Cette thèse est dédiée à l’analyse de stabilité des systèmes non linéaires sous échantillonnage variant avec le temps. Lors de l’implémentation numérique d’un contrôleur qui est calculé en temps-continu (approche par émulation), il est d'un grand intérêt de fournir des critères de stabilité et d’estimer la borne supérieure de l’intervalle d’échantillonnage qui garantit la stabilité du système en temps discret. Plusieurs travaux récents ont abordé ces questions dans le cas de modèles linéaires, mais la question a rarement été abordée dans une étude quantitative et formelle pour les systèmes non linéaires.Tout d'abord, le mémoire présente un aperçu sur les systèmes échantillonnés. Les défis et les principales méthodes pour l'analyse de stabilité sont présentés pour le cas des systèmes linéaires invariants dans le temps et celui des systèmes non linéaires. Ensuite, l’analyse de la stabilité locale des systèmes bilinéaires échantillonnés contrôlés par un retour d'état linéaire est considérée. Deux approches sont utilisées, la première basée sur la théorie des systèmes hybrides, la seconde basée sur l’analyse des ensembles invariants contractants. Cette dernière approche est inspirée par la théorie de la dissipativité. L’ensemble de ces résultats conduisent à des conditions suffisantes de stabilité exprimées sous forme LMI.Enfin, les conditions de stabilité basées sur la dissipativité sont étendues au cas des systèmes non linéaires affines en l'entrée. Les résultats sont ensuite repris dans le cas spécifique des systèmes non linéaires polynomiaux où les conditions de stabilité sont vérifiées numériquement en utilisant la décomposition en somme des carrés (SOS). / This PhD thesis is dedicated to the stability analyzis of nonlinear systems under sampled-data control, with arbitrarily time-varying sampling intervals. When a controller is designed in continuous-time, and then implemented digitally (emulation approach), it is of great interest to provide stability criteria, and to estimate the bound on the sampling intervals which guarantees the stability of the sampled-data system. Whereas several works deal with linear models, the issue has been rarely addressed in a formal quantitative study in the nonlinear case.First, an overview on sampled-data control is presented. Challenges and main methodologies for stability analysis are presented for both the linear time-invariant and the nonlinear cases.Then, local stability of bilinear sampled-data systems controlled by a linear state feedback is considered by using two approaches: the first one is based on hybrid systems theory; the second one is based on the analyzis of contractive invariant sets and is inspired by the dissipativity theory. Both approaches provide sufficient stability conditions in the form of LMI.Finally, the dissipativity–based stability conditions are extended for the more general case of nonlinear systems which are affine in the input, including the case of polynomial systems which leads to conditions in the form of sum of squares (SOS).

Cette thèse est consacrée à l'étude des aspects linéaires et non-linéaires des équations de type Schrödinger [ i partial_t u + |nabla|^sigma u = F, quad |nabla| = sqrt {-Delta}, quad sigma in (0, infty).] Quand $sigma = 2$, il s'agit de l'équation de Schrödinger bien connue dans de nombreux contextes physiques tels que la mécanique quantique, l'optique non-linéaire, la théorie des champs quantiques et la théorie de Hartree-Fock. Quand $sigma in (0,2) backslash {1}$, c'est l'équation Schrödinger fractionnaire, qui a été découverte par Laskin (voir par exemple cite{Laskin2000} et cite{Laskin2002}) en lien avec l'extension de l'intégrale de Feynman, des chemins quantiques de type brownien à ceux de Lévy. Cette équation apparaît également dans des modèles de vagues (voir par exemple cite{IonescuPusateri} et cite{Nguyen}). Quand $sigma = 1$, c'est l'équation des demi-ondes qui apparaît dans des modèles de vagues (voir cite{IonescuPusateri}) et dans l'effondrement gravitationnel (voir cite{ElgartSchlein}, cite{FrohlichLenzmann}). Quand $sigma = 4$, c'est l'équation Schrödinger du quatrième ordre ou biharmonique introduite par Karpman cite{Karpman} et par Karpman-Shagalov cite{KarpmanShagalov} pour prendre en compte le rôle de la dispersion du quatrième ordre dans la propagation d'un faisceau laser intense dans un milieu massif avec non-linéarité de Kerr. Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie étudie les estimations de Strichartz pour des équations de type Schrödinger sur des variétés comprenant l'espace plat euclidien, les variétés compactes sans bord et les variétés asymptotiquement euclidiennes. Ces estimations de Strichartz sont utiles pour l'étude de l'équations dispersives non-linéaire à régularité basse. La seconde partie concerne l'étude des aspects non-linéaires tels que les caractères localement puis globalement bien posés sous l'espace d'énergie, ainsi que l'explosion de solutions peu régulières pour des équations non-linéaires de type Schrödinger. [...] / This dissertation is devoted to the study of linear and nonlinear aspects of the Schrödinger-type equations [ i partial_t u + |nabla|^sigma u = F, quad |nabla| = sqrt {-Delta}, quad sigma in (0, infty).] When $sigma = 2$, it is the well-known Schrödinger equation arising in many physical contexts such as quantum mechanics, nonlinear optics, quantum field theory and Hartree-Fock theory. When $sigma in (0,2) backslash {1}$, it is the fractional Schrödinger equation, which was discovered by Laskin (see e.g. cite{Laskin2000} and cite{Laskin2002}) owing to the extension of the Feynman path integral, from the Brownian-like to Lévy-like quantum mechanical paths. This equation also appears in the water waves model (see e.g. cite{IonescuPusateri} and cite{Nguyen}). When $sigma = 1$, it is the half-wave equation which arises in water waves model (see cite{IonescuPusateri}) and in gravitational collapse (see cite{ElgartSchlein}, cite{FrohlichLenzmann}). When $sigma =4$, it is the fourth-order or biharmonic Schrödinger equation introduced by Karpman cite {Karpman} and by Karpman-Shagalov cite{KarpmanShagalov} taking into account the role of small fourth-order dispersion term in the propagation of intense laser beam in a bulk medium with Kerr nonlinearity. This thesis is divided into two parts. The first part studies Strichartz estimates for Schrödinger-type equations on manifolds including the flat Euclidean space, compact manifolds without boundary and asymptotically Euclidean manifolds. These Strichartz estimates are known to be useful in the study of nonlinear dispersive equation at low regularity. The second part concerns the study of nonlinear aspects such as local well-posedness, global well-posedness below the energy space and blowup of rough solutions for nonlinear Schrödinger-type equations.[...]