Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles d'évolution sur des réseaux. La thèse se compose de trois chapitres. Les deux premiers portent sur un modèle de propagation d'épidémies dans des réseaux et le troisième porte sur l'équation de Price, qui intervient dans la modélisation de la croissance des réseaux complexes.L'essentiel de la thèse est constituée des deux premiers chapitres, où nous proposons et analysons un modèle épidémique de type SIS avec diffusion non locale. Ce modèle est obtenu à partir d'un modèle discret, en supposant que le degré des noeuds du réseau est ici une variable continue à valeurs positives. Le réseau est ainsi modélisé par la distribution de probabilité des degrés des noeuds du réseau, où a lieu la transmission épidémique. La migration le long des arêtes du réseau correspond à une diffusion non locale. Le système d'évolution en temps pour les densités d'individus sains et infectés se ramène ainsi à un système couplé d'équations différentielles non linéaires avec des termes non locaux, qui sont des moyennes sur le réseau de ces densités. Nous analysons ce système d'évolution, en étudiant successivement le cas d'une transmission limitée (Chapitre 1) et non limitée (Chapitre 2).Nous prouvons tout d'abord rigoureusement l'existence d'une unique solution, locale ou globale, par une méthode de point fixe. Nous établissons ensuite des conditions de seuils nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un équilibre endémique. Puis nous étudions la stabilité linéaire des équilibres sain et endémique et comparons nos résultats à ceux obtenus sur le modèle discret de départ. Dans le cas de la transmission limitée et de coefficients de diffusion égaux, on se ramène à une équation de type Fisher avec diffusion non locale, pour laquelle on établit un principe de comparaison. Ceci nous permet d'étudier le comportement asymptotique en temps pour des données initiales quelconques.Le dernier chapitre porte sur l'équation de Price, qui est un modèle de croissance des réseaux.Il se présente sous la forme d'une relation de récurrence donnant l'évolution de la distribution des degrés dans un réseau de taille croissante. Nous montrons rigoureusement la convergence de la solution du modèle de Price vers la solution stationnaire et nous montrons que celle-ci est équivalente à une loi puissance, dont nous précisons l'exposant. / This thesis is devoted to the mathematic analysis of time-dependent models on complex networks. There are three chapters. The first two chapters concern a model for the spread of epidemics on networks while the third chapter concerns Price equation, which arises as a model for the growth of complex networks.Most part of this thesis is concentrated in the first two chapters, in which we propose and analyze a SIS-type epidemic model with nonlocal diffusion. This model is derived from a discrete model, by considering here the degree as a continuous variable taking nonnegative values. Hence the network is described by the degree distribution of its nodes, where the epidemic transmission takes place. Migration occurs along the edges of the network and corresponds to nonlocal diffusion. The evolution system for the density of susceptible and infected individuals reads as a coupled system of nonlinear equations with nonlocal terms, which are given by the mean values of these densities on the network. We provide the analysis of this time-dependent system, distinguishing the cases of limited transmision (chapter 1) and illimited transmission (chapter 2).We first rigorously prove the existence of a unique solution to the system, either locally or globally in time, using a fixed point method. Next we establish necessary and sufficient threshold conditions for the existence of an endemic equilibrium. We then investigate the linear stability of both the disease-free and the endemic equilibrium and compare our results to the ones obtained for the discrete system. In the case of equal diffusivities and illimited transmission, we reduce the system to a Fisher-type equation with nonlocal diffusion, for which we prove a comparison principle. This allows us to study the large-time asymptotics of the solution for arbitrary initial data.The last chapter deals with Price equation, which is a model for the growth of networks. The model reads as a discrete recursive equation that provides the time-evolution of the probability distribution of the degrees in a growing network. We show rigorously that the solution converges to a stationary state exhibiting a power-law tail, whose exponent is explicitly given.

Le développement de systèmes de mesures et de suivi non-invasifs, fiables, robustes et utilisablesen autonomie est de première importance pour le confort et l’implication de la personne prise en charge dansson parcours de santé. En collaboration avec la société IDS SA, ce travail a été initié et motivé par la volontéde développer des méthodes de traitement et d’analyse dédiées à l’exploration fonctionnelle de mesures phy-siologiques non-invasives d’une part, et le développement de solutions pour la santé et l’autonomie, d’autre part.Les aspects fondamentaux de ce travail doctoral ont pour objectifs la mise au point et la validation de méthodesde décomposition modale pour : (1) l’extraction et la reconstruction des composantes cardiaques d’un signalpléthysmographique et (2) l’estimation d’un indice de complexité témoignant de modifications de stratégiesde contrôle postural. Il est attendu que ces méthodes soient : (1) locales pour gérer les non-stationnarités, (2)lisibles pour permettre l’identification des composantes et (3) adaptatives au sens d’un paramétrage a minima.`A cette fin, la connaissance du contexte physiologique et des modèles spectraux attenants sont employés toutautant comme un guide dans le choix et l’utilisation qu’une grille de lecture dans l’exploitation des méthodesengagées.Dans la première partie de ce travail, à travers le développement d’un banc de test sur signaux simulés, nousavons démontré la supériorité d’une variante de la décomposition modale empirique en comparaison à sa formeoriginale. Par la suite, nous avons établi l’utilisabilité, avec des hypothèses a minima, d’une représentationmodale récente, la transformée par Synchrosqueezing (SQT).Dans la seconde partie de ce travail, nous avons mis au point un indice de complexité en échelles basé sur la SQTet dont le fenêtrage temporel est entièrement déterminé par la dynamique spectrale de la représentation. Aupréalable, nous avons mis en place un protocole expérimental pour identifier les limites des méthodes existanteset légitimer une approche spectrale de l’entropie. Notre indice a été validé sur signaux simulés et testé sur si-gnaux réels où il a pu mettre en évidence le phénomène de repondération sensorielle à la suite d’une perturbation.Les aspects appliqués de ce travail doctoral, quant à eux, s’articulent autour du développement de solutionsdédiées : (1) à la prévention du risque de chute et (2) au suivi des activités de la vie quotidienne.Dans cette dernière partie, nous nous sommes intéressés : (1) à l’évaluation des troubles latéralisés de l’équilibre,(2) à l’évaluation de la prise en charge en charge de troubles posturaux, (3) à la conception et la validationd’un outil de mesure et de rééducation des capacités de contrôle postural intégré dans un smartphone, et (4) àla détection de dérives comportementales par le développement d’un indice de persévération et son applicationau suivi du rythme nycthéméral des activités de la vie quotidienne. / L'auteur n'a pas fourni de résumé en anglais

Ce travail porte sur l’étude de la stabilité et l’analyse non-linéaire transitoire des instabilités mécaniques induites par le frottement dans les systèmes de freinage aéronautique. La compréhension de ces instabilités, par la combinaison d’approches expérimentales et théoriques, permet de réduire ou de supprimer leur risque d’apparition. Cette thèse a pour objectif de prédire les niveaux des vibrations induites par le frottement dans les freins aéronautiques à l’aide d’un modèle phénoménologique non-linéaire capable de reproduire les mécanismes responsables des instabilités. L’approche est focalisée sur les deux phénomènes vibratoires principaux apparaissant entre 0 et 1 000 Hz connus sous le nom de squeal et whirl. Pour appuyer cette démarche, les essais expérimentaux réalisés au sein de Messier-Bugatti - Groupe SAFRAN seront utilisés. La première approche est une étude ”statico-dynamique” dans laquelle la linéarisation des équations dynamiques non-linéaires autour de la position d’équilibre permet de déterminer la stabilité du système par un calcul aux valeurs propres. La stabilité du frein est alors déterminée en fonction de différents paramètres : coefficient de frottement, pression hydraulique, raideur non-linéaire, etc... Une attention particulière a été portée sur l’étude des effets de l’amortissement sur les instabilités vibratoires issues d’un couplage de modes : l’amortissement peut avoir des effets néfastes sur la stabilité du système, qui vont à l’encontre des idées reçues. La deuxième approche concerne l’étude ”dynamique non-linéaire”. L’analyse de stabilité ne permet pas, dans le cas où le système est instable, de connaître les amplitudes vibratoires générées. Une intégration temporelle des équations dynamiques non-linéaires permet alors de calculer les régimes transitoire et stationnaire du système. Des études d’influence sont ensuite menées pour évaluer la sensibilité de la réponse dynamique non-linéaire du frein vis-a-vis de ses paramètres. Le rôle de l’amortissement a été étudié avec attention : les conclusions établies grâce aux études de stabilité sont alors étendues à la dynamique non-linéaire. Des phénomènes transitoires complexes où plusieurs instabilités se développent seront également mis en évidence et analysés. Enfin, les essais expérimentaux montrent une dispersion importante dans l’amplitude des vibrations générées au cours des freinages, bien que les conditions expérimentales soient identiques. L’introduction de lois statistiques dans les paramètres du freinage permet alors de reproduire avec satisfaction la variabilité des amplitudes vibratoires observée en essais. / This study deals with the linear and non-linear transient analyses of instabilities induced by friction in aircraft braking systems. The investigation of these instability phenomena, under experimental and theoretical considerations, is useful to design brakes in which vibrations will not be harmful. The aim of this thesis is to predict the amplitude of the oscillations generated by frictioninduced instabilities in an aircraft braking system. To achieve this, a non-linear analytical model of the brake is built in order to reproduce the mechanisms responsible for friction-induced vibrations. Experimental records of the brake under working conditions performed by Messier-Bugatti- SAFRAN Group allow identifying two main vibrations identified in the 0-1,000 Hz range : squeal and whirl. The work is focused on these two phenomena. The first step in the study of a vibration problem is a stability analysis obtained by calculation of the eigenvalues of the Jacobian matrix of the system of non-linear equations linearized at the equilibrium point. The stability of the brake is then investigated with respect to brake parameters : coefficient of friction, hydraulic pressure, non-linear stiffness, etc... In particular, the effects of damping in mode-coupling instabilities are assessed. It appears that the addition of damping into the equations of motion does not lead systematically to the stabilization of the system, which runs counter to the generally accepted idea. The second step concerns the non-linear dynamics. If the system is unstable, the stability analysis gives no information on the amplitude of the oscillations or on the non-linear transient behavior. By integration of the full set of non-linear equations, the stationary and transient regimes are computed. The sensibility of the non-linear response of the brake is then studied with respect to brake parameters. In particular, the effects of damping are investigated in details : the conclusions established on the stability analysis are extended to the non-linear dynamics. Complex non-linear transient behaviors when several instabilities occur are also highlighted and analyzed. Finally, experimental tests reveal that the brake can generate vibrations of various amplitude, although the experimental conditions are identical. The introduction of statistical laws in the braking parameters allow simulating with a good agreement the variability of the vibratory levels observed when a series of tests is performed.

