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De plus en plus d'ordinateurs utilisent des architectures hybrides combinant des processeurs multi-cœurs (CPUs) et des accélérateurs matériels comme les GPUs (Graphics Processing Units). Ces plates-formes parallèles hybrides exigent de nouvelles stratégies d'ordonnancement adaptées. Cette thèse est consacrée à une caractérisation de ce nouveau type de problèmes d'ordonnancement. L'objectif le plus étudié dans ce travail est la minimisation du makespan, qui est un problème crucial pour atteindre le potentiel des nouvelles plates-formes en Calcul Haute Performance.Le problème central étudié dans ce travail est le problème d'ordonnancement efficace de n tâches séquentielles indépendantes sur une plateforme de m CPUs et k GPUs, où chaque tâche peut être exécutée soit sur un CPU ou sur un GPU, avec un makespan minimal. Ce problème est NP-difficiles, nous proposons donc des algorithmes d'approximation avec des garanties de performance allant de 2 à (2q + 1)/(2q) +1/(2qk), q> 0, et des complexités polynomiales. Il s'agit des premiers algorithmes génériques pour la planification sur des machines hybrides avec une garantie de performance et une fin pratique. Des variantes du problème central ont été étudiées : un cas particulier où toutes les tâches sont accélérées quand elles sont affectées à un GPU, avec un algorithme avec un ratio de 3/2, un cas où les préemptions sont autorisées sur CPU, mais pas sur GPU, le modèle des tâches malléables, avec un algorithme avec un ratio de 3/2. Enfin, le problème avec des tâches dépendantes a été étudié, avec un algorithme avec un ratio de 6. Certains des algorithmes ont été intégré dans l'ordonnanceur du système xKaapi. / More and more computers use hybrid architectures combining multi-core processors (CPUs) and hardware accelerators like GPUs (Graphics Processing Units). These hybrid parallel platforms require new scheduling strategies. This work is devoted to a characterization of this new type of scheduling problems. The most studied objective in this work is the minimization of the makespan, which is a crucial problem for reaching the potential of new platforms in High Performance Computing. The core problem studied in this work is scheduling efficiently n independent sequential tasks with m CPUs and k GPUs, where each task of the application can be processed either on a CPU or on a GPU, with minimum makespan. This problem is NP-hard, therefore we propose approximation algorithms with performance ratios ranging from 2 to (2q+1)/(2q)+1/(2qk), q>0, and corresponding polynomial time complexities. The proposed solving method is the first general purpose algorithm for scheduling on hybrid machines with a theoretical performance guarantee that can be used for practical purposes. Some variants of the core problem are studied: a special case where all the tasks are accelerated when assigned to a GPU, with a 3/2-approximation algorithm, a case where preemptions are allowed on CPUs, the same problem with malleable tasks, with an algorithm with a ratio of 3/2. Finally, we studied the problem with dependent tasks, providing a 6-approximation algorithm. Experiments based on realistic benchmarks have been conducted. Some algorithms have been integrated into the scheduler of the xKaapi runtime system for linear algebra kernels, and compared to the state-of-the-art algorithm HEFT.

L'approche automate pour le model checking de propriétés temporelles à temps linéaire est une technique classique de vérification formelle de systèmes concurrents. Un système, ainsi qu'une propriété qu'on souhaite y vérifier, sont modélisés sous forme d’omega-automates reconnaissant des mots infinis. Des manipulations de ces automates (produit synchronisé et test de vacuité) permettent d'établir si le système vérifie la propriété ou non. Dans cette thèse nous nous focalisons sur un type particulier d'omega-automates qui permettent une représentation concise des propriétés d'équité faible: les automates de Büchi généralisés basés sur les transitions (TGBA ou Transition-based Generalized Büchi Automata). Dans un premier temps, nous brossons un aperçu des algorithmes de vérification existant et nous en proposons de nouveaux traitant efficacement les automates généralisés forts. Dans un second temps, l'analyse des composantes fortement connexes de l'automate de la propriété nous a conduit à élaborer une décomposition de cet automate. Cette décomposition se focalise sur les automates multi-forces et permet une parallélisation naturelle des model-checkers. Enfin, nous avons proposé les premiers tests de vacuité parallèles pour les automates généralisés. De plus, tous ces tests sont lock-free à la différence de ceux de l’état de l’art. Toutes ces techniques ont ensuite été implémentées et évaluées sur un jeu de test conséquent. / The automata-theoretic approach to linear time model-checking is a standard technique for formal verification of concurrent systems. The system and the property to check are modeled with omega-automata that recognizes infinite words. Operations overs these automata (synchronized product and emptiness checks) allows to determine whether the system satisfies the property or not. In this thesis we focus on a particular type of omega-automata that enable a concise representation of weak fairness properties: transitions-based generalized Büchi automata (TGBA). First we outline existing verification algorithms, and we propose new efficient algorithms for strong automata. In a second step, the analysis of the strongly connected components of the property automaton led us to develop a decomposition of this automata. This decomposition focuses on multi-strength property automata and allows a natural parallelization for already existing model-checkers. Finally, we proposed, for the first time, new parallel emptiness checks for generalized Büchi automata. Moreover, all these emptiness checks are lock-free, unlike those of the state-of-the-art. All these techniques have been implemented and then evaluated on a large benchmark.

Les systèmes polynomiaux à plusieurs variables apparaissent naturellement dans de nombreux domaines scientifiques. Ces systèmes issus d'applications possèdent une structure algébrique spécifique. Une méthode classique pour résoudre des systèmes polynomiaux repose sur le calcul d'une base de Gröbner de l'idéal associé au système. Cette thèse présente de nouveaux outils pour la résolution de tels systèmes structurés, lorsque la structure est induite par l'action d'un groupe ou une structure monomiale particulière, qui englobent les systèmes multi-homogènes ou quasi-homogènes. D'une part, cette thèse propose de nouveaux algorithmes qui exploitent ces structures algébriques pour améliorer l'efficacité de la résolution de systèmes (systèmes invariant sous l'action d'un groupe ou à support dans un ensemble de monômes particuliers). Ces techniques permettent notamment de résoudre un problème issu de la physique pour des instances hors de portée jusqu'à présent. D'autre part, ces outils permettent d'améliorer les bornes de complexité de résolution de plusieurs familles de systèmes polynomiaux structurés (systèmes globalement invariant sous l'action d'un groupe abélien, individuellement invariant sous l'action d'un groupe quelconque, ou ayant leur support dans un même polytope). Ceci permet en particulier d'étendre des résultats connus sur les systèmes bilinéaires aux systèmes mutli-homogènes généraux. / Multivariate polynomial systems arise naturally in many scientific fields. These systems coming from applications often carry a specific algebraic structure.A classical method for solving polynomial systems isbased on the computation of a Gr\"obner basis of the ideal associatedto the system.This thesis presents new tools for solving suchstructured systems, where the structure is induced by the action of a particular group or a monomial structure, which include multihomogeneous or quasihomogeneous systems.On the one hand, this thesis proposes new algorithmsusing these algebraic structures to improve the efficiency of solving suchsystems (invariant under the action of a group or having a support in a particular set of monomials). These techniques allow to solve a problem arising in physics for instances out of reach until now.On the other hand, these tools improve the complexity bounds for solving several families of structured polynomial systems (systems globally invariant under the action of an abelian group or with their support in the same polytope). This allows in particular to extend known results on bilinear systems to general mutlihomogeneous systems.

