La recherche d'annulateurs du groupe des classes d'idéaux d'une extension abélienne de Q est un sujet classique et remonte à des travaux de Kummer et Stickelberger. La conjecture de Brumer-Stark porte sur les extensions abéliennes de corps de nombres et prédit qu'un élément de l'anneau de groupe du groupe de Galois, appelé élément de Brumer-Stickelberger, est un annulateur du groupe des classes de l'extension. De plus, elle stipule que les générateurs des idéaux principaux obtenus possèdent des propriétés bien particulières. Cette thèse est dédiée à la généralisation de cette conjecture aux extensions de corps de nombres galoisiennes mais non abéliennes. Dans un premier temps, nous nous focalisons sur l'étude de l'analogue non abélien de l'élément de Brumer, nécessaire à l'établissement d'une conjecture non abélienne. La seconde partie est consacrée à l'énoncé de la conjecture de Brumer-Stark non abélienne et à ses reformulations, ainsi qu'aux propriétés qu'elle vérifie. Nous nous intéressons notamment aux propriétés de changement d'extension. Nous étudions ensuite le cas spécifique des extensions dont le groupe de Galois possède un sous-groupe abélien H distingué d'indice premier. Sous la validité de la conjecture de Brumer-Stark associée à certaines extensions abéliennes, nous en déduisons deux résultats suivant la parité du cardinal de H : dans le cas impair, nous démontrons la conjecture de Brumer-Stark non abélienne, et dans le cas pair, nous établissons un résultat d'abélianité permettant d'obtenir, sous des hypothèses supplémentaires, la conjecture non abélienne. Enfin nous effectuons des vérifications numériques de la conjecture non abélienne permettant de démontrer cette conjecture dans les exemples testés.

Soit E une courbe elliptique sur C ayant multiplication complexe (CM) par l’ordre maximal OK d’un corps quadratique imaginaire K. Le premier théorème principal de la multiplication complexe affirme que le corps K(j(E)), obtenu en adjoignant à K le j-invariant de E, est égal au corps de classes de Hilbert de K, confer Cox [11, Theorem 11.1]. Notons que lorsque E est définie sur Q, le corps de classes de Hilbert K(j(E)) est égal à K et le groupe des classes ClK est trivial. Se pose alors le problème de déterminer les corps quadratiques totalement imaginaires K pour lesquels la courbe elliptique à multiplication complexe par OK correspondante est définie sur Q. De façon équivalente, il s’agit de trouver tous les corps quadratiques imaginaires dont le groupe des classes est trivial. Ce problème est connu sous le nom de problème du nombre de classes 1 de Gauss et a été résolu par Heegner en 1952 [16], Baker en 1967 [2] et Stark en 1967 [41]; les corps quadratiques imaginaires dont le groupe des classes est trivial sont les corps Q(racine carrée−d), où d e {3, 4, 7, 8, 11, 19, 43, 67, 163}. Dans les années ’50, Shimura et Taniyama [39] ont généralisé le premier théorème principal de la multiplication complexe aux variétés abéliennes. On dit qu’une variété abélienne A de dimension g a multiplication complexe si son anneau d’endomorphismes contient un ordre d’un corps CM de degré 2g. Soit K un corps CM de degré 2g et d’ordre maximal OK et soit un type CM de K. Soit A une variété abélienne complexe simplement polarisée de dimension g ayant multiplication complexe par OK. Le premier théorème principal de la multiplication complexe dans ce cadre affirme que le corps de classes H du corps du modules M de la variété abélienne simplement polarisée A est une extension non ramifiée du corps reflex Kr de K. De plus, le corps des classes H correspond au groupe d’idéaux I0(.r) (voir page 17) qui ne dépend que de (K,.), confer Théorème 1.5.6. Notons que le premier théorème de la multiplication complexe implique que si la variété abélienne polarisée A est définie sur Kr, le groupe des classes CM IKr/I0(.r) est trivial. Comme dans le cas des courbes elliptiques, on peut alors chercher à déterminer les couples CM (K,.) pour lesquels les variétés abéliennes correspondantes sont définies sur Kr. De fa¸con équivalente, il s’agit de déterminer les couples CM (K,.) dont le groupe des classes CM, IKr/I0(.r), est trivial. Dans cette thèse, on résout ce problème dans le cas des corps CM quartiques imaginaires (voir Chapitre 2) ainsi que dans celui des corps CM sextiques contenant un corps quadratique imaginaire (voir Chapitre 3). Enfin, on peut se demander quels sont les corps CM pour lesquels la variété abélienne simple à multiplication complexe admet Q comme corps de module. Murabayashi et Umegaki [31] ont déterminé les corps quartiques CM correspondant aux surfaces abéliennes simples à multiplication complexe de corps du module Q. Dans le chapitre 4, on détermine les corps CM sextiques correspondant aux variétés abéliennes simples à multiplication complexe de dimension 3 de corps du module Q. / Let E be an elliptic curve over C with complex multiplication (CM) by the maximal order OK of an imaginary quadratic field K. The first main theorem of complex multiplication for elliptic curves then states that the field extension K(j(E)), obtained by adjoining the j-invariant of E to K, is equal to the Hilbert class field of K, see Theorem 11.1 in Cox [11]. Note that if E is defined over Q, then the Hilbert class field K(j(E)) is equal to K, which implies that the class group ClK is trivial. We can ask for which imaginary quadratic fields K the corresponding elliptic curve with CM by OK is defined over Q. This is equivalent to asking to find all imaginary quadratic fields with trivial class group ClK. This problem is known as Gauss’ class number one problem, which was solved by Heegner in 1952 [16], Baker in 1967 [2], and Stark in 1967 [41]. The imaginary quadratic fields with trivial class group are the fields Q(V−d) with d E {3, 4, 7, 8, 11, 19, 43, 67, 163}. In the 1950’s, Shimura and Taniyama [39] generalized the first main theorem of CM for elliptic curves to abelian varieties. We say that an abelian variety A of dimension g has CM if the endomorphism ring of A contains an order of a CM field of degree 2g. Let K be a CM field of degree 2g with maximal order OK, and let K be a CM type of K. Let A be a polarized simple abelian variety over C of dimension g that has CM by OK. Then the first main theorem of CM says that the field of moduli M of the polarized simple abelian variety A gives an unramified class field H over the reflex field Kr of K. Moreover, the class field H corresponds to the ideal group I0(?r) (see page 17), which only depends on (K,?), see Theorem 1.5.6. Note that the first main theorem of CM implies that if the polarized abelian variety A is defined over Kr, then the CM class group IKr/I0(?r) is trivial. As in the elliptic curve case, we can ask for which CM pairs (K,?) the corresponding CM abelian varieties are defined over Kr. Equivalently, we can ask for which CM pairs (K,?) the CM class group IKr/I0(?r) is trivial. In this thesis we give an answer to this problem for quartic CM fields (see Chapter 2), and for sextic CM fields containing an imaginary quadratic field (see Chapter 3). Furthermore, we can ask for which CM fields the corresponding simple CM abelian varieties have field of moduli Q. Murabayashi and Umegak [31] determined the quartic CM fields that correspond to a simple CM abelian surface with field of moduli Q. In Chapter 4, we determine the sextic CM fields that correspond to a simple CM abelian threefold with field of moduli Q.

Dans cette thèse, nous nous intéressons au calcul du groupe de classes d'un corps de nombres. Nous débutons par décrire un algorithme de réduction du polynôme de définition d'un corps de nombres. Il existe une infinité de polynômes qui définissent un corps de nombres fixé, avec des coefficients arbitrairement gros. Notre algorithme calcule celui qui a les plus petits coefficients. L'avantage de connaître un petit polynôme de définition est qu'il simplifie les calculs entre éléments de ce corps de nombres, en impliquant des quantités plus petites. En outre, la connaissance d'un tel polynôme permet l'utilisation d'algorithmes plus efficaces que dans le cas général pour calculer le groupe de classes. L'algorithme général pour calculer la structure du groupe de classes repose sur la réduction d'idéaux, vus comme des réseaux. Nous décrivons et simplifions l'algorithme présenté par Biasse et Fieker en 2014 à ANTS et approfondissons l'analyse de complexité. Nous nous sommes aussi intéressés au cas des corps de nombres définis par un polynôme à petits coefficients. Nous décrivons un algorithme similaire au crible par corps de nombres (NFS) dont la complexité en fonction des paramètres du corps de nombres peut atteindre L(1/3). Enfin, nos algorithmes peuvent être adaptés pour résoudre un problème lié : le Problème de l'Idéal Principal. Étant donné n'importe quelle base d'un idéal principal (généré par un seul élément), nous sommes capables de retrouver ce générateur. Cette application de nos algorithmes fournit une attaque efficace contre certains schémas de chiffrement homomorphe basés sur ce problème. / In this thesis, we focus on class group computations in number fields. We start by describing an algorithm for reducing the size of a defining polynomial of a number field. There exist infinitely many polynomials that define a specific number field, with arbitrarily large coefficients, but our algorithm constructs the one that has the absolutely smallest coefficients. The advantage of knowing such a ``small'' defining polynomial is that it makes calculations in the number field easier because smaller values are involved. In addition, thanks to such a small polynomial, one can use specific algorithms that are more efficient than the general ones for class group computations. The generic algorithm to determine the structure of a class group is based on ideal reduction, where ideals are viewed as lattices. We describe and simplify the algorithm presented by Biasse and Fieker in 2014 at ANTS and provide a more thorough complexity analysis for~it. We also examine carefully the case of number fields defined by a polynomial with small coefficients. We describe an algorithm similar to the Number Field Sieve, which, depending on the field parameters, may reach the hope for complexity L(1/3). Finally, our results can be adapted to solve an associated problem: the Principal Ideal Problem. Given any basis of a principal ideal (generated by a unique element), we are able to find such a generator. As this problem, known to be hard, is the key-point in several homomorphic cryptosystems, the slight modifications of our algorithms provide efficient attacks against these cryptographic schemes.

Le but de ce travail est de montrer comment la théorie des systèmes d'Euler permet de comparer, dans certaines extensions abéliennes, le module galoisien des unités globales modulo unités de Stark avec le module galoisien des p-classes d'idéaux. On ne s'intéresse ici qu'aux extensions abéliennes ayant pour corps de base k un corps quadratique imaginaire, ou un corps global de caractéristique non nulle. La conjecture de Gras prévoit que pour toute extension abélienne finie K/k, tout nombre premier p premier à [K : k], et tout Qp-caractère ψ irréductible et non trivial de Gal (K/k), les ψ-parties du groupe des p-classes de K et du groupe des unités de K modulo le groupe des unités de Stark ont le même cardinal. Après avoir démontré une version faible de la conjecture, nous reprenons la méthode des systèmes d'Euler afin d'étendre les résultats obtenus entre autres par Rubin, Xu et Zhao. Ensuite nous nous plaçons dans le cas où k est un corps quadratique imaginaire uniquement, et nous considérons une certaine Zp-extension k∞ de k, où p est un nombre premier différent de 2 et 3, décomposé dans k. Nous démontrons que pour toute extension finie K∞ de k∞ abélienne sur k, et tout Cp-caractère irréductible χ du sous-groupe de torsion de Gal(K∞/k), les idéaux caractéristiques des χ-quotients du module des p-classes et du module des unités modulo unités de Stark sont les mêmes. Il s'agit d'une des versions de la conjecture principale de la théorie d'Iwasawa, qui élargit un résultat de Rubin et Bley. C'est aussi une étape pour un travail ultérieur, où nous étendons un résultat de Rubin concernant la conjecture principale à deux variables

