Sejam $M$ e $N$ superfícies fechadas e $\\tau: M \\to M$ uma involução livre de pontos fixos. Dizemos que uma classe de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ tem a propriedade de Borsuk-Ulam se para toda função contínua $g: M \\to N$ que representa $\\beta$, existe $x \\in M$ tal que $g(\\tau(x)) = g(x)$. No caso em que $N$ é diferente de $S^2$ e $RP^2$, mostramos que $\\beta$ não ter a propriedade de Borsuk-Ulam é equivalente a existência de um diagrama algébrico envolvendo $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau)$, $P_2(N)$ e $B_2(N)$, sendo $M_\\tau$ o espaço de órbitas de $\\tau$ e sendo $P_2 (N)$ e $B_2(N)$, respectivamente, o grupo de tranças puras e totais de $N$. Para cada caso listado abaixo, nós classificamos todas as classes de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ e $N = T^2$; $M = K^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = K^2$. No caso em que $N = S^2$, para cada superfície $M$ e involução $\\tau: M \\to M$, nós classificamos os elementos $\\beta \\in [M,S^2]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam. Para fazer tal classificação, nós usamos a teoria de funções equivariantes e a teoria de grau de aplicações. Para classes de homotopia $\\beta \\in [M,RP^2]$, classificamos aquelas que se levantam para $S^2$. No final, nós consideramos a propriedade de Borsuk-Ulam para ações livres de $Z_p$, com $p$ um inteiro primo positivo. Neste caso, mostramos que se $M$ e $N$ são superfícies fechadas e $Z_p$ age livremente em M, com $p$ ímpar, então sempre existe uma função $f: M \\to N$ homotópica a uma função constante e cuja restrição a cada órbita da ação é injetora. / Let $M$ and $N$ be compact surfaces without boundary, and let $\\tau: M \\to M$ be a fixed-point free involution. We say that a homotopy class $\\beta \\in [M,N]$ has the Borsuk-Ulam property if for every continuous fuction $g: M \\to N$ that represents $\\beta$, there exists $x \\in M$ such that $g(\\tau(x)) = g(x)$. In the case where $N$ is different of $S^2$ and $RP^2$, we show that the fact that $\\beta$ does not have the Borsuk-Ulam property is equivalent to the existence of an algebraic diagram involving $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau), $P_2(N)$ and $B_2(N)$, where $M_\\tau$ is the orbit space of $\\tau$ and $P_2(N)$ and $B_2(N) $ are the pure and the full braid groups of the surface $N$ respectively. We then go on to consider the cases of the torus $T^2$ and the Klein bottle $K^2$. Let $M$ and $N$ satisfy one of the following: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ and $N = T^2$; $M = K^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = K^2$. In these cases we classify the homotopy classes $\\beta \\in [M,N]$ that possess the Borsuk-Ulam property. If $N= S^2$, for every surface $M$ and an involution $\\tau: M \\to M$, we classify the elements $\\beta \\in [M, S^2] $ that possess the Borsuk-Ulam property. To obtain this classification, we make use of the theory of equivariant functions and degree theory of maps. For homotopy classes $\\beta \\in [M,RP^2]$, we classify the classes that admit a lifting to $S^2$. Finally, we consider the Borsuk-Ulam property for free actions of $Z_p$, where $p$ is a prime number. If $M$ and $N$ are compact surfaces without boundary such that $Z_p$ acts freely on $M$, with $p$ odd, we show that there is always a function $f: M \\to N$ homotopic to the constant function whose restriction to every orbit of $\\tau$ is injective.

Sejam $M$ e $N$ superfícies fechadas e $\\tau: M \\to M$ uma involução livre de pontos fixos. Dizemos que uma classe de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ tem a propriedade de Borsuk-Ulam se para toda função contínua $g: M \\to N$ que representa $\\beta$, existe $x \\in M$ tal que $g(\\tau(x)) = g(x)$. No caso em que $N$ é diferente de $S^2$ e $RP^2$, mostramos que $\\beta$ não ter a propriedade de Borsuk-Ulam é equivalente a existência de um diagrama algébrico envolvendo $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau)$, $P_2(N)$ e $B_2(N)$, sendo $M_\\tau$ o espaço de órbitas de $\\tau$ e sendo $P_2 (N)$ e $B_2(N)$, respectivamente, o grupo de tranças puras e totais de $N$. Para cada caso listado abaixo, nós classificamos todas as classes de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ e $N = T^2$; $M = K^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = K^2$. No caso em que $N = S^2$, para cada superfície $M$ e involução $\\tau: M \\to M$, nós classificamos os elementos $\\beta \\in [M,S^2]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam. Para fazer tal classificação, nós usamos a teoria de funções equivariantes e a teoria de grau de aplicações. Para classes de homotopia $\\beta \\in [M,RP^2]$, classificamos aquelas que se levantam para $S^2$. No final, nós consideramos a propriedade de Borsuk-Ulam para ações livres de $Z_p$, com $p$ um inteiro primo positivo. Neste caso, mostramos que se $M$ e $N$ são superfícies fechadas e $Z_p$ age livremente em M, com $p$ ímpar, então sempre existe uma função $f: M \\to N$ homotópica a uma função constante e cuja restrição a cada órbita da ação é injetora. / Let $M$ and $N$ be compact surfaces without boundary, and let $\\tau: M \\to M$ be a fixed-point free involution. We say that a homotopy class $\\beta \\in [M,N]$ has the Borsuk-Ulam property if for every continuous fuction $g: M \\to N$ that represents $\\beta$, there exists $x \\in M$ such that $g(\\tau(x)) = g(x)$. In the case where $N$ is different of $S^2$ and $RP^2$, we show that the fact that $\\beta$ does not have the Borsuk-Ulam property is equivalent to the existence of an algebraic diagram involving $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau), $P_2(N)$ and $B_2(N)$, where $M_\\tau$ is the orbit space of $\\tau$ and $P_2(N)$ and $B_2(N) $ are the pure and the full braid groups of the surface $N$ respectively. We then go on to consider the cases of the torus $T^2$ and the Klein bottle $K^2$. Let $M$ and $N$ satisfy one of the following: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ and $N = T^2$; $M = K^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = K^2$. In these cases we classify the homotopy classes $\\beta \\in [M,N]$ that possess the Borsuk-Ulam property. If $N= S^2$, for every surface $M$ and an involution $\\tau: M \\to M$, we classify the elements $\\beta \\in [M, S^2] $ that possess the Borsuk-Ulam property. To obtain this classification, we make use of the theory of equivariant functions and degree theory of maps. For homotopy classes $\\beta \\in [M,RP^2]$, we classify the classes that admit a lifting to $S^2$. Finally, we consider the Borsuk-Ulam property for free actions of $Z_p$, where $p$ is a prime number. If $M$ and $N$ are compact surfaces without boundary such that $Z_p$ acts freely on $M$, with $p$ odd, we show that there is always a function $f: M \\to N$ homotopic to the constant function whose restriction to every orbit of $\\tau$ is injective.

Call a set of 2n + k elements Kneser colored when its n-subsets are put into classes such that disjoint n-subsets are in different classes. Kneser showed that k + 2 classes are sufficient to Kneser-color the n-subsets of a 2n + k element set. There are several proofs that this same number is necessary which rely on fixed-point theorems related to the Lusternik-Schnirelmann- Borsuk (LSB) theorem. By employing generalizations of these theorems we expand the proofs mentioned to obtain proofs of an original result we call the Subcoloring theorem. The Subcoloring theorem asserts the existence of a partition of a Kneser-colored set that halves its classes in a special way. We demonstrate both a topological proof and a combinatorial proof of this main result. We present an original corollary that extends the Subcoloring theorem by providing bounds on the size of the pieces of the asserted partition. Throughout, we formulate our results both in combinatorial and graph theoretic terminology.

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9e6f062d94f6fdfb7d9cb0cfae289118 (MD5) / Approved for entry into archive by Elza Mitiko Sato null (elzasato@ibilce.unesp.br) on 2017-11-30T17:48:32Z (GMT) No. of bitstreams: 1 marini_mc_me_sjrp.pdf: 3119748 bytes, checksum: 9e6f062d94f6fdfb7d9cb0cfae289118 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-11-30T17:48:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 marini_mc_me_sjrp.pdf: 3119748 bytes, checksum: 9e6f062d94f6fdfb7d9cb0cfae289118 (MD5) Previous issue date: 2017-09-25 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O Teorema de Borsuk-Ulam clássico afirma que: “Se f : Sn → IRn é uma aplicação contínua, entãoexisteumponto x em Sn talque f(x) = f(−x), ouequivalentemente f(x) = f(A(x)), onde Sn indica a esfera unitária n-dimensional e A : Sn → Sn é a aplicação antipodal”. Se pensamos na superfície terrestre como uma esfera, o caso n = 2 pode ser ilustrado dizendo-se que em cada instante, existe sempre um par de pontos antipodais na superfície da Terra com mesma temperatura e pressão barométrica (supondo que a temperatura e a pressão variam continuamente na superfície). Este trabalho é baseado no artigo “Some generalizations of the Borsuk-Ulam Theorem” de Vendrúsculo, Desideri e Pergher (2011), [8], e tem como principal objetivo apresentar um estudo de uma versão fraca do Teorema de Borsuk-Ulam associada a grupos topológicos. Diz-se que {(X,T);G}, onde X é um espaço topológico equipado por uma involução livre T e G é um grupo topológico, “satisfaz uma versão fraca do Teorema de Borsuk-Ulam”, abreviadamente, “satisfaz WBUT”, se, para cada aplicação contínua f : X → G, temos que o conjunto {x ∈ X; f(x) · f(T(x))−1 ∈ 2G} é diferente do vazio, onde f(T(x))−1 é o simétrico de f(T(x)) em G e 2G = {g ∈ G; g = g−1}. Neste trabalho, relacionamos essa condição fraca com a condição geral de “satisfazer o Teorema de Borsuk-Ulam” (ou “satisfazer BUT”) dada também pelos autores; apresentamos alguns exemplos; considerando G = T2 (toro), detalhamos a demonstração de um resultado que estabelece um critério algébrico para que {(X,T);T2} satisfaça a condição WBUT e de um resultado que dá uma equivalência entre a versão fraca WBUT para triplas {(S,T);T2} e a condição BUT para {(S,T);IR2}, sendo S uma superfície fechada. Por fim, apresentamos um invariante topológico obtido da versão WBUT. Tal invariante, por nós definido, é similar ao obtido da condição BUT e apresentado pelos autores citados. / The classical Borsuk-Ulam Theorem states that: “If f : Sn → IRn is any continuous map, then there exists a point x in Sn such that f(x) = f(−x), or equivalently f(x) = f(A(x)), where Sn denotes the n-dimensional unit sphere and A : Sn → Sn is the antipodal map”. If we think of the Earth’s surface as a sphere, the case n = 2 can be illustrated by saying that at every instant there is always a pair of antipodal points on the Earth’s surface with the same temperature and barometric pressure (assuming that the temperature and pressure vary continuously in the surface). This work is based on the article “Some generalizations of Borsuk-Ulam Theorem” by Ven drúsculo, Desideri and Pergher (2011), [8], and has the main purpose of presenting a study of a weak version of the Borsuk-Ulam Theorem associated with topolog ical groups. It is said that {(X,T);G}, where X is a topological space equipped with a free involution T and G is a topological group “satisfies a Weak version of the Borsuk-Ulam Theorem”, abbreviatedly, “satisfies WBUT” if, given any continuous map f : X → Y , the set {x ∈ X; f(x) · f(T(x))−1 ∈ 2G} is non empty, where f(T(x))−1 is the symmetric of f(T(x)) in G and 2G = {g ∈ G; g = g−1}. In this work, we relate this weak condition with the more general condition of “satisfying the Borsuk-Ulam Theorem” (or “satisfying BUT”) also given by the authors; we present some examples; considering G = T2 (torus), we detail the proof of a result that establishes an algebraic criterion for {(X,T);T2} satisfy the condition WBUT, and of a result that gives an equivalence between the weak version WBUT for triples {(S,T);T2} and the condition BUT for {(S,T);IR2}, where S is a closed surface and T is a free involution on S. Finally, we present a topological invariant obtained from the WBUT version. Such invariant, defined by us, is similar to that obtained from the BUT condition and presented by the cited authors.

O objetivo principal deste trabalho é apresentar um estudo sobre o Teorema de Borsuk-Ulam para forma espacial esférica homotópica. Em nosso trabalho consideramos X uma n-forma espacial esférica homotópica a qual admite uma ação livre de Zp, com p> 2 primo e f : X → Rk uma função contínua e, mostramos que sob determinada relação entre os números n e k, o conjunto A(f) dos pontos de coincidência de f é não vazio / The main objective of this work is to present a study about the Borsuk- Ulam Theorem for homotopic spherical space. In our work we consider X be a n-dimensional homotopic spherical space form which admits a free action of Zp, with p> 2 prime and f : X → Rk be a continuous map and we show that, under certain relations between the numbers n and k, the set A(f) is not empty

Na maior parte deste trabalho, estudamos a existência de involuções livres sobre algumas 4-variedades fechadas, com o mesmo tipo de homotopia do espaço total de algum fibrado de superfície sobre superfície, bem como uma generalização do teorema de Borsuk-Ulam para tais 4-variedades. Também estudamos a relação do teorema de Borsuk-Ulam, para aplicações da n-esfera em variedades, com a teoria de conível. / In the most part of this work, we study the existence of free involutions over some closed 4-manifolds with the same homotopy type of the total space of some surface bundle over surface, as well as a generalization of the Borsuk-Ulam theorem for such 4-manifolds. Also we study the relation of the Borsuk-Ulam theorem, for maps from the n-sphere into manifolds, with the colevel theory.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:15Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2007-03-21Bitstream added on 2014-06-13T20:26:59Z : No. of bitstreams: 1 trinca_cc_me_sjrp.pdf: 385971 bytes, checksum: f33970449a23cc2073a2912a75704466 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Neste trabalho, estudamos o Teorema clássico de Borsuk - Ulam e também outros Teoremas do tipo Borsuk - Ulam. Para isto, consideramos aplicacões contínuas f : (Cn+1 L f0g) ! Cn. Uma raíz primitiva k - ésima da unidade » nos fornece uma Zk-acão livre sobre Cn. Um teorema nos diz que a equação kL1X i=0 »if(»ix) = 0 sempre tem uma solução x 2 (Cn+1 L f0g). Este resultado produz várias aplicações. Por exemplo, se p é um número primo, f : Sn ! Rr uma aplicacão contínua, com n > r(p L 1), então alguma órbita da Zp-ação deve ser aplicada em um ponto. / In this work, we study the Classical Borsuk-Ulam Theorem and also other Borsuk- Ulam Theorems. For that, we consider continuous maps f : (Cn+1 L f0g) ! Cn. A primitive k-root of unity » gives rise to a free Zk-action on Cn. A result states that the equation kL i=0 »if(»ix) = 0 always has a solution x 2 (Cn+1 L f0g). This result provides several aplications. For example, if p is a prime number, f : Sn ! Rr a continuous map and n > r(p L 1), then some orbit of the Zp-action must be mapped into a point.

Na maior parte deste trabalho, estudamos a existência de involuções livres sobre algumas 4-variedades fechadas, com o mesmo tipo de homotopia do espaço total de algum fibrado de superfície sobre superfície, bem como uma generalização do teorema de Borsuk-Ulam para tais 4-variedades. Também estudamos a relação do teorema de Borsuk-Ulam, para aplicações da n-esfera em variedades, com a teoria de conível. / In the most part of this work, we study the existence of free involutions over some closed 4-manifolds with the same homotopy type of the total space of some surface bundle over surface, as well as a generalization of the Borsuk-Ulam theorem for such 4-manifolds. Also we study the relation of the Borsuk-Ulam theorem, for maps from the n-sphere into manifolds, with the colevel theory.

O objetivo principal deste trabalho é apresentar um estudo sobre o Teorema de Borsuk-Ulam para forma espacial esférica homotópica. Em nosso trabalho consideramos X uma n-forma espacial esférica homotópica a qual admite uma ação livre de Zp, com p> 2 primo e f : X → Rk uma função contínua e, mostramos que sob determinada relação entre os números n e k, o conjunto A(f) dos pontos de coincidência de f é não vazio / The main objective of this work is to present a study about the Borsuk- Ulam Theorem for homotopic spherical space. In our work we consider X be a n-dimensional homotopic spherical space form which admits a free action of Zp, with p> 2 prime and f : X → Rk be a continuous map and we show that, under certain relations between the numbers n and k, the set A(f) is not empty

Orientador: Ermínia de Lourdes Campello Fanti / Coorientador: Évelin Meneguesso Barbaresco / Banca: Anderson Paião dos Santos / Banca: Maria Gorete Carreira Andrade / Resumo: O Teorema de Borsuk-Ulam clássico afirma que: "Se f : Sn → IRn é uma aplicação contínua, entãoexisteumponto x em Sn talque f(x) = f(−x), ouequivalentemente f(x) = f(A(x)), onde Sn indica a esfera unitária n-dimensional e A : Sn → Sn é a aplicação antipodal". Se pensamos na superfície terrestre como uma esfera, o caso n = 2 pode ser ilustrado dizendo-se que em cada instante, existe sempre um par de pontos antipodais na superfície da Terra com mesma temperatura e pressão barométrica (supondo que a temperatura e a pressão variam continuamente na superfície). Este trabalho é baseado no artigo "Some generalizations of the Borsuk-Ulam Theorem" de Vendrúsculo, Desideri e Pergher (2011), [8], e tem como principal objetivo apresentar um estudo de uma versão fraca do Teorema de Borsuk-Ulam associada a grupos topológicos. Diz-se que {(X,T);G}, onde X é um espaço topológico equipado por uma involução livre T e G é um grupo topológico, "satisfaz uma versão fraca do Teorema de Borsuk-Ulam", abreviadamente, "satisfaz WBUT", se, para cada aplicação contínua f : X → G, temos que o conjunto {x ∈ X; f(x) · f(T(x))−1 ∈ 2G} é diferente do vazio, onde f(T(x))−1 é o simétrico de f(T(x)) em G e 2G = {g ∈ G; g = g−1}. Neste trabalho, relacionamos essa condição fraca com a condição geral de "satisfazer o Teorema de Borsuk-Ulam" (ou "satisfazer BUT") dada também pelos autores; apresentamos alguns exemplos; considerando G = T2 (toro), detalhamos a demonstração de um resultado que estabelece um critério... / Abstract: The classical Borsuk-Ulam Theorem states that: "If f : S n → IRn is any continuous map, then there exists a point x in S n such that f(x) = f(−x), or equivalently f(x) = f(A(x)), where S n denotes the n-dimensional unit sphere and A : S n → S n is the antipodal map". If we think of the Earth's surface as a sphere, the case n = 2 can be illustrated by saying that at every instant there is always a pair of antipodal points on the Earth's surface with the same temperature and barometric pressure (assuming that the temperature and pressure vary continuously in the surface). This work is based on the article "Some generalizations of Borsuk-Ulam Theorem" by Vendrúsculo, Desideri and Pergher (2011), [8], and has the main purpose of presenting a study of a weak version of the Borsuk-Ulam Theorem associated with topological groups. It is said that {(X, T); G}, where X is a topological space equipped with a free involution T and G is a topological group "satisfies a Weak version of the Borsuk-Ulam Theorem", abbreviatedly, "satisfies WBUT" if, given any continuous map f : X → Y, the set {x ∈ X; f(x) · f(T(x))−1 ∈ 2G} is non empty, where f(T(x))−1 is the symmetric of f(T(x)) in G and 2G = {g ∈ G; g = g −1 }. In this work, we relate this weak condition with the more general condition of "satisfying the Borsuk-Ulam Theorem" (or "satisfying BUT") also given by the authors; we present some examples; considering G = T 2 (torus), we detail the proof of a result that establishes an algebraic criterion for {(X, T); T 2 } satisfy the condition WBUT, and of a result that gives an equivalence between the weak version WBUT for triples {(S, T); T 2 } and the condition BUT for {(S, T); IR2 }, where S is a closed surface and T is a free involution on S. Finally, we present a topological invariant obtained from the WBUT version. Such invariant, defined ... / Mestre