Selon les codes de construction canadiens, dans les bâtiments susceptibles d'être soumis à des efforts sismiques, un système de reprise des forces sismiques (SRFS) doit être défini et il doit être en mesure de reprendre la totalité des efforts latéraux infligés par les tremblements de terre. Cette hypothèse permet de dimensionner le SRFS sécuritairement, mais soulève également une difficulté : déterminer les efforts sismiques dans les éléments n'en faisant pas partie, c'est-à-dire les éléments du système de reprise des charges de gravité (SRCG). Cette difficulté a même été mise en évidence lors de récents séismes à travers le monde. En effet, plusieurs bâtiments munis d'un SRFS bien défini se sont effondrés ou ont dû être démolis sans que le SRFS n'ait atteint sa pleine capacité. C'est plutôt parce que le SRCG n'a pas été en mesure de subir les déplacements latéraux. Selon les codes de construction canadiens en vigueur (CNBC 2010 et CSA A23.3-14), les efforts dans les éléments ne faisant pas partie du SRFS doivent être déterminés par analyse non linéaire ou par une méthode simplifiée si certains critères sont respectés. Ce mémoire de maîtrise présente une nouvelle méthode pour calculer les efforts dans les éléments ne faisant pas partie du SRFS basée sur l'analyse dynamique linéaire. Cette nouvelle méthode est basée sur l'hypothèse que si, dans le modèle d'éléments finis d'un bâtiment, la rigidité des éléments qui ne font pas partie du SRFS est réduite par un facteur assez élevé, les déplacements du modèle complet seront égaux à ceux du SRFS et les efforts peuvent être déterminés en les majorant par le facteur de réduction de la rigidité. La nouvelle méthode est démontrée par le calcul de la réponse sismique de bâtiments de 12 étages en béton armé symétrique et asymétrique. Aussi, ces résultats sont comparés à ceux obtenus à partir de l'application de la méthode d'analyse simplifié proposé dans la norme canadienne calcul des structures en béton (CSA A23.3-14, art. 21.11.2.2). Afin d'avoir des valeurs de comparaison cohérentes, des analyses non linéaires dans le temps sont également effectuées. Les résultats montrent que la nouvelle méthode peut prédire adéquatement le cisaillement et le moment de flexion en requérant moins de temps de modélisation que la méthode simplifiée de la norme A23.3-14. Par conséquent, cette nouvelle méthode est un bon substitut à l'analyse non linéaire pour prédire les forces sismiques dans les éléments ne sont pas considérés partie du SRFS.

Ce travail est une contribution à la conception de diviseurs de fréquence analogiques réalisés en technologie monolithique à base de transistors pseudomorphiques à haute mobilité électronique aux fréquences micro-ondes. Après avoir décrit les divers circuits existants en choisissant une classification originale selon les différents principes régissant la division de fréquence, nous développons une approche analytique basée sur des modèles simplifiés afin de trouver les paramètres essentiels du phénomène. Nous expérimentons également diverses méthodes d'analyse sur calculateur avec pour objectif le développement d'une approche méthodologique générale. Finalement, la méthode dite "de la boucle ouverte" est choisie pour la conception de circuits. Lors de son utilisation, il est à noter que des processus proches de cascades de bifurcations chaotiques sont observés. Une étude complémentaire présentée permet de vérifier qu'ils ne sont pas directement liés à la stabilité (physique) du dispositif. Ces travaux de modélisation sont pour la suite appliqués à la conception de deux diviseurs en technologie monolithique. Une large bande de synchronisation d'environ 30 % a été obtenue avec une topologie originale utilisant un transistor non polarisé sur le drain. Les résultats expérimentaux sont ensuite comparés aux simulations effectuées précédemment ainsi qu'aux performances déjà publiées sur des circuits de ce type. Enfin, une dernière partie est consacrée au bruit de phase dans les diviseurs de fréquences.

