Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-Graduação em Matemática e Computação Científica / Made available in DSpace on 2012-10-21T22:54:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 208798.pdf: 516559 bytes, checksum: 3d25be5de3015cf6806d5c3cfefef350 (MD5)

Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Florianópolis, 2013. / Made available in DSpace on 2014-08-06T17:41:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 324098.pdf: 1634061 bytes, checksum: 906aaa8a48ca9f0ee68afbeb051645f0 (MD5) Previous issue date: 2013 / Um canal matricial multiplicativo (MMC) é um canal de comunicação em que a entrada X e a saída Y são matrizes relacionadas pela expressão Y = GX, em que G é chamada de matriz de transferência. Esta tese considera MMCs sobre corpos e anéis de cadeia finitos, os quais têm aplicações práticas em codificação de rede. É adotado um enfoque probabilístico, sob a ótica da teoria da informação, de modo que o canal resultante pode ser visto como um canal discreto sem memória caracterizado essencialmente pela distribuição de probabilidade da matriz G. São abordados dois problemas na tese. Primeiramente, considera-se MMCs sobre corpos finitos, em que é assumido que as instâncias da matriz de transferência são desconhecidas tanto do transmissor quanto do receptor (isto é, o cenário não-coerente). Também é assumido que a distribuição de probabilidade da matriz G seja tal que matrizes de mesmo posto são equiprováveis. Esse modelo generaliza alguns dos considerados anteriormente na literatura. Por ser mais flexível, o modelo permite sua aplicação (no contexto de codificação de rede linear) em um maior número de situações práticas. Como contribuição, obtém-se a capacidade do canal como um problema de otimização convexa que pode ser resolvido numericamente de maneira eficiente. Além disso, obtém-se formas fechadas para a capacidade em diversas situações especiais. O segundo problema considera MMCs sobre anéis de cadeia finitos, dos quais corpos finitos são um caso particular. A motivação para tal estudo vem da área codificação de rede na camada física. Desta vez, é assumido as instâncias da matriz de transferência estejam disponíveis ao receptor, mas não ao transmissor (isto é, o cenário coerente). Fora isso, não é exigida nenhuma restrição sobre as estatísticas da matriz G. Nesse caso, é obtida uma forma fechada para a capacidade do canal e é proposto um esquema de codificação capaz de atingir a capacidade com complexidade de tempo polinomial.<br> / Abstract : A multiplicative matrix channel (MMC) is a communication channel in which the input X and the output Y are matrices related by the law Y = GX, where G is called the transfer matrix. This thesis considers MMCs over finite fields and chain rings, which have practical applications in network coding. A probabilistic approach is adopted, in the light of information theory, so that the resulting channel can be seen as a discrete memoryless channel which is essentially determined by the probability distribution of G. Two problems are examined in this thesis. First, MMCs over finite fields are considered, where it is assumed that the instances of the transfer matrix are unknown to both the transmitter and receiver (this is known as the non-coherent scenario). It is also assumed that the probability distribution of G is such that matrices with the same rank are equiprobable. This model generalizes some previously considered in the literature. Since it is more flexible, the model allows its application (in the context of linear network coding) in a larger number of practical situations. As a contribution, the channel capacity is obtained as the solution of a convex optimization problem which can be efficiently solved by numerical methods. Furthermore, closed-form expressions for the capacity are obtained for several special situations. The second problem considers MMCs over finite chain rings, of which finite fields are special cases. The motivation for such comes from physical-layer network coding. This time, it is assumed that the instances of the transfer matrix are available to the receivers, but not to the transmitter (this is known as the coherent scenario). Apart from that, no restrictions on the statistics of G are imposed. In this case, a closed-form expression for the channel capacity is obtained, and a polynomial time capacity-achieving coding scheme is proposed.

