La technique de moyennation est un moyen efficace pour simplifier les transferts optimaux pour un satellite à faible poussée dans un problème à deux corps contrôlé. Cette thèse est une étude analytique et numérique du transferts orbital à poussée faible en temps optimal qui généralise l'application de la moyennation du problème à deux corps à des transferts dans le problème à deux corps perturbés et aux transfert d'une orbite proche de la Terre au point de Lagrange L1, dans le cadre du problème à quatre corps bi-circulaire où l’effet perturbatif de la Lune et du Soleil est modélisé. Dans le transfert à faible poussée à deux corps, nous comparons le cas du temps minimal et de l'énergie. Nous déterminons que le domaine elliptique pour les transferts orbitaux temps-minimal est géodésiquement convexe pour un transfert coplanaire et vers une orbite circulaire, contrairement au cas de l’énergie. Nous examinons ensuite l’effet la perturbation lunaire, nous montrons que dans ce cas le Hamiltonien moyenné se trouve être celui associé à un problème de navigation de Zermelo. Nous étudions numériquement à l’aide du code Hampath, les points conjugués pour caractériser l’optimalité globale des trajectoires. Enfin, nous construisons et réalisons numériquement un transfert d'une orbite terrestre au point de Lagrange L1, qui utilise la moyennation sur un arc (proche de la Terre) pour simplifier les calculs numériques. Dans ce dernier résultat nous voyons qu'un transfert concaténant une trajectoire moyennée avec une trajectoire temps minimal au voisinage du point de Lagrange est en effet proche d’un transfert de temps optimal calculé avec une méthode numérique de tir. / The technique of averaging is an effective way to simplify optimal low-thrust satellite transfers in a controlled two-body Kepler problem. This study takes the form of both an analytical and numerical investigation of low-thrust time-optimal transfers, extending the application of averaging from the two-body problem to transfers in the perturbed low-thrust two body problem and a low-thrust transfer from Earth orbit to the L1 Lagrange point in the bicircular four-body setting. In the low-thrust two-body transfer, we compare the time-minimal case with the energy-minimal case, and determine that the elliptic domain under time-minimal orbital transfers (reduced in some sense) is geodesically convex. We then consider the Lunar perturbation of an energy-minimal low-thrust satellite transfer, finding a representation of the optimal Hamiltonian that relates the problem to a Zermelo navigation problem and making a numerical study of the conjugate points. Finally, we construct and implement numerically a transfer from an Earth orbit to the L1 Lagrange point, using averaging on one (near-Earth) arc in order to simplify analytic and numerical computations. In this last result we see that such a `time-optimal' transfer is indeed comparable to a true time-optimal transfer (without averaging) in these coordinates.

Cette thèse se compose de deux parties. Dans la première partie, nous étudions les stratégies de temps minimum pour le traitement de la pollution dans de grandes ressources en eau, par exemple des lacs ou réservoirs naturels, à l'aide d'un bioréacteur continu qui fonctionne à un état quasi stationnaire. On contrôle le débit d'entrée d'eau au bioréacteur, dont la sortie revient à la ressource avec le même débit. Nous disposons de l'hypothèse d'homogénéité de la concentration de polluant dans la ressource en proposant trois modèles spatialement structurés. Le premier modèle considère deux zones connectées l'une à l'autre par diffusion et seulement une d'entre elles connectée au bioréacteur. Avec l'aide du Principe du Maximum de Pontryagin, nous montrons que le contrôle optimal en boucle fermée dépend seulement des mesures de pollution dans la zone traitée, sans influence des paramètres de volume, diffusion, ou la concentration dans la zone non traitée. Nous montrons que l'effet d'une pompe de recirculation qui aide à homogénéiser les deux zones est avantageux si opérée à vitesse maximale. Nous prouvons que la famille de fonctions de temps minimal en fonction du paramètre de diffusion est décroissante. Le deuxième modèle consiste en deux zones connectées l'une à l'autre par diffusion et les deux connectées au bioréacteur. Ceci est un problème dont l'ensemble des vitesses est non convexe, pour lequel il n'est pas possible de prouver directement l'existence des solutions. Nous surmontons cette difficulté et résolvons entièrement le problème étudié en appliquant le principe de Pontryagin au problème de contrôle relaxé associé, obtenant un contrôle en boucle fermée qui traite la zone la plus polluée jusqu'au l'homogénéisation des deux concentrations. Nous obtenons des limites explicites sur la fonction valeur via des techniques de Hamilton-Jacobi-Bellman. Nous prouvons que la fonction de temps minimal est non monotone par rapport au paramètre de diffusion. Le troisième modèle consiste en deux zones connectées au bioréacteur en série et une pompe de recirculation entre elles. L'ensemble des contrôles dépend de l'état, et nous montrons que la contrainte est active à partir d'un temps jusqu'à la fin du processus. Nous montrons