In this thesis, we study the operator algebraic structure of various classes of unimodular free quantum groups, including thefree orthogonal quantum groups $O_n^+$, free unitary quantum groups $U_n^+$, and trace-preserving quantum automorphism groups associated to finite dimensional C$^\ast$-algebras. The first objective of this thesis to establish certain approximation properties for the reduced operator algebras associated to the quantum groups $\G = O_n^+$ and $U_n^+$, ($n \ge 2$). Here we prove that the reduced von Neumann algebras $L^\infty(\G)$ have the Haagerup approximation property, the reduced C$^\ast$-algebras $C_r(\G)$ have Grothendieck's metric approximation property, and that the quantum convolution algebras $L^1(\G)$ admit multiplier-bounded approximate identities. We then go on to study trace-preserving quantum automorphism groups $\G$ of finite dimensional C$^\ast$-algebras $(B, \psi)$, where $\psi$ is the canonical trace on $B$ induced by the regular representation of $B$. Here, we extend several known results for free orthogonal and free unitary quantum groups to the setting of quantum automorphism groups. We prove that the discrete dual quantum groups $\hG$ have the property of rapid decay, the von Neumann algebras $L^\infty(\G)$ have the Haagerup approximation property, and that $L^\infty(\G)$ is (in most cases) a full type II$_1$-factor. As applications of these and other results, we deduce the metric approximation property, exactness, simplicity and uniqueness of trace for the reduced C$^\ast$-algebras $C_r(\G)$, and the existence of multiplier-bounded approximate identities for the convolution algebras $L^1(\G)$. We also show that when $B$ is a full matrix algebra, $L^\infty(\G)$ is an index $2$ subfactor of $L^\infty(O_n^+)$, and thus solid and prime. Finally, we investigate strong Haagerup inequalities in the context of quantum symmetries arising from actions of free quantum groups on non-commutative random variables. We prove a generalization of the strong Haagerup inequality for $\ast$-free R-diagonal families due to Kemp and Speicher, and apply this result to study strong Haagerup inequalites for the free unitary quantum groups. / Thesis (Ph.D, Mathematics & Statistics) -- Queen's University, 2012-07-31 12:45:57.767

Dans cette thèse, on étudie les propriétés combinatoires, algébriques et analytiques de certains groupes quantiques compacts libres. on prouve au chapitre 2 que les duaux des groupes quantiques de réflexions complexes possèdent, dans la plus part des cas, la propriété d'approximation de Haagerup. au chapitre 3, on décrit les règles de fusion du produit en, couronne libre d'un groupe discret par le groupe quantique des permutations. Pour cela on détermine les espaces d'entrelaceurs entre certaines coreprésentation "basiques" de ces produits en couronnes libres en termes de partitions non croisées décorées par les éléments du groupe. On peut alors identifier les coreprésentations irréductibles et décrire les règles de fusion. On propose ensuite plusieurs applications de ce résultat. On démontre premièrement que les C*-algèbres réduites de ces produits en couronnes libres sont sans la plupart des cas simples et à trace unique. Puis on prouve que les algèbres se von Neumann associées sont des facteurs de type II et que ces facteurs sont pleins. On étend finalement le résultat du chapitre 2, aux produits en couronnes libres des groupes finis par le groupe quantique de permutations. / In this thesis, we study the combinatorial and operator algebraic properties of certain free compact quantum groups. We prove in chapter 2 that the duals of the quantum reflexion groups have, in most cases, the Haagerup property. In chapter 3, we describe the fusion rules of the free wreath product of a discrete group by the quantum permutation group. To do this, we describe the interrwinner spaces berween certain “basic” corepresentations of these free wreath products in terms of non-crossing partitions decorated by the elements of the group . This provides a whole new class of compact quantum groups whose fusions rules are explicitly computed. We give several applications of this result.We prove that, in most cases, the reduced C*-algebras associates with these free wreath products are simple with unique trace. We also prove that the associated II 1 factors are full. To conclude, we extend the result of chapter 2 to the free wreath products of finite groups by the quantum permutation group.

Cette thèse porte sur des propriétés d'approximation généralisant la moyennabilité pour les groupes localement compacts. Ces propriétés sont définies à partir des multiplicateurs de certaines algèbres associés aux groupes. La première partie est consacrée à l'étude de la propriété p-AP, qui est une extension de la AP de Haagerup et Kraus au cadre des opérateurs sur les espaces Lp. Le résultat principal dit que les groupes de Lie simples de rang supérieur et de centre fini ne satisfont p-AP pour aucun p entre 1 et l'infini. La deuxième partie se concentre sur les multiplicateurs de Schur radiaux sur les graphes. L'étude de ces objets est motivée par les liens avec les actions de groupes discrets et la moyennabilité faible. Les trois résultats principaux donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction sur les nombres naturels définisse un multiplicateur radial sur des différentes classes de graphes généralisant les arbres. Plus précisément, les classes de graphes étudiées sont les produits d'arbres, les produits de graphes hyperboliques et les complexes cubiques CAT(0) de dimension finie. / This thesis focusses on some approximation properties which generalise amenability for locally compact groups. These properties are defined by means of multipliers of certain algebras associated to the groups. The first part is devoted to the study of the p-AP, which is an extension of the AP of Haagerup and Kraus to the context of operators on Lp spaces. The main result asserts that simple Lie groups of higher rank and finite centre do not satisfy p-AP for any p between 1 and infinity. The second part concentrates on radial Schur multipliers on graphs. The study of these objects is motivated by some connections with actions of discrete groups and weak amenability. The three main results give necessary and sufficient conditions for a function of the natural numbers to define a radial multiplier on different classes of graphs generalising trees. More precisely, the classes of graphs considered here are products of trees, products hyperbolic graphs and finite dimensional CAT(0) cube complexes.

