Je présente le développement d'une expérience de production de gaz quantiques d'ytterbium. L'objectif est de réaliser des champs de jauge artificiels sur des gaz piégés dans des réseaux optiques. La combinaison de ces champs et des interactions entre atomes ouvre de nouvelles perspectives pour notre domaine comme la réalisation d'états analogues à ceux de la physique de l'effet Hall quantique fractionnaire.Tout d'abord, je présente les méthodes expérimentales développées pour produire un condensat de Bose-Einstein d'atomes (CBE) d'Yb174: un piège magnéto-optique sur la raie d'intercombinaison 1S0-3P1, son transfert dans un piège dipolaire et son transport sur une distance de 22 cm. Un condensat pur d'environ 6x10^4 est ensuite obtenu après évaporation dans un piège dipolaire croisé. Les protocoles envisagés pour réaliser des champs de jauge artificiels requièrent le couplage cohérent du niveau fondamental 1S0 et du niveau métastable 3P0 sur la transition "horloge". Nous avons construit un laser à 578nm asservi en fréquence sur une cavité de référence. En optimisant le point de fonctionnement en température de la cavité nous avons obtenu des dérives résiduelles en fréquence inférieures à 100 mHz/s. Nous avons réalisé une spectroscopie sur cette transition d'un CBE piégé ou en expansion et obtenu des largeurs de raies du l'ordre du kHz limitées par les interactions entre atomes.Enfin, je présente en détail les protocoles pour réaliser des champs de jauge artificiels dans des réseaux optiques et leur éventuelle mise en pratique et notamment un schéma pour réaliser un réseau optique bichromatique dépendant de l'état interne des atomes dans une cavité doublement résonante. / In this work I present the development of a new experiment to produce quantum degenerate gases of ytterbium. This project aims at realizing artificial gauge fields with ultracold atoms in optical lattices. Combining intense gauge fields with strong on-site interactions is expected to open a new area for ultracold quantum gases, where for instance the atomic analogs of fractional quantum Hall systems could be realized.First I describe the experimental methods for the production of a Bose-Einstein condensate (BEC) of 174Yb. This implies magneto-optical trapping on the 1S0-3P1 intercombination transition and a transport of the atomic cloud in an optical dipole trap over a distance of 22 cm. Evaporative cooling in a crossed dipole trap results in the production of pure BECs of about 6x10^4 atoms.The planned implementation of artificial gauge fields requires the coherent driving of the 1S0-3P0 clock transition of ytterbium. For this purpose an ultrastable laser system at 578 nm, frequency locked to an ultralow expansion (ULE) cavity, has been realized. A precise determination of the temperature zero-crossing point of the ULE cavity allowed us to limit laser frequency drifts below 100 mHz/s. Spectroscopic measurements of the clock transition on a trapped and free falling BEC are presented, where typical linewidths in the kHz range are observed, limited by interatomic interactions. Finally I present a detailed discussion of the methods to achieve artificial gauge fields in optical lattices and their possible experimental implementation. This includes a scheme to realize a bichromatic state-dependent optical superlattice in a doubly-resonant cavity.

Probing nonequilibrium dynamics in a trapped, inhomogeneous atomic quantum gas can be a challenging task because coexisting mass transport and spreading of quantum correlations often make the problem intractable. By removing density inhomogeneity in an atomic quantum gas and employing local control of chemical potential as well as interaction parameters, it is possible to perform quasi-particle control, initiate and probe collective quantum dynamics without or with a controlled mass flow. We report our experimental results toward quasi-particle control and nonequilibrium dynamics in a homogeneous two-dimensional quantum gas.

Die vorliegende Arbeit behandelt den Einfluss eines Defekt-induzierten, intrinsischen, statischen Unordnungspotentials innerhalb einer planaren, ZnObasierten Mikrokavität (MK) auf die lokale Dichteverteilung eines darin erzeugten, dynamischen Exziton-Polariton Bose-Einstein-Kondensats (BEK). Dies ist von Interesse, da die derzeitigen, z.B. GaN- oder ZnO-basierten MK, welche die Erzeugung von Exziton-Polariton BEKs bei Raumtemperatur ermöglichen und daher für zukünftige Anwendungen in realen Bauelementen geeignet erscheinen, durch eine hohe Defektdichte gekennzeichnet sind. Mit Hilfe eines eigens dafür aufgebauten Michelson-Interferometers wurde die Kohärenzzeit des Exziton-Polariton BEKs ermittelt, welche die Lebenszeit der einzelnen, unkondensierten Polaritonen um einen Faktor 140 übersteigt. Somit konnte das untersuchte, quantenmechanische System als zeitlich koh ärentes Kondensat identifiziert werden, da die Kohärenz während des stetigen Zerfalls und der Neubildung der einzelnen Polaritonen erhalten bleibt. Weiterhin wurden durch Unordnung hervorgerufene Dichtefluktuationen innerhalb des Polariton-Kondensats untersucht, welche in Form von Intensitäts- Fluktuationen in der Fernfeldverteilung der BEK-Emission beobachtet wurden. Dazu wurde der experimentelle Datensatz einer anregungsleistungsabhängigen Photolumineszenzuntersuchung analysiert. Dabei wurde festgestellt, dass die beobachteten Intensitätsfluktuationen über einen großen Anregungsleistungsbereich stabil bleiben, und zwar bis zum 20-fachen Wert der Schwellenleistung, welche für die Erzeugung des Polariton-BEKs nötig ist. Dies deutet auf eine gleichbleibende, durch Unordnung hervorgerufene, lokale Dichtevariation des BEKs trotz steigender Gesamtteilchendichte hin, was im starken Widerspruch zum theoretisch vorausgesagtem und experimentell gefundenem Verhalten von Kondensaten im thermischen Gleichgewicht steht. Die hier vorliegenden experimentellen Befunde konnten anhand eines Vergleichs mit numerischen Simulationen, basierend auf einem neu entwickelten theoretischem Modell, auf das Zusammenspiel des vorliegenden Unordnungspotentials und des Nicht-Gleichgewichtscharakters der untersuchten Exziton-Polariton Kondensate zurückgeführt werden. Dies verursacht dichteunabhängige Phasenfluktuationen innerhalb des Kondensats, welche die beobachteten Fluktuationen in der Fernfeldverteilung der Emission hervorrufen.:1 Introduction 1 2 Physical Basics 9 2.1 Distributed Bragg Reflectors (DBRs) . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Microcavities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Light-Matter-Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1 Weak Coupling Regime (WCR) . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2 Strong Coupling Regime (SCR) . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Bose-Einstein Condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.1 Mean-Field Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2 Review of Research on Disorder Effects on Polariton Condensates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Coherence Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.1 Ideal Light Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.2 Real Light Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5.3 Wiener-Khinchin Theorem (WKT) . . . . . . . . . . . . 36 I Experimental Observations 39 3 The ZnO-based Microcavity - Review of the known Properties 41 3.1 Sample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.1 Fabrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.2 Microstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Bose-Einstein Condensation of Exciton-Polaritons . . . . . . . . 45 3.3 Conclusion and remaining Problems . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 Coherence Spectroscopy 53 4.1 Micro-Photoluminescence Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 i 4.1.1 Excitation Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.2 Detection Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2 Michelson Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2.1 Experimental Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2.2 Determination of First Order Correlation Function . . . . 62 4.3 Performance of the Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5 Experimental Characterization of Bose-Einstein Condensates 69 5.1 Threshold Power Density for Polariton Condensation . . . . . . 70 5.2 Determination of Coherence Time . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Inhomogeneous Emission Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.3.1 Analysis of individual Energy Branches . . . . . . . . . . 85 5.3.2 Origin of disorder potential . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4 Summary of Experimental Results . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 II Theoretical Predictions 105 6 Disorder Effects on an equilibrium BEC 109 7 Overview of the Theoretical Analysis of quasi-equilibrium and non-equilibrium BEC 113 7.1 Model for extended Gross-Pitaevskii equation including Gain and Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.2 Disorder Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8 Numerical Simulations 125 8.1 Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.2 Choice of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.3 Results for both Scenarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.4 Comparison with Experimental Data . . . . . . . . . . . . . . . 132 9 Summary of Part II 139 III Summary and Outlook 141 A Appendix 149 A.1 Alignment Procedure for the Michelson Interferometer . . . . . 149 A.2 Performance of the Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 A.2.1 Methods and Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 A.2.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 A.2.3 Impact of Experimental Artifacts . . . . . . . . . . . . . 175 A.3 Impact of Noise on the evaluated Visibility . . . . . . . . . . . . 182 A.4 FFT Analysis of Far-Field BEC Emission Pattern . . . . . . . . 185 Acknowledgement 203 Curriculum vitae 205 declaration 206 List of own and contributed articles 207

Die Dynamik anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachter wechselwirkender Quantenvielteilchensysteme wirft aktuell noch spannende Fragen auf. In Bezug auf die Thermalisierung ist z.B. nach wie vor ungeklärt, in welcher Form sie überhaupt stattfindet und in welchen Observablen bzw. auf welcher Zeitskala sie zu beobachten ist. Eine ideale Grundlage zur Erforschung von Relaxationsdynamiken in wechselwirkenden Vielteilchensystemen bieten ultrakalte Quantengase aufgrund ihrer guten Kontrollier- und Variierbarkeit. Ein allgemeiner theoretischer Rahmen, auf dessen Basis solche Prozesse zu untersuchen sind, steht jedoch infolge der großen Anzahl der beteiligten Freiheitsgrade bisher nicht zur Verfügung. Für ultrakalte bosonische Gase stellt die Gross-Pitaevskii-Gleichung eines der wichtigsten theoretischen Werkzeuge dar, eine klassische Feldgleichung für die Kondensatwellenfunktion in Molekularfeldnäherung. Die ihr zugrunde liegende Näherung erlaubt jedoch keine nicht-trivialen Aussagen über den vollen N-Teilchenzustand, dessen Kenntnis für die Untersuchung einer möglichen Relaxationsdynamik unabdingbar ist. Um der theoretischen Beschreibung des vollen bosonischen Feldes einen Schritt näher zu kommen, untersucht die vorliegende Arbeit die Anwendung semiklassischer Methoden auf ultrakalte Bosegase. Diese sind in der Regel dann sehr genau, wenn die beteiligten Wirkungen groß gegenüber dem Planckschen Wirkungsquantum sind. Für bosonische Felder wird dieser Grenzfall durch die Bedingung einer großen Teilchenzahl ersetzt. Die immense Anzahl an Teilchen in den hier behandelten Vielteilchensystemen macht die Anwendung semiklassischer Methoden auf diesem Gebiet also vielversprechend. Als zentrales Modellsystem wird ein anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachtes ultrakaltes bosonisches Doppelmuldensystem betrachtet, das eine hochinteressante Dynamik aufweist, die auf das Wechselspiel der Tunneldynamik einerseits und der Wechselwirkung der Teilchen untereinander andererseits zurückzuführen ist. Als Referenz lassen sich aufgrund der speziellen Fallengeometrie im Rahmen der Zwei-Moden-Näherung die Ergebnisse einer numerisch exakten Untersuchung heranziehen. Durch den Einsatz der namhaften WKB-Quantisierung und des besonders aus der Molekülphysik bekannten Reflexionsprinzips wird hier ein geschlossener analytischer Ausdruck für die sogenannte Populationsdifferenz im Doppelminimum hergeleitet, der ausschließlich von den wenigen relevanten Systemparametern abhängt. Diese mächtige Formel erlaubt es nun zum ersten Mal, in quantitativer Weise die charakteristische Sequenz aus Oszillationen, Kollapsen und Revivals in Abhängigkeit der vorausgesetzten Parameter zu untersuchen. Nach dieser ersten erfolgreichen Anwendung semiklassischer Methoden im Modellsystem wird über die reduzierte Dynamik der Populationsdifferenz hinausgegangen. Mithilfe des semiklassischen Herman-Kluk-Propagators lässt sich selbst der volle N-Teilchenzustand untersuchen. Da es letztlich um die Beschreibung ultrakalter Bosonen in beliebigen Potentialen gehen soll, wird zunächst der Herman-Kluk-Propagator für eine Feldtheorie vorgestellt. Im Doppelmuldensystem zeigt sich dann in der Anwendung die semiklassische Propagation in der Lage, für alle untersuchten Parameterregime gute Übereinstimmung mit den numerisch exakten Ergebnissen zu liefern. Zusätzlich findet ein Abgleich der Resultate mit der Truncated Wigner Approximation statt, auf die im Forschungsgebiet ultrakalter Bosonen häufig zurück gegriffen wird. Diese beschreibt die Zeitentwicklung einer Wignerverteilung unter Aussparung der Quanteninterferenzen. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die Herman-Kluk-Propagation unter Berücksichtigung der Phasen weit über die Truncated Wigner Approximation hinausgeht: Sie gibt alle wichtigen Charakteristika der Dynamik im Doppelmuldensystem wieder. Um die Semiklassik auf ihre Aussagefähigkeit in Bezug auf eine noch komplexere Dynamik zu untersuchen, wird zum Abschluss das Drei-Topf-System betrachtet, das zusätzlich chaotische Regionen im Phasenraum aufweist. Auch hier zeigt sich, dass die semiklassische Berücksichtigung der Phasen die Truncated Wigner Approximation in den Schatten stellt. Allerdings ergeben sich durch die Instabilität der Trajektorien für stark chaotische Regime numerische Probleme, die es in der Zukunft zu lösen gilt. / The dynamics of initially non equilibrium interacting quantum many body systems is an ongoing and interesting field of research. It is still an open question in which form relaxation occurs in such systems, and in which observables and on which timescales a possible thermalization might appear. A perfect playground for the investigations of relaxation dynamics in interacting many body schemes is provided by ultracold quantum gases, which are easily to be controlled and varied in experiments. However, a general theoretical framework for the investigation of such processes is still missing, due to the huge amount of involved degrees of freedom. One of the main theoretical tools in the field of ultracold bosonic gases represents the famous Gross-Pitaevskii equation, a field equation for the Bose-Einstein condensate wave function in terms of a mean-field approximation. However, the underlying approximation prevents the possibility to draw non-trivial conclusions about the full N-particle state, the information of which is necessary for the analysis of relaxation processes. To gain the theoretical description of the full bosonic field, the present thesis deals with the application of semiclassical methods to ultracold boson gases. Those techniques become in general exact, as long as the involved actions are large compared to Planck's constant. For many body systems it turns out that semiclassics are expected to give good results also for the condition of high particle numbers, which is precisely fulfilled in these schemes, making the semiclassical approaches promising. As an essential model system an initially out of equilibrium ultracold bosonic double-well system is investigated. This configuration provides highly interesting dynamics due to the interplay of the tunneling dynamics on the one hand and the interaction amongst the particles on the other. The special trap geometry makes exact numerical calculations in the framework of the two-mode approximation available, which serve in the following as reference data. By applying the common semiclassical WKB approximation and the reflection principle known from molecule physics, a closed analytical expression for the so-called population imbalance of the bosons in the double-well is derived, depending only on the few relevant system parameters. This mighty formula allows for the first time the quantitative investigation of the characteristic sequence consisting of oscillations, collapse and revivals in dependence on the parameters of the system. Since the semiclassical approaches succeeded for the double-well model so far the so-called Herman-Kluk propagator is adopted, to go beyond the reduced dynamics of the population imbalance. The propagator provides the possibility to treat the full N-particle state theoretically and is introduced for the most general case of a bosonic quantum field. Its application to the double-well system yields for all investigated parameter regimes very good agreement with the numerical exact results. Furthermore the outcomes are compared to the Truncated Wigner approximation, which is frequently used in the research field of ultracold bosons. This approach pictures the time evolution of a Wigner distribution, without taking into account the quantum interferences. In the present thesis it is shown that the Herman-Kluk propagation goes clearly beyond the truncated Wigner approach by considering in addition the quantum phases: The propagator is able to reproduce all of the distinctive features of the double-well dynamics. In order to test the performance of semiclassical methods in matters of even more complex systems, the ultracold bosonic triple-well model is finally considered, which exhibits unlike the double-well scheme chaotic regions in phase space. It turns out that the semiclassical propagation outplays again the truncated Wigner approximation. On the other hand the instability of the highly chaotic trajectories causes numerical problems, which have to be solved in the future.

