Dans la première partie de cette thèse, on considère les extensions cycliques simples K_m/Q de degré 4. Ces dernières sont les extensions quartiques définies par les polynômes irréductibles x^4-mx^3-6x^2+mx+1, où m est un entier tel que la partie impaire de m^2+16 est sans facteur carré. Nous étudions l'indice I(K_m) et déterminons la décomposition explicite des nombres premiers dans l'extension K_m/Q. Ensuite, nous calculons une formule asymptotique qui donne le nombre des K_m ayant le même indice, avec discriminant inférieur ou égal à x. Dans la seconde partie, nous étudions l'entier suivant introduit par Gunji et McQuillan : i(K)=ppcm{i(\theta} où i(\theta}=pgcd{F(x), x dans Z et F le polynôme caractéristique de \theta }. Nos principaux résultats pour cette partie sont les suivants : 1. Si p est un nombre premier inférieur ou égal à n, alors il existe un corps de nombres K de degré n tel que p divise i(K). 2. Nous calculons i(K) pour les corps de nombres cubiques, et nous déterminons I(K)$ et $i(K)$ pour des familles de corps de nombres de degré inférieur ou égal à 6. 3. Soit p un nombre premier. Nous prouvons que le type de décomposition de p dans O_K ne suffit pas pour déterminer complètement la valuation p-adique v_p(i(K)). Pour cela, nous donnons des exemples de deux corps de nombres K_1 et K_2 de degré 6, tels que le type de décomposition de 2 est P_1P_2 mais v_2(i(K_1)) est différente v_2(i(K_2)). 4. Nous répondons à deux questions posées dans par plusieurs auteurs. On étudie aussi une conjecture. Dans la dernière partie, nous appliquons les résultats sur l'indice des corps de nombres cubiques pour la résolution des équations cubiques de Thue ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3= k ainsi nous donnons des applications pour résoudre des formes homogènes cubiques et des courbes elliptiques. / In the first part, we consider the simplest quartic number fields K_m defined by the irreducible quartic polynomialsx^4-mx^3-6x^2+mx+1, where m runs over the positive rational integers such that the odd part of m^2+16 is square free. We study the index I( K_m) and determine the explicit prime ideal factorization of rational primes in simplest quartic number fields K_m. On the other hand, we establish an asymptotic formula for the number of simplest quartic fields with discriminant less than or equal to x and given index. In the second Part, we study the next integer introduced by Gunji and McQuillan : i(K)=lcm{i(\theta} where i(\theta}=gcd{F(x), x in Z and F is caractéristic polynomial de \theta } . Our main results for this part are:1. If p is a prime number less than or equal to n then there exists a number field K of degree n for which p divides i(K).2. We compute i(K) for cubic fields and we determine I(K) and i(K) for families of simplest number fields of degree less than 7.3. Let p be a prime number. We prove that p-adic valuation v_p(i(K)) is not determined only by the splitting type of p in O_K, we give examples of number fields K_1 and K_2 of degree 6 in which the prime 2 has the same splitting type P_1P_2 but v_2(i(K_1)) is different to v_2(i(K_2)).4. We give answers to the important questions. Furthermore, we discuss their conjecture.We investigate the index of algebraic integers in cubic number fields. Let a,b,c,d and k be integers. We then solve the following Thue cubic equations:ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3= k and we give applications to resolve the famous parametric families of cubic Thue equations, homogeneous Diophantine equations and twist elliptic curves.

La présente étude vise à vérifier la conjecture faite par B. Gross relative à l'existence de corps de nombres de groupe de Galois non résoluble et ramifiés en un unique premier p < 11.<br />À travers ce travail, nous nous intéressons au cas des corps de nombres de degré n ≤ 9. Après quelques rappels généraux sur les outils utilisés, on présente les méthodes pratiques permettant de vérifier cette conjecture.<br />Les travaux de J. Jones ont montré que les corps de nombres de degré 5 et 6 vérifiant ces types de ramification ont tous un groupe de Galois résoluble.<br />Dans le cas du degré 7, S. Brueggeman a abouti au même résultat que le travail sus cité.<br />Nos travaux dans le cas des degrés 8 et 9 montrent que sous GRH ou de façon inconditionnelle, la ramification en 5 n'est pas possible. À l'issue des recherches numériques, les seules tables obtenues sont celles de la ramification en p = 2 en degré 8 et celles de la ramification en p = 3 en degré 9. Les corps obtenus ont tous un groupe de Galois résoluble, montrant ainsi que cette conjecture de B. Gross n'est pas vérifiée pour les corps de nombres de degré n ≤ 9.

