La tomographie d'émission par positrons (TEP) est devenue un outil important dans les diagnostics de la médecine nucléaire. Avec le développement et l'utilisation de différents radiotraceurs qui permettent de visualiser les processus métaboliques et les structures organiques par des procédés non invasifs, les caméras TEP cliniques sont largement utilisées et fournissent une résolution spatiale et temporelle suffisante pour les diagnostics humains. De plus, la recherche en pharmacologie et en médecine sont d'autres champs d'applications en développement. En effet, par l'utilisation de la TEP dans les expérimentations avec des petits animaux, l'efficacité de nouveaux médicaments peut être facilement vérifiée. Cependant, le problème avec les tomographes TEP pour petits animaux est la nécessité d'une résolution spatiale et temporelle beaucoup plus grande que celle pour les examens cliniques sur les humains. Ceci requiert de nouveaux concepts de détecteurs et de traitement de signal dans le développement des systèmes TEP dédiés pour les petits animaux. En outre, ces concepts sont complémentés, pour résoudre ce problème, par la fusion d'une image morphologique (tomodensitométrie-TDM) à une image métabolique (TEP). Le LabPET[exposant TM], un scanner TEP dont l'aspect bimodal TEP/TDM est en développement. Ce scanner, dédié aux petits animaux, est développé à l'Université de Sherbrooke. Il utilise des photodiodes à avalanche (PDA) connectées individuellement à des scintillateurs et combinés à de nouveaux algorithmes numériques. Ce scanner vise à répondre aux besoins relatifs à la résolution spatiale et temporelle de l'imagerie TEP pour petits animaux. Dans cette thèse, de nouveaux algorithmes sont développés et testés afin d'augmenter la résolution spatiale et temporelle du LabPET. L'augmentation de la résolution spatiale est basée sur des algorithmes d'identification de cristaux, excités, au sein d'un détecteur multicristaux. Tandis que, l'augmentation de la résolution temporelle est basée sur un concept de déconvolution utilisant le résultat de l'identification de cristaux.

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Nous avons réalisé des calculs de structure électronique ab initio, basés sur la théorie de lafonctionnelle de la densité (DFT), pour étudier les propriétés des dislocations vis h111i dansles métaux de transition cubiques centrés (V, Nb, Ta, Mo, W et Fe). Dans tous ces éléments,le coeur facile non-dégénéré est la configuration d’énergie minimale et la configuration de coeurdissociée a une énergie très élevée, comparable ou plus élevée que celle du coeur difficile, encontradiction avec les prédictions des potentiels interatomiques. Nous avons mis en évidence destendances de groupe marquées sur l’énergie de coeur de la dislocation facile, reliées à la positiondu niveau de Fermi par rapport au minimum du pseudo-gap de la densité d’états électroniques.Notre travail fait aussi apparaitre un comportement atypique du fer, avec une énergie relativedu coeur difficile basse, proche de celle du point col entre deux coeurs faciles, conduisant à unpotentiel de Peierls plat autour de la configuration difficile, contrairement aux autres éléments.A partir de ces calculs DFT, nous avons construit le paysage énergétique à deux dimensionsdans le plan {111} (potentiel de Peierls) et nous avons étudié plusieurs propriétés relativesau glissement des dislocations, et en particulier l’énergie de formation de la paire de décrochementset la dépendance de la contrainte de Peierls en fonction de l’orientation cristalline.Nous proposons une modification simple de la loi de Schmid, qui prend en compte la trajectoirenon rectiligne de la dislocation et qui permet d’expliquer qualitativement pourquoi l’asymétriemaclage/antimaclage est moins marquée dans Fe que dans les autres métaux cubiques centrés. / We performed electronic structure ab initio calculations based on density functional theory(DFT) to study the h111i screw dislocation properties in body-centered cubic transition metals(V, Nb, Ta, Mo, W and Fe). In all investigated elements, the nondegenerate easy coreis the minimum energy configuration and the split core configuration has a high energy nearor above that of the hard core, contrary to interatomic potential predictions. A strong groupdependence of the core energy of the easy dislocation is also evidenced, related to the positionof the Fermi level with respect to the minimum of the pseudogap of the electronic density ofstates. Our work also reveals an atypical behavior in Fe, with a low relative energy at the hardcore position, close to that of the saddle configuration between easy cores, resulting in a flatPeierls potential around the hard core configuration, at variance with other elements. Fromthese DFT calculations, the two-dimensional energetic landscape in the {111} plane (Peierlspotential) is constructed and we investigated several properties of dislocation glide and in particular,the kink-pair formation enthalpy, as well as the dependence of the Peierls stress oncrystal orientation. We proposed a simple modification to the Schmid law that takes accountof the non-straight trajectory of the dislocation and that qualitatively explains why the twinning/antitwinning asymmetry is less pronounced in Fe than in other body-centered cubic metals.

Une variété algébrique est dite unirationnelle si elle est dominée par un espace projectif ; elle est dite séparablement unirationnelle si on peut prendre le morphisme précédent séparable. Cette dernière propriété n'a d'intérêt qu'en caractéristique positive. En reprenant la démonstration de Paranjape et Srinivas de l'unirationalité des hypersurfaces de degré très petit devant la dimension, nous remarquons qu'elle montre en fait l'unirationalité séparable. Nous nous intéressons aussi à la séparabilité des morphismes fournis par différentes constructions classiques de l'unirationalité des hypersurfaces cubiques.<br /><br />Dans la troisième partie, nous étudions la connexité rationnelle séparable : une variété projective lisse X sur un corps algébriquement clos est dite séparablement rationnellement connexe s'il existe une courbe rationnelle très libre (c'est-à-dire à fibré normal ample) sur X. Nous testons sur les hypersurfaces de Fermat de dimension N-1 et de degré q+1, où q est une puissance de la caractéristique du corps de base, la conjecture que toutes les hypersurfaces lisses de dimension N-1 et de degré plus petit que N sont séparablement rationnellement connexes. Nous montrons que pour N plus grand que 2q-1, l'hypersurface de Fermat de degré q+1 contient une courbe rationnelle très libre définie sur le sous-corps premier ; elle est donc séparablement rationnellement connexe.

Cette thèse est une contribution au domaine des cubulations de groupes hyperboliques au sens de Gromov. Nous nous intéressons au cas particulier des groupes fondamentaux de variétés hyperboliques réelles compactes. La philosophie inspirée dans ce domaine par les travaux de M. Sageev est que si un groupe hyperbolique possède suffisamment de sous-groupes de codimension 1 quasi-convexes, alors il agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. Nous démontrons un critère précis de cubulation pour les groupes fondamentaux de variétés hyperboliques compactes, à l'aide de constructions d'espaces à murs quasi-isométriques à l'espace hyperbolique réel. Nous nous restreignons par la suite au cas particulier de la dimension 3 et plus particulièrement aux 3-variétés hyperboliques compactes virtuellement fibrées sur le cercle. Nous exploitons alors une construction de surfaces immergées incompressibles dites coupées-croisées due à D. Cooper, D. Long et A. Reid dans une telle 3-variété M pour fabriquer des sous-groupes de surface de son groupe fondamental~G. En raffinant des arguments de J. Masters et en exploitant la structure de l'application de Cannon-Thurston, nous parvenons à construire des sous-groupes de surfaces quasi-convexes de G en quantité suffisante pour que leurs ensembles limites permettent de séparer toutes les paires de points distincts du bord du revêtement universel de M. En conséquence de cette construction, G agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. D. Wise soulève alors la question de savoir si ce groupe G peut agir géométriquement et également virtuellement co-spécialement (au sens de F. Haglund et D. Wise) sur un complexe cubique CAT(0). Une réponse positive résoudrait les conjectures selon lesquelles G est large et le premier nombre de Betti virtuel de M est infini. Nous faisons remarquer que pour obtenir une réponse positive à cette question, il suffit de trouver une surface coupée-croisée virtuellement plongée dans un revêtement fini fibré sur le cercle de M. Nous concluons en présentant des conditions algébriques, puis géométriques et cohomologiques suffisantes pour qu'une surface coupée-croisée donnée soit virtuellement plongée.

L'objet de cette thèse est l'étude de diverses primitives cryptographiques utiles dans des protocoles Diffie-Hellman. Nous étudions tout d'abord les protocoles Diffie-Helmman sur des structures commutatives ou non. Nous en proposons une formulation unifiée et mettons en évidence les différents problèmes difficiles associés dans les deux contextes. La première partie est consacrée à l'étude de pseudo-paramétrisations de courbes algébriques en temps constant déterministe, avec application aux fonctions de hachage vers les courbes. Les propriétés des courbes algébriques en font une structure de choix pour l'instanciation de protocoles reposant sur le problème Diffie-Hellman. En particulier, ces protocoles utilisent des fonctions qui hachent directement un message vers la courbe. Nous proposons de nouvelles fonctions d'encodage vers les courbes elliptiques et pour de larges classes de fonctions hyperelliptiques. Nous montrons ensuite comment l'étude de la géométrie des tangentes aux points d'inflexion des courbes elliptiques permet d'unifier les fonctions proposées tant dans la littérature que dans cette thèse. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à une nouvelle instanciation de l'échange Diffie-Hellman. Elle repose sur la difficulté de résoudre un problème de factorisation dans un anneau de polynômes non-commutatifs. Nous montrons comment un problème de décomposition Diffie-Hellman sur un groupe non-commutatif peut se ramener à un simple problème d'algèbre linéaire pourvu que les éléments du groupe admettent une représentation par des matrices. Bien qu'elle ne soit pas applicable directement au cas des polynômes tordus puisqu'ils n'ont pas d'inverse, nous profitons de l'existence d'une notion de divisibilité pour contourner cette difficulté. Finalement, nous montrons qu'il est possible de résoudre le problème Diffie-Hellman sur les polynômes tordus avec complexité polynomiale.