que le contrôle optimal consiste à l'atteinte d'un temps à partir duquel il est optimal de recirculer à vitesse maximale et ensuite ré-polluer la deuxième zone avec la concentration de la première. Ce résultat est non intuitif. Des simulations numériques illustrent les résultats théoriques, et les stratégies optimales obtenues sont testées sur des modèles hydrodynamiques, en montrant qu'elles sont de bonnes approximations de la solution du problème inhomogène. La deuxième partie consiste au développement et l'étude d'un modèle stochastique de réacteur biologique séquentiel. Le modèle est obtenu comme une limite des processus de naissance et de mort. Nous établissons l'existence et l'unicité des solutions de l'équation contrôlée qui ne satisfait pas les hypothèses habituelles. Nous prouvons que pour n'importe quelle loi de contrôle la probabilité d'extinction de la biomasse est positive. Nous étudions le problème de la maximisation de la probabilité d'atteindre un niveau de pollution cible, avec le réacteur à sa capacité maximale, avant l'extinction. Ce problème ne satisfait aucune des suppositions habituelles (la dynamique n'est pas lipschitzienne, diffusion dégénérée localement hölderienne, contraintes d'état, ensembles cible et absorbant s'intersectent), donc le problème doit être étudié dans deux étapes: en premier lieu, nous prouvons la continuité de la fonction de coût non contrôlée pour les conditions initiales avec le volume maximal et ensuite nous développons un principe de programmation dynamique pour une modification du problème original comme un problème de contrôle optimal avec coût final sans contrainte sur l'état. / This thesis consists of two parts. In the first part we study minimal time strategies for the treatment of pollution in large water volumes, such as lakes or natural reservoirs, using a single continuous bioreactor that operates in a quasi-steady state. The control consists of feeding the bioreactor from the resource, with clean output returning to the resource with the same flow rate. We drop the hypothesis of homogeneity of the pollutant concentration in the water resource by proposing three spatially structured models. The first model considers two zones connected to each other by diffusion and only one of them treated by the bioreactor. With the help of the Pontryagin Maximum Principle, we show that the optimal state feedback depends only on the measurements of pollution in the treated zone, with no influence of volume, diffusion parameter, or pollutant concentration in the untreated zone. We show that the effect of a recirculation pump that helps to mix the two zones is beneficial if operated at full speed. We prove that the family of minimal time functions depending on the diffusion parameter is decreasing. The second model consists of two zones connected to each other by diffusion and each of them connected to the bioreactor. This is a problem with a non convex velocity set for which it is not possible to directly prove the existence of its solutions. We overcome this difficulty and fully solve the studied problem applying Pontryagin's principle to the associated problem with relaxed controls, obtaining a feedback control that treats the most polluted zone up to the homogenization of the two concentrations. We also obtain explicit bounds on its value function via Hamilton-Jacobi-Bellman techniques. We prove that the minimal time function is nonmonotone as a function of the diffusion parameter. The third model consists of a system of two zones connected to the bioreactor in series, and a recirculation pump between them. The control set depends on the state variable; we show that this constraint is active from some time up to the final time. We show that the optimal control consists of waiting up to a time from which it is optimal the mixing at maximum speed, and then to repollute the second zone with the concentration of the first zone. This is a non intuitive result. Numerical simulations illustrate the theoretical results, and the obtained optimal strategies are tested in hydrodynamic models, showing to be good approximations of the solution of the inhomogeneous problem. The second part consists of the development and study of a stochastic model of sequencing batch reactor. We obtain the model as a limit of birth and death processes. We establish the existence and uniqueness of solutions of the controlled equation that does not satisfy the usual assumptions. We prove that with any control law the probability of extinction is positive, which is a non classical result. We study the problem of the maximization of the probability of attaining a target pollution level, with the reactor at maximum capacity, prior to extinction. This problem does not satisfy any of the usual assumptions (non Lipschitz dynamics, degenerate locally H"older diffusion parameter, restricted state space, intersecting reach and avoid sets), so the problem must be studied in two stages: first, we prove the continuity of the uncontrolled cost function for initial conditions with maximum volume, and then we develop a dynamic programming principle for a modification of the problem as an optimal control problem with final cost and without state constraint.

