L'objectif de cette thèse est de proposer des critères de préquanti fication des structures de Poisson à singularités portées par un diviseur libre d'une variété complexe de dimension finie. Pour cela, nous partons d'une construction algébrique des di fférentielles formelles logarithmiques le long d'un idéal finiment engendré et propre d'une algèbre commutative, pour introduire la notion d'algèbre de Poisson logarithmique. Puis, nous montrons que de telles structures de Poisson induisent un nouvel invariant cohomologique ; ceci par le billet d'une structure d'algèbre de Lie-Rinehart qu'elles induisent sur le module des di fférentielles formelles logarithmiques. Grâce à ce dernier, nous étudions les conditions d'intégralité des telles structures de Poisson. Tout d'abord, nous montrons que l'application hamiltonienne de toute structure de Poisson logarithmique se prolonge sur la module des di fférentielles formelles logarithmiques et induit une structure d'algèbre de Lie-Rinehart sur ce dernier. De plus l'image de cette application est contenue dans le module des dérivations logarithmiques. Nous appelons cohomologie de Poisson logarithmique la cohomologie induite par cette représentation. Par la suite, nous montrons sur quelques exemples que les groupes de cohomologies de Poisson et ceux de Poisson logarithmique sont en générale di fférentes ; bien qu'ils coïncident dans le cas des structures de Poisson logsymplectiques. Nous terminons par une étude des conditions d'intégralité de telles structures au moyen de cette cohomologie.

Le problème de l'indice est de calculer l'indice d'un opérateur elliptique en termes topologiques. Ce problème fut résolu par M. Atiyah et I. Singer en 1963 dans "The index of elliptic operators on compact manifolds". Quelques années plus tard, ces auteurs ont fourni une nouvelle preuve dans "The index of elliptic operators I" permettant plusieurs généralisations et applications. La première est la prise en compte de l'action d'un groupe compact G, dans ce cadre on obtient une égalité dans l'anneau des représentations de G. Par la suite ils ont généralisé ce résultat au cadre des familles d'opérateurs elliptiques paramétrées par un espace compact dans "The index of elliptic operators IV", ici l'égalité vit dans la K-théorie de l'espace paramétrant la famille.Une autre généralisation importante est celle des opérateurs transversalement elliptiques par rapport à l'action d'un groupe G, c'est-à-dire elliptiques dans le sens transverse aux orbites de l'action d'un groupe sur une variété. Cette classe d'opérateurs a été étudié pour la première fois dans le cadre d'un opérateur P agissant sur une variété M par M. Atiyah (et I. Singer) dans "Elliptic operators and compact groups", en 1974. Dans cet article l'auteur définit une classe indice et montre qu'elle ne dépend que de la classe du symbole en K-théorie. Il montre ensuite qu'elle vérifie différents axiomes : action libre, multiplicativité et excision. Ces différents axiomes permettent alors de ramener le calcul de l'indice à un espace euclidien muni de l'action d'un tore. Par la suite, cette classe d'opérateurs a été étudier du point de vue de la K-théorie bivariante par P. Julg [1982] et plus récemment dans le cadre des actions propres sur une variété non compacte par G. Kasparov [2016].Dans cette thèse, nous nous intéressons aux familles d'opérateurs G-transversalement elliptiques. Nous définissons une classe indice en K-théorie bivariante de Kasparov. Nous vérifions qu'elle ne dépend que de la classe du symbole de la famille en K-théorie. Nous montrons que notre classe indice vérifie les propriétés d'action libre, de multiplicativité et d'excision espérées en K-théorie bivariante. Nous montrons ensuite un théorème d'induction et de compatibilité avec les applications de Gysin. Ces derniers théorèmes permettent de ramener le calcul de l'indice au cas d'une famille triviale pour l'action d'un tore comme dans le cadre d'un seul opérateur sur une variété. Nous démontrons ensuite qu'on peut associer à cette classe indice un caractère de Chern à coefficients distributionnels sur G à valeurs dans la cohomologie de de Rham de l'espace paramétrant lorsque c'est une variété. Pour ce faire, nous utilisons l'homologie locale de M. Puschnigg [2003] et une technique de M. Hilsum et G. Skandalis [1987]. Par la suite, nous nous intéressons aux formules de Berline et Vergne dans ce cadre. Avant de passer aux formules générales pour une famille d'opérateurs G-transversalment elliptiques, on commence par regarder si on obtient les mêmes formules dans le cadre elliptique. On montre alors des égalités similaires à celles obtenues par N. Berline et M. Vergne [1985] dans le cadre d'un opérateur elliptique G-invariant. Dans un dernier chapitre, on montre la formule de Berline-Vergne dans le cadre des familles d'opérateurs G-transversalement