Ce travail porte sur la génération directe de triplets de photons par interaction optique non linéaire du troisième ordre avec la matière solide. Les trois photons constituant l'état triplet proviennent de la scission d'un unique photon, et sont donc étroitement corrélées. Des champs supplémentaires peuvent stimuler le processus, et ainsi augmenter son efficacité de conversion, mais au détriment de la conservation des corrélations de l'état triplet. Deux stratégies sont adoptées pour générer efficacement ces triplets tout en conservant leurs propriétés de cohérence. La première porte sur génération de triplets dans des oxydes massifs cristallins, rendue possible à travers la réalisation d'accords de phase par biréfringence. Ces cristaux peuvent être placés en cavité de manière à augmenter artificiellement la longueur d'interaction. Dans ce contexte, KTP et TiO2 sous sa forme rutile sont étudiés expérimentalement; la configuration en cavité fait l'objet d'une étude théorique. La seconde stratégie se concentre sur la génération de triplets dans des fibres optiques, à travers un accord de phase modal. Leurs longueurs, le confinement du champ électromagnétique, ainsi que la non-existence de processus quadratiques pouvant polluer la génération de triplets sont des avantages importants. Des expériences de génération de troisième harmonique dans des fibres de silice dopées germanium sont réalisées ; et les propriétés d'accord de phase dans des fibres à cristaux photoniques en chalcogénures sont calculées. / This work concentrates on the direct generation of triple photons through third-order nonlinear optical interactions with solid-state matter. The three photons constituting the triplet state arise from the splitting of a single photon, and are therefore highly correlated.The four interacting particles fulfill the energy and linear momentum conservation laws. Additional fields can stimulate this process and thus increase its conversion efficiency, but at the cost of losing the correlations of the triplet states. In order to generate efficiently the triplets while preserving their coherence properties, two strategies are investigated. In the first one, the interaction occurs in oxide bulk crystals, thanks to a birefringent phase matching. These crystals can be put into a cavity so as to artificially increase the interaction length. In this context, KTP and rutile TiO2 are studied experimentally; the cavity configuration is subjected to a theoretical work. The second strategy focuses on the generation in optical fibers, through a modal phase matching. Their length, the confinement of the electromagnetic field, and the non-existence of polluting second-order nonlinear processes are key advantages. Third-harmonic generation experiments on germanium-doped silica fibers are performed; and phase-matching properties in chalcogenide photonic-crystal fibers are calculated.

Afin de mieux appréhender la plasticité des alliages métalliques, il est important de pouvoir décrire à l'échelle atomique les interactions entre dislocations et solutés et d’en déduire l’effet sur la mobilité des dislocations. Au cours de cette thèse, nous nous sommes intéressés aux métaux de transition cubiques centrés (CC), et en particulier au fer, en présence de solutés interstitiels. A l’aide de calculs en Théorie de la Fonctionnelle de la Densité (DFT), la structure de cœur de la dislocation vis de vecteur de Burgers b=½<111> a été étudiée dans le fer en présence de solutés de bore, carbone, azote et oxygène et dans les métaux CC des groupes 5 (V, Nb et Ta) et 6 (Mo, W) en présence de carbone. Nous avons mis en évidence dans le fer et les métaux du groupe 6 une reconstruction du cœur de la dislocation en présence de solutés, associée à une très forte énergie d’attraction dislocation/soluté. Un comportement différent a été observé pour le groupe 5, la configuration la plus stable pour le carbone étant un site octaédrique proche de la dislocation, sans reconstruction de cœur. Cette tendance de groupe a été reliée à la structure des mono-carbures. Les conséquences des interactions fortement attractives dans le fer en présence de carbone ont ensuite été développées. D’une part la ségrégation d’équilibre du carbone proche du cœur de la dislocation a été étudiée à l’aide de modèles en champ moyen et de simulations Monte Carlo. D’autre part, la mobilité de la dislocation décorée a été étudiée en modélisant le mécanisme de double décrochement, en lien avec des observations expérimentales en microscopie électronique à transmission / In order to improve our understanding of alloy plasticity, it is important to describe at the atomic scale the dislocation-solute interactions and their effect on the dislocation mobility. This work focuses on the body-centered cubic (BCC) transition metals, in particular Fe, in presence of interstitial solute atoms. Using Density Functional Theory (DFT) calculations, the core structure of the screw dislocation of Burgers vector b=½<111> was investigated in iron in presence of boron, carbon, nitrogen and oxygen solute atoms, and in BCC metals from group 5 (V, Nb, Ta) and 6 (Mo, W) in presence of carbon solutes. A core reconstruction was evidenced in iron and group 6 metals, along with a strong attractive dislocation-solute interaction energy. A different behavior was observed in group 5 metals, for which the most stable configuration for the carbon atom is an octahedral site in the vicinity of the dislocation, without any core reconstruction. This group tendency was linked to the structure of mono-carbides. Consequences of the strongly attractive dislocation-solute interactions in Fe(C) were then investigated. First the equilibrium segregation close to the dislocation core was studied using a mean-field model and Monte Carlo simulations. Then, the mobility of the dislocation in presence of carbon atoms was investigated by modeling the double-kink mechanism with DFT, in relation with experimental data obtained with transmission electron microscopy

