Cette thèse est consacrée à la résolution des problèmes de contrôle non linéaires par des méthodes de calcul hybride. L'idée défendue est que la modélisation par les systèmes hybrides permet la résolution approchée des problèmes non linéaires sans connaissance a priori du comportement du système étudié. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la modélisation des systèmes de contrôle non linéaires par une nouvelle classe de systèmes hybrides affines par morceaux. Un soin particulier est apporté à l'étude de l'erreur et de la convergence de l'approximation hybride. La deuxième partie est consacrée au problème de la contrôlabilité à l'origine des systèmes non linéaires. Nous nous intéressons tout d'abord à la quantification de l'erreur commise entre le domaine contrôlable non linéaire et son approximation hybride. Nous proposons ensuite une approche constructive pour le calcul du domaine contrôlable, permettant alors de réduire l'exploration des états discrets de l'automate hybride. La dernière partie est dédiée à la recherche de solutions optimales des problèmes de contrôle non linéaires et hybrides. Nous justifions tout d'abord la pertinence de la modélisation hybride à travers deux approches : le principe du maximum de Pontryagin et les solutions de viscosité des équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman. Nous énonçons en particulier un principe du maximum hybride qui nous permet alors de déterminer la structure du contrôle optimal hybride. Ces trois parties répondent à un objectif principal : développer par le calcul hybride combinant analyse numérique et calcul formel, des outils mathématiques et algorithmiques efficaces pour l'étude de dynamiques contrôlées non linéaires.

Le but de cette thèse est la construction et l'implémentation d'une méthode de Lagrange-Galerkin d'ordre élevé dans un code de simulation d'interactions fluide/structure. Cette méthode repose sur une formulation par éléments finis mixtes et une méthode des caractéristiques d'ordre 2 en maillage fixe ou mobile. La stabilité de ce schéma a été étudiée dans des cas simples. Des analyses aéroélastiques de structures généralement rencontrées dans le Génie Civil ont été effectuées à travers des tests numériques sur des coupes de ponts en mouvements forcés et libres. Les résultats obtenus ont été comparés à ceux obtenus avec la méthode de Lagrange-Galerkin d'ordre 1 ainsi qu'à des études réalisées en soufflerie expérimentale. Enfin, l'utilisation des méthodes de Lagrange-Galerkin dans des problèmes de contrôle optimal a été étudiée. Un schéma discret linéarisé basé sur la méthode des caractéristiques a été construit et quelques tests simples pour des problèmes de contrôle et d'identification en maillages fixes et mobiles ont été effectués.

Cette étude concerne la mise en euvre de méthodes numériques d'optimisation de type contrôle optimal appliquées à un problème d'assimilation de données en océanographie. Il s'agit d'étudier la faisabilité de la méthode dans un problème de grande taille et dans un modèle turbulent, caractéristique des circulations océaniques aux latitudes moyennes. Le modèle de circulation utilisé est un modèle quasi-géostrophique stratifié en plusieurs couches. Les données à assimiler sont les mesures altimétriques satellitaires (hauteur de la surface libre de l'océan). Elles se trouvent uniquement sur la couche de surface. Le vecteur de contrôle est choisi comme étant la condition initiale du système dynamique sur toutes les couches. Sur le plan théorique, sont étudiés : - l'existence et l'unicité de la solution de l'équation linéarisée ; - l'existence et l'unicité de l'état adjoint ; - la convergence de la méthode de contrôle par des suites minimisantes. Nous étudions ensuite la qualité de l'identification des circulations en profondeur en connaissant les informations de surface. Nous abordons aussi les différentes stratégies d'assimilation en temps (séquentielle, incrémentale, ...). Une étude au second ordre de la fonctionnelle permet d'estimer l'erreur de l'identification et de quantifier la propagation des informations de surface en profondeur. Un test de la validation croisée généralisée sur notre problème pour déterminer le coefficient de régularisation est fait grâce à cette étude au second ordre.

Le thème central de cette thèse est l'étude des problèmes d'optimisation multicritère avec ou sans dynamique ainsi que le problème général de Bolza et ses applications. Après avoir rappelé quelques concepts d'analyse non lisse, on étudie dans la première partie de cette thèse l'existence des multiplicateurs de Lagrange pour des problèmes d'optimisation multicritère en dimension infinie en termes d'une préférence générale. En introduisant la notion de la régularité d'une préférence et en utilisant la condition de qualification calme, on établit l'existence des multiplicateurs de Karush-Kuhn-Tucker. Ceci nous permet d'exhiber des multiplicateurs de Fritz-John en termes du sous-différentiel approché au sens de Ioffe. En conséquence on obtient des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou bien par une fonction d'utilité. On établit dans la deuxième partie des conditions nécessaires d'optimalité pour le problème général de Bolza en termes du sous différentiel Fréchet limite sans aucune hypothèse de convexité. Ce résultat nous permet de retrouver les résultats de Vinter-Zheng, Ioffe-Rockafellar et d'établir le principe du maximum avec une nouvelle inclusion d'Euler-Lagrange. On applique ce dernier aux problèmes isopérimetriques, au modèle général de croissance économique de Ramsey et à un problème de génie chimique. En utilisant la notion de préférence de la première partie et les résultats de la deuxième, on établit dans la troisième partie des conditions nécessaires d'optimalité et des conditions Hamiltoniennes d'un problème d'optimisation multicritère dynamique. Enfin on donne des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou une fonction d'utilité.

Cette thèse porte sur la modélisation de la commande motrice chez le Primate suivant deux approches : - Tout d'abord, en suivant une formalisation mathématique de la préparation par le Cerveau des signaux de commande d'un mouvement volontaire dirigé vers une cible. La méthode utilisée dans cette étude a été de recenser les contraintes fonctionnelles et d'en déduire un circuit de traitement des signaux moteurs, compatible avec l'organisation anatomique des voies cérébelleuses. Ce circuit a permis une optimisation hiérarchisée, sous les contraintes de rapidité d'exécution et d'économie de la dépense énergétique. Cette approche a été appliquée à la commande d'un bras robotique à 2 d.d.l mû par des muscles de McKibben, et à la modélisation du système oculomoteur du Primate. - Ensuite, en suivant une approche par codage. Nous présentons ici la conception et la mise au point d'une Interface Cerveau-Machine asynchrone qui décode les données cérébrales enregistrées chez le Macaque afin de contrôler un doigt robotique.

Nous proposons une représentation calibrée de l'inertie économique pour le modèle DICE. Les résultats suggèrent une action de réduction des gaz à effet de serre nettement plus forte et plus précoce. Ceci conduit à distinguer entre coût marginal d'abattement dynamique et statique et à s'interroger sur le niveau du signal-prix incitatif. L'incertitude est abordée d'abord sous l'aspect de "l'effet d'irréversibilité" pour lequel on introduit un formalisme qui permet de synthétiser la littérature existante et d'obtenir une nouvelle condition suffisante. Enfin, la théorie des capteurs permet d'aborder la question de la valeur marginale de l'information et d'obtenir pour le théorème de Radner et Stiglitz des conditions distinctes et simples sur les familles des structures d'information et sur l'utilité de l'agent.

Dans cette thèse on explore l'utilisation du contrôle optimal et du transport de masse pour la modélisation économique. Nous saisissons ainsi l'occasion de réunir plusieurs travaux faisant intervenir ces deux outils, parfois en interactions l'un avec l'autre. Dans un premier temps nous présentons brièvement la récente théorie des jeux à champ moyen introduite par Lasry et Lions et nous concentrons sur le point de vue du contrôle de l'équation de Fokker-Planck. Nous exploitons cet aspect à la fois pour obtenir des résultats d'existence d'équilibres et pour développer des méthodes numériques de résolution. Nous testons les algorithmes dans deux cas complémentaires à savoir le cadre convexe (aversion à la foule, dynamiques à deux populations) et le cadre concave (attraction, externalités et effets d'échelle dans un modèle stylisé de transition technologique). Dans un second temps, nous étudions un problème de matching mêlant transport optimal et contrôle optimal. Le planificateur cherche un couplage optimal, fixé pour une période donnée (engagement), étant donné que les marges évoluent (éventuellement aléatoirement) de façon contrôlée. Enfin, nous reformulons un problème de partage de risque entre d agents (pour lequel nous prouvons un résultat d'existence) en un problème de contrôle optimal avec contraintes de comonotonie; ceci nous permet d'obtenir des conditions d'optimalité à l'aide desquelles nous construisons un algorithme simple et convergent.

