Le sujet de ma thèse est la théorie de la pénalisation, développée originalement par B .Roynette, P. Vallois et M. Yor dans le cas du mouvement brownien. En quelques mots, cela consiste à favoriser des trajectoires de mesure nulle en mettant un poids sur la mesure de probabilité. La première partie de ma thèse est la contrepartie discrète de leur travail: Soit (Omega,(Xn,,n>=0),Fn,n>=0, P) la marche aléatoire symétrique où Fn est la filtration canonique. Pour des fonctionnelles positives et adaptées G:N*Omega->R+, j'étudie pour tout n dans N, pour tout An dans Fn, la limite quand p tend vers l'infini de la quantité: Ex[An Gp] / Ex[Gp] Quand cette limite existe, elle est égale à Q(An):=Ex[An Mn] où (Mn,n>=0) est une martingale positive non uniformément intégrable. La définition de Q induit une nouvelle probabilité sur (Omega,F) et on étudie alors (Xn,n>=0) sous Q. Dans une seconde partie, j'essaye d'étendre cette théorie à un processus de naissance et de mort. Rappelons que ces processus ont la propriété de ne changer d'état que vers les états les plus proches et cela après un temps aléatoire exponentiel. Plus précisément, je pénalise un processus de naissance et de mort transient par le nombre de visites dans l'état 0 (ce qui est comme une pénalisation par le temps local). Quand je force ce processus à visiter une infinité de fois l'état 0, je prouve que, sous la nouvelle mesure de probabilité induite par pénalisation, le processus se comporte comme un processus de naissance et de mort récurrente. / The subject of my thesis is the theory of penalisation originaly developed by B .Roynette, P. Vallois and M. Yor in the case of the brownian motion. In a few words, it consists in putting a weight on the probability measure to favorise trajectories with probability measure equals to zero. The first part of my thesis is the discrete counterpart of their work : let (Omega,(Xn,,n>=0),Fn,n>=0, P) the symmetric random walk and Fn is the canonical filtration. For some adapted and positive functionals G:N*Omega->R+, I study for all n in N, for all An in Fn, the limit when p goes to infinity of the quantity: Ex[An Gp] / Ex[Gp] When this limit exists, it is equal to Q(An):=Ex[An Mn] where (M_n,n>=0) is a positive non uniformly integrable martingale. The definition of Q induces a new probability on (Omega, F) and then I study (Xn,n>=0) under Q. In a second part, I try to expend this theory to birth and death Markov processes. Recall that these processes have the property that, after an exponential random length of time, only transitions to neighbouring states are possible. Precisely, I penalize the distribution of the transient birth and death process by the number of visits at the state 0 (which is like local time type penalization). When I force the process to visit an infinitely often the state zero, I prove that, under the new probability measure induced by penalization, the process behaves as a recurrent birth and death process.

[pt] No desenvolvimento das técnicas de determinação do campo elétrico irradiado por refletores simétricos de grandes dimensões, vem sendo constante a preocupação dos pesquisadores com o aprimoramento de métodos numéricos que melhor e mais rapidamente possam gerar dados confiáveis da radiação destas antenas, tanto na região de campo-distante quanto na região de Fresnel. Dentre as técnicas de cálculo possíveis, a utilização das séries de Jacobi-Bessel destaca-se como uma ferramenta bastante útil para a determinação do diagrama de radiação paraxial (na região próxima ao eixo de simetria do refletor) nas regiões de Fresnel e de Campo-Distante. Esta técnica é certamente conveniente quando é necessário calcular o campo para um grande número de pontos de observação. O presente trabalho contém, além do desenvolvimento teórico detalhado do método em questão para a determinação do campo espalhado por parabolóides simétricos alimentados no foco, aplicações nas quais são comparados os resultados com os obtidos através da aplicação de métodos tradicionais tais como: Integração Direta de Correntes, G.T.D. e Óitca Geométrica. São apresentadas e analisadas algumas curvas representativas da convergência das séries em campo próximo (Fresnel) e distante e para diversas situações do sistema (dimensões da antena, freqüência e ponto de observação). É feita ainda uma análise crítica da validade das aproximações de Fresnel na integral de Radiação [1] e das aproximações F.S.A. (Frasnel Small Angle Approximations) introduzidas no desenvolvimento das séries de Jacobi-Bessel. Finalmente, um programa de computador em linguagem FORTRAN desenvolvido para o cálculo do espalhamento de parabolóides simétricos On-Axis usando as séries de Jacobi-Bessel, é apresentado em anexo. / [en] This thesis reports on the computation of radiation patterns of axially symmetric parabolic reflector antennas using the Jacobi-Bessel Series Method. A detailed presentation of the method for the computation in the near far field regions is followed by a discussion about the validity of the approximations involved. Examples of application are given and the results, when compared with P.O., G.O. and solutions show good agreement. The ability of the method to achieve convergence faster than the classical current integration method is stressed. A complete listing of a fully commented FORTRAN IV computer program, developed by the author, is also presented.

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Ce travail étudie la possibilité de courber le lobe central d’un faisceau Bessel d’ordre zéro sur de longues distances le long de son axe de propagation à l’aide d’un miroir liquide déformable. La méthode suggérée est fixe de sorte qu’aucun élément optique ne se déplace lors du processus. La méthode permet de conserver la symétrie du lobe central lors de la trajectoire du faisceau. Des simulations théoriques ont été développées et montrent que différentes formes de courbures de trajectoires peuvent être produites. Plusieurs méthodes de production de faisceaux à trajectoires courbées ont été étudiées; citons les masques en transmission, les éléments optiques holographiques et les miroirs liquides déformables. Les résultats obtenus avec le miroir liquide déformable sont présentés et permettent, par exemple, de produire un faisceau Bessel d’ordre zéro Jo(αr) à trajectoire parabolique pouvant courber de 0,6 mm après une distance de propagation de 30 cm tout en conservant une largeur à mi-hauteur de 60 microns au niveau du lobe central. Des faisceaux avec des courbures de trajectoire d’ordre supérieur ont également été produits. Il a aussi été possible de séparer le lobe central d’un faisceau en deux lors de sa propagation et de faire courber un faisceau Bessel d’ordre 1 J₁(αr). Cette méthode est tout attitrée pour permettre l’inscription de guides d’onde courbés. / We propose a strategy to curve the trajectory of the central lobe of a zero order Bessel beam Jo(αr) along its propagation axis. The proposed method involves modifying the phase of the beam incident on an adaptive mirror. We show that the central lobe of the beam can be propagated along parabolic and cubic trajectories while preserving its symmetry. Theoretical simulations were reproduced in laboratory using an adaptive liquid mirror. The parabolic trajectory of the 60-micron central spot of a Jo(αr) beam exhibits a 0.6-mm off axis shift after 30-cm propagation. The versatility of the adaptive liquid mirror allows producing other beam shapes and trajectories. For example, it is possible to split the central lobe of a Bessel beam in two (Y shape); it is also possible to modify the diameter of a tunnel beam during the propagation a higher-order J₁(αr) Bessel beam. Comparison with Airy beams and potential applications in guided-wave optics will be discussed.

Le faisceau Bessel, solution exacte de l’équation d’onde, possède une zone où il garde pratiquement la même forme et les mêmes dimensions ; dans cette zone, il ne diffracte pas. Cette propriété intéressante a amené, depuis les années 80, plusieurs groupes de recherche à concevoir des cavités laser produisant ce type de faisceau non-diffractant. Une des difficultés de cette tâche réside dans la sélection des modes transverses du résonateur. Dans la plupart des cas, le problème est résolu en bloquant les modes supérieurs avec un iris, ce qui limite souvent le faisceau en propagation et en puissance. Ce projet de résonateur Bessel propose une nouvelle manière de sélectionner les modes en utilisant un miroir coupleur de petite taille, laquelle est adaptée aux dimensions du lobe central du faisceau Bessel J0. Le faisceau Bessel est généré à l’intérieur de la cavité grâce à un miroir conique, ou axicon, conçu et caractérisé dans nos laboratoires tout comme le coupleur. Une fois la cavité montée et alignée, nous avons mesuré les différentes distributions en champ proche, en champ lointain et à l’intérieur de la cavité. Les simulations numériques faites à l’aide de la méthode de Prony, pour le calcul de la proportion des principaux modes transverses présents dans le résonateur, nous ont permis d’observer de grandes similitudes avec les distributions mesurées. Il s’avère que le mode principal, comme le révèlent les simulations du champ lointain, n’est pas tout à fait un faisceau Bessel J0, quoique très ressemblant. Le calcul de l’énergie encerclée du mode dominant en champ lointain est presque identique à celui de l’énergie encerclée sur les distributions obtenues expérimentalement, le bruit en moins, ce qui semble confirmer l’unicité du mode transverse issu de la cavité.

Les avancées technologiques concernant la microscopie ont permis la création d'une grande variété de systèmes optiques dédiés à l'investigation du comportement dynamique des cellules in vivo. En neuroscience, le dé réside dans l'observation des interactions entre des neurones marqués d'un fluorophore qui sont situés à différentes profondeurs dans le tissu. Afin d'y arriver, il est nécessaire de balayer l'échantillon sur plusieurs plans transverses pour couvrir entièrement son volume. Puisque cette procédure diminue la résolution temporelle, il a été proposé d'utiliser un axicon pour augmenter la profondeur de champ du microscope et réduire le nombre de balayages à effectuer. Cependant, l'axicon est di cile à fabriquer et possède généralement des défauts sur la pointe du cône, dégradant ainsi la qualité de la composante. En vue de remplacer l'axicon par une autre composante optique dont la fabrication n'entraîne pas de défaut, il a été envisagé d'utiliser une lentille à gradient d'indice couplée à une lentille simple (GRIN-axicon). Des simulations ont montré que le GRIN-axicon a le potentiel de produire un faisceau Bessel de bonne qualité. Toutefois, les tests expérimentaux ont été très brefs et il est nécessaire d'investiguer davantage le comportement de cette nouvelle composante en laboratoire. L'objectif de ce projet de maîtrise est donc de concevoir, fabriquer et caractériser un GRIN-axicon pour une application en microscopie multiphotonique. Comme objectif secondaire, on souhaite approfondir la théorie reliée à cette nouvelle composante. / Technological advances in microscopy have led to the creation of a wide variety of optical systems dedicated to the investigation of the dynamic behavior of cells in vivo. In neuroscience, the challenge lies in the observation of interactions between labeled neurons located at different depths in the tissue. In order to achieve this, it is necessary to scan the sample on several transverse planes to fully cover its volume. Since this procedure decreases the temporal resolution, it has been proposed to use an axicon to increase the depth of field of the microscope and reduce the number of scans to be performed. However, the axicon is di cult to manufacture and usually has defects on the tip of the cone, thus degrading the quality of the component. In order to replace the axicon by another optical component easier to manufacture, the use of a graded index lens coupled to a single lens (GRIN-axicon) was considered. Simulations have shown that the GRIN-axicon has the potential to produce a good quality Bessel beam. However, experimental tests have been very limited and it is necessary to further investigate the behaviour of this new component in the laboratory. The objective of this master's project is therefore to design, manufacture and characterize a GRIN-axicon for application in multiphoton microscopy. As a secondary objective, we wish to deepen the theory related to this new component.

Les travaux présentés dans cette thèse portent en premier lieu sur l’établissement d’un modèle théorique décrivant une nouvelle famille de faisceaux invariants reposant sur une distribution correspondant à la fonction de Bessel dans le plan spatiotemporel, d’où leur nom de faisceaux Bessel spatiotemporels (BST). Le modèle analytique décrivant ces faisceaux n’a pas de bornes physiques, ce qui se traduit par une impossibilité de les générer expérimentalement. Il est cependant possible dans les faits de limiter l’étendue spatiale et temporelle de ceux-ci en utilisant par exemple une enveloppe gaussienne, dont la taille est variable. La limitation physique par enveloppe gaussienne altère la nature invariante des faisceaux BST en introduisant une dépendance spatiale qui affecte de manière plus ou moins prononcée leur invariance, selon que la taille de l’enveloppe est petite ou large relativement à la structure interne du faisceau. Un modèle théorique présente par la suite les caractéristiques physiques des faisceaux BST limités par une enveloppe gaussienne, appelés faisceaux Bessel-Gauss spatiotemporels (BGST). Une méthode expérimentale de génération des faisceaux BGST centrés à 800 nm est également présentée. Les méthodes de caractérisation reposent quant à elles sur l’analyse du profil spatial, temporel et du spectre résolu spatialement (SRS). Le SRS permet d’obtenir la distribution des longueurs d’onde en fonction de la position transversale du faisceau, et permet une reconstruction partielle de la structure spatiotemporelle des faisceaux BGST via une transformée de Fourier. Les méthodes d’analyse développées ont permis de comparer les faisceaux générés expérimentalement avec les modèles théoriques pour en faire ressortir une très bonne correspondance.

A hierarquia de equações de Boltzmann que descreve a temperatura e polarização da radiação cósmica de fundo ´e tratada no espaço das posições. Mostramos neste formalismo que temperatura e polarização podem ser descritas como medias dos termos de fonte ponderados por probabilidades associadas a um problema de voos aleatórios. Decorre da estrutura geral da hierarquia que se pode fazer uma expansão da temperatura e polarização em termos do numero de espalhamentos ocorridos durante a recombinação. Incorporamos o efeito de lentes gravitacionais sobre a radiação cósmica de fundo tirando proveito da estrutura das equações no espaço das posições. Mostraremos que o efeito ´e incorporado através de correções aos coeficientes da decomposição angular dos campos de temperatura e polarização. Para descrever o efeito de lentes gravitacionais fazemos uma revisão sobre resultados formais da teoria e apresentamos uma derivação de equações centrais em espaços-tempo arbitrários. / The Boltzmann hierarchy describing the temperature and polarization of the cosmic microwave background is presented in a position space formalism. We show that temperature and polarization can be described in terms of averages over source terms weighted by probabilities densities that appear in problems of random flights. The temperature and polarization signals can be expanded in terms of the number of scatterings photons suffered during the recombination. The gravitational lensing effects are incorporated over the free-propagation phase of the CMB photons. This effect can be included in the position space formalism as a correction to the expansion coefficients of the temperature and polarization fields. The bases of the theory of gravitational lensing are also presented and a rederivation of the central equations of the theory in arbitrary spacetimes is here developed.

Este trabalho é uma contribuição às análises de forças de aprisionamento óptico exercidas sobre partículas esféricas por superposições discretas de feixes de Bessel. Um estudo teórico-numérico foi realizado no regime de óptica geométrica, completando as pesquisas já realizadas com tais feixes e no caso escalar, tanto no regime de Rayleigh quanto através de um formalismo eletromagnético completo. Investigam-se padrões longitudinais de intensidade de possível interesse prático, com potenciais de fornecer múltiplas armadilhas ópticas simultâneas utilizando dois métodos de análise. O primeiro parte da observação de que no regime paraxial todos os raios associados aos feixes se encontram quase paralelos entre si quando se toma como aproximação uma superposição de raios paralelos que incidem completamente sobre um hemisfério do espalhador. Tal método, entretanto, é naturalmente restrito pelas forças transversais. O segundo, que torna mais confiáveis e precisas as predições acerca da componente longitudinal de força, adota procedimentos mais robustos que levam em consideração tanto a contribuição da pressão de radiação (força de espalhamento) quanto a força gradiente devido a gradientes locais de intensidade associados a raios não-paralelos. Assim, acredita-se que este trabalho traz como contribuição um reforço a esta classe específica e promissora de feixes não difrativos como feixes de luz interessantes para aplicações em aprisionamento e micromanipulação óptica. / This work is a contribution to the analyses of optical trapping forces exerted on spherical particles by discrete superpositions of Bessel beams. A theoretical-numerical study has been carried out in the ray optics regime, completing the pre-existing research performed with such beams, in the scalar case, both in the Rayleigh regime and through a complete electromagnetic formalism. We investigate longitudinal intensity patterns of possible practical interest with potential to provide multiple simultaneous optical traps, by using two methods of analysis. The first assumes that, in the paraxial regime, all rays associated to the beams are almost parallel to each other, taking a superposition of parallel rays that are completely incident on a hemisphere of the scatterer as a suitable approximation. Such a method, however, is naturally constrained by the transverse forces. The second one, which makes the predictions about the longitudinal force component more reliable and accurate, adopts more robust procedures that take into consideration the contribution of the radiation pressure (scattering force) as well as the gradient force due to local intensity gradients associated to non-parallel rays. Thus it is hoped that this work will contribute to reinforce this specific and promising class of non-diffractive beams as interesting light beams for applications in optical trapping and micromanipulation.