elliptiques. On utilise ici la formule de Berline-Vergne pour un opérateur G-transversalement elliptique et les différentes techniques mises en place dans les chapitres précédents. / The index problem is to calculate the index of an elliptic operator in topological terms. This problem was solved by M. Atiyah and I. Singer in 1963 in "The index of elliptic operators on compact manifolds". Few years later, these authors have given a new proof in "The index of elliptic operators I" allowing several generalizations and applications. The first is taking into account of the action of a compact group G, in this frame they obtain an equality in the ring of the representations of G. Later they generalized this result to the framework of the families of elliptic operators parameterized by a compact space in "The index of elliptic operators IV", here equality lives in the K-theory of the space of parameter.Another important generalization is the transversely elliptic operators with respect to a group action, that is to say, elliptic in the transverse direction to the orbits of a group action on a manifold. This class of operators has been studied for the first time by M. Atiyah (and I. Singer) in "Elliptic operators and compact groups", in 1974. In this article the author defines an index class and shows that it depends only on the symbol class in K-theory. Then he shows that it verifies different axioms: free action, multiplicativity and excision. These different axioms allows to reduce the calculation of the index to an Euclidean space equipped with an action of a torus. Next, this class of operators has been studied from the point of view of bivariant K-theory by P. Julg [1982] and more recently in the context of proper action on a non-compact manifolds by G. Kasparov [2016].In this thesis, we are interested in families of G-transversely elliptic operators. We define an index class in Kasparov bivariant K-theory. We verify that it depends only on the class of the symbol of the family in K-theory. We show that our index class satisfies the expected free action, multiplicativity and excision properties in bivariant K-theory. We then show a theorem of induction and compatibility with Gysin maps. These last theorems allows to reduce the calculation of the index to the case of a trivial family for the action of a torus as in the framework of a single operator on a manifold. We then prove that we can associate to this index class a Chern character with distributional coefficients on G with values ​​in the de Rham cohomology of the parameter space when it is a manifold. To do this, we use the bivariant local cyclic homology of M. Puschnigg [2003] and a technique of M. Hilsum and G. Skandalis [1987].Before treating the general framework of families of G-transversely elliptic operators, we look at the elliptic case. We show that the expected formulas are true in this context. In the last chapter, we show the Berline-Vergne formula in the context of families of G-transversely elliptic operators. We use here the Berline-Vergne formula for a G-transversely elliptic operator and the different methods used in the previous chapters.

Les grassmanniennes symplectiques impaires sont une famille d'espaces quasi-homogènes très proches des grassmanniennes symplectiques de par leur construction et leurs propriétés. Dans ce travail, j'étudie leur cohomologie classique et quantique. Pour les grassmanniennes symplectiques impaires de droites, j'obtiens une règle de Pieri quantique ainsi qu'une présentation de l'anneau de cohomologie quantique. J'en déduis la semi-simplicité de cet anneau et je détermine une collection exceptionnelle complète pour la catégorie dérivée, ce qui me permet de vérifier pour cet exemple une conjecture de Dubrovin. Dans le cas général, je démontre un principe quantique-classique pour certains invariants de Gromov-Witten de degré un. Sous réserve de l'énumérativité des invariants de degré supérieur, je prouve que la règle de Pieri quantique est entièrement déterminée par le calcul des invariants de degré un. / Odd symplectic Grassmannians are a family of quasi-homogeneous spaces that are closely related to symplectic Grassmannians by their construction and properties. The goal of this work is to study their classical and quantum cohomology. For odd symplectic Grassmannians of lines, I obtain a quantum Pieri rule and a presentation of the quantum cohomology ring. I prove the semisimplicity of this ring and determine a full exceptional collection for the derived category, which enables me to check a conjecture of Dubrovin in this example. In the general case, I prove a quantum-to-classical principle for some degree one Gromov-Witten invariants. Assuming higher-dimensional Gromov-Witten invariants are enumerative, I conclude that the quantum Pieri rule is entirely determined by the knowledge of degree one invariants.

