Soit Г un graphe de Coxeter. Soient W le groupe de Coxeter, A le groupe d'Artin, et A+ le monoïde d'Artin, associés à Г. Soit G un groupe de symétries du graphe de Coxeter Г. Alors G agit sur W, A et A+, et il est connu que le sous-groupe fixe, WG, est un groupe de Coxeter, le sous-monoïde fixe, A+G, est un monoïde d'Artin, et, lorsque Г est de type sphérique, le sous-groupe fixe, AG, est un groupe d'Artin. Cette thèse étudie le comportement de WG, A+G et AG par rapport à des représentations fidèles de W, A et A+, respectivement.Dans un premier temps nous considérons les représentations enracinées introduites par Krammer dans sa thèse. Ce sont une généralisation des représentations canoniques. On se donne une telle représentation f : W → GL(V ) et on suppose que l'action de G sