Le formalisme de la transformation de Lie est appliqué à la dynamique des particules chargées dans la topologie magnétique d'un tokamak, afin de construire un opérateur de type Fokker-Planck pour les collisions coulombiennes utilisable pour la génération de courant. Cette approche permet de réduire le problème à trois dimensions (deux dans l'espace des vitesses, une dans l'espace des configurations) tout en gardant la richesse des effets croisés entre les es- paces résultant de la conservation du moment canonique toroïdal (axisymétrie). Cette approche cinétique permet de d'écrire des phénomènes physiques liés à la présence de forts gradients de pression dans des plasmas de forme quelconque, comme le courant " bootstrap " dont le rôle sera primordial pour le futur réacteur ITER. Le choix des coordonnées et la méthode utilisée sont particulièrement adaptés à la résolution numérique de l'équation de dérive cinétique permettant de calculer la distribution des particules, celle-ci pouvant présenter un fort écart à la maxwellienne sous l'effet d'un champ électrique (statique ou produit par une onde radio- fréquence). Les travaux dédiés principalement à la physique des plasmas de tokamak ont été étendus à ceux des plasmas de l'espace relevant d'une configuration magnétique dipolaire.

La gyrocinétique est un modèle clef pour la microturbulence en physique des plasmas, couramment utilisé pour les plasmas de fusion ou pour la turbulence plasma de petite échelle en astrophysique, par exemple. Ce modèle présente encore plusieurs difficultés, qui pourraient amener à reconsidérer ses équations. Le présent rapport de thèse clarifie trois d'entre elles. Tout d'abord, l'une de des coordonnées était source d'interrogations, tant d'un point de vue physique que d'un point de vue mathématique ; une coordonnée adéquate a été introduite, qui dissipe les difficultés et explique les structures intrinsèques sous-jacentes. Ensuite, le changement de coordonnées perturbatif de la gyrocinétique n'était implémenté qu'aux ordres les plus bas ; des relations de récurrence explicites ont été obtenues pour aller à tous les ordres dans le développement. Enfin, le couplage entre le plasma et le champ électromagnétique n'était pas introduit de manière complètement satisfaisante ; en utilisant la structure hamiltonienne de la dynamique, il a été implémenté d'un façon plus adaptée, avec d'importantes conséquences sur les équations gyrocinétiques, en particulier concernant leur structure hamiltonienne. Pour aborder ces trois principaux points, plusieurs autres résultats sont obtenus, par exemple sur l'origine de l'invariant adiabatique centre-guide, sur une transformation centre-guide minimale très efficace, ou sur un modèle hamiltonien intermédiaire entre Vlasov-Maxwell et la gyrocinétique, dont les caractéristiques de la densité de Vlasov contiennent à la fois la dynamique lente centre-guide et la dynamique rapide du gyro-angle. D'autre part, diverses méthodes de réduction sont utilisées, développées ou introduites, par exemple une transformée des équations du mouvement, une méthode de relèvement pour transférer les réductions de la dynamique des particules à la dynamique des champs correspondante, ou une méthode de troncature reliée à la fois à la théorie des contraintes de Dirac et à une projection sur une sous-algèbre. Outre la gyrocinétique, cela permet de clarifier d'autres réductions hamiltoniennes en physique des plasmas, par exemple pour une dynamique incompressible ou électrostatique, pour la magnétohydrodynamique, ou pour des fermetures fluides incluant des moments de la densité de Vlasov d'ordre deux.

La gyrocinétique est un modèle clef pour la microturbulence en physique des plasmas. Elle présente encore plusieurs difficultés, qui pourraient invalider ses équations. Ce rapport de thèse clarifie trois d'entre elles. Tout d'abord, une de des coordonnées causait des soucis, d'un point de vue tant physique que mathématique ; une coordonnée adéquate est introduite, qui dissipe les difficultés et explique les structures intrinsèques sous-jacentes. Ensuite, des relations de récurrence explicites sont obtenues pour tous les ordres du développement perturbatif. Enfin, en utilisant la structure hamiltonienne de la dynamique, le couplage plasma-champ électromagnétique est implémenté d'un façon plus adaptée, avec d'importantes conséquences sur les équations gyrocinétiques.Plusieurs autres résultats sont obtenus, e.g. sur l'origine de l'invariant adiabatique centre-guide, sur une transformation centre-guide minimale très efficace, ou sur un modèle hamiltonien intermédiaire entre Vlasov-Maxwell et la gyrocinétique, dont les caractéristiques de Vlasov contiennent à la fois la dynamique lente centre-guide et la dynamique rapide du gyro-angle. Diverses méthodes de réduction sont utilisées, développées ou introduites, e.g. une transformée de Lie du mouvement, un relèvement transférant les réductions de la dynamique des particules à la dynamique des champs, ou une troncature reliée à la fois à la théorie des contraintes de Dirac et à une projection sur une sous-algèbre. Outre la gyrocinétique, cela clarifie d'autres réductions hamiltoniennes en plasmas, e.g. pour une dynamique incompressible ou électrostatique, pour la MHD, ou pour des fermetures fluides avec tenseur de pression. / Gyrokinetics is a key model for plasma micro-turbulence. It still suffers from several issues, which could imply to reconsider the equations. This thesis dissertation clarifies three of them. First, one of the coordinates caused questions, both from a physical and from a mathematical point of view; a suitable constrained coordinate is introduced, which removes the issues from the theory and explains the intrinsic structures underlying the questions. Second, explicit induction relations are obtained to go arbitrary order in the perturbative expansion. Third, using the Hamiltonian structure of the dynamics, the coupling between the plasma and the electromagnetic field is implemented in a more appropriate way, with strong consequences on the gyrokinetic equations. Several other results are obtained, for instance about the origin of the guiding-center adiabatic invariant, about a very efficient minimal guiding-center transformation, or about an intermediate Hamiltonian model between Vlasov-Maxwell and gyrokinetics, where the characteristics include both the slow guiding-center dynamics and the fast gyro-angle dynamics. In addition, various reduction methods are used, introduced or developed, e.g. a Lie-transform of the equations of motion, a litfing method to transfer particle reductions to the corresponding Hamiltonian field dynamics, or a truncation method related both to Dirac's theory of constraints and to projections onto Lie-subalgebras. Besides gyrokinetics, this is useful to clarify other Hamiltonian reductions in plasma physics, e.g. for incompressible or electrostatic dynamics, for magnetohydrodynamics, or for fluid closures including moments of order two.

Ce travail de thèse comporte trois parties. La partie principale s'intéresse au transport des courants polarisés en spin dans des matériaux à base de semi-conducteurs. Nous dérivons et analysons une hiérarchie des modèles allant du niveau microscopique au niveau macroscopique et tenant compte des différents mécanismes de rotation et de relaxation du vecteur spin dans les semi-conducteurs. Les mécanismes essentiels pris en compte sont les couplages spin-orbite et les interactions avec renversement de spin (spin-flip interactions). Une analyse semi-classique (via la transformation de Wigner) de l'équation de Schrödinger avec hamiltonien spin-orbite est présentée. Au niveau cinétique, l'équation de Vlasov (ou Boltzmann) spinorielle est une équation à valeur dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre deux hermitiennes et positives. Partant ensuite de la spinor forme de l'équation de Boltzmann (avec différents opérateurs de collisions avec et sans renversement du vecteur spin) et par des techniques d'asymptotiques de diffusion, nous dérivons et analysons plusieurs modèles macroscopiques. Ils sont de type dérive-diffusion, SHE, Energie-Transport, à deux composantes ou spinoriels conservant des effets de rotation et de relaxation du vecteur spin. Nous validons ensuite ces modèles par des cas tests numériques. Deux applications numériques sont présentées : la simulation d'un transistor à effet de rotation de spin et l'étude de l'effet d'accumulation de spin à l'interface entre deux couches semi-conductrices différemment dopées. Dans la seconde partie, nous considérons une équation cinétique de type Boltzmann linéaire dans des domaines où un champ magnétique fort est appliqué. Nous étudions la limite de diffusion en supposant que le champ magnétique est unidirectionnel et tend vers l'infini. Le modèle obtenu est un modèle macroscopique constitué d'une équation diffusive dans la direction parallèle au champ magnétique et d'une dérive représentant l'effet centre-guide en présence d'un champ électrique dans la direction perpendiculaire. Le terme de diffusion contient des moyennes de giration de l'opérateur de collisions utilisé. Nous prouvons la convergence en utilisant des techniques d'entropie pour traiter le comportement diffusif, et en conjuguant par les rotations locales induites par le champ magnétique pour tenir compte des oscillations. Dans la troisième partie de cette thèse, Nous nous intéressons à la description du potentiel de confinement dans des gas d'électrons bidimensionnels. Nous étudions la limite faible longueur de Debye (ou faible température) du système de Schrödinger-Poisson unidimensionnel stationnaire sur un intervalle borné. Les électrons sont supposés dans un mélange d'états avec une statistique de Boltzmann (ou de Fermi-Dirac). En utilisant différentes reformulations du système comme des problèmes de minimisation convexe, nous montrons qu'asymptotiquement seul le premier niveau d'énergie est occupé. Le potentiel électrostatique converge vers une couche limite avec un profil calculé à l'aide d'un système de Schrödinger-Poisson sur le demi axe réel.

