 Anodisierung 2.3.5 Chemische und elektrische Belastung 2.4 Zustandsdichte 2.4.1 Modelle 2.4.2 Zustandsdichtebestimmung 3 Experiment 3.1 Transistoren 3.1.1 Herstellung 3.1.2 Anodisierung 3.2 Temperaturabhängige Transferkurven 3.2.1 Wahl der Parameter 3.2.2 Auswertung der Daten 3.3 Belastungstests und Parametervariation 3.4 Kapazitätsmessung 4 Auswertung 4.1 Bestimmung der Aktivierungsenergie 4.2 Bestimmung der Zustandsdichte 4.2.1 Anwendbarkeit und Zuverlässigkeit 4.2.2 Wahl der Kanaldicke 4.2.3 Kapazitätsbestimmung 4.3 Auswirkung der Anodisierung 4.4 Auswirkung von elektrischer und chemischer Belastung 4.5 Einfluss der Halbleiterschichtdicke 5 Diskussion 5.1 Schlussfolgerungen 5.2 Ausblick A Messdaten / The electronic density of states (DOS) is a fundamental quantity which allows a deeper understanding of charge transport processes in materials. In this thesis, a method proposed for organic field-effect transistors (OFET) will be adapted to organic permeable-base transistors (OPBT). The DOS is extracted from temperature dependent transfer curves by determining the activation energy and calculating its derivative with respect to the applied voltage. It is shown that the application of this method to OPBTs is possible under certain circumstances. The quality of the results depends on the transistor. A more homogeneous and thicker base oxide created by anodization results in a better quality. The resulting DOS lies in the range of 10^18 eV^−1 cm^−3…10^20 eV^−1 cm^−3 in an energy interval of 200 meV. The shape of the DOS is approximately exponential with a width of 4 meV.:1 Einleitung 2 Grundlagen 2.1 Organische Halbleiter 2.1.1 Organische Moleküle und Festkörper 2.1.2 Ladungstransport 2.1.3 Modelle und Konzepte 2.1.4 C60 2.2 Organische Transistoren 2.3 Organischer Transistor mit durchlässiger Basis 2.3.1 Geometrie 2.3.2 Zustände und Transferkurvenabschnitte 2.3.3 Energiediagramm 2.3.4 Anodisierung 2.3.5 Chemische und elektrische Belastung 2.4 Zustandsdichte 2.4.1 Modelle 2.4.2 Zustandsdichtebestimmung 3 Experiment 3.1 Transistoren 3.1.1 Herstellung 3.1.2 Anodisierung 3.2 Temperaturabhängige Transferkurven 3.2.1 Wahl der Parameter 3.2.2 Auswertung der Daten 3.3 Belastungstests und Parametervariation 3.4 Kapazitätsmessung 4 Auswertung 4.1 Bestimmung der Aktivierungsenergie 4.2 Bestimmung der Zustandsdichte 4.2.1 Anwendbarkeit und Zuverlässigkeit 4.2.2 Wahl der Kanaldicke 4.2.3 Kapazitätsbestimmung 4.3 Auswirkung der Anodisierung 4.4 Auswirkung von elektrischer und chemischer Belastung 4.5 Einfluss der Halbleiterschichtdicke 5 Diskussion 5.1 Schlussfolgerungen 5.2 Ausblick A Messdaten

Uwe Stephan Dissertation This work is concerned with methods and results for the calculation of electronic properties of amorphous carbon models (a-C). These investigations are based upon a very efficient non-selfconsistent ab-initio procedure for the evaluation of electronic states of extended systems using modified self- consistent DFT-LDA states and potentials of neutral atoms. Starting from the LCAO matrices constructed in this method, the electronic densities of states (DOS) of model systems are calculated by diagonalization or with use of the recursion method. Both techniques and, in particular, several versions of the recursion method will be investigated and compared with respect to their numerical efficiency and practical applicability. For DOS calculations in carbon systems a modification of the atomic SCF routine will be proposed and tested in application to the crystalline carbon allotropes diamond and graphite. In this work, the investigation of a-C structures is based on various structural models which have been generated in the author's research group by means of molecular-dynamics simulations using the empirical Tersoff potential as well as the just mentioned DFT-LDA approach. The total energy in this latter procedure is calculated as the sum of the band-structure energy and an empirical repulsive pair potential; contrary to the purely empirical approach, this scheme therefore includes pi-bonding effects and gives rise to a superior description of defect states in these models. As suggested by an analysis of the localization properties of the eigenstates, the defect structure in a-C models depends primarily on the ability of pi- and weak-sigma-bonded undercoordinated atoms to cluster. To investigate these clustering effects, a pi-bonding analysis will be proposed which enables the quantification and classification of the defect states and the estimation of gaps between pi bands. This procedure, which will be justified by local DOS calculations, provides essential structure-property correlations in dependence on the mass densities of the models. Within predominantly fourfold-coordinated models, the occurrence of a certain fraction of threefold-coordinated atoms turns out to stabilize the network by achieving optimum stress and defect minimization due to the preferred formation of pi-bonded atom pairs. Such models exhibit mass densities and pi gaps of about 3.0 g/cm^3 and 2.4 eV, respectively, in close agreement with recent experimental results.