Le but de ce travail est de montrer comment la théorie des systèmes d’Euler permet de comparer, dans certaines extensions abéliennes, le module galoisien des unités globales modulo unités de Stark avec le module galoisien des p-classes d’idéaux. On ne s’intéresse ici qu’aux extensions abéliennes ayant pour corps de base k un corps quadratique imaginaire, ou un corps global de caractéristique non nulle. La conjecture de Gras prévoit que pour toute extension abélienne finie K/k, tout nombre premier p premier à [K : k], et tout Qp-caractère ψ irréductible et non trivial de Gal (K/k), les ψ-parties du groupe des p-classes de K et du groupe des unités de K modulo le groupe des unités de Stark ont le même cardinal. Après avoir démontré une version faible de la conjecture, nous reprenons la méthode des systèmes d’Euler afin d’étendre les résultats obtenus entre autres par Rubin, Xu et Zhao. Ensuite nous nous plaçons dans le cas où k est un corps quadratique imaginaire uniquement, et nous considérons une certaine Zp-extension k∞ de k, où p est un nombre premier différent de 2 et 3, décomposé dans k. Nous démontrons que pour toute extension finie K∞ de k∞ abélienne sur k, et tout Cp-caractère irréductible χ du sous-groupe de torsion de Gal(K∞/k), les idéaux caractéristiques des χ-quotients du module des p-classes et du module des unités modulo unités de Stark sont les mêmes. Il s'agit d'une des versions de la conjecture principale de la théorie d’Iwasawa, qui élargit un résultat de Rubin et Bley. C'est aussi une étape pour un travail ultérieur, où nous étendons un résultat de Rubin concernant la conjecture principale à deux variables / The goal of this work is to show how Euler systems allows us to compare, for some abelian extensions, the Galois module of global units modulo Stark units with the Galois module of ideal p-classes. We restricts ourselves to abelian extensions over a base field k which can be an imaginary quadratic field or a global field of positive characteristic. The Gras conjecture predicts that for all finite abelian extension K/k, all prime number p not dividing [K : k], and all irreducible and nontrivial Qp-character ψ of Gal (K/k), the ψ-part of the p-class group of K and the ψ-part of the group of global units modulo Stark units have the same cardinal. First we prove a weak form of the conjecture, and then we use Euler systems to extend the results obtained among others by Rubin, Xu et Zhao. Then we assume that k is an imaginary quadratic field, and we consider a special Zp-extension k∞ of k, where p is a prime number different from 2 and 3, decomposed in k. We prove that for all finite extension K∞ of k∞ abelian over k, and for all irreducible Cp-character χ of the torsion subgroup of Gal(K∞/k), the characteristic ideal of the χ-quotients of the module of p-classes and the characteristic ideal of the module of global units modulo Stark units are the same. It is one of the versions of the main conjecture in Iwasawa theory, which extends a result of Rubin and Bley. It is also a step for a further work, where we extend a result of Rubin on the two variables main conjecture

La recherche d’annulateurs du groupe des classes d’idéaux d’une extension abélienne de Q est un sujet classique et remonte à des travaux de Kummer et Stickelberger. La conjecture de Brumer-Stark porte sur les extensions abéliennes de corps de nombres et prédit qu’un élément de l’anneau de groupe du groupe de Galois, appelé élément de Brumer-Stickelberger, est un annulateur du groupe des classes de l’extension. De plus, elle stipule que les générateurs des idéaux principaux obtenus possèdent des propriétés bien particulières. Cette thèse est dédiée à la généralisation de cette conjecture aux extensions de corps de nombres galoisiennes mais non abéliennes. Dans un premier temps, nous nous focalisons sur l’étude de l’analogue non abélien de l’élément de Brumer, nécessaire à l’établissement