La théorie de la viabilité propose des concepts et méthodes pour contrôler un système dynamique afin de le maintenir dans un ensemble de contraintes de viabilité. Les applications sont nombreuses en écologie, économie ou robotique, lorsqu'un système meurt ou se détériore lorsqu'il quitte une certaine zone de son espace d'états. A partir du calcul du noyau de viabilité ou du bassin de capture d'un système, elle permet de définir des politiques d'action qui maintiennent le système dans l'ensemble de contraintes choisi. Cependant, les algorithmes classiques d'approximation de noyaux de viabilité ou de bassins de capture présentent certaines limitations ; notamment, ils souffrent de la malédiction de la dimensionnalité et leur application est réservée à des problèmes en petite dimension (dans l'espace d'état et des contrôles). L'objectif de cette thèse est de développer des algorithmes d'approximation de noyaux de viabilité et de bassin de capture plus performants, en utilisant une méthode d'apprentissage statistique particulière : les machines à vecteurs de support (Support Vector Machines - SVMs). Nous proposons un nouvel algorithme d'approximation d'un noyau de viabilité, basé sur l'algorithme de Patrick Saint-Pierre, qui utilise une méthode d'apprentissage pour définir la frontière du noyau. Après avoir rappelé les conditions mathématiques que la procédure doit respecter, nous considérons les SVMs dans ce contexte. Cette méthode d'apprentissage fournit une sorte de fonction barrière à la frontière du noyau, ce qui permet d'utiliser des méthodes d'optimisation pour trouver un contrôle viable, et ainsi de travailler dans des espaces de contrôle plus importants. Cette fonction "barrière" permet également de dériver des politiques de contrôle plus ou moins prudentes. Nous appliquons la procédure à un problème de gestion des pêches, en examinant quelles politiques de pêche permettent de garantir la viabilité d'un écosystème marin. Cet exemple illustre les performances de la méthode proposée : le système comporte 6 variables d'états et 51 variables de contrôle. A partir de l'algorithme d'approximation d'un noyau de viabilité utilisant les SVMs, nous dérivons un algorithme d'approximation de bassin de capture et de résolution de problèmes d'atteinte d'une cible en un temps minimal. Approcher la fonction de temps minimal revient à rechercher le noyau de viabilité d'un système étendu. Nous présentons une procédure qui permet de rester dans l'espace d'état initial, et ainsi d'éviter le coût (en temps de calcul et espace mémoire) de l'addition d'une dimension supplémentaire. Nous décrivons deux variantes de l'algorithme : la première procédure donne une approximation qui converge par l'extérieur et la deuxième par l'intérieur. La comparaison des deux résultats donne une évaluation de l'erreur d'approximation. L'approximation par l'intérieur permet de définir un contrôleur qui garantit d'atteindre la cible en un temps minimal. La procédure peut être étendue au problème de minimisation d'une fonction de coût lorsque celle-ci respecte certaines conditions. Nous illustrons cet aspect sur le calcul de valeurs de résilience. Nous appliquons la procédure sur un problème de calcul de valeurs de résilience sur un modèle d'eutrophication des lacs. Les algorithmes proposés permettent de résoudre le problème de l'augmentation exponentielle du temps de calcul avec la dimension de l'espace des contrôles mais souffrent toujours de la malédiction de la dimensionnalité pour l'espace d'état : la taille du vecteur d'apprentissage augmente exponentiellement avec la dimension de l'espace. Nous introduisons des techniques d'apprentissage actif pour sélectionner les états les plus "informatifs" pour définir la fonction SVM, et ainsi gagner en espace mémoire, tout en gardant une approximation précise du noyau. Nous illustrons la procédure sur un problème de conduite d'un vélo sur un circuit, système défini par six variables d'état.

La thèse est consacrée à une approche variationnelle unifiée pour des applications diverses, telles que l'identification de paramètres, la contrôle optimal et l'assimilation de données, pour la modélisation de l'architecture et du fonctionnement des plantes. La formulation mathématique du modèle fonction-structure de plantes GreenLab est réalisé par l'introduction d'une formule empirique sur des facteurs environnementaux pour modèliser la photosynthèse. Un sous-modèle d'équilibre de l'eau dans le sol a été ajouté dans GreenLab pour le système dynamique de sol-plantes. La formulation dynamique permet d'obtenir des solutions numériques efficaces pour les systèmes variationnels en utilisant le modèle d'adjoint correspondant. Les algorithmes de différentiation sont utilisées pour différentier le code GreenLab d'une manière systématique afin d'obtenir le code d'adjoint. L'approche variationnelle est utilisée pour résoudre un problème de d'approvisionnement optimal d'eau pour le tournesol et pour une meilleure production de fruits. Le concept de l'assimilation de données est utilisé pour diminuer les incertitudes sur la condition initiale et les paramètres externes de modèles. Les resultats sur les problèmes étudiés montrent que les concepts d'assimilation de données et de contrôle optimal sont utilisables en agronomie.

Depuis ces trente dernières années, les systèmes d'observation de la Terre et les modèles numériques se sont perfectionnés et complexifiés pour nous fournir toujours plus de données, réelles et numériques. Ces données, de nature très diverse, forment maintenant un ensemble conséquent d'informations précises mais hétérogènes sur les structures et la dynamique des fluides géophysiques. Dans les années 1980, des méthodes d'optimisation, capables de combiner les informations entre elles, ont permis d'estimer les paramètres des modèles numériques et d'obtenir une meilleure prévision des courants marins et atmosphériques. Ces méthodes puissantes, appelées assimilation variationnelle de données, peinent à tirer profit de la toujours plus grande complexité des informations de par le manque de puissance de calcul disponible. L'approche, que nous développons, s'intéresse à l'utilisation des méthodes multigrilles, jusque là réservées à la résolution de systèmes d'équations différentielles, pour résoudre l'assimilation haute résolution de données. Les méthodes multigrilles sont des méthodes de résolution itératives, améliorées par des corrections calculées sur des grilles de plus basses résolutions. Nous commençons par étudier dans le cas d'un modèle linéaire la robustesse de l'approche multigrille et en particulier l'effet de la correction par grille grossière. Nous dérivons ensuite les algorithmes multigrilles dans le cadre non linéaire. Les deux types d'algorithmes étudiés reposent d'une part sur la méthode de Gauss Newton multigrille et d'autre part sur une méthode sans linéarisation globale : le Full Approximation Scheme (FAS). Ceux-ci sont appliqués au problème de l'assimilation variationnelle de données dans le cadre d'une équation de Burgers 1D puis d'un modèle Shallow-water 2D. Leur comportement est analysé et comparé aux méthodes plus traditionnelles de type incrémentale ou multi-incrémentale.