La classe des graphes de groupes libres à groupes d'arêtes cycliques constitue une source importante d'exemples en théorie géométrique des groupes, en particulier dans le cadre des groupes hyperboliques. Un résultat récent de Wilton montre qu'un tel groupe à un bout et hyperbolique contient un sous-groupe de surface, répondant à une question attribuée à Gromov. Cette thèse est consacrée à l'étude de ces groupes lorsqu'ils se présentent comme des groupes fondamentaux de certains complexes carrés à courbure négative ou nulle. Les complexes carrés en question, appelés graphes tubulaires de graphes, sont obtenus en attachant des tubes (un tube est un produit cartésien d'un cercle avec l'intervalle unitaire) à une collection finie de graphes finis. Le but principal de cette thèse est de construire deux décompositions de base pour les groupes fondamentaux de graphes tubulaires de graphes : leur décomposition de Grushko et leur décomposition JSJ. Dans la première partie de la thèse, nous développons un algorithme en temps polynomial, dont l'entrée est un graphe tubulaire de graphes, et qui produit le scindement de Grushko de son groupe fondamental. Comme application, nous obtenons une version alternative d'un algorithme de Stallings, qui prend un ensemble fini de mots W dans un groupe libre F de rang fini, et décide s'il existe ou non un scindement libre de F relatif à W. Dans la deuxième partie de la thèse, nous développons un algorithme en temps doublement exponentiel, dont l'entrée est un graphe tubulaire de graphes avec un groupe fondamental hyperbolique à un bout, et qui produit le scindement JSJ du groupe fondamental. Nous remarquons qu'il s'agit du premier algorithme sur les scindements JSJ de groupes avec une borne effective sur la complexité de temps. La principale raison de l'efficacité de cet algorithme est que certaines propriétés asymptotiques du groupe, qui déterminent si le groupe se scinde au dessus un sous-groupe cyclique, admettent des caractérisations locales en raison de la structure cubique CAT(0). Comme application de ce résultat, nous obtenons un algorithme en temps doublement exponentiel, dont l'entrée est un groupe libre F de rang fini muni d'un ensemble fini de sous-groupes cycliques W tels que F est librement indécomposable relatif à W, et qui produit le scindement JSJ de F relativement à W. Une conséquence des résultats ci-dessus est que le problème d'isomorphisme pour les groupes considérés se réduit à l'algorithme de Whitehead. / The class of graphs of free groups with cyclic edge groups constitutes an important source of examples in geometric group theory, particularly of hyperbolic groups. A recent result of Wilton shows that any such group which is one-ended and hyperbolic contains a surface subgroup, answering a question attributed to Gromov. This thesis is devoted to the study of these groups when they arise as fundamental groups of certain nonpositively curved square complexes. The square complexes in question, called tubular graphs of graphs, are obtained by attaching tubes (a tube is a Cartesian product of a circle with the unit interval) to a finite collection of finite graphs. The main goal of this thesis is to construct two fundamental decompositions, the Grushko decomposition and the JSJ decomposition, of the fundamental groups of tubular graphs of graphs. In the first part of the thesis we develop an algorithm of polynomial time-complexity that takes a tubular graph of graphs as input and returns the Grushko decomposition of its fundamental group. As an application, we obtain an alternative version of an algorithm of Stallings, which takes a finite set of words W in a finite rank free group F as input, and decides whether or not there exists a free splitting of F relative to W. In the second part of the thesis we develop an algorithm of double exponential time-complexity that takes a tubular graph of graphs with one-ended hyperbolic fundamental group as input and returns the JSJ decomposition of the fundamental group. We remark that this is the first algorithm on JSJ decompositions of groups with an effective bound on the time-complexity. The main reason for the efficiency of this algorithm is that certain asymptotic properties of the group, which determine whether the group splits over a cyclic subgroup, admit local characterisations due to the CAT(0) cubical structure of these groups. As an application of this result, we obtain an algorithm of double exponential time-complexity that takes a finite rank free group F and a finite set of maximal cyclic subgroups W such that F is freely indecomposable relative to W as input and returns the relative JSJ decomposition of F relative to W. A consequence of the above results is that the isomorphism problem for the groups under consideration is reduced to the Whitehead algorithm.