d’une conjecture non abélienne. La seconde partie est consacrée à l’énoncé de la conjecture de Brumer-Stark non abélienne et à ses reformulations, ainsi qu’aux propriétés qu’elle vérifie. Nous nous intéressons notamment aux propriétés de changement d’extension. Nous étudions ensuite le cas spécifique des extensions dont le groupe de Galois possède un sous-groupe abélien H distingué d’indice premier. Sous la validité de la conjecture de Brumer-Stark associée à certaines extensions abéliennes, nous en déduisons deux résultats suivant la parité du cardinal de H : dans le cas impair, nous démontrons la conjecture de Brumer-Stark non abélienne, et dans le cas pair, nous établissons un résultat d’abélianité permettant d’obtenir, sous des hypothèses supplémentaires, la conjecture non abélienne. Enfin nous effectuons des vérifications numériques de la conjecture non abélienne permettant de démontrer cette conjecture dans les exemples testés. / Finding annihilators of the ideal class group of an abelian extension of Q is a classical subject which goes back to work of Kummer and Stickelberger. The Brumer-Stark conjecture deals with abelian extensions of number fields and predicts that a group ring element, called the Brumer-Stickelberger element, annihilates the ideal class group of the extension under consideration. Moreover it specifies that the generators thus obtained have special properties. The aim of this work is to generalize this conjecture to non-abelian Galois extensions. We first focus on the study of a non-abelian analogue of the Brumer element, necessary to establish a non-abelian generalization of the conjecture. The second part is devoted to the statement of our non-abelian conjecture, and the properties it satisfies. We are particularly interested in extension change properties. We then study the specific case of extensions whose Galois group has an abelian normal subgroup H of prime index. If the Brumer-Stark conjecture associated to certain abelian subextensions holds, we prove two results according to the parity of the cardinal of H : in the odd case, we get the non-abelian Brumer-Stark conjecture, and in the even case, we establish an abelianity result implying under additional hypotheses the proof of the non-abelian conjecture. Thanks to PARI-GP, we finally do some numerical verifications of the nonabelian conjecture, proving its validity in the tested examples.

Soient K un corps de nombres d'anneau des entiers O_K et G un groupe fini. Grâce à un résultat de E. Noether, l'anneau des entiers d'une extension galoisienne de K modérément ramifiée, de groupe de Galois G, est un O_K[G]-module localement libre de rang 1. Donc, à chaque extension galoisienne L/K modérément ramifiée, de groupe de Galois G, on peut associer une classe [O_L] dans le groupe des classes des modules localement libres Cl(O_K[G]). L'ensemble des classes de Cl(O_K[G]) qui peuvent être obtenues de cette façon est appelé ensemble des classes réalisables et on le note R(O_K[G]).Dans cette thèse, on étudie différents problèmes liés à R(O_K[G]). Dans la première partie, nous nous focalisons sur la question suivante: R(O_K[G]) est-il un sous-groupe de Cl(O_K[G])? Si G est abélien, L. McCulloh a prouvé que R(O_K[G]) coïncide avec le soi-disant sous-groupe de Stickelberger St(O_K[G]) dans Cl(O_K[G]). Dans le Chapitre 2, nous donnons une présentation détaillée d'un travail non publié de L. McCulloh qui étend la définition de St(O_K[G]) au cas non-abélien et montre que R(O_K[G]) est inclus dans St(O_K[G]) (l'inclusion opposée n'est pas encore connue dans le cas non-abélien). Puis, en utilisant sa définition et le Théorème de Stickelberger classique, nous montrons dans le Chapitre 3 que St(O_K[G]) est trivial si K=Q et G est soit un groupe cyclique d'ordre p soit un groupe diédral d'ordre 2p, avec p premier impair. Ceci, lié aux résultats de McCulloh, nous donne une nouvelle preuve de la trivialité de R(O_K[G]) dans les cas considérés.Les résultats originaux les plus importants sont contenus dans la deuxième partie de cette thèse. Dans le Chapitre 4 nous montrons la fonctorialité de St(O_K[G]) par rapport au changement du corps de base. Ceci implique que si N/L est une extension galoisienne modérément ramifiée, de groupe de Galois G, et St(O_K[G]) est connu être trivial pour un certain sous-corps K de L, alors O_N est un O_K[G]-module stablement libre.Dans