La réalisation de Hodge du polylogarithme d'un schéma abélien complexe de dimension g est une (2g-1)-extension de modules de Hodge. Lorsque le schéma abélien est principalement polarisé, on en donne une description au niveau topologique. Pour cela, on utilise des courants de type "courants de Green" introduits par Levin. On applique alors ce résultat aux familles modulaires de Hilbert-Blumenthal pour montrer que certaines classes d'Eisenstein (construites à partir du polylogarithme et d'une section de torsion) dégénèrent, en l'infini, en une valeur spéciale de fonction L du corps de nombres totalement réel sous-jacent. On en déduit deux autres résultats : une version partielle du théorème de Klingen-Siegel et un résultat de non nullité pour certaines de ces classes d'Eisenstein. Ainsi, on montre que pour tout entier g plus grand que 2, il existe un schéma abélien complexe de dimension g tel que certaines de ses classes d'Eisenstein soient non nulles.

Dans cette thèse, nous nous intéressons au calcul du groupe de classes d'un corps de nombres. Nous débutons par décrire un algorithme de réduction du polynôme de définition d'un corps de nombres. Il existe une infinité de polynômes qui définissent un corps de nombres fixé, avec des coefficients arbitrairement gros. Notre algorithme calcule celui qui a les plus petits coefficients. L'avantage de connaître un petit polynôme de définition est qu'il simplifie les calculs entre éléments de ce corps de nombres, en impliquant des quantités plus petites. En outre, la connaissance d'un tel polynôme permet l'utilisation d'algorithmes plus efficaces que dans le cas général pour calculer le groupe de classes. L'algorithme général pour calculer la structure du groupe de classes repose sur la réduction d'idéaux, vus comme des réseaux. Nous décrivons et simplifions l'algorithme présenté par Biasse et Fieker en 2014 à ANTS et approfondissons l'analyse de complexité. Nous nous sommes aussi intéressés au cas des corps de nombres définis par un polynôme à petits coefficients. Nous décrivons un algorithme similaire au crible par corps de nombres (NFS) dont la complexité en fonction des paramètres du corps de nombres peut atteindre L(1/3). Enfin, nos algorithmes peuvent être adaptés pour résoudre un problème lié : le Problème de l'Idéal Principal. Étant donné n'importe quelle base d'un idéal principal (généré par un seul élément), nous sommes capables de retrouver ce générateur. Cette application de nos algorithmes fournit une attaque efficace contre certains schémas de chiffrement homomorphe basés sur ce problème. / In this thesis, we focus on class group computations in number fields. We start by describing an algorithm for reducing the size of a defining polynomial of a number field. There exist infinitely many polynomials that define a specific number field, with arbitrarily large coefficients, but our algorithm constructs the one that has the absolutely smallest coefficients. The advantage of knowing such a ``small'' defining polynomial is that it makes calculations in the number field easier because smaller values are involved. In addition, thanks to such a small polynomial, one can use specific algorithms that are more efficient than the general ones for class group computations. The generic algorithm to determine the structure of a class group is based on ideal reduction, where ideals are viewed as lattices. We describe and simplify the algorithm presented by Biasse and Fieker in 2014 at ANTS and provide a more thorough complexity analysis for~it. We also examine carefully the case of number fields defined by a polynomial with small coefficients. We describe an algorithm similar to the Number Field Sieve, which, depending on the field parameters, may reach the hope for complexity L(1/3). Finally, our results can be adapted to solve an associated problem: the Principal Ideal Problem. Given any basis of a principal ideal (generated by a unique element), we are able to find such a generator. As this problem, known to be hard, is the key-point in several homomorphic cryptosystems, the slight modifications of our algorithms provide efficient attacks against these cryptographic schemes.

Des formules en termes élémentaires de la Théorie des Nombres pour les nombres de classes de conjugaison de sous-groupes finis dans le groupe de norme 1 des ordres maximaux d'algèbres de quaternions sont établies.