La réalité mixe, les jeux en ligne massivement multijoueur (MMOGs), les mondes virtuels et le cyberespace sont des concepts extrêmement attractifs. Mais leur déploiement à large échelle reste difficile et il est en conséquence souvent évité.La contribution principale de la thèse réside dans le système distribué Kiwano, qui permet à un nombre illimité d'avatars de peupler et d'interagir simultanément dans un même monde contigu. Dans Kiwano nous utilisons la triangulation de Delaunay pour fournir à chaque avatar un nombre constant de voisins en moyenne, indépendamment de leur densité ou distribution géographique. Le nombre d'interactions entre les avatars et les calculs inhérents sont bornés, ce qui permet le passage à l'échelle du système.La charge est repartie sur plusieurs machines qui regroupent sur un même nœud les avatars voisins de façon contiguë dans le graphe de Delaunay. L'équilibrage de la charge se fait de manière contiguë et dynamique, en suivant la philosophie des réseaux pair-à-pair (peer-to-peer overlays). Cependant ce principe est adapté au contexte de l'informatique dématérialisée (cloud computing).Le nombre optimal d'avatars par CPU et les performances de notre système ont été évalués en simulant des dizaines de milliers d'avatars connectés à la même instance de Kiwano tournant à travers plusieurs centres de traitement de données.Nous proposons également trois applications concrètes qui utilisent Kiwano : Manycraft est une architecture distribuée capable de supporter un nombre arbitrairement grand d'utilisateurs cohabitant dans le même espace Minecraft, OneSim, qui permet à un nombre illimité d'usagers d'être ensemble dans la même région de Second Life et HybridEarth, un monde en réalité mixte où avatars et personnes physiques sont présents et interagissent dans un même espace: la Terre. / Virtual worlds attract millions of users and these popular applications --supported by gigantic data centers with myriads of processors-- are routinely accessed. However, surprisingly, virtual worlds are still unable to host simultaneously more than a few hundred users in the same contiguous space.The main contribution of the thesis is Kiwano, a distributed system enabling an unlimited number of avatars to simultaneously evolve and interact in a contiguous virtual space. In Kiwano we employ the Delaunay triangulation to provide each avatar with a constant number of neighbors independently of their density or distribution. The avatar-to-avatar interactions and related computations are then bounded, allowing the system to scale. The load is constantly balanced among Kiwano's nodes which adapt and take in charge sets of avatars according to their geographic proximity. The optimal number of avatars per CPU and the performances of our system have been evaluated simulating tens of thousands of avatars connecting to a Kiwano instance running across several data centers, with results well beyond the current state-of-the-art.We also propose Kwery, a distributed spatial index capable to scale dynamic objects of virtual worlds. Kwery performs efficient reverse geolocation queries on large numbers of moving objects updating their position at arbitrary high frequencies. We use a distributed spatial index on top of a self-adaptive tree structure. Each node of the system hosts and answers queries on a group of objects in a zone, which is the minimal axis-aligned rectangle. They are chosen based on their proximity and the load of the node. Spatial queries are then answered only by the nodes with meaningful zones, that is, where the node's zone intersects the query zone.Kiwano has been successfully implemented for HybridEarth, a mixed reality world, Manycraft, our scalable multiplayer Minecraft map, and discussed for OneSim, a distributed Second Life architecture. By handling avatars separately, we show interoperability between these virtual worlds.With Kiwano and Kwery we provide the first massively distributed and self-adaptive solutions for virtual worlds suitable to run in the cloud. The results, in terms of number of avatars per CPU, exceed by orders of magnitude the performances of current state-of-the-art implementations. This indicates Kiwano to be a cost effective solution for the industry. The open API for our first implementation is available at \url{http://kiwano.li}.

