Le thème principal de cette thèse est l’interaction entre le “comportement” des points rationnels sur certaines classes de variétés définies sur des corps globaux et locaux, et la cohomologie de ces variétés.Dans la partie I, on étudie l’obstruction de Brauer-Manin à la validité des principes locaux-globaux (comme le principe de Hasse et l’approximation faible) qui vient du groupe de Brauer d’une variété. Dans certains cas, pour des fibrations en torseurs sous un tore constant défini sur un corps de nombres, on démontre que l’obstruction de Brauer-Manin est suffisante pour expliquer le défaut des principes locaux-globaux. On donne également des nouveaux examples de variétés pour lesquelles l’obstruction de Brauer-Manin et ses raffinements ne suffisent pas pour expliquer le défaut du principe de Hasse.Dans la partie II, on étudie la relation entre le volume rationnel d’une variété lisse, projective sur un corps strictement local, et la trace de l’opérateur de monodromie modérée sur la cohomologie étale de la variété. Ceci est motivé par un travail de Nicaise-Sebag sur une formule de traces pour l’invariant de Serre motivique, inspiré par la formule de Grothendieck-Lefschetz pour les variétés sur les corps fini. On utilise ici le formalisme de la géométrie logarithmique. / The main theme of this thesis is the interplay between the “behaviour” of the rational points on certain classes of algebraic varieties defined over global and local fields, andthe cohomology of these varieties. Part I studies the Brauer-Manin obstruction to the validity of local-global principles (such as the Hasse principle and weak approximation) coming from the Brauer groupof a variety. In some cases, for certain families of torsors under a constant torusdefined over a number field, we prove that the Brauer-Manin obstruction is sufficientto explain the failure of these local-global principles. We also give new examples of varieties for which the Brauer-Manin obstruction and its refinements are insufficientto explain the failure of the Hasse principle.In Part II, we investigate the relationship between the rational volume of a smooth, projective variety defined over a strictly local field, and the trace of the tame monodromy operator on the étale cohomology of this variety. The motivation is work of Nicaise–Sebag on a trace formula for the motivic Serre invariant, inspired by the Grothendieck–Lefschetz trace formula for varieties over finite fields. We study this relationship using the framework of logarithmic geometry.

Initiée indépendamment par Beilinson et Bernstein et par Brylinski et Kashiwara, l'étude des opérateurs différentiels sur les variétés de drapeaux complets a permis de répondre à une conjecture de Kazhdan et Lusztig. Ayant été poursuivie notamment par les travaux de Borho et Brylinski, cette étude a mis à jour plusieurs propriétés intéressantes sur les opérateurs différentiels sur les variétés de drapeaux. Cependant, en dehors du cas des variétés de drapeaux et du cas des variétés toriques projectives, qui a été étudié de manière combinatoire, les opérateurs différentiels sont plutôt mal compris sur les variétés projectives.Dans cette thèse, nous nous pencherons sur le cas de certaines compactifications magnifiques Y d'espaces symétriques G/H de petit rang, et nous comparerons les résultats obtenus avec ceux connus sur les variétés de drapeaux. Nous allons commencer par construire un opérateur différentiel global sur Y qui ne provient pas de l'action infinitésimale de l'algèbre de Lie de G, ce qui constitue une différence avec le cas des variétés de drapeaux.Ensuite, nous nous intéresserons à trois cas particulier que nous exprimerons comme des quotients GIT d'une certaine grassmannienne X. Grâce à cette description, nous verrons plusieurs similitudes avec le cas des variétés de drapeaux : nous montrerons que l'algèbre des opérateurs globaux sur Y est de type fini, et que pour tout faisceau inversible L sur Y, ses sections globales forment un module simple pour l'algèbre des opérateurs différentiels globaux de Y tordus par L. Enfin, en utilisant des arguments de cohomologie locale, nous montrerons que c'est également le cas pour les groupes de cohomologie supérieurs / Started independently by Beilinson and Bernstein, and by Brylinski and Kashiwara, the study of global differential operators on complete flag varieties has been very useful to answer a conjecture of Kazhdan and Lusztig. In their subsequent work, Borho and Brylinski have discovered many interesting properties on differential operators on flag varieties. But apart from the case of flag varieties, and the case of projective toric varieties, which has been investigated with combinatorial methods, differential operators on projective varieties are rather badly known.In this thesis, we will investigate the case of some wonderful compactifications Y of symmetric spaces G/H of small rank, and we will compare our results with what is known in the case of flag varieties. We will first construct a differential operator on Y which does not come from the infinitesimal action of G, which is different from the case of flag varieties.We will then look at three particular cases, which will be expressed as GIT quotients of some Grassmannian X. With this description, we will find some similarities with the case of flag varieties : we will show that the algebra of global differential operators is of finite type, and that for each invertible sheaf L on Y, the module of its global sections is simple as a module over the algebra of global differential operators of Y twisted by L. Finally, using arguments of local cohomology, we will show that it is still the case for higher cohomology groups

No description available.

Le but de cette thèse est de généraliser un certain nombre de résultats arithmétiques connus pour les formes modulaires elliptiques au cas des formes modulaires de Hilbert. Parmi ces résultats citons le contrôle de l'image de la représentation galoisienne résiduelle [Serre, Ribet], le critère de congruence de Hida, ainsi que la liberté de la cohomologie entière de la variété modulaire de Hilbert sur certaines composantes locales de l'algèbre de Hecke et la propriété de Gorenstein de celles-ci [Mazur, Faltings-Jordan]. Dans le cas de niveau "minimal" ceci permet de relier la $p$-partie "algébrique" de la valeur en 1 de la fonction L adjointe d'une forme modulaire de Hilbert nouvelle au cardinal du groupe de Selmer correspondant. L'approche des propriétés arithmétiques des formes modulaires de Hilbert se fait à travers leurs représentations galoisiennes modulo $p$ et l'outil principal est l'action de l'inertie en $p$. Cette action est contrôlée par le calcul des poids de Hodge-Tate (resp. de Fontaine-Laffaille) de la cohomologie $p$-adique (resp. modulo $p$) de la variété modulaire de Hilbert. La partie cohomologique de ce travail repose sur la construction des compactifications toroïdales arithmétiques de la variété abélienne de Hilbert-Blumenthal universelle (et de ses produits fibrés), au-dessus des compactifications toroïdales arithmétiques de la variété modulaire de Hilbert en niveau $\Gamma_1(c,n)$.

Cette thèse consiste d'une étude de la géométrie d'une certaine classe de groupes arithmétiques, à travers d'une action propre sur un espace contractile. Nous calculons explicitement leur homologie de groupe, et leur K-homologie équivariante. Plus précisément, considérons un corps de nombres quadratique imaginaire et son anneau d'entiers A. Les groupes de Bianchi sont les groupes SL_2(A) et PSL_2(A). Ces groupes agissent d'une manière naturelle sur l'espace hyperbolique à 3 dimensions. Ils constituent une clef pour l'étude d'une classe plus large de groupes, les groupes Kleiniens, étudiés depuis Poincaré. En fait, chaque groupe Kleinien arithmétique non-cocompact est commensurable avec un des groupes de Bianchi. L'auteur a implémenté à l'ordinateur, le calcul d'un domaine fondamental pour ces groupes. En calculant les stabilisateurs et identifications sur ce domaine fondamental, nous obtenons une structure explicite d'orbi-espace. Nous nous en servons pour étudier des aspects différents de la géométrie des groupes de Bianchi. D'abord, nous calculons l'homologie de groupe à coefficients entiers, à l'aide de la suite spectrale équivariante de Leray/Serre. Ensuite, nous calculons l'homologie de Bredon de groupes de Bianchi, de laquelle nous déduisons leur K-homologie équivariante. Par la conjecture de Baum/Connes, qui est vérifiée par nos groupes, nous obtenons la K-théorie des C*-algèbres réduites de nos groupes. Finalement, nous complexifions nos orbi-espaces, en complexifiant l'espace hyperbolique. Ceci nous permet de calculer la cohomologie d'orbi-espace de Chen/Ruan, qui est l'un des deux côtés de la conjecture de la résolution cohomologique crépante de Ruan.

Soit $X$ une variété algébrique lisse et projectif sur un corps de nombres $F \subset \mathbb{C}$. On suppose que le motif de Hodge absolu $h^i(X)$ appartient à la catégorie Tannakienne engendrée par les motifs des variétés abélienne sur $F$. Pour tout nombre premier $\ell$, le groupe de Galois $\Gamma_F:= Gal(\bar{F}/F)$ opère sur $H_{\ell}(M)$, la réalisation $\ell$-adique de $M$. Quitte à remplacer $F$ par une extension finie, on peut supposer que cette action se factorise par un morphisme $\rho_{M,\ell}: \Gamma_F\rightarrow G_M(\ql)$, où $G_M$ est le groupe de Mumford-Tate de $M$. Fixons une valuation $v$ de $F$ et supposons $v(\ell)=0 $. La restriction $\rho_{M,\ell} \vert_{ \Gamma_{F_v}}$ définit une représentation ${}'W_v \rightarrow G_{M/\ql}$ du groupe de Weil-Deligne de $F_v$. Des conjectures de J-P Serre et J-M Fontaine indiquent que pour tout $\ell $, la représentation ${}'W_v \rightarrow G_{M/\ql}$ est définie sur $\mathbb{Q}$ et pour $\ell$ variable elles forment un système compatible de représentations. Sous certaines hypothèses supplémentaires, nous montrons que ceci est vrai si $X$ a bonne réduction en $v$ où réduction semi-stable en $v$.

Cette thèse traite de la théorie de Grothendieck-Teichmüller et des espaces de modules de courbes à points marqués non-ordonnés, plus particulièrement des différents types d'inertie présents dans leurs groupes fondamentaux géométriques. On étend l'action connue du groupe de Galois absolu sur l'inertie divisorielle à l'infini en une action ayant les mêmes propriétés sur l'inertie champêtre en genre zéro, et sur toute la torsion profinie d'ordre premier en genre zéro et un. En fait, nous montrons que ce dernier résultat est valable non seulement pour le groupe de Galois absolu mais pour un nouveau groupe de Grothendieck-Teichmüller GS issu de conditions de torsion en genre zéro, dont on montre qu'il agit sur les full mapping class groups de genre quelconque. On établit ce résultat en adaptant un principe cohomologique de J. P. Serre pour réduire, dans certains cas, la torsion d'un groupe profini à celle d'un groupe discret. On utilise cette théorie pour établir que, dans les cas des genre zéro et un, la torsion profinie d'ordre premier est conjugée à la torsion discrète. Ceci permet d'expliciter l'action du groupe GS sur la torsion profine d'ordre premier.

Dans [PRID], Pridham a montré que tout n-champs d'Artin M admet une présentation en tant que schéma simplicial X. → M, telle que le schéma simplicial X satisfait à certaines propriétés notées par G.Pn,k de [GROTH]. Dans la présentation (...→ X2 → X1 → X0 → M), le schéma X1 représente une carte pour X0 x MX0. Donc, la lissité de X0 → M est équivalente à la lissité des deux projections ә0,ә1 : X1 → X0. Ce sont les deux premières parties de la condition de Grothendieck-Pridham, notées G.P1,0 et G.P1,1. Dans [BENZ12] nous avons introduit un n-champ d'Artin M des éléments de Maurer-Cartan d'une dg-catégorie. On a construit une carte, et on a déjà fait la preuve des premières conditions de lissité explicitement. Pour tout n et tout 0 ≤ k ≤ n Pridham considère un schéma noté MatchΛkn(X) avec un morphisme Xn → MatchΛkn(X). On construira explicitement le schéma simplicial de Grothendieck-Pridham X, on montrera la lissité formelle de cette carte précédente, ainsi que M est un n-champ géométrique.

Déformation des extensions peu ramifiées en P

On borne explicitement la hauteur de Faltings d'une courbe sur le corps de nombres algèbriques en son degré de Belyi. Des résultats similaires sont démontré pour trois autres invariants arakeloviennes : le discriminant, l'invariant delta et l'auto-intersection de omega. Nos résultats nous permettent de borner explicitement les invariantes arakeloviennes des courbes modulaires, des courbes de Fermat et des courbes de Hurwitz. En plus, comme application, on montre que l'algorithme de Couveignes-Edixhoven-Bruin est polynomial sous l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta des corps de nombres. Ceci était connu uniquement pour certains sous-groupes de congruence. Finalement, on utilise nos résultats pour démontrer une conjecture de Edixhoven, de Jong et Schepers sur la hauteur de Faltings d'un revêtement ramifié de la droite projective sur l'anneau des entiers.