Cette thèse propose différentes méthodes théoriques et numériques pour simuler à coût réduit le comportement des plasmas ou des faisceaux de particules chargées sous l'action d'un champ magnétique fort. Outre le champ magnétique externe, chaque particule est soumise à un champ électromagnétique créé par les particules elles-mêmes. Dans les modèles cinétiques, les particules sont représentées par une fonction de distribution f(x,v,t) qui vérifie l'équation de Vlasov. Afin de déterminer le champ électromagnétique, cette équation est couplée aux équations de Maxwell ou de Poisson. L'aspect champ magnétique fort est alors pris en compte par un adimensionnement adéquat qui fait apparaître un paramètre de perturbation singulière 1/ε. Le premier chapitre de cette thèse est une introduction à la fusion contrôlée par confinement magnétique dans les Tokamaks. Le second chapitre est consacré à la théorie gyrocinétique géométrique. Cette théorie repose sur la géométrie différentielle et la dynamique des systèmes hamiltoniens. L'objectif est de faire une succession de changements de coordonnées afin de se ramener à un système proche du centre-guide historique dans lequel les expressions de la matrice de Poisson et du Hamiltonien permettent une réduction de la dimension des trajectoires. Le chapitre 3 met en pratique les mêmes techniques sur un autre problème, la modélisation paraxiale d'un faisceau de particules chargées. Le dernier chapitre est dédié à un schéma numérique basé sur un intégrateur exponentiel en vitesse. Ce schéma a pour objectif d'approcher numériquement des solutions fortement oscillantes avec une méthode Particle-In-Cell en utilisant un pas de temps beaucoup plus grand que la période d'oscillation rapide. Il est testé sur une équation de Vlasov linéaire ainsi que sur le système de Vlasov-Poisson.

Cette thèse propose différentes méthodes théoriques et numériques pour simuler à coût réduit le comportement des plasmas ou des faisceaux de particules chargées sous l’action d’un champ magnétique fort. Outre le champ magnétique externe, chaque particule est soumise à champ électromagnétique créé par les particules elles-mêmes. Dans les modèles cinétiques, les particules sont représentées par une fonction de distribution f(x,v,t) qui vérifie l’équation de Vlasov. Afin de déterminer le champ électromagnétique, cette équation est couplée aux équations de Maxwell ou de Poisson. L’aspect champ magnétique fort est alors pris en compte par un dimensionnement adéquat qui fait apparaître un paramètre de perturbation singulière 1/ε. / This thesis is devoted to the study of charged particle beams under the action of strong magnetic fields. In addition to the external magnetic field, each particle is submitted to an electromagnetic field created by the particles themselves. In kinetic models, the particles are represented by a distribution function f(x,v,t) solution of the Vlasov equation. To determine the electromagnetic field, this equation is coupled with the Maxwell equations or with the Poisson equation. The strong magnetic field assumption is translated by a scaling wich introduces a singular perturbation parameter 1/ε.