Les robots ont profondément transformé l’industrie manufacturière et sont susceptibles de délivrer de grands bénéfices pour la société, par exemple en intervenant sur des lieux de catastrophes naturelles, lors de secours à la personne ou dans le cadre de la santé et des transports. Ce sont aussi des outils précieux pour la recherche scientifique, comme pour l’exploration des planètes ou des fonds marins. L’un des obstacles majeurs à leur utilisation en dehors des environnements parfaitement contrôlés des usines ou des laboratoires, est leur fragilité. Alors que les animaux peuvent rapidement s’adapter à des blessures, les robots actuels ont des difficultés à faire preuve de créativité lorsqu’ils doivent surmonter un problème inattendu: ils sont limités aux capteurs qu’ils embarquent et ne peuvent diagnostiquer que les situations qui ont été anticipées par leur concepteurs. Dans cette thèse, nous proposons une approche différente qui consiste à laisser le robot apprendre de lui-même un comportement palliant la panne. Cependant, les méthodes actuelles d’apprentissage sont lentes même lorsque l’espace de recherche est petit et contraint. Pour surmonter cette limitation et permettre une adaptation rapide et créative, nous combinons la créativité des algorithmes évolutionnistes avec la rapidité des algorithmes de recherche de politique à travers trois contributions : les répertoires comportementaux, l’adaptation aux dommages et le transfert de connaissance entre plusieurs tâches. D’une manière générale, ces travaux visent à apporter les fondations algorithmiques permettant aux robots physiques d’être plus robustes, performants et autonomes. / Robots have transformed many industries, most notably manufacturing, and have the power to deliver tremendous benefits to society, for example in search and rescue, disaster response, health care, and transportation. They are also invaluable tools for scientific exploration of distant planets or deep oceans. A major obstacle to their widespread adoption in more complex environments and outside of factories is their fragility. While animals can quickly adapt to injuries, current robots cannot “think outside the box” to find a compensatory behavior when they are damaged: they are limited to their pre-specified self-sensing abilities, which can diagnose only anticipated failure modes and strongly increase the overall complexity of the robot. In this thesis, we propose a different approach that considers having robots learn appropriate behaviors in response to damage. However, current learning techniques are slow even with small, constrained search spaces. To allow fast and creative adaptation, we combine the creativity of evolutionary algorithms with the learning speed of policy search algorithms through three contributions: the behavioral repertoires, the damage recovery using these repertoires and the transfer of knowledge across tasks. Globally, this work aims to provide the algorithmic foundations that will allow physical robots to be more robust, effective and autonomous.

Dans cette thèse, nous étudions le problème de l'allocation de ressources dans le cadre des réseaux 4G LTE. La méthode d'accès OFDMA qui est utilisée partage les ressources radios à la fois dans le domaine fréquentiel et temporel. En raison des déficiences du canal, les utilisateurs ne bénéficient pas toujours des mêmes débits d'émission/réception sur chacune des ressources. Dans ce cadre, notre problème consiste à distribuer ces ressources radios aux mobiles afin de leur permettre de transmettre/recevoir des données. L'algorithme utilisé pour allouer les ressources a une importance fondamentale sur les performances du système. La norme LTE ajoute des contraintes supplémentaires à ce problème et rend l'exploitation de la diversité fréquentielle et de la diversité multi-utilisateurs plus difficile. En effet, sous ces contraintes, nous montrons que le problème de l'allocation de ressources fait alors partie de la classe des problèmes « difficiles ». Par conséquent, les algorithmes classiques de la littérature sont souvent inadaptés à un réseau LTE réel. Nous proposons des algorithmes d'allocation de ressources à la fois pour le sens montant et descendant de LTE. Les contraintes de la norme sont rigoureusement prises en compte afin de construire des solutions efficaces. De plus, les algorithmes proposés sont génériques et peuvent donc s'adapter à une grande variété d'objectifs. En particulier, nous nous attachons à prendre en charge les trafics multimédias dont les débits et les besoins en qualité de service sont très hétérogènes (taux d’erreurs binaires, retard, gigue, etc.). En effet, l'augmentation progressive des débits et la forte popularité des équipements mobiles intelligents amènent à une utilisation toujours plus massive des applications multimédias. Tous nos algorithmes sont validés par simulation. Par ce biais, nous montrons que la prise en compte des contraintes de LTE est essentielle à l'obtention de performances élevées. / In this thesis, we study the resource allocation problem within the framework of 4G LTE networks. The OFDMA access method divides the radio resources both in the frequency and time domains. Due to channel impairments, users do not always have the same transmit/receive rates on each resource. In this context, our problem is to share the radio resources between users and enable them to transmit/receive data. The algorithm used to allocate resources is of fundamental importance on system performance. The LTE standard adds constraints to this problem and makes harder the exploitation of the frequency and the multi-user diversity. Indeed, under these constraints, we show that the resource allocation problem becomes part of the « most difficult » problems. Therefore, the conventional algorithms are often not adapted to a real LTE network. We provide resource allocation algorithms for both the uplink and downlink of LTE. The constraints of the standard are rigorously taken into account in order to build effective solutions. In addition, the proposed algorithms are generic and can adapt to a wide variety of objectives. In particular, we focus on the support of multimedia traffic with heterogeneous quality of service requirements (bit error rate, delay, jitter, etc.). Indeed, the gradual increase of the offered throughput and the strong popularity of smart mobile devices lead to a massive use of multimedia applications. Our algorithms are validated through extensive simulation. By this means, we show that the inclusion of LTE constraints is essential to achieving high performance.

L'objet de cette thèse est l'analyse et le traitement automatique de grands volumes de données audio. Plus particulièrement, on s'intéresse à l'archivage, tâche qui regroupe, au moins, deux problématiques: la compression des données, et l'indexation du contenu de celles-ci. Ces deux problématiques définissent chacune des objectifs, parfois concurrents, dont la prise en compte simultanée s'avère donc difficile. Au centre de cette thèse, il y a donc la volonté de construire un cadre cohérent à la fois pour la compression et pour l'indexation d'archives sonores. Les représentations parcimonieuses de signaux dans des dictionnaires redondants ont récemment montré leur capacité à remplir une telle fonction. Leurs propriétés ainsi que les méthodes et algorithmes permettant de les obtenir sont donc étudiés dans une première partie de cette thèse. Le cadre applicatif relativement contraignant (volume des données) va nous amener à choisir parmi ces derniers des algorithmes itératifs, appelés également gloutons. Une première contribution de cette thèse consiste en la proposition de variantes du célèbre Matching Pursuit basées sur un sous-échantillonnage aléatoire et dynamique de dictionnaires. L'adaptation au cas de dictionnaires temps-fréquence structurés (union de bases de cosinus locaux) nous permet d'espérer une amélioration significative des performances en compression de scènes sonores. Ces nouveaux algorithmes s'accompagnent d'une modélisation statistique originale des propriétés de convergence usant d'outils empruntés à la théorie des valeurs extrêmes. Les autres contributions de cette thèse s'attaquent au second membre du problème d'archivage: l'indexation. Le même cadre est cette fois-ci envisagé pour mettre à jour les différents niveaux de structuration des données. Au premier plan, la détection de redondances et répétitions. A grande échelle, un système robuste de détection de motifs récurrents dans un flux radiophonique par comparaison d'empreintes est proposé. Ses performances comparatives sur une campagne d'évaluation du projet QUAERO confirment la pertinence de cette approche. L'exploitation des structures pour un contexte autre que la compression est également envisagé. Nous proposons en particulier une application à la séparation de sources informée par la redondance pour illustrer la variété de traitements que le cadre choisi autorise. La synthèse des différents éléments permet alors d'envisager un système d'archivage répondant aux contraintes par la hiérarchisation des objectifs et des traitements. / The main goal of this work is automated processing of large volumes of audio data. Most specifically, one is interested in archiving, a process that encompass at least two distinct problems: data compression and data indexing. Jointly addressing these problems is a difficult task since many of their objectives may be concurrent. Therefore, building a consistent framework for audio archival is the matter of this thesis. Sparse