Soient G un groupe fini et k un corps dont la caractéristique ne divise pas l’ordre de G. Il est établi, d’une part que pour que tous les caractères irréductibles de G soient réels, il faut et il suffit que G soit ambivalent; d’autre part, que pour que la restriction de l’involution canonique à chaque composante simple de l’algèbre de groupe kG soit une involution de première espèce, il faut et il suffit que G soit ambivalent. G est dit ortho-ambivalent par rapport à k si la restriction de l’involution canonique à chaque composante simple de l’algèbre de groupe kG est une involution orthogonale. Dans cette thèse, nous démontrons que les propositions suivantes sont équivalentes : (i) G est ortho-ambivalent par rapport à k ; (ii) G est totalement orthogonal ; (iii) G est ambivalent et tout caractère irréductible de G est de type 1 ; (iv) G est ambivalent et la somme des degrés des caractères irréductibles de G égale le nombre d’éléments de G dont les carrés sont égaux à l’élément neutre de G ; de plus, si la caractéristique de k est différente de 2, ces propositions sont équivalentes à la suivante : (v) G est ambivalent et le premier groupe de Witt tordu de la catégorie des kG-modules libres finiment engendrés munie d’une dualité définie en fonction de l’involution canonique sur kG est trivial. L’étude des 2-groupes spéciaux occupe une partie importante. Nous démontrons qu’un 2-groupe spécial ambivalent G d’application quadratique q est ortho-ambivalent par rapport à k si et seulement si pour toute forme linéaire s sur le centre de G (par rapport au corps à 2 éléments), l’invariant d’Arf de la forme quadratique induite par le transfert de q par s est nul. / Let G be a finite group and k a field whose characteristic does not divide the order of G. It is established, on the one hand that all irreducible characters of G are real if and only if G is ambivalent; in addition, that the restriction of the canonical involution on each simple component of the group algebra kG is an involution of first kind if and only if G is ambivalent. We say that G is ortho-ambivalent compared to k if the restriction of the canonical involution on each simple component of the group algebra kG is an orthogonal involution. In this thesis, we show that the following conditions are equivalent: (I) G is ortho-ambivalent compared to k; (II) G is totaly orthogonal; (III) G is ambivalent and any irreducible character of G is of type 1; (iv) G is ambivalent and the sum of the degrees of the irreducible characters of G equalizes the number of elements of G whose squares are equal to the neutral element of G; moreover, if the characteristic of k is different from 2, these conditions are equivalent to the following one: (v) G is ambivalent and the first twisted Witt group of the category of the free kG-modules finitely generated provided with a duality defined according to the canonical involution on kG is trivial. The study of the special 2-groups occupies a great part. We show that an ambivalent special 2-group G of quadratic application q is ortho-ambivalent compared to k if and only if for any linear form s on the center of G (compared to the field with 2 elements), the Arf invariant of the quadratic form induced by the transfer of q by s is null.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans cette thèse, on étudie deux thèmes, a priori différents mais qui rentrent dans le cadre des systèmes dynamiques : les échanges d’intervalles, la résolution d’équations cohomologiques et la description explicite des distributions invariantes par certains difféomorphismes d’un groupe de Lie compact.1 - On établit un critère d'existence de fonctions propres continues non constantes pour les échangesd'intervalles, c'est-à-dire de non mélange faible topologique. On construit pour tout entier m > 3des échanges de m intervalles de rang 2 uniquement ergodiques et non topologiquement faiblementmélangeants. Nous répondons aussi à une question de Ferenczi et Zamboni. On construit aussi pourtout entier pair m ≥ 4 des échanges de m intervalles possédant des valeurs propres irrationnelles et desvaleurs propres rationnelles (avec fonctions propres associées continues par morceaux) et qui sont soituniquement ergodiques, soit non minimaux.2 - On montre qu’un échange d’intervalles affine, dont les pentes sont des puissances d’un mêmeentier n, et dont les coupures et leurs images sont des rationnels , a une dynamique très simple : toutesses orbites sont propres et il possède une orbite périodique ou un cycle périodique.3 - On traite deux questions d’analyse sur un groupe de Lie connexe compact G. i) Soient a ∈ Get γ le difféomorphisme de G donné par γ(x) = ax (translation `a gauche par a). On donne lesconditions nécessaires et suffisantes pour que l’équation cohomologique f − f ◦ γ = g admette dessolutions dans l’espace de Fréchet C∞(G) des fonctions complexes C∞ sur G. ii) Lorsque G est le toreTn, on détermine explicitement les distributions sur Tn invariantes par un automorphisme affine γ i.e.γ(x) = Ax + a avec A ∈ GL(n, Z) et a ∈ Tn.4 - On donne des résultats obtenus dans 3) une application aux déformations infinitésimales d’unfeuilletage obtenu par suspension d’une translation d’un groupe de Lie compact. / In this thesis, we study two subjects, which are priori different but are within the scopeof dynamical systems: interval exchange, the resolution of cohomological equationsand the explicit description of invariant distributions by a diffeomorphism on a compactLie group.1. We prove a criterion for the existence of continuous non constant eigenfunc-tions for interval exchange transformations which are non topologically weakly mixing.We first construct, for any m > 3, uniquely ergodic interval exchange transforma-tions of Q-rank 2 with irrational eigenvalues associated to continuous eigenfunctionswhich are not topologically weakly mixing; this answers a question of Ferenczi andZamboni [5]. Moreover we construct, for any even integer m ≥ 4, interval exchangetransformations of Q-rank 2 with both irrational eigenvalues (associated to continuouseigenfunctions) and non trivial rational eigenvalues (associated to piecewise continu-ous eigenfunctions); these examples can be chosen to be either uniquely ergodic ornon minimal.2. We prove that an affine interval exchange, whose slopes are integer powers ofthe same integer n, and whose cuts and their images are rational, has a very simpledynamic: all its orbits are proper and it has a periodic orbit or a periodic cycle.3. A third section deals with two analytic questions on a connected compact Liegroup G. i) Let a ∈ G and denote by γ the diffeomorphism of G given by γ(x) = ax(left translation by a). We give necessary and sufficient conditions for the existenceof solutions of the cohomological equation f − f ◦ γ = g on the Fr´echet space C∞(G)of complex C∞ functions on G. ii) When G is the torus Tn, we compute explicitly thedistributions on Tn invariant by an affine automorphism γ, that is, γ(x) = Ax+a withA ∈ GL(n, Z) and a ∈ Tn.4. We apply the results of the preceding section to describe the infinitesimaldeformations of a foliation obtained by suspension of a translation associated to anelement on a compact Lie group.

Dans cette thèse, on s'intéresse à des propriétés arithmétiques de variétés algébriques. Elle contient deux parties et huit chapitres que l'on peut lire indépendamment. Dans la première partie on étudie la R-équivalence sur les points rationnels des variétés algébriques. Dans le chapitre I.1 on établit que pour certaines familles projectives et lisses X→Y de variétés géométriquement rationnelles sur un corps local k de caractéristique nulle le nombre des classes de R-équivalence de la fibre Xy(k) est localement constant quand y varie dans Y(k). Dans le chapitre I.2 on s'intéresse à des variétés rationnellement simplement connexes. On établit que la R-équivalence est triviale sur de telles variétés définies sur C(t). Dans le chapitre I.3 on introduit une autre relation d'équivalence sur les points rationnels des variétés définies sur un corps muni d'une valuation discrète et on étudie quelques propriétés de cette relation d'équivalence. Dans le chapitre I.4 on étudie la R-équivalence sur les variétés rationnellement connexes définies sur les corps réels clos ou p-adiqument clos. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude de quelques questions liées à la cohomologie non ramifiée. Dans le chapitre II.1 on utilise le troisième groupe de cohomologie non ramifiée pour donner un exemple d'une variété projective et lisse géométriquement rationnelle X, définie sur un corps fini Fp, telle que l'application de groupes de Chow de codimension deux de la variété X dans le groupe de Chow de cycles de codimension deux sur la clôture algébrique, fixés par l’action de Galois, n'est pas surjective. Dans le chapitre II.2 on s'intéresse aux fibrations au-dessus d'une surface sur un corps fini dont la fibre générique est une variété de Severi-Brauer et on montre que le troisième groupe de cohomologie non ramifiée s'annule pour de telles variétés. Dans le chapitre II.3, on établit l'invariance birationnelle de certains termes de la suite spectrale de Bloch et Ogus pour des variétés sur un corps de dimension cohomologique bornée. Sur un corps fini, on relie un de ces invariants avec le conoyau de l'application classe de cycle l-adique pour les 1-cycles. Dans le chapitre II.4, on s'intéresse à “borner” la ramification des éléments des groupes de cohomologie Hr(K, Z/n), r>0, si K est le corps des fonctions d'une variété intègre définie sur un corps de caractéristique nulle k. / In this Ph.D. thesis, we investigate some arithmetic properties of algebraic varieties. The thesis consists of two parts, divided into eight chapters. The first part is devoted to the study of R-equivalence on rational points of algebraic varieties. In chapter I.1, we prove that for some families X→Y of smooth projective geometrically rational varieties defined over a finite extension of Qp, the number of R-equivalence classes on Xy(k) is a locally constant function on Y(k). In chapter I.2, we establish the triviality of R-equivalence for rationally simply connected varieties defined over C(t). In chapter I.3, we introduce and analyze a different equivalence relation on rational points of varieties defined over a field equipped with a discrete valuation, and then compare it with R-equivalence. In chapter I.4, we study R-equivalence for varieties over real closed and p-adically closed fields. The second part of the thesis deals with some questions involving unramified cohomology. In chapter II.1, we use the third unramified cohomology group to give an example of a smooth, projective, geometrically rational variety X defined over a finite field Fp, such that the map from the Chow group of codimension two cycles on X to the Chow group of codimension two cycles over an algebraic closure, fixed by the Galois action, is not surjective. In chapter II.2, we prove the vanishing of the third unramified cohomology group for certain fibrations over a surface defined over a finite field whose generic fibre is a Severi-Brauer variety. In chapter II.3, we show that certain terms of the Bloch-Ogus spectral sequence are birational invariants for varieties over fields of bounded cohomological dimension. Then in the case of a finite field, we relate one of these invariants to the cokernel of the l-adic cycle class map for 1-cycles. Finally, in chapter II.4, we establish a “bound” for ramification of elements of the group Hr(K, Z/n), r>0, where K is the function field of an integral variety defined over a field of characteristic zero.

Le but initial de cette thèse était d’étudier les espaces de superlacets, version géométrique des espaces de supercordes en Physique. Le point de départ était alors d’étendre les résultats de classifications de l’article de Oleg Mokhov : Symplectic and Poisson structures on loop spaces of smooth manifolds, and integrable systems au cadre de la supergéométrie. Dans cet article l’auteur établit une classification des formes symplectiques locales homogènes d’ordre 0, 1 et 2 sur l’espace des lacets LM = C1(S1;M) à partir d’objets géométriques sur la variété différentiable M. Dans cette thèse, on remplace la variété M par une supervariété Mpjq et le cercle S1 par un supercercle S1jn et l’on étudie l’espace des morphismes de supervariétésMor(S1jn;Mpjq). Dans les deux premières parties, l’on définit les structures géométriques classiques et super des espaces de superlacets. Pour ce faire, l’on se restreint aux deux supercercles S1j1 et en s’inspirant des travaux sur LM, l’on détermine une structure de variété de Fréchet des espaces de superlacets SLM = Mor(S1j1;M). Puis l’on introduit la structure super qui nous a semblé la plus naturelle sur SLM en terme de faisceaux. Afin de pouvoir travailler en coordonnées, l’on introduit la structure super par un autre point de vue en considérant l’espace de superlacets SLM comme le foncteur de points SLM. De plus, en interprétant les calculs de Mokhov en terme de jets, ceci nous permet d’une part d’apporter une justification rigoureuse aux-dits calculs et d’autre part, d’obtenir une généralisation directe des méthodes de calculs en coordonnées ("à la physicienne"). Le troisième chapitre expose les résultats de classification obtenus. Comme dans le cas classique, on obtient un théorème de dépendance limitée de l’ordre des jets qui interviennent dans les formes d’ordre 0 et 1. Puis, on obtient une classification des formes d’ordre 0 au moyen de formes différentielles sur la supervariété Mpjq. Une classification des formes homogènes d’ordre 1 et 2 au moyen de métriques Riemaniennes et de connexions sur Mpjq. Enfin le quatrième chapitre est consacré à la généralisation des résultats d’un autre article de O. Mokhov : Complex homogeneous forms on loop spaces of smooth manifolds and their cohomology groups. De par la présence de la variable impaire, on précise tout d’abord la définition des formes homogènes locales sur SLM, puis on démontre que muni de la différentielle extérieure, l’espace des formes homogènes sur SLM d’ordre m 2 N donné définit un complexe. On calcule alors complètement les espaces de cohomologie pour les ordres m = 0 et 1, partiellement pour les ordres 2 et 3 et on explicite ainsi les formes symplectiques exactes obtenues au troisième chapitre. / The goal of the thesis was to study superloopspaces, the geometric version of superstrings in Physics, by extending the classification results contained in Oleg Mokov’s paper : Symplectic and Poisson structures on loop spaces of smooth manifolds, and integrable systems to the supergeometric setting. In it, lies the classification of local homogeneous symplectic forms of order 0, 1 and 2 on the loopspace LM = C1(S1;M) by means of geometric objects on the manifold M. In this thesis, the manifold M becomes a supermanifold Mpjq, the circle S1 becomes a supercircle S1jn and we consider the superloopspace as the space of morphisms of supermanifolds Mor(S1jn;Mpjq). In the two first chapters, we look at the classical and super geometric structures of the superloopspaces. To do this, we restrict ourselves to the two supercircles S1j1 and using the previous works on LM, we define a Fréchet manifold structure on the superloopspaces SLM = Mor(S1j1;M). Then we bring in what we consider as the most natural superstructure on SLM by means of sheaves. In order to work with coordinates, we adopt another point of view considering SLM as the functor of points SLM. Moreover, rewriting Mokhov results in terms of jets allows us to give a rigorous proof of those calculations and also to extend right away the methods of calculations in coordinates. The third chapter contains the new classification results we obtained. Similarly to the classical case, we first show that the order of the jets in the forms of order 0 and 1 is bounded. Then we give the complete classification of the symplectics forms of order 0 by means of differential forms on the manifold Mpjq and of homogeneous symplectics forms of order 1 and 2 using Riemannian metrics and connections on Mpjq. Finally, the fourth chapter is devoted to extending the cohomology results of an other Mokhov’s article : Complex homogeneous forms on loop spaces of smooth manifolds and their cohomology groups. We first discuss the dependance of the odd variable in the homogeneous forms on SLM, and show that with the exterior derivative, the space of homogeneous forms on SLM of a given order m 2 N is a complex. We then calculate the cohomological spaces, completely for the order m = 0 and 1, partially for the order 2 and 3 and we identify the exact forms amongst those of the third chapter.

Cette thèse s'intéresse à la factorisation des fonctions zêta des hypersurfaces de Dwork. Candelas, de la Ossa et Rodriguez-Villegas ont mis en évidence, dans le cas de la quintique, un facteur provenant de la symétrie miroir et deux facteurs provenant de courbes de type hypergéométrique. Wan a établit le lien avec la symétrie miroir dans le cas général, mais les facteurs complémentaires n'ont pas été étudiés avec le même niveau de détail que dans le cas de la quintique, et c'est sur eux que se concentre cette thèse. Après un premier chapitre de rappels sur les hypersurfaces de Dwork, on détermine, dans le chapitre 2, une factorisation explicite des fonctions zêta en terme de facteurs provenant d'hypersurfaces de type hypergéométrique. Dans le chapitre 3, on déduit une factorisation à partir d'une décomposition isotypique de la cohomologie des hypersurfaces de Dwork. Finalement, dans le chapitre 4, on relie les deux factorisations précédentes.

Cette thèse est une contribution à la théorie homotopique des schémas. Dans la première partie, on poursuit les constructions de Fabien Morel et Vladimir Voevodsky en définissant la catégorie homotopique stable des sites suspendus avec intervalles. La généralité, plus grande que celle permise par la définition de John F. Jardine, permet de donner une construction rigoureuse des foncteurs " points complexes " en théorie homotopique des schémas.<br /><br />Dans la seconde partie, on montre qu'au-dessus d'un schéma de base régulier S, se donner un endomorphisme dans la catégorie homotopique de S de la grassmannienne infinie (donnant un modèle de la K-théorie algébrique d'après un théorème de Morel et Voevodsky) revient à se donner une application fonctorielle K_0(X) -> K_0(X) où X parcourt la catégorie des schémas lisses sur S. Ceci permet de construire une structure de lambda-anneau spécial sur les groupes de K-théorie algébrique supérieure et de vérifier que cette structure coïncide avec les constructions antérieures. Les opérations additives sur la K-théorie algébrique sont étudiées en détail et des versions stables de ces énoncés sont obtenues, à coefficients entiers ou rationnels. La technique utilisée permet également de construire des classes de Chern sur la K-théorie algébrique supérieure à valeurs dans la cohomologie motivique (et dans d'autres théories cohomologiques) et de montrer très explicitement l'existence de morphismes stablement fantômes en théorie homotopique des schémas.

Ce mémoire porte sur l'étude des antiautomorphismes d'algèbres et en particulier sur les antiautomorphismes linéaires d'algèbres centrales simples (sur un corps commutatif). Si l'algèbre est une algèbre de matrices, alors un tel antiautomorphisme est l'adjonction pour une forme bilinéaire. Ainsi la classification des antiautomorphismes linéaires (resp. de type II) à isomorphisme près est une généralisation de celle des formes bilinéaires (resp. sesquilinéaires) à similitude près. Dans la première partie, on définit la notion d'asymétrie d'une forme sesquilinéaire, et on étudie les éléments d'une algèbre d'endomorphismes qui sont une asymétrie. La notion de produit de formes sesquilinéaires conduit à une théorie de Morita pour les algèbres à antiautomorphismes, qui permet de généraliser la notion de somme orthogonale connue pour les involutions d'algèbres centrales simples aux algèbres à antiautomorphisme Morita équivalentes avec asymétrie. Dans la deuxième partie, après avoir rappelé comment l'asymétrie permet d'obtenir une classification des formes bilinéaires, on généralise au cas non déployé linéaire la notion d'asymétrie et on explique comment on peut espérer obtenir de bons résultats en étudiant l'involution induite sur le centralisateur de l'asymétrie et la pseudo-involution linéaire associée à cette asymètrie. L'étude du principe de Hasse pour les similitudes de formes bilinéaires conduit natu- rellement au calcul de certains groupes de Tate-Schafarevich de tores algébriques de type normique. Ceci permet, dans une troisième partie, de donner des contre-exemples à ce principe sur des corps de nombres, ainsi qu'une interprétation de type corps de classe à l'obstruction à ce principe. Ce type de calculs pour d'autres tores normiques permet de démontrer qu'ils ne sont pas stablement rationnels. Ce résultat permet alors de déterminer les groupes algébriques simples dont le tore générique est rationnel, et délimite donc les cas pour lesquels l'étude du tore générique donne la rationalité du groupe. La quatrième partie est dédiée à la définition et à l'étude d'invariants des algèbres centrales simples à antiautomorphismes qui généralisent ceux donnant de bons résultats de classification pour les involutions : le discriminant, l'algèbre de Clifford et la forme trace. On y développe alors les résultats espérés en petite dimension cohomologique ou en petit degré.

Dans cette thèse, on s'intéresse, sous deux aspects différents, à la cohomologie des variétés de Griffiths-Schmid attachées à une forme anisotrope du groupe SU(2,2). Ces variétés ont l'avantage, au contraire des variétés de Shimura, de parfois faire apparaître dans leur cohomologie des limites dégénérées de séries discrètes. La première partie étudie ce phénomène dans le cas des limites totalement dégénérées. On prouve que les classes attachées à ces représentations peuvent s'exprimer comme cup-produits d'autres classes attachées à des séries discrètes. La seconde partie étudie les liens entre deux différentes variétés de Griffiths-Schmid obtenues à partir de deux structures complexes. L'une est celle considérée dans la première partie, et l'autre est fibrée holomorphiquement sur une variété de Shimura. On prouve l'existence d'une application bijective entre certains espaces de cohomologie, en s'appuyant sur une interprétation en termes de fonctions holomorphes de la cohomologie de Dolbeault. Ce résultat est généralisé dans l'annexe aux cas des groupes SU(n,n) et SU(n+1,n).

Dans cette thèse, on étudie deux thèmes, a priori différents mais qui rentrent dans le cadre des systèmes dynamiques : les échanges d'intervalles, la résolution d'équations cohomologiques et la description explicite des distributions invariantes par certains difféomorphismes d'un groupe de Lie compact.1 - On établit un critère d'existence de fonctions propres continues non constantes pour les échangesd'intervalles, c'est-à-dire de non mélange faible topologique. On construit pour tout entier m > 3des échanges de m intervalles de rang 2 uniquement ergodiques et non topologiquement faiblementmélangeants. Nous répondons aussi à une question de Ferenczi et Zamboni. On construit aussi pourtout entier pair m ≥ 4 des échanges de m intervalles possédant des valeurs propres irrationnelles et desvaleurs propres rationnelles (avec fonctions propres associées continues par morceaux) et qui sont soituniquement ergodiques, soit non minimaux.2 - On montre qu'un échange d'intervalles affine, dont les pentes sont des puissances d'un mêmeentier n, et dont les coupures et leurs images sont des rationnels , a une dynamique très simple : toutesses orbites sont propres et il possède une orbite périodique ou un cycle périodique.3 - On traite deux questions d'analyse sur un groupe de Lie connexe compact G. i) Soient a ∈ Get γ le difféomorphisme de G donné par γ(x) = ax (translation 'a gauche par a). On donne lesconditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation cohomologique f − f ◦ γ = g admette dessolutions dans l'espace de Fréchet C∞(G) des fonctions complexes C∞ sur G. ii) Lorsque G est le toreTn, on détermine explicitement les distributions sur Tn invariantes par un automorphisme affine γ i.e.γ(x) = Ax + a avec A ∈ GL(n, Z) et a ∈ Tn.4 - On donne des résultats obtenus dans 3) une application aux déformations infinitésimales d'unfeuilletage obtenu par suspension d'une translation d'un groupe de Lie compact.