Orientador: Antonio Aparecido de Andrade / Banca: Trajano Pires da Nóbrega Neto / Banca: Edson Donizete de Carvalho / Resumo: Esta dissertação apresenta o anel de inteiros de corpos quadráticos, de corpos ciclotômicos, de alguns subcorpos ciclotômicos e de corpos de números abelianos com o objetivo de utilizá-los na produção de reticulados algébricos, os quais são aplicados a teoria da Informação e a teoria dos Códigos Corretores de Erros. O texto desenvolve conceitos básicos sobre Álgebra e Teoria Algébrica dos Números, estuda bases integrais de corpos de n umeros sob dois diferentes aspectos, caracteriza o anel de inteiros dos corpos de números referidos anteriormente e apresenta algumas aplicações dessa teoria aos reticulados algébricos. Os teoremas centrais demonstrados nesta dissertação são o Teorema de Hilbert-Speiser e o Teorema de Leopoldt-Lettl. Este fornece o anel de inteiros de qualquer corpo de números abeliano, generalizando aquele. Esta dissertação possui um capítulo dedicado a demonstração do Teorema de Leopoldt-Lettl de maneira detalhada. Além disso, este trabalho faz uma análise sobre a monogênese de alguns anéis de inteiros e apresenta um contraexemplo de anel de inteiros não monogênico. O último capítulo e dedicado aos reticulados e mostra exemplos de reticulados algébricos construídos nos espaços de dimensões 2, 4, 6 e 8 via o homomorfismo de Minkowski em ideais de anéis de inteiros de corpos de números. O trabalho que originou esta dissertação consistiu principalmente na pesquisa e no detalhamento das demonstrações do Teorema de Leopoldt-Lettl e de três teoremas relacionados ao tema da monogênese de anéis de inteiros. Este empenho deu origem a um desenvolvimento mais claro e menos compacto das demonstrações relacionadas a esses assuntos, o qual e apresentado no texto. Enfim, este trabalho reúne e oferece um grande aparato teórico que tem sido útil ao desenvolvimento da teoria dos reticulados algébricos e que cria a expectativa de sua utilização em futuras aplicações / Abstract: This master thesis presents the rings of integers of quadratic elds, cyclotomic elds, some cyclotomic sub elds and abelian number elds aiming use them to produce algebraic lattices, which are applied in the Information Theory and in the Error Correcting Codes Theory. The text develops basic concepts about Algebra and Algebraic Number Theory, studies integral basis of number elds from two di erent perspectives, characterizes the ring of integers of the aforementioned number elds and presents some applications of this theory to algebraic lattices. The main proven theorems in this thesis are Hilbert-Speiser Theorem and Leopoldt-Lettl Theorem. The second provides the ring of integers of any abelian number eld, generalizing the rst. This thesis has a chapter dedicated to make the proof of the Leopoldt-Lettl Theorem in detail. Furthermore, this work analyses the monogenesis of some ring of integers and presents a counterexample of a ring of integers non-monogenic. The last chapter is aimed at lattices and shows examples of algebraic lattices in spaces of dimensions 2, 4, 6 and 8 constructed by ideals of ring of integers of number elds through Minkowski homomorphism. The work that created this thesis consisted mainly in research and detailing of the proofs of Leopoldt- Lettl Theorem and of three theorems linked to the issue of monogenesis of the ring of integers. This e ort created a development lighter and less compact of the proofs related to these subjects, which is presented in the text. Finally, this thesis gathers and provides a great theoretical apparatus that has been useful to development of the theory of algebraic lattices and that creates the expectation of its use in future applications in this area / Mestre

Orientador: Antonio Aparecido de Andrade / Banca: Agnaldo José Ferrari / Banca: Clotilzio Moreira dos Santos / Banca: José Othon Dantas Lopes / Banca: Trajano Pires da Nóbrega Neto / Resumo: O objetivo desse trabalho e contribuir com resultados algébricos sobre extensões abelianas de grau p, com p um primo ímpar. Mais precisamente, explicitamos o elemento primitivo e uma base integral de uma extensão abeliana de grau p e condutor p²q, com q primo tal que q'3 barras' 1(mod p). Construímos também reticulados algébricos sobre essas extensões abelianas e reticulados ideais sobre subcorpos de Q('dzeta'pr) de dimensão par e ímpar / Abstract: The aim of this work is to contribute to results algebraic on abelian extensions of degree p, with p a prime odd. More precisely, we made explicit primitive element and a integral base of an abelian extension of degree p and conductor p2q, with q prime such that q '3 barras' 1(mod p). We built also algebraic lattices of these abelian extensions and ideal lattices for sub elds of Q('dzeta'pr) of even and odd dimension / Doutor

Made available in DSpace on 2016-04-01T17:54:33Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2015-08-14. Added 1 bitstream(s) on 2016-04-01T18:00:12Z : No. of bitstreams: 1 000859968.pdf: 412134 bytes, checksum: 8a71710be215f103eb559bbf85b23a05 (MD5) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / O objetivo desse trabalho e contribuir com resultados algébricos sobre extensões abelianas de grau p, com p um primo ímpar. Mais precisamente, explicitamos o elemento primitivo e uma base integral de uma extensão abeliana de grau p e condutor p²q, com q primo tal que q'3 barras' 1(mod p). Construímos também reticulados algébricos sobre essas extensões abelianas e reticulados ideais sobre subcorpos de Q('dzeta'pr) de dimensão par e ímpar / The aim of this work is to contribute to results algebraic on abelian extensions of degree p, with p a prime odd. More precisely, we made explicit primitive element and a integral base of an abelian extension of degree p and conductor p2q, with q prime such that q '3 barras' 1(mod p). We built also algebraic lattices of these abelian extensions and ideal lattices for sub elds of Q('dzeta'pr) of even and odd dimension / FAPESP: 2011/19973-3