representations of signals in redundant dictionaries have recently been found of interest for many sub-problems of the archival task. Sparsity is a desirable property both for compression and for indexing. Methods and algorithms to build such representations are the first topic of this thesis. Given the dimensionality of the considered data, greedy algorithms will be particularly studied. A first contribution of this thesis is the proposal of a variant of the famous Matching Pursuit algorithm, that exploits randomness and sub-sampling of very large time frequency dictionaries. We show that audio compression (especially at low bit-rate) can be improved using this method. This new algorithms comes with an original modeling of asymptotic pursuit behaviors, using order statistics and tools from extreme values theory. Other contributions deal with the second member of the archival problem: indexing. The same framework is used and applied to different layers of signal structures. First, redundancies and musical repetition detection is addressed. At larger scale, we investigate audio fingerprinting schemes and apply it to radio broadcast on-line segmentation. Performances have been evaluated during an international campaign within the QUAERO project. Finally, the same framework is used to perform source separation informed by the redundancy. All these elements validate the proposed framework for the audio archiving task. The layered structures of audio data are accessed hierarchically by greedy decomposition algorithms and allow processing the different objectives of archival at different steps, thus addressing them within the same framework.

La création et la compréhension des déformations de surfaces sont des thèmes récurrent pour le traitement de géométrie 3D. Comme les surfaces lisses peuvent être représentées de multiples façon allant du nuage ​​de points aux maillages polygonales, un enjeu important est de pouvoir comparer ou déformer des formes discrètes indépendamment de leur représentation. Une réponse possible est de choisir une représentation flexible des surfaces déformables qui peut facilement être transportées d'une structure de données à une autre.Dans ce but, les "functional map" proposent de représenter des applications entre les surfaces et, par extension, des déformations comme des opérateurs agissant sur des fonctions. Cette approche a été introduite récemment pour le traitement de modèle 3D, mais a été largement utilisé dans d'autres domaines tels que la géométrie différentielle, la théorie des opérateurs et les systèmes dynamiques, pour n'en citer que quelques-uns. Le principal avantage de ce point de vue est de détourner les problèmes encore non-résolus, tels que la correspondance forme et le transfert de déformations, vers l'analyse fonctionnelle dont l'étude et la discrétisation sont souvent mieux connues. Cette thèse approfondit l'analyse et fournit de nouvelles applications à ce cadre d'étude. Deux questions principales sont discutées.Premièrement, étant donné deux surfaces, nous analysons les déformations sous-jacentes. Une façon de procéder est de trouver des correspondances qui minimisent la distorsion globale. Pour compléter l'analyse, nous identifions les parties les moins fiables du difféomorphisme grâce une méthode d'apprentissage. Une fois repérés, les défauts peuvent être éliminés de façon différentiable à l'aide d'une représentation adéquate des champs de vecteurs tangents.Le deuxième développement concerne le problème inverse : étant donné une déformation représentée comme un opérateur, comment déformer une surface en conséquence ? Dans une première approche, nous analysons un encodage de la structure intrinsèque et extrinsèque d'une forme en tant qu'opérateur fonctionnel. Dans ce cadre, l'objet déformé peut être obtenu, à rotations et translations près, en résolvant une série de problèmes d'optimisation convexe. Deuxièmement, nous considérons une version linéarisée de la méthode précédente qui nous permet d'appréhender les champs de déformation comme agissant sur la métrique induite. En conséquence la résolution de problèmes difficiles, tel que le transfert de déformation, sont effectués à l'aide de simple systèmes linéaires d'équations. / Creating and understanding deformations of surfaces is a recurring theme in geometry processing. As smooth surfaces can be represented in many ways from point clouds to triangle meshes, one of the challenges is being able to compare or deform consistently discrete shapes independently of their representation. A possible answer is choosing a flexible representation of deformable surfaces that can easily be transported from one structure to another.Toward this goal, the functional map framework proposes to represent maps between surfaces and, to further