Cette thèse porte sur un problème couplé des lanceurs, à savoir une manœuvre de l'attitude couplée avec la trajectoire minimisant le temps de manœuvre. La difficulté de ce problème vient essentiellement du phénomène de chattering et du couplage des dynamiques n'ayant pas la même échelle de temps. Avec une analyse géométrique des extrémales venant de l'application du principe du maximum de pontryagin, nous donnons des conditions suffisantes sous lesquelles le phénomène de chattering se produit, pour des systèmes affines bi-entrée. Nons appliquons ensuite ce résultat à notre problème, et montrons que le phénomène de chattering arrive pour les trajectoires optimales, pour certaines données terminales. A l'aide de cette analyse théorique préliminaire, nous mettons en œuvre une méthode de résolution indirecte efficace, combinée à une méthode de continuation prédicteur-correcteur. En cas de chattering, deux stratégies sous-optimales sont proposées: soit une méthode directe dont le contrôle est approché par un contrôle constant par morceaux, soit en stoppant la continuation avant l'échec dû au chattering. Avec le tir multiple et plusieurs paramètres de continuations supplémentaires, cette méthode de résolution est appliquée à chercher une manœuvre de pull-up avec des contraintes sur l'état en minimisant le temps-énergie pour des lanceurs aéroportés. Les résultats numériques permettent de mettre en évidence l'efficacité et la robustesse de notre méthode de résolution. / In this thesis, we investigate the minimum time control problem for the control and guidance of a launch vehicle, whose motion is described by its attitude kinematics and dynamics but also by its trajectory dynamics. The difficulty of this problem is essentially due to the chattering phenomenon and to the coupling of dynamics of different time scales. With a refined geometric study of the extremals coming from the application of the pontryagin maximum principle, we establish a general result for bi-input control-affine systems, providing sufficient conditions under which the chattering phenomenon occurs. We show how this result can be applied to our problem. Based on this preliminary theoretical analysis, we implement an efficient indirect numerical method, combined with numerical predictor-corrector continuation, in order to compute numerically the optimal solutions of the problem. In case of chattering, two sub-optimal strategies are designed: one is a direct method in which the control is approximated by a piecewise constant control, and the other consists of stopping the continuation procedure before its failure due to chattering. With several additional numerical continuation steps, we apply finally the developed indirect approach to the minimum time-energy pull-up maneuver problem, in which state constraints are also considered, for airborne launchers. Numerical simulations illustrate the efficiency and robustness of our method.

L'objectif de ce manuscrit est de présenter mes travaux concernant la modélisation des ablations thermiques par ultrasons focalisés. La méthode de simulation du faisceau acoustique, fondée sur l'utilisation de la bibliothèque k-Wave, est appliquée à un cas concret de propagation des ultrasons à travers une couche de tissu superficiel. Des mesures à l'hydrophone réalisées dans différentes configurations sur des échantillons biologiques fournissent une validation en régime linéaire. A partir de ces résultats, l'influence des tissus superficiels sur la focalisation est évaluée en fonction de la géométrie du problème grâce à des simulations non linéaires.La modélisation thermique des traitements est ensuite discutée avec la volonté de réaliser des simulations thermiques réellement quantitatives. En particulier, un modèle équivalent de la déposition de chaleur en présence d'ébullition est proposé et validé grâce à l'utilisation de données expérimentales originales, diversifiées et peu coûteuses à acquérir.Finalement, un algorithme d'optimisation fondé sur le principe du maximum de Pontryagin est proposé afin d'optimiser la durée des traitements. L'approche étudiée consiste à optimiser la trajectoire du point focal pour maximiser l'efficacité de la déposition de chaleur. A travers une série d'exemples, les avantages et les limites de l'algorithme proposé sont discutés. / This manuscript aims at discussing the complex issue of modeling high-intensity focused ultrasound thermal ablations. An acoustical simulation method, based on the use of the k-Wave library, is described and applied to the description of the interaction between the acoustic beam and the superficial tissue layers. It is validated in the linear domain based on hydrophone measurements realized in different configurations with biological samples. Nonlinear simulations are subsequently used to evaluate the influence of the tissue geometry on the beam focusing.The thermal modeling of the treatment is then discussed with intent to design a truly quantitative model. An equivalent model of the modified heat deposition pattern in presence of boiling is presented and validated based on the use of original, diverse and unexpensive data.Finally, an algorithm is proposed to optimize the focal spot trajectory in order to maximize the heat deposition efficiency, thus reducing treatment time. The advantages and the limits of the approach are discussed based on different examples.