<p>The development of ultracold atom physics enables people to study fundamental questions in quantum mechanics within this highly-tunable platform. This dissertation focuses on several topics of the dynamical evolution of quantum systems.</p><p>Chapter 2 and 3 talk about Loschmidt echo, a simple quantity that reveals many hidden properties of a system’s time evolution. Chapter 2 looks for vanishing Loschmidt echo in the complex plane of time and the corresponding dynamical quantum phase transitions (DQPT) in the thermodynamic limit. For a two-site Bose-Hubbard model consisting of weakly interacting particles, DQPTs reside at the time scale inversely proportional to the interaction, where highly entangled pair condensates also show up. Chapter 3 discusses the revival of Loschmidt echo in a discrete time crystal, a Floquet system whose discrete temporal transition symmetry is spontaneously broken. We propose a new design and demonstrate its robustness against the fluctuations in the driving field. It can also be used in precision measurement to go beyond the Heisenberg limit. Experimental schemes are presented.</p><p>Out-of-time-order correlator (OTOC) is a more complicated variant of Loschmidt echo. Experimentally it requires reversing the time evolution. In Chapter 4, by exploiting the SU(1,1) symmetry of a weakly interacting BEC and connecting its quantum dynamics to a hyperbolic space, we obtain a geometric framework that enables experimentalists to manipulate the evolution with great freedom. Backward evolution is then realized effectively to measure OTOC of such SU(1,1) systems.</p><p>Chapter 5 discusses the decoherence of a spin impurity immersed in a spinor BEC. Our calculations show that by looking at the dynamics of the impurity’s reduced density matrix, the phase of the spinor BEC can be detected.</p>

Dans ce manuscrit, nous présentons notre avancement pour réaliser une méthode spectroscopique pour étudier la transition d’Anderson avec des atomes froids. Cela repose sur la réalisation d'un potentiel désordonné sélectif en état de spin, le désordre n'étant significatif que pour l'un des deux états de spin impliqués. En combinant cela avec la technique de transfert par radiofréquence d’un état insensible au désordre à un état exclusivement sensible au désordre, il devient possible de charger une onde de matière dans le désordre dans des états d’énergie bien définies. Pour prouver le concept, nous avons effectué des mesures des fonctions spectrales d’atomes ultra-froids dans des potentiels désordonnés, qui sont directement proportionnels au taux de transfert des atomes. Nous présentons les résultats en montrant un excellent accord avec les calculs numériques. Cela a ouvert des perspectives pour d’autres études sur la transition d’Anderson. En particulier, nous cherchons à observer la transition entre les états diffusifs et les états localisés séparés par une énergie critique, appelée le seuil de mobilité. Une telle étude nécessite la réalisation d’un désordre sélectif en état de spin qui permet un long temps de propagation dans le désordre afin de distinguer les deux phases. À cette fin, nous présentons un nouveau schéma du désordre sélectif en état de spin avec deux lasers du speckle (speckle bichromatique). Cela ouvre la voie à une approche spectroscopique de la transition d’Anderson avec des atomes froids avec une résolution en énergie bien supérieure à celles des expériences précédentes. / In this manuscript, we present our progress towards realizing a spectroscopic method to study of Anderson transition with ultracold atoms. This relies on the realization of state-dependent disordered potential whereby the disorder is significant only for one of two involved spin-states. Combined with technique of radio-frequency transfer from the disorder-free state to the state with controlled disorder, it becomes possible to load a matter wave in the disorder in a well-defined energy states. As a proof of principle, we have performed measurements of the spectral functions of ultracold atoms in disordered potentials, which are directly proportional to the transfer rate of the atoms. We present the results showing excellent agreement with numerical calculations. This has opened up prospects for further studies of the Anderson transition. In particular we seek to observe transition between the diffusive and the localized states separated by a critical energy, the so-called mobility edge. Such study requires realization of state-dependent disorder which allows long propagation time in the disorder in order to distinguish the two phases. For this purpose, we present a new scheme of the state-dependent disorder with two laser speckles (bichromatic laser speckle). This paves the way towards spectroscopic approach of Anderson transition with ultracold atoms with energy resolution much higher than those in the previous experiments.

This dissertation introduces some new properties of both superfluid phases of fermions with spin-orbit coupling (SOC) and superradiant phases of photons in an optical cavity. The effects of SOC on the phase transition between normal and superfluid phase are revealed; an unconventional crossover driven by SOC from the Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) state to the Bose-Einstein condensate (BEC) state is verified in three different systems; and two kinds of excitations, a Goldstone mode and a Higgs mode, are demonstrated to occur in a quantum optical system. We investigate the BCS superfluid state of two-component atomic Fermi gases in the presence of three kinds of SOCs. We find that SOC drives a class of BCS to BEC crossover that is different from the conventional one without SOC. Here, we extend the concepts of the coherence length and Cooper-pair size in the absence of SOC to Fermi systems with SOC. We study the dependence of chemical potential, coherence length, and Cooper-pair size on the SOC strength and the scattering length in three dimensions (3D) (or the twobody binding energy in two dimensions (2D)) for three attractively interacting Fermi gases with 3D Rashba, 3D Weyl, and 2D Rashba SOC respectively. By adding a population imbalance to a Fermi gas with Rashba-type SOC, we also map out the finite-temperature phase diagram. Due to a competition between SOC and population imbalance, the finite-temperature phase diagram reveals a large variety of new features, including the expanding of the superfluid state regime and the shrinking of both the phase separation and the normal regimes. We find that the tricritical point moves toward a regime of low temperature, high magnetic field, and high polarization as the SOC strength increases. Besides Fermi fluids, this dissertation also gives a new angle of view on the superradiant phase in the Dicke model. Here, we demonstrate that Goldstone and Higgs modes can be observed in an optical system with only a few atoms inside a cavity. The model we study is the U(1)/Z2 Dicke model with N qubits (two-level atoms) coupled to a single photon mode.

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A prescription is given to obtain some exact results for certain external potentials �� (r) of the time-independent Gross-Pitaevskii and Schrodinger equations. The study motivation is the ability to program �� (r) experimentally in cold atom Bose-Einstein condensates. Rather than derive wavefunctions that are solutions for a given �� (r), we ask which �� (r) will have a given pdf (probability density function) �� (r). Several examples in 1 dimension (1D), 2 dimensions (2D), and 3 dimensions (3D) are presented for well-known pdfs in the position space. Exact potentials with zero, one and two walls are obtained and explained in detail. Apart from position space, the method is also applicable to obtain exact solutions for the Time-independent Schr¨odinger equation (TISE) and Gross-Pitaevskii equation (GPeq) for pdfs in momentum space. For this, we derived the potentials which are generated from the pdfs of the hydrogen atom in the real space as well as in the momentum space. However, the method was also extended for the time-dependent case. The prescription is also applicable to solve time-dependent pdfs. The aim is to find the ��(r, ��) which generates the pdf ��(r, ��). As a special case, we tested our method by studying the well known case for the Gaussian wave packet in 1D with zero potential ��(��, ��) = 0.

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