Cette thèse est une contribution au domaine des cubulations de groupes hyperboliques au sens de Gromov. Nous nous intéressons au cas particulier des groupes fondamentaux de variétés hyperboliques réelles compactes. La philosophie inspirée dans ce domaine par les travaux de M. Sageev est que si un groupe hyperbolique possède suffisamment de sous-groupes de codimension 1 quasi-convexes, alors il agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. Nous démontrons un critère précis de cubulation pour les groupes fondamentaux de variétés hyperboliques compactes, à l'aide de constructions d'espaces à murs quasi-isométriques à l'espace hyperbolique réel. Nous nous restreignons par la suite au cas particulier de la dimension 3 et plus particulièrement aux 3-variétés hyperboliques compactes virtuellement fibrées sur le cercle. Nous exploitons alors une construction de surfaces immergées incompressibles dites coupées-croisées due à D. Cooper, D. Long et A. Reid dans une telle 3-variété M pour fabriquer des sous-groupes de surface de son groupe fondamental~G. En raffinant des arguments de J. Masters et en exploitant la structure de l'application de Cannon-Thurston, nous parvenons à construire des sous-groupes de surfaces quasi-convexes de G en quantité suffisante pour que leurs ensembles limites permettent de séparer toutes les paires de points distincts du bord du revêtement universel de M. En conséquence de cette construction, G agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. D. Wise soulève alors la question de savoir si ce groupe G peut agir géométriquement et également virtuellement co-spécialement (au sens de F. Haglund et D. Wise) sur un complexe cubique CAT(0). Une réponse positive résoudrait les conjectures selon lesquelles G est large et le premier nombre de Betti virtuel de M est infini. Nous faisons remarquer que pour obtenir une réponse positive à cette question, il suffit de trouver une surface coupée-croisée virtuellement plongée dans un revêtement fini fibré sur le cercle de M. Nous concluons en présentant des conditions algébriques, puis géométriques et cohomologiques suffisantes pour qu'une surface coupée-croisée donnée soit virtuellement plongée. / This thesis contributes to the study of geometric actions of word-hyperbolic groups on finite dimensional CAT(0) cube complexes. We are mainly interested in the case of fundamental groups of closed hyperbolic manifolds. The philosophy coming from pioneer work of M. Sageev is that a hyperbolic group with sufficiently many quasi-convex codimension one subgroups acts geometrically on a finite dimensional CAT(0) cube complex. We prove a precise criterion for cubulation in the case of closed hyperbolic manifolds, by constructing spaces with walls quasi-isometric to real hyperbolic space. We next focus on the case of three dimensional closed hyperbolic manifolds which are virtually fibered over the circle. In this setting, we use a construction of incompressibly immersed cut-and-cross-join surfaces due to D. Cooper, D. Long and A. Reid that yields surface subgroups of the fundamental group G of the 3-manifold M. By expanding on work of J. Masters and using the structure of the Cannon-Thurston map, we are able to build many quasi-convex surface subgroups of G whose limits sets may be used to separate any pair of distinct points in the boundary of the universal cover of M. As a consequence, G acts geometrically on a finite dimensional CAT(0) cube complex. D. Wise then asks if it is possible that G acts both geometrically and virtually co-specially (in the sense of F. Haglund and D. Wise) on a CAT(0) cube complex. A positive answer would solve the long-standing conjectures that G is large and M has infinite virtual first Betti number. We then explain why finding a virtually embedded cut-and-cross-join surface in a finite cover of M would be enough to solve this problem. Finally, we give some algebraic and then geometric and cohomological sufficient conditions for a given cut-and-cross-join surface to virtually embed.