Dans les années 80, Shimomura a déterminé les groupes d'homotopie du spectre de Moore V(0) localisé par rapport à K(2) la deuxième K-théorie de Morava. Plus tard, avec les travaux de Devinatz et Hopkins est apparu une autre suite spectrale convergeant vers les précédents groupes d'homotopies. Lorsque le paramètre premier p de la théorie K(2) est supérieur ou égal à cinq, la précédente suite spectrale dégénère. Ainsi, déterminer ces groupes d'homotopie revient à calculer les groupes de cohomologie du groupe stabilisateur de Morava à coefficients dans l'anneau de Lubin-Tate modulo p. En 2007, Henn a démontré l'existence, lorsque p > 3, d'une résolution projective du groupe de Morava de longueur quatre. Dans cette thèse, nous précisons une telle résolution projective. On l'applique ensuite au calcul effectif des groupes de cohomologie à coefficients dans l'anneau de Lubin-Tate modulo p. Enfin, on donne une seconde application, en redémontrant un résultat de Hopkins non publié sur le groupe de Picard de la catégorie des spectres K(2)-locaux. / In the 80's, Shimomura has computed the homotopy groups of the Moore spectrum V(0) localized with respect to Morava K-theory K(2). Some years later, Devinatz and Hopkins found an other spectral sequence converging to those homotopy groups. When the prime paramater p of K(2) is greather or equal to five, the preceding spectral collapses. Thus, computing those homotopy groups consists in computing the cohomology groups of Morava Stabilizer Group with coefficients in the Lubin-Tate ring mod p. In 2007, Henn has showed that there exists, when p >3, a projective resolution of the Morava stabilizer group of length four. In this thesis, we give a more precise description of this resolution. Then, we use it for the computation of the cohomology groups of Morava Stabilizer Group with coefficients in the Lubin-Tate ring mod p. As a second application, we give an other proof of the unpublished result of Hopkins on the Picard group of the K(2)-local spectrum category.

L’objectif de cette thèse est de démontrer que π4(S3) ≃ Z/2Z en théorie des types homotopiques. En particulier, c’est une démonstration constructive et purement homotopique. On commence par rappeler les concepts de base de la théorie des types homotopiques et on démontre quelques résultats bien connus sur les groupes d’homotopie des sphères : le calcul des groupes d’homotopie du cercle, le fait que ceux de la forme πk(Sn) avec k < n sont triviaux et la construction de la fibration de Hopf. On passe ensuite à des outils plus avancés. En particulier, on définit la construction de James, ce qui nous permetde démontrer le théorème de suspension de Freudenthal et le fait qu’il existe un entier naturel n tel que π4(S3) ≃ Z/2Z. On étudie ensuite le produit smash des sphères, on construit l’anneau de cohomologie des espaces et on introduit l’invariant de Hopf, ce qui nous permet de montrer que n est égal soit à 1, soit à 2. L’invariant de Hopf nous permet également de montrer que tous les groupes de la forme π4n−1(S2n) sont infinis. Finalement, on construit la suite exacte de Gysin, ce qui nous permet de calculer la cohomologie de CP2 et de démontrer que π4(S3) ≃ Z/2Z, et que plus généralement on a πn+1(Sn) ≃ Z/2Z pour tout n ≥ 3 / The goal of this thesis is to prove that π4(S3) ≃ Z/2Z in homotopy type theory. In particular it is a constructive and purely homotopy-theoretic proof. We first recall the basic concepts of homotopy type theory, and we prove some well-known results about the homotopy groups of spheres: the computation of the homotopy groups of the circle, the triviality of those of the form πk(Sn) with k < n, and the construction of the Hopf fibration. We then move to more advanced tools. In particular, we define the James construction which allows us to prove the Freudenthal suspension theorem and the fact that there exists a natural number n such that π4(S3) ≃ Z/nZ. Then we study the smash product of spheres, we construct the cohomology ring of a space, and we introduce the Hopf invariant, allowing us to narrow down the n to either 1 or 2. The Hopf invariant also allows us to prove that all the groups of the form π4n−1(S2n) are infinite. Finally we construct the Gysin exact sequence, allowing us to compute the cohomology of CP2 and to prove that π4(S3) ≃ Z/2Z and that more generally πn+1(Sn) ≃ Z/2Z for every n ≥ 3

L’objet de cette thèse est l’étude des catégories singulières des k-algèbres associatives surun anneau commutatif k. On développe la théorie de Morita pour les catégories singulières. Plus précisément, on propose une définition d’équivalence singulière à la Morita avec niveau, qui généralise la notion d’équivalence stable à la Morita introduite par Michel Broué. On montre qu’une équivalence dérivée de type standard induit une équivalence singulière à la Morita avec niveau. La deuxième partie de cette thèse est l’étude de la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A) c’est-à-dire, l’espace des morphismes de A vers A[i] dans la catégorie singulière Dsg(A Aop) pour tous les nombres entiers i. Similaire à la cohomologie de Hochschild HH_(A,A), on montre que la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A) est une algèbre de Gerstenhaber et donne une interprétation pour le crochet de Lie sur HH_sg(A,A) du point de vue de la théorie de PROP. On peut associer un complexe de cochaînes, qu’on appelle complexe de cochaînes de Hochschild singulières, C_sg(A,A) qui calcule la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A). Alors on étudie une structure algébrique supérieure (e.g. l’algèbre de B1) sur C_sg(A,A) et propose une version singulière d’une conjecture de Deligne. L’objet de la troisième partie de cette thèse est de montrer que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild singulière est invariante par équivalences dérivées et équivalences singulières à la Morita avec niveau. L’idée de cette démonstration est analogue à l’approche développée par Keller lorsqu’il démontre que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild est invariante par équivalences dérivées. Similaire à la démonstration par Keller, on réalise HH_sg(A,A) avec le crochet de Lie comme une algèbre de Lie graduée du groupe algébrique gradué associé au groupe de Picard singulière sgDPic(A). / In this thesis, we are concerned with some aspects of singular categories of unitalassociative k-algebras over a commutative ring k. First, we develop a Morita theory for singular categories. Analogous to the classical Morita theory, we propose a definition of singular equivalence of Morita type with level. This follows and generalizes a definition of stable equivalence of Morita type introduced by Michel Broué. A derived equivalence of standard type induces a singular equivalence of Morita type with level. Second, we study the Hom-space from A to A[i] in the singular category Dsg(AkAop) of the enveloping algebra AkAop, where A is an associative k-projective k-algebra and i is any integer. Recall that the i-th Hochschild cohomology group HHi(A,A) can be realized as the Hom-space from A to A[i] in the bounded derived category Db(A k Aop). From this motivation, we call HomDsg(AkAop)(A,A[i]) the i-th singular Hochschild cohomology group and denote this group by HHi sg(A,A). Analogous to the Hochschild cohomology ring HH_(A,A), we prove that there is a Gerstenhaber algebra structure on the singular Hochschild ring HH_sg(A,A) and provide an interpretation of the Lie bracket from the point of view of PROP theory. We also associate a cochain complex, which we call singular Hochschild cochain complex, C_sg(A,A) to the singular Hochschild cohomology. Thenwe study the higher algebraic structures (e.g. B1-algebra) on C_sg(A,A) and propose asingular version of the Deligne conjecture. Following Keller’s approach which was developed for derived equivalences, we establish the invariance of the Gerstenhaber algebra structure which we defined on the singular Hochschild cohomology under singular equivalence of Morita type with level. In this proof, we define the singular derived Picard group sgDPic(A) of an associative algebra A and develop what we call a singular infinitesimal deformation theory. Then we realize HH_sg(A,A) as the graded Lie algebra of the ‘graded algebraic group’ associated to sgDPic(A).

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de l'arithmétique et de la géométrie des variétés de Shimura. Cette thèse s'est essentiellement organisée autour de trois volets. Dans la première partie, on étudie certaines applications de la théorie des modèles en théorie des nombres. En 2014, Pila et Tsimerman ont donné une preuve de la conjecture d'Ax-Schanuel pour la fonction j et, avec Mok, ont récemment annoncé une preuve de sa généralisation à toute variété de Shimura. Nous nous référons à cette généralisation comme à la conjecture d'Ax-Schanuel hyperbolique. Dans ce projet, nous cherchons à généraliser les idées de Habegger et Pila pour montrer que, sous un certain nombre d'hypothèses arithmétiques, la conjecture d'Ax-Schanuel hyperbolique implique, par une extension de la stratégie de Pila-Zannier, la conjecture de Zilber-Pink pour les variétés de Shimura. Nous concluons en vérifiant toutes ces hypothèses arithmétiques à l'exception d'une seule dans le cas d'un produit de courbes modulaires, en admettant la conjecture dite des grandes orbites de Galois. Il s'agit d'un travail en commun avec Christopher Daw. La seconde partie est consacrée à un résultat cohomologique en direction de la conjecture de Zilber-Pink. Étant donné un groupe algébrique semi-simple sur un corps de nombres F contenu dans ℝ, nous démontrons que deux sous-groupes algébriques semi-simples définis sur F sont conjugués sur F, si et seulement s'il le sont sur une extension réelle finie de F de degré majoré indépendamment des sous-groupes choisis. Il s'agit d'un travail en commun avec Mikhail Borovoi et Christopher Daw. La troisième partie étudie la distribution des variétés de Shimura compactes. On rappelle qu'une variété de Shimura S de dimension 1 est toujours compacte sauf si S est une courbe modulaire. Nous généralisons cette observation en définissant une fonction de hauteur dans l'espace des variétés de Shimura associée à un groupe réductif réel donné. Dans le cas des groupes unitaires, on prouve que la densité des variétés de Shimura non-compactes est nulle. / In this thesis, we study some arithmetic and geometric problems for Shimura varieties. This thesis consists of three parts. In the first part, we study some applications of model theory to number theory. In 2014, Pila and Tsimerman gave a proof of the Ax-Schanuel conjecture for the j-function and, with Mok, have recently announced a proof of its generalization to any (pure) Shimura variety. We refer to this generalization as the hyperbolic Ax-Schanuel conjecture. In this article, we show that the hyperbolic Ax-Schanuel conjecture can be used to reduce the Zilber-Pink conjecture for Shimura varieties to a problem of point counting. We further show that this point counting problem can be tackled in a number of cases using the Pila-Wilkie counting theorem and several arithmetic conjectures. Our methods are inspired by previous applications of the Pila-Zannier method and, in particular, the recent proof by Habegger and Pila of the Zilber-Pink conjecture for curves in abelian varieties. This is joint work with Christopher Daw. The second part is devoted to a Galois cohomological result towards the proof of the Zilber-Pink conjecture. Let G be a linear algebraic group over a field k of characteristic 0. We show that any two connected semisimple k-subgroups of G that are conjugate over an algebraic closure of kare actually conjugate over a finite field extension of k of degree bounded independently of the subgroups. Moreover, if k is a real number field, we show that any two connected semisimple k-subgroups of G that are conjugate over the field of real numbers ℝ are actually conjugate over a finite real extension of k of degree bounded independently of the subgroups. This is joint work with Mikhail Borovoi and Christopher Daw. Finally, in the third part, we consider the distribution of compact Shimura varieties. We recall that a Shimura variety S of dimension 1 is always compact unless S is a modular curve. We generalize this observation by defining a height function in the space of Shimura varieties attached to a fixed real reductive group. In the case of unitary groups, we prove that the density of non-compact Shimura varieties is zero.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Cette thèse s'intéresse à la cohomologie de fibrés en droite sur le fibré cotangent de variétés projectives. Plus précisément, pour $G$ un groupe algébrique simple, connexe et simplement connexe, $P$ un sous-groupe maximal de $G$ et $\omega$ un générateur dominant du groupe de caractères de $P$, on cherche à comprendre les groupes de cohomologie $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ où $\mathcal{L}$ est le faisceau des sections d'un fibré en droite sur $T^*(G/P)$. Sous certaines conditions, nous allons montrer qu'il existe un isomorphisme, à graduation près, entre $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ et $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L}^{\vee})$ Après avoir travaillé dans un contexte théorique, nous nous intéresserons à certains sous-groupes paraboliques en lien avec les orbites nilpotentes. Dans ce cas, l'algèbre de Lie du radical unipotent de $P$, que nous noterons $\nLie$, a une structure d'espace vectoriel préhomogène. Nous pourrons alors déterminer quels cas vérifient les hypothèses nécessaires à la preuve de l'isomorphisme en montrant l'existence d'un $P$-covariant $f$ dans $\comp[\nLie]$ et en étudiant ses propriétés. Nous nous intéresserons ensuite aux singularités de la variété affine $V(f)$. Nous serons en mesure de montrer que sa normalisation est à singularités rationnelles. / In this thesis, we study the cohomology of line bundles on cotangent bundle of projective varieties. To be more precise, let $G$ be an semisimple algebraic group which is simply connected, $P$ a maximal subgroup and $\omega$ a dominant weight that generates the character group of $P$. Our goal is to understand the cohomology groups $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ where $\mathcal{L}$ is the sheaf of sections of a line bundle on $T^*(G/P)$. Under some conditions, we will show that there exists an isomorphism, up to grading, between $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ and $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L}^{\vee})$. After we worked in a theoretical setting, we will focus on maximal parabolic subgroups related to nilpotent varieties. In this case, the Lie algebra of the unipotent radical of $P$ has a structure of prehomogeneous vector spaces. We will be able to determine which cases verify the hypothesis of the isomorphism by showing the existence of a $P$-covariant $f$ in $\comp[\nLie]$ and by studying its properties. We will be interested by the singularities of the affine variety $V(f)$. We will show that the normalisation of $V(f)$ has rational singularities.

Déformation des extensions peu ramifiées en P / Deformation extensions slightly branched P