L'objet de cette thèse est l'obtention de résultats uniformes sur l'image des représentations galoisiennes associées aux points de torsion des courbes elliptiques possédant une isogénie de degré premier. <br /><br />Le cadre se compose d'un corps de nombres K différent de Q et galoisien sur Q, d'une courbe elliptique E définie sur K et d'un nombre premier p ; on suppose que la courbe E possède une isogénie de degré p définie sur K.<br /><br />On détermine explicitement un nombre réel C(K), ne dépendant que du corps de nombres K, tel que si p est choisi strictement supérieur à C(K), alors l'image de la représentation galoisienne associée aux points de p-torsion de E contient les homothéties qui sont des puissances douzièmes. Ce résultat complète des travaux précédents d'Eckstein sur les homothéties dans l'image des représentations galoisiennes associées aux points de torsion des courbes elliptiques.<br /><br />La méthode employée est celle de Momose pour l'étude du caractère donnant l'action du groupe de Galois absolu de K sur le sous-groupe d'isogénie d'ordre p ("caractère d'isogénie").<br />Pour p strictement plus grand que C(K), on obtient deux formes possibles précises pour ce caractère d'isogénie : soit sa puissance douzième est égale au caractère cyclotomique à la puissance 6 ; soit il lui est naturellement associé un corps quadratique imaginaire et sa puissance douzième présente des similarités avec celle d'un caractère provenant d'une courbe elliptique à multiplication complexe.

L'objet de cette thèse est double. Tout d'abord elle vise à répondre à certaines questions relatives aux notions de spectres euclidien et inhomogène (pour la norme) d'un corps de nombres, et notamment à celles qui concernent son minimum euclidien (pour la norme). Nous établissons en particulier que pour tout corps de nombres K, le minimum euclidien de K, noté M(K), est égal à son minimum inhomogène M(\overline{K}), et que si le rang du groupe des unités de K est strictement supérieur à 1, les spectres euclidiens et inhomogènes de K sont égaux et rationnels lorsque K n'est pas CM. Les résultats que nous établissons sous l'hypothèse r > 1 ont pour conséquence la décidabilité de l'euclidianité pour la norme. <br />Nous montrons également comment calculer explicitement M(K). Nous décrivons un algorithme pour le cas où K est totalement réel, qui a permis de construire des tables jusqu'au degré 8 ; nous indiquons comment le transposer à des corps de nombres quelconques. En outre, cet algorithme a permis de trouver de nombreux exemples de corps de nombres principaux, non euclidiens pour la norme et euclidiens en deux étapes.

Nous étudions l'euclidianité des corps de nombres pour la norme et quelques unes de ses généralisations. Nous donnons en particulier un algorithme qui calcule le minimum euclidien d'un corps de nombres de signature quelconque. Cela nous permet de prouver que de nombreux corps sont euclidiens ou non pour la norme. Ensuite, nous appliquons cet algorithme à l'étude des classes euclidiennes pour la norme, ce qui permet d'obtenir de nouveaux exemples de corps de nombres avec une classe euclidienne non principale. Par ailleurs, nous déterminons tous les corps cubiques purs avec une classe euclidienne pour la norme. Enfin, nous nous intéressons aux corps de quaternions euclidiens. Après avoir énoncé les propriétés de base, nous étudions quelques cas particuliers. Nous donnons notamment la liste complète des corps de quaternions euclidiens et totalement définis sur un corps de nombres de degré au plus deux.

Dans cette thèse, on étudie les représentations 2-dimensionnelles continues du groupe de Galois absolu d'une clôture algébrique fixée de Q sur les corps finis qui sont modulaires et leurs images. Ce manuscrit se compose de deux parties.Dans la première partie, on étudie un problème local-global pour les courbes elliptiques sur les corps de nombres. Soit E une courbe elliptique sur un corps de nombres K, et soit l un nombre premier. Si E admet une l-isogénie localement sur un ensemble de nombres premiers de densité 1 alors est-ce que E admet une l-isogénie sur K ? L'étude de la repréesentation galoisienne associéee à la l-torsion de E est l'ingrédient essentiel utilisé pour résoudre ce problème. On caractérise complètement les cas où le principe local-global n'est pas vérifié, et on obtient une borne supérieure pour les valeurs possibles de l pour lesquelles ce cas peut se produire.La deuxième partie a un but algorithmique : donner un algorithme pour calculer les images des représentations galoisiennes 2-dimensionnelles sur les corps finis attachées aux formes modulaires. L'un des résultats principaux est que l'algorithme n'utilise que des opérateurs de Hecke jusqu'à la borne de Sturm au niveau donné n dans presque tous les cas. En outre, presque tous les calculs sont effectués en caractéristique positive. On étudie la description locale de la représentation aux nombres premiers divisant le niveau et la caractéristique. En particulier, on obtient une caractérisation précise des formes propres dans l'espace des formes anciennes en caractéristique positive.On étudie aussi le conducteur de la tordue d'une représentation par un caractère et les coefficients de la forme de niveau et poids minimaux associée. L'algorithme est conçu à partir des résultats de Dickson, Khare-Wintenberger et Faber sur la classification, à conjugaison près, des sous-groupes finis de $\PGL_2(\overline{\F}_\ell)$. On caractérise chaque cas en donnant une description et des algorithmes pour le vérifier. En particulier, on donne une nouvelle approche pour les représentations irréductibles avec image projective isomorphe soit au groupe symétrique sur 4 éléments ou au groupe alterné sur 4 ou 5 éléments.