Submitted by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2018-05-16T14:49:10Z No. of bitstreams: 2 Dissertação.pdf: 26629967 bytes, checksum: d8fcb48ed60770cf6ba7a8936168718d (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2018-05-16T14:49:24Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação.pdf: 26629967 bytes, checksum: d8fcb48ed60770cf6ba7a8936168718d (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-16T14:49:24Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação.pdf: 26629967 bytes, checksum: d8fcb48ed60770cf6ba7a8936168718d (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2018-03-23 / CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / The main goal in this dissertation is to study the versions for compact operators of Lindenstrauss property A and B. In the course of our work, we present results concerning weak-star topology, Schauder basis, approximation properties, Banach spaces that locally depend upon finitely many coordinates, strictly convex spaces, uniformly convex spaces, among others. In 2014 Miguel Martín answered positively the following question: Are there compact operators between Banach spaces that can not be approximated by compact operators that attain their norms? In order to do that, he introduced two properties called properties Ak and Bk or versions for compact operators of Lindenstrauss properties. In this dissertation we present some results regarding Lindenstrauss properties A and B, and we also provide several results regarding properties Ak and Bk. / O objetivo desta dissertação é estudar as versões das propriedades A e B de Lindenstrauss para operadores compactos. No decorrer do nosso trabalho, apresentamos resultados sobre a topologia fraca-estrela, bases de Schauder, propriedades da aproximação, espaços de Banach cuja norma depende localmente de finitas coordenados, espaço estritamente convexo, espaço uniformemente convexo, dentre outros. Em 2014 Miguel Martín publicou um artigo respondendo de maneira positiva a seguinte pergunta: Existem operadores compactos entre espaços de Banach que não podem ser aproximados por operadores compactos que atingem a norma? Ao fazer isso, introduziu, no mesmo trabalho, duas propriedades chamadas de propriedades Ak e Bk ou versões para operadores compactos das propriedades de Lindenstrauss. Nesta dissertação, são apresentados de maneira detalhada resultados relacionados às propriedades A e B de Lindenstrauss e propriedades Ak e Bk.

Godefroy et Ozawa ont montré qu’il existe un espace compact dont l’espace libre n’a pas la propriété d’approximation. Il est donc naturel de se demander quels sont les espaces métriques dont l’espace libre à la propriété d’approximation bornée. Grothendieck a montré qu’un dual séparable ayant la propriété d’approximation a la propriété d’approximation métrique. Ce résultat justifie l’utilité de savoir si un espace libre est un dual. Le premier chapitre est consacré à la dualité. Pour commencer nous présentons un théorème permettant de montrer qu’un espace de Banach séparable est le dual d’un sous-espace de son dual, sous conditions. Nous expliquons ensuite comment appliquer ce théorème dans le cadre des espaces libres. Dans la suite du chapitre nous l’appliquons aux espaces propres dénombrables ou ultramétriques. Dans le deuxième chapitre nous nous intéressons à la propriété d’approximation métrique sur l’espace libre des espaces propres dénombrables. Nous énonçons tout d’abord un résultat dû à Kalton puis nous l’utilisons pour montrer que sous ces hypothèses, l’espace libre a la propriété d’approximation métrique. Le troisième chapitre est dédié à l’étude des espaces libres sur les espaces ultramétriques. Nous montrons dans un premier temps que lorsque l’espace ultramétrique est propre, son espace libre a la propriété d’approximation métrique et est isomorphe à l1, de plus il admet un prédualisomorphe à c0. Enfin, en collaboration avec P. Kaufmann et A. Prochàzka, nous montrons que l’espace libre sur un espace ultramétrique n’est jamais isométrique à un espace l1 et nous généralisons ce résultat à certains sous-ensembles des arbres réels séparables. / Godefroy and Ozawa have proved that there exists a compact space with a free space failing the approximation property. Then it is natural to ask what are the metric spaces whose freespace has the bounded approximation property. Grothendieck has proved that a separable Banach space with the approximation property has the metric approximation property. This result justifies why it is interesting to know whether a free space is a dual space. The first chapter is dedicated to duality. First we introduce a result to prove that a Banach space is a dual space, under some conditions. Then we explain how to use it in the context offree spaces and finally we apply it to countable or ultrametric proper metric spaces.In the second chapter, we study the metric approximation property of free spaces overcountable proper metric spaces.In the third chapter, ultrametric spaces are investigated. We prove first that the free spaceover a proper ultrametric space has the metric approximation property, is isomorphic to l1 andadmits a predual isomorphic to c0. Finally, in collaboration with P. Kaufmann et A. Proch`azka,we prove that the free space over a ultrametric space is never isometric to l1 and we generalizethis result to some subsets of separable R-trees.