On étudie les équations gouvernant un fluide soumis aux effets de thermodiffusion et d'adsorption en milieu poreux. La répartition des espèces à l'intérieur du fluide est alors régie à l'échelle locale par un système d'équations d'évolution paraboliques non linéaires de type divergentielles. On montre que le système ainsi constitué est bien posé au sens de Hadamard. L'existence d'une solution au problème est démontrée à l'aide d'une méthode de type point fixe, l'unicité par le biais d'une technique de dualité. Cette approche théorique a pu être complétée par des simulations numériques à l'échelle d'un pore, à l'aide d'un schéma fondé sur une méthode " volumes finis " dont l'étude est effectuée, et pour lequel on exhibe un résultat de convergence. La détermination des équations macroscopiques de conservation fait l'objet du deuxième volet de cette étude. Nous démontrons qu'elles sont de la même forme que les équations locales, le changement d'échelle introduisant des tenseurs gouvernant les flux et des coefficients de porosité modulant les grandeurs scalaires. Plusieurs techniques ont été utilisées : le passage de la loi de Navier-Stokes à l'équation de Darcy linéaire a pu ainsi être démontré à l'aide de développements asymptotiques. Les lois de conservation de l'énergie et de la masse ont été établies par le biais de la convergence à deux échelles. Le modèle macroscopique peut alors être complètement déterminé via la résolution de problèmes locaux, posés sur une cellule élémentaire, représentative du milieu périodique. Une dernière partie est consacrée à la modélisation de la contamination de nappes aquifères par des produits polluants ; les équations de conservation de la masse y sont déterminées dans deux cas, les cas réversible et irréversible. Deux approches sont envisagées, l'une se fondant sur une version de la convergence à deux échelles appliquées aux traces, l'autre sur un résultat établi dans le cas de réactions chimiques.

Cette thèse est consacrée à l'étude de trois modèles non linéaires issus de la mécanique quantique. Dans la première partie, nous démontrons l'existence d'un minimum et d'états excités approchés pour les modèles multi-configurations décrivant la structure électronique des molécules. Ces points critiques peuvent être calculés grâce à un nouvel algorithme. Des résultats numériques sont présentés pour le premier état excité de systèmes à deux électrons. Dans la seconde partie, nous étudions un lemme du col modélisant des réactions chimiques avec le modèle de Schrödinger indépendant du temps. Nous prouvons l'existence d'un point selle, sous l'hypothèse que les molécules à l'infini sont chargées ou polarisées. La dernière partie est consacrée à l'étude de la polarisation du vide grâce au modèle Bogoliubov-Dirac-Fock, une théorie relativiste de champ moyen issue de l'électrodynamique quantique. Nous montrons que l'énergie étudiée possède un minimum qui est le vide polarisé.

Sur une surface de Riemann, l'énergie d'une application à valeurs dans une variété riemannienne est une fonctionnelle invariante conforme, ses points critiques sont les applications harmoniques. Nous proposons ici un analogue en dimension supérieure, en construisant une fonctionnelle invariante conforme pour les applications entre deux variétés riemanniennes, dont la source est de dimension $n$ paire. Ses points critiques satisfont une EDP elliptique d'ordre $n$ non linéaire qui est invariante conforme sur la source, on les appelle les applications C--harmoniques. Dans le cas des fonctions, on retrouve l'opérateur GJMS, dont le terme principal est une puissance $n/2$ du laplacien.

Le vieillissement est un facteur de risque des maladies cardiovasculaires. Il est associé à des altérations fonctionnelles et structurelles du système vasculaire.Une étude approfondie du processus de vieillissement et le développement de systèmes d’imagerie et des traitements de données associés deviennent donc une priorité. Par l’analyse d’images de contraste par speckle laser (LSCI), l’objectif de cette thèse est d’étudier l’influence de l’âge sur la micro circulation.Pour ce faire, des données de LSCI ont été acquises sur l’avant-bras de sujets sains jeunes et âgés. A partir de modèles mathématiques, nous avons déterminé la vitesse des érythrocytes de la micro circulation chez les deux groupes de sujets. Par ailleurs, nous avons également mené une étude de la complexité de séries temporelles d’ LSCI s’appuyant sur des mesures d’entropie multi échelle. Nos résultats montrent que : 1) le groupe de sujets plus âgés présente des valeurs de vitesse des globules rouges significativement plus élevées que celles des sujets jeunes à l’hyperémie réactive post-occlusive; 2) les fluctuations des séries temporelles de LSCI dans le groupe des sujets jeunes ont une complexité supérieure à celles du groupe de sujets âgés. Ces modifications observées sur la micro circulation pourraient être attribuées à des modifications du système vasculaire dans son ensemble. La compréhension de ces altérations pourrait conduire à de nouvelles perspectives en matière de prévention et de traitement des pathologies liées à l’âge. / Aging is a primary risk factor for cardiovascular diseases. It is associated with functional and structural alterations in the vascular system. Therefore, a deep study of the aging process and the development of imaging systems and associated processing become of the utmost importance. By processing laser speckle contrast images (LSCI), this PhD work aims at studying the influence of age on microcirculation. In our work, LSCI data were acquired from the skin forearm of healthy subjects, subdivided into two age groups (younger and older). From mathematical models, we determined red blood cells velocity in microcirculation in the two groups of subjects. Moreover, we applied multiscale entropy-based algorithms to LSCI time series in order to study the complexity of microvascular signals. Our main findings are: 1) the older group has significantly higher velocity values than the younger group at post-occlusive reactive hyperaemia; 2) LSCI fluctuations in the younger group have significantly higher complexity than those of the older group. Age-related changes in skin microcirculation can be attributed to alterations in the vascular system as a whole. Understanding these changes in the microcirculatory system may give new insights for prevention and treatment of age-related diseases

Le but de cette thèse est l'étude théorique de la dynamique du murissement des boites quantiques auto-organisées. Pour cela, nous déduisons en utilisant les outils de la mécanique des milieux continus, une équation pour l'évolution spatio-temporelle d'un film cristallin en hétéroépitaxie en prenant en compte les effets de diffusion de surface, les effets élastiques, les effets capillaires et les effets d'anisotropie d'énergie de surface. Nous étudions tout d'abord la morphologie 2D et la dynamique de boites quantiques isotrope et anisotrope. Dans chaque cas, nous trouvons de manière quasi analytique une famille continue de solution qui décrit la forme et la taille des ilots. Ces solutions sont en accord avec nos simulations numériques. Dans les deux cas, nous trouvons que le temps de murissement dépend linéairement de la distance entre ilots et en particulier dans le cas anisotrope nous mettons en évidence le fait que le temps de murissement est soit réduit ou soit accéléré en fonction de la hauteur des pair d'ilots. Dans un second temps, motivé par des résultats expérimentaux sur les boites quantiques de GaN, nous étudions la dynamique tridimensionnelle d'ilots avec une énergie d'énergie de surface avec symétrie hexagonale. Nos simulations numériques montrent que le temps de murissement est fortement réduit dû à la présence de l'anisotropie d'énergie de surface et qu'une transition entre des ilots hexagonaux et allongés apparait en fonction de l'épaisseur du film. Finalement, nous prenons en compte dans notre modèle numérique la présence de l'évaporation préférentielle et nous mettons en évidence la présence d'ilots sans couche de mouillage. Ces ilots sont observés expérimentalement et ont une haute efficacité d'émission par photoluminescence dans le spectre UV. / The aim of this thesis is to theoretically study the coarsening dynamics of self-organized quantum dots. To this end, we derive the spatio-temporal evolution equation for a hetero-epitaxial system which takes into account surface diffusion, elastic effect, capillary effect and anisotropic effect, using the continuous mechanics framework. We first investigate theoretically the 2D morphology and the dynamics of an isotropic and an anisotropic system of self-organized islands (quantum dots). In both cases, we find a quasi-analytical continuous family of solution which describes the shape and the size of the islands and is favorably compared to our numerical simulations. We find in both cases that the coarsening time depends linearly on the distance between the islands and remarkably that in the anisotropic case the coarsening time can be reduced or accelerated depending on the islands heights. Secondly, motivated by experimental results on GaN quantum dots we study a three-dimensional system with a hexagonal surface energy anisotropy symmetry. Our numerical simulations reveal that the coarsening time is strongly slowed down due to the presence of the surface energy anisotropy and that a transition from hexagonal to elongated islands appears as the initial height of the film increases. Finally, we include the effect of preferential evaporation and we recover islands without a wetting layer that are observed experimentally and have a high photo-luminescence emission efficiency in the UV spectrum.