extents, deformation of surfaces as operators acting on functions. This approach has been recently introduced in geometry processing but has been extensively used in other fields such as differential geometry, operator theory and dynamical systems, to name just a few. The major advantage of such point of view is to deflect challenging problems, such as shape matching and deformation transfer, toward functional analysis whose discretization has been well studied in various cases. This thesis investigates further analysis and novel applications in this framework. Two aspects of the functional representation framework are discussed.First, given two surfaces, we analyze the underlying deformation. One way to do so is by finding correspondences that minimize the global distortion. To complete the analysis we identify the least and most reliable parts of the mapping by a learning procedure. Once spotted, the flaws in the map can be repaired in a smooth way using a consistent representation of tangent vector fields.The second development concerns the reverse problem: given a deformation represented as an operator how to deform a surface accordingly? In a first approach, we analyse a coordinate-free encoding of the intrinsic and extrinsic structure of a surface as functional operator. In this framework a deformed shape can be recovered up to rigid motion by solving a set of convex optimization problems. Second, we consider a linearized version of the previous method enabling us to understand deformation fields as acting on the underlying metric. This allows us to solve challenging problems such as deformation transfer are solved using simple linear systems of equations.

À l'ère de la numérisation, les données devient pas cher et facile à obtenir. Cela se traduit par de nombreux nouveaux problèmes d'optimisation avec de très grandes tailles. En particulier, pour le même genre de problèmes, le nombre de variables et de contraintes sont énormes. En outre, dans de nombreux paramètres d'application tels que ceux dans l'apprentissage de la machine, une solution précise est moins préférée que celles approximatives mais robustes. Il est un véritable défi pour les algorithmes traditionnels, qui sont utilisés pour bien travailler avec des problèmes de taille moyenne, pour faire face à ces nouvelles circonstances.Au lieu de développer des algorithmes qui évoluent bien à résoudre ces problèmes directement, une idée naturelle est de les transformer en problèmes de petite taille qui se rapporte fortement aux originaux. Étant donné que les nouvelles sont de tailles gérables, ils peuvent encore être résolus efficacement par des méthodes classiques. Les solutions obtenues par ces nouveaux problèmes, cependant, nous donner un aperçu des problèmes originaux. Dans cette thèse, nous allons exploiter l'idée ci-dessus pour résoudre certains problèmes de grande dimension optimisation. En particulier, nous appliquons une technique spéciale appelée projection aléatoire pour intégrer les données du problème dans les espaces de faible dimension, et de reformuler environ le problème de telle manière qu'il devient très facile à résoudre, mais capte toujours l'information la plus importante.Dans le chapitre 3, nous étudions les problèmes d'optimisation dans leurs formes de faisabilité. En particulier, nous étudions le problème que l'on appelle l'adhésion linéaire restreint. Cette classe contient de nombreux problèmes importants tels que la faisabilité linéaire et entier. Nous proposonsd'appliquer une projection aléatoire aux contraintes linéaires etnous voulons trouver des conditions sur T, de sorte que les deux problèmes de faisabilité sont équivalentes avec une forte probabilité.Dans le chapitre 4, nous continuons à étudier le problème ci-dessus dans le cas où l'ensemble restreint est un ensemble convexe. Nous établissons les relations entre les problèmes originaux et projetés sur la base du concept de la largeur gaussienne, qui est populaire dans la détection comprimé. En particulier, nous montrons que les deux problèmes sont équivalents avec une forte probabilité aussi longtemps que pour une projection aléatoire échantillonné à partir ensemble sous-gaussienne avec grande dimension suffisante (dépend de la largeur gaussienne).Dans le chapitre 5, nous étudions le problème de l'adhésion euclidienne:.. `` Étant donné un vecteur b et un euclidienne ensemble fermé X, décider si b est en Xor pas "Ceci est une généralisation du problème de l'appartenance linéaire restreinte précédemment considéré. Nous employons une gaussienne projection aléatoire T pour l'intégrer à la fois b et X dans un espace de dimension inférieure et étudier la version projetée correspondant. Lorsque X est fini ou dénombrable, en utilisant un argument simple, nous montrons que les deux problèmes