Soit p un nombre premier, soit K/k une extension galoisienne finie de corps de nombres de degré premier à p et soit S un ensemble fini de premiers de k. Le groupe de Galois G(K,S) de la pro-p extension maximale de K non ramifiée en dehors de S est l'objet central de ce mémoire.On se place dans un premier temps dans le cas modéré : on suppose que S ne contient pas les places divisant p. Les travaux combinés de Labute, Minac et Schmidt sur les pro-p groupes mild ont permis d'exhiber les premiers exemples de groupes G(K,S) de dimension cohomologique 2. En implémentant un corollaire de leur critère dans le logiciel PARI/GP, on observe un phénomène de propagation : si k=Q et si le groupe G(Q,S) est mild, un fort pourcentage des groupes G(K,S) l'est également, pour K quadratique imaginaire. En associant au groupe G(K,S) deux graphes orientés dont les arcs sont définis par la ramification dans des extensions p-élémentaires, on démontre un critère théorique pour que ce phénomène de propagation ait lieu.On considère ensuite le cas sauvage : toutes les places au-dessus de p sont contenues dans S. Le groupe de Galois Δ:=Gal(K/k) agit sur G(K,S) ; on note G le plus grand quotient de G(K,S) sur lequel Δ agit trivialement et H le sous-groupe fermé de G(K,S) correspondant. Maire a étudié la liberté du Zp[[G]]-module H^{ab}. Nous poussons plus loin ses résultats en considérant les φ-composantes de H^{ab} sous l'action de Δ. Sous de bonnes hypothèses et sous la conjecture de Leopoldt, on démontre une condition nécessaire et suffisante pour que les φ-composantes soient libres ou non. La théorie du corps de classes permet de ramener cette condition à l'étude du régulateur normalisé, et donc à la p-rationalité du corps K. Les expérimentations faites sur PARI/GP dans des familles d'extensions cubiques cycliques, diédrales et cycliques de degré 4 du corps des rationnels corroborent une conjecture de Gras selon laquelle tout corps de nombres est p-rationnel pour p suffisant grand. / Let p be a prime number, let K/k be a Galois extension of number fields and let S be a finite set of primes of K. We suppose that the degree of K/k is finite and coprime to p. We denote by G(K,S) the Galois group of the pro-p maximal extension of K unramified outside S. We focus on this thesis on two differents aspects of this pro-p group.We are first interested in the tame case : we suppose that S does not contain any place above p. The works of Labute, Minac and Schmidt about mild pro-p groups brought the first examples of groups G(K,S) of cohomological dimension two. Using a corollary of their criterium, we compute some examples with PARI/GP and we observe a propagation phenomenum : if we take K=Q and if we suppose that G(Q,S) is mild, a large part of the pro-p groups G(K,S) with K imaginary quadratic are mild too. We then associate two oriented graphs to G(K,S) and we show a theoretical criterium proving mildness of some imaginary quadratic fields.We then consider the wild case where all the places dividing p belong to S. The Galois group Δ:=Gal(K/k) acts on G(K,S). The action of Δ is trivial on some quotients of G(K,S) ; we denote by G the maximal one and by H the corresponding closed subgroup of G(K,S). Maire has studied the Zp[[G]]-freeness of the module H^{ab}. We extend his results considering the φ-component of H^{ab} under the action of Δ. In a favourable context and under Leopoldt's conjecture, we show a necessary and sufficient condition for the freeness of the φ-components. This condition is connected to p-rational fields by class field theory. We present experiments with PARI/GP in some families of cubic cyclic, dihedral and quartic cyclic extensions of Q which support the following conjecture from Gras : every number field is p-rational for sufficiently large p.