The modification of the radiation pattern and radiative lifetime of dye molecules in three-dimensional colloidal photonic crystals is studied, using high-resolution optical microscopy and spectroscopy. The experimental observations are compared to corresponding calculations of the local optical density of states. It can be concluded, that the fluorescence of the molecules is redistributed spectrally and spatially within the photonic crystal. / Mit Hilfe hochauflösender optischer Mikroskopie und Spektroskopie werden Änderungen der Abstrahlcharakteristik und strahlenden Lebensdauer von Farbstoffmolekülen in dreidimensionalen kolloidalen photonischen Kristallen untersucht. Die experimentellen Beobachtungen werden mit entsprechenden Berechnungen der lokalen optischen Zustandsdichte verglichen. Hieraus kann auf eine spektrale und räumliche Umverteilung der Fluoreszenz der Moleküle im photonischen Kristall geschlossen werden.

Der Zustandsraum ist ein sehr wichtiges und grundlegendes Konzept für die Untersuchung komplexer Systeme. Alle Eigenschaften des Systems können anhand der Struktur dieses Raumes verstanden werden. Aufgrund der immensen Größe des Zustandsraumes eines realen komplexen Systems ist eine vergröberte Beschreibung unumgänglich für dessen Analyse. In dieser Arbeit werden, aufbauend auf dem lang etablierten Modell der hierarchischen Bäume, spezielle Aspekte komplexer Systeme untersucht. Gleichzeitig wird das verwendete Modell in geeigneter Weise erweitert und verbessert. Im ersten Teil der Forschungsarbeit werden die Besonderheiten des Wahrscheinlichkeitsflusses an einem einzelnen Sattelpunkt einer Energielandschaft detailliert betrachtet. Die Einflüsse verschiedener Parameter wie Energietiefe, Zustandsdichte und Konnektivität werden unabhängig voneinander und im Zusammenspiel untersucht. Im zweiten Teil wird ein vollständiges System, das komplexes Verhalten zeigt, untersucht, wobei besonderes Gewicht auf seine Wechselwirkung, d.h. seinen Energieaustausch mit der Umgebung, gelegt wird. Es kann gezeigt werden, daß das hierarchische Relaxationsverhalten, welches bei anderen Varianten komplexer Systeme beobachtet werden konnte, im Baummodell bereits enthalten ist. Neben den bisher untersuchten, auf Energielandschaften basierenden Systemen besitzen auch turbulente Diffusionsprozesse hierarchische Strukturen. Im dritten Teil der Arbeit wird die Baumstruktur verwendet, um turbulente Superdiffusionsprozesse zu modellieren. Das dabei beobachtete Diffusionsverhalten wird mit vier bekannten mathematischen Modellen verglichen. Die Ergebnisse zeigen, daß nur eines der untersuchten Modelle den vom Baummodell beschriebenen turbulenten Transport in akzeptabler Weise nachbildet. / The state space is a very important and fundamental concept for the treatment of complex systems. All the system's properties can be understood by means of its structure. Due to the gigantic extent of a real system's state space, a coarse grained approach is inevitable for the analysis. In this work, based on the well established model of hierarchical trees, particular aspects of complex systems have been studied, while at the same time several extensions to the model have been made. In the first part of this research work the features of the probability flow are treated in detail at a single saddle point in the energy landscape. Influences of various parameters like energetic depth, density of states and connectivity are studied isolated and in their interaction. In the second part a whole system showing complex behavior is being considered, especially its energy exchange with the surroundings. It can be demonstrated that the hierarchical relaxation behavior observed in other realizations of complex systems is intrinsically covered by the tree model. Beside energy landscape based systems turbulent diffusion processes possess hierarchical structures, too. In the third part the tree structure has been used to model a turbulent superdiffusion process. The diffusion behavior observed there has been compared with four well known diffusion equation approaches. The results show that only one of the discussed continuum diffusion equations can model the turbulent transport based on the tree model in acceptable fashion.