sont équivalents presque sûrement quelle que soit la dimension projetée. Dans le cas où X peut être indénombrable, nous prouvons que les problèmes initiaux et prévus sont également équivalentes si la dimension d projetée est proportionnelle à une dimension intrinsèque de l'ensemble X. En particulier, nous employons la définition de doubler la dimension estimer la relation entre les deux problèmes.Dans le chapitre 6, nous proposons d'appliquer des projections aléatoires pour la zone de confiance sous-problème. Nous réduisons le nombre de variables en utilisant une projection aléatoire et prouver que des solutions optimales pour le nouveau problème sont en fait des solutions approchées de l'original. Ce résultat peut être utilisé dans le cadre de confiance-région pour étudier l'optimisation de boîte noire et l'optimisation des produits dérivés libre. / In the digitization age, data becomes cheap and easy to obtain. That results in many new optimization problems with extremely large sizes. In particular, for the same kind of problems, the numbers of variables and constraints are huge. Moreover, in many application settings such as those in Machine learning, an accurate solution is less preferred as approximate but robust ones. It is a real challenge for traditional algorithms, which are used to work well with average-size problems, to deal with these new circumstances.Instead of developing algorithms that scale up well to solve these problems directly, one natural idea is to transform them into small-size problems that strongly relates to the originals. Since the new ones are of manageable sizes, they can still be solved efficiently by classical methods. The solutions obtained by these new problems, however, will provide us insight into the original problems. In this thesis, we will exploit the above idea to solve some high-dimensional optimization problems. In particular, we apply a special technique called random projection to embed the problem data into low dimensional spaces, and approximately reformulate the problem in such a way that it becomes very easy to solve but still captures the most important information. Therefore, by solving the projected problem, we either obtain an approximate solution or an approximate objective value for the original problem.We will apply random projection to study a number of important optimization problems, including linear and integer programming (Chapter 3), convex optimization with linear constraints (Chapter 4), membership and approximate nearest neighbor (Chapter 5) and trust-region subproblems (Chapter 6).In Chapter 3, we study optimization problems in their feasibility forms. In particular, we study the so-called restricted linear membership problem. This class contains many important problems such as linear and integer feasibility. We proposeto apply a random projection to the linear constraints, andwe want to find conditions on T, so that the two feasibility problems are equivalent with high probability.In Chapter 4, we continue to study the above problem in the case the restricted set is a convex set. Under that assumption, we can define a tangent cone at some point with minimal squared error. We establish the relations between the original and projected problems based on the concept of Gaussian width, which is popular in compressed sensing. In particular, we prove thatthe two problems are equivalent with high probability as long as for some random projection sampled from sub-gaussian ensemble with large enough dimension (depends on the gaussian width).In Chapter 5, we study the Euclidean membership problem: ``Given a vector b and a Euclidean closed set X, decide whether b is in Xor not". This is a generalization of the restricted linear membership problem considered previously. We employ a Gaussian random projection T to embed both b and X into a lower dimension space and study the corresponding projected version: ``Decide whether Tb is in T(X) or not". When X is finite or countable, using a straightforward argument, we prove that the two problems are equivalent almost surely regardless the projected dimension. In the case when X may be uncountable, we prove that the original and projected problems are also equivalent if the projected dimension d is proportional to some intrinsic dimension of the set X. In particular, we employ the definition of doubling dimension estimate the relation between the two problems.In Chapter 6, we propose to apply random projections for the trust-region subproblem. We reduce the number of variables by using a random projection and prove that optimal solutions for the new problem are actually approximate solutions of the original. This result can be used in the trust-region framework to study black-box optimization and derivative-free optimization.