le dernier chapitre, nous montrons un résultat concernant la distribution des classes réalisables parmi les extensions galoisiennes de K modérément ramifiées, de groupe de Galois G, dans lesquelles un idéal premier de K donné est totalement décomposé. / Let K be a number field with ring of integers O_K and let G be a finite group.By a result of E. Noether, the ring of integers of a tame Galois extension of K with Galois group G is a locally free O_K[G]-module of rank 1.Thus, to any tame Galois extension L/K with Galois group G we can associate a class [O_L] in the locally free class group Cl(O_K[G]). The set of all classes in Cl(O_K[G]) which can be obtained in this way is called the set of realizable classes and is denoted by R(O_K[G]).In this dissertation we study different problems related to R(O_K[G]).The first part focuses on the following question: is R(O_K[G]) a subgroup of Cl(O_K[G])? When the group G is abelian, L. McCulloh proved that R(O_K[G]) coincides with the so-called Stickelberger subgroup St(O_K[G]) of Cl(O_K[G]). In Chapter 2, we give a detailed presentation of unpublished work by L. McCulloh that extends the definition of St(O_K[G]) to the non-abelian case and shows that R(O_K[G]) is contained in St(O_K[G]) (the opposite inclusion is still not known in the non-abelian case).Then, just using its definition and Stickelberger's classical theorem, we prove in Chapter 3 that St(O_K[G]) is trivial if K=Q and G is either cyclic of order p or dihedral of order 2p, where p is an odd prime number. This, together with McCulloh's results, allows us to have a new proof of the triviality of R(O_K[G]) in the cases just considered.The main original results are contained in the second part of this thesis. In Chapter 4, we prove that St(O_K[G]) has good functorial behavior under restriction of the base field. This has the interesting consequence that, if N/L is a tame Galois extension with Galois group G, and St(O_K[G]) is known to be trivial for some subfield K of L, then O_N is stably free as an O_K[G]-module.In the last chapter, we prove an equidistribution result for Galois module classes amongst tame Galois extensions of K with Galois group G in which a given prime p of K is totally split.

Soit G un groupe algébrique linéaire complexe, simple, connexe et simplement connexe. Étant donné un sous-groupe parabolique P G et un idéal nilpotent n p, il existe un morphisme propre d’effondrement G x P n = Gn. Il se factorise en une variété affine et normale N := SpecC [G P n] que nous appelons variété nilpotente. Sous l’hypothèse que l’effondrement soit génériquement fini, nous décrivons le groupe des classes de diviseurs équivariants de N à l’aide de C[N]-modules réflexifs équivariants de rang 1. Un représentant de chaque classe peut être choisi comme les sections globales d’un fibré en droite sur G x P' n' où G x P' n' = Gn' est un effondrement possiblement distinct qui se factorise à travers la même variété nilpotente. Dans le cas où le groupe G est de type A ou dans le cas d’un effondrement provenant de certains diagrammes de Dynkin pondérés spécifiques, nous démontrons que les représentants proviennent de poids qui peuvent être choisis comme dominants. Dans ce cas, nous démontrons que si le module représente un élément torsion du groupe des classes, alors il est Cohen–Macaulay. Nous en déduisons un théorème d’annulation en cohomologie. / Let G be a simple, connected, simply connected complex linear algebraic group with parabolic subgroup P G and nilpotent ideal n p. The proper collapsing map G x P n = Gn factors through the normal affine variety N := SpecC [G x P n] which is called a nilpotent variety. Assuming the collapsing is generically finite, we describe the equivariant divisor class group of N using rank 1 reflexive equivariant C[N]-modules. A representative of each class may be chosen as global sections of a line bundle over G x P' n' where G x P' n' = Gn' is a possibly distinct collapsing that factors through the same nilpotent variety. Assuming either G is of type A or the collapsing comes from specific weighted Dynkin diagrams,we showthat each representative arise from a weight that may be chosen dominant. Moreover, if the module represents a torsion element within the class group, then it is Cohen– Macaulay and we deduce a cohomological vanishing theorem.

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