La locomotion anthropomorphe est un processus complexe qui met en jeu un très grand nombre de degrés de liberté, le corps humain disposant de plus de trois cents articulations contre une trentaine chez les robots humanoïdes. Pris dans leur ensemble, ces degrés de liberté montrent une certaine cohérence rendant possible la mise en mouvement du système anthropomorphe et le maintien de son équilibre, dans le but d'éviter la chute. Cette thèse met en lumière les fondements calculatoires à l'origine de cette orchestration. Elle introduit un cadre mathématique unifié permettant à la fois l'étude de la locomotion humaine, et la génération de trajectoires locomotrices pour les robots humanoïdes. Ce cadre consiste en une réduction de la dynamique corps-complet du système pour ne considérer que sa projection autour du centre de gravité, aussi appelée dynamique centroïdale. Bien que réduite, nous montrons que cette dynamique centroïdale joue un rôle central dans la compréhension et la formation des mouvements locomoteurs. Pour ce faire, nous établissons dans un premier temps les conditions d'observabilité de cette dynamique, c'est-à-dire que nous montrons dans quelle mesure cette donnée peut être appréhendée à partir des capteurs couramment employés en biomécanique et en robotique. Forts de ces conditions d'observabilité, nous proposons un estimateur capable de reconstruire la position non-biaisée du centre de gravité. A partir de cet estimateur et de l'acquisition de mouvements de marche sur divers sujets, nous mettons en évidence la présence d'un motif cycloïdal du centre de gravité dans le plan sagittal lorsque l'humain marche de manière nominale, c'est-à-dire sans y penser. La présence de ce motif suggère l'existence d'une synergie motrice jusqu'alors ignorée, soutenant la théorie d'une coordination générale des mouvements pendant la locomotion. La dernière contribution de cette thèse porte sur la locomotion multi-contacts. Les humains ont une agilité remarquable pour effectuer des mouvements locomoteurs qui nécessitent l'utilisation conjointe des bras et des jambes, comme lors de l'ascension d'une paroi rocheuse. Comment doter les robots humanoïdes de telles capacités ? La difficulté n'est certainement pas technologique, puisque les robots actuels sont capables de développer des puissances mécaniques suffisantes. Leurs performances, évaluées tant en termes de qualité des mouvements que de temps de calcul, restent très limitées. Dans cette thèse, nous abordons le problème de génération de trajectoires multi-contacts sous la forme d'un problème de commande optimale. L'intérêt de cette formulation est de partir du modèle réduit de la dynamique centroïdale tout en répondant aux contraintes d'équilibre. L'idée originale consiste à maximiser la vraisemblance de cette dynamique réduite vis-à-vis de la dynamique corps-complet. Elle repose sur l'apprentissage d'une mesure d'occupation qui reflète les capacités cinématiques et dynamiques du robot. Elle est effective : l'algorithmique qui en découle est compatible avec des applications temps réel. L'approche a été évaluée avec succès sur le robot humanoïde HRP-2, sur plusieurs modes de locomotions, démontrant ainsi sa polyvalence. / Anthropomorphic locomotion is a complex process that involves a very large number of degrees of freedom, the human body having more than three hundred joints against thirty in humanoid robots. Taken as a whole, these degrees of freedom show a certain coherence making it possible to set the anthropomorphic system in motion and maintain its equilibrium, in order to avoid falling. This thesis highlights the computational foundations behind this orchestration. It introduces a unified mathematical framework allowing both the study of human locomotion and the generation of locomotive trajectories for humanoid robots. This framework consists of a reduction of the body-complete dynamics of the system to consider only its projection around the center of gravity, also called centroid dynamics. Although reduced, we show that this centroidal dynamics plays a central role in the understanding and formation of locomotive movements. To do this, we first establish the observability conditions of this dynamic, that is to say that we show to what extent this data can be apprehended from sensors commonly used in biomechanics and robotics. Based on these observability conditions, we propose an estimator able to reconstruct the unbiased position of the center of gravity. From this estimator and the acquisition of walking motions on various subjects, we highlight the presence of a cycloidal pattern of the center of gravity in the sagittal plane when the human is walking nominally, that is, to say without thinking. The presence of this motif suggests the existence of a motor synergy hitherto unknown, supporting the theory of a general coordination of movements during locomotion. The last contribution of this thesis is on multi-contact locomotion. Humans have remarkable agility to perform locomotive movements that require joint use of the arms and legs, such as when climbing a rock wall. How to equip humanoid robots with such capabilities? The difficulty is certainly not technological, since current robots are able to develop sufficient mechanical powers. Their performances, evaluated both in terms of quality of movement and computing time, remain very limited. In this thesis, we address the problem of generating multi-contact trajectories in the form of an optimal control problem. The interest of this formulation is to start from the reduced model of centroid dynamics while responding to equilibrium constraints. The original idea is to maximize the likelihood of this reduced dynamic with respect to body-complete dynamics. It is based on learning a measurement of occupation that reflects the kinematic and dynamic capabilities of the robot. It is effective: the resulting algorithmic is compatible with real-time applications. The approach has been successfully evaluated on the humanoid robot HRP-2, on several modes of locomotion, thus demonstrating its versatility.

Résumé : Depuis la fin du XXème siècle, l’augmentation du prix du pétrole brut et les problématiques environnementales poussent l’industrie automobile à développer des technologies plus économes en carburant et générant moins d’émissions de gaz à effet de serre. Parmi ces technologies, les véhicules électriques hybrides constituent une solution viable et performante. En alliant un moteur électrique et un moteur à combustion, ces véhicules possèdent un fort potentiel de réduction de la consommation de carburant sans sacrifier son autonomie. La présence de deux moteurs et de deux sources d’énergie requiert un contrôleur, appelé système de gestion d’énergie, responsable de la commande simultanée des deux moteurs. Les performances du véhicule en matière de consommation dépendent en partie de la conception de ce contrôleur. Les véhicules électriques hybrides rechargeables, plus récents que leur équivalent non rechargeable, se distinguent par l’ajout d’un chargeur interne permettant la recharge de la batterie pendant l’arrêt du véhicule et par conséquent la décharge de celle-ci au cours d’un trajet. Cette particularité ajoute un degré de complexité pour ce qui est de la conception du système de gestion d’énergie. Dans cette thèse, nous proposons un modèle complet du véhicule dédié à la conception du contrôleur. Nous étudions ensuite la dépendance de la commande optimale des deux moteurs par rapport au profil de vitesse suivi au cours d’un trajet ainsi qu’à la quantité d’énergie électrique disponible au début d’un trajet. Cela nous amène à proposer une technique d’auto-apprentissage visant l’amélioration de la stratégie de gestion d’énergie en exploitant un certain nombre de données enregistrées sur les trajets antérieurs. La technique proposée permet l’adaptation de la stratégie de contrôle vis-à-vis du trajet en cours en se basant sur une pseudo-prédiction de la totalité du profil de vitesse. Nous évaluerons les performances de la technique proposée en matière de consommation de carburant en la comparant avec une stratégie optimale bénéficiant de la connaissance exacte du profil de vitesse ainsi qu’avec une stratégie de base utilisée couramment dans l’industrie. // Abstract : Since the end of the XXth century, the increase in crude oil price and the environmental concerns lead the automotive industry to develop technologies that can improve fuel savings and decrease greenhouse gases emissions. Among these technologies, the hybrid electric vehicles stand as a reliable and efficient solution. By combining an electrical motor and an internal combustion engine, these vehicles can bring a noticeable improvement in terms of fuel consumption without sacrificing the vehicle autonomy. The two motors and the two energy storage systems require a control unit, called energy management system, which is responsible for the command decision of both motors. The vehicle performances in terms of fuel consumption greatly depend on this control unit. The plug-in hybrid electric vehicles are a more recent technology compared to their non plug-in counterparts. They have an extra internal battery charger that allows the battery to be charged during OFF state, implying a possible discharge during a trip. This particularity adds complexity when it comes to the design of the energy management system. In this thesis, a complete vehicle model is proposed and used for the design of the controller. A study is then carried out to show the dependence between the optimal control of the motors and the speed profile followed during a trip as well as the available electrical energy at the beginning of a trip. According to this study, a self-learning optimization technique that aims at improving the energy management strategy by exploiting some driving data recorded on previous trips is proposed. The technique allows the adaptation of the control strategy to the current trip based on a pseudo-prediction of the total speed profile. Fuel consumption performances for the proposed technique will be evaluated by comparing it with an optimal control strategy that benefits from the exact a priori knowledge of the speed profile as well as a basic strategy commonly used in industry.

Depuis ces trente dernières années, les systèmes d'observation de la Terre et les modèles numériques se sont perfectionnés et complexifiés pour nous fournir toujours plus de données, réelles et numériques. Ces données, de nature très diverse, forment maintenant un ensemble conséquent d'informations précises mais hétérogènes sur les structures et la dynamique des fluides géophysiques. Dans les années 1980, des méthodes d'optimisation, capables de combiner les informations entre elles, ont permis d'estimer les paramètres des modèles numériques et d'obtenir une meilleure prévision des courants marins et atmosphériques. Ces méthodes puissantes, appelées assimilation variationnelle de données, peinent à tirer profit de la toujours plus grande complexité des informations de par le manque de puissance de calcul disponible. L'approche, que nous développons, s'intéresse à l'utilisation des méthodes multigrilles, jusque là réservées à la résolution de systèmes d'équations différentielles, pour résoudre l'assimilation haute résolution de données. Les méthodes multigrilles sont des méthodes de résolution itératives, améliorées par des corrections calculées sur des grilles de plus basses résolutions. Nous commençons par étudier dans le cas d'un modèle linéaire la robustesse de l'approche multigrille et en particulier l'effet de la correction par grille grossière. Nous dérivons ensuite les algorithmes multigrilles dans le cadre non linéaire. Les deux types d'algorithmes étudiés reposent d'une part sur la méthode de Gauss Newton multigrille et d'autre part sur une méthode sans linéarisation globale : le Full Approximation Scheme (FAS). Ceux-ci sont appliqués au problème de l'assimilation variationnelle de données dans le cadre d'une équation de Burgers 1D puis d'un modèle Shallow-water 2D. Leur comportement est analysé et comparé aux méthodes plus traditionnelles de type incrémentale ou multi-incrémentale.

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Cette thèse traite le développement d'un modèle mathématique d'optimisation acoustique des trajectoires de vol de deux avions commerciaux en approche sous contrainte énergétique, aérodynamique et opérationnelle. C'est un modèle analytique de contrôle optimal non-linéaire et non-convexe régi par un système d'équations différentielles ordinaires issues de la dynamique de vol et des contraintes associées. Notre contribution porte sur la modélisation mathématique des équations, l'optimisation et la programmation algorithmique d'un modèle d'optimisation non-linéaire du bruit de deux avions en approche simultanée. Les points abordés sont le développement mathématique du modèle 3D "exact" de leur dynamique de vol, la modélisation mathématique de la commande optimale de ce système dynamique, l'introduction de la consommation du carburant par les avions comme une équation différentielle avec une fonction consommation spécifique variable en fonction de l'évolution de leur dynamique, la modélisation mathématique instantanée de la fonction objectif représentant le bruit global des deux avions en approche. Sa résolution porte sur la méthode directe de programmation séquentielle quadratique avec régions de confiance sous AMPL et KNITRO. Une méthode indirecte a été appliquée sous le principe de maximum de Pontryagin suivie d'une discrétisation de type Runge-Kutta partition-née symplectique d'ordre 4 afin de démontrer la commutation entre l'approche directe et l'approche indirecte. Les résultats obtenus confirment des trajectoires optimales en descente continue, réduisant le bruit au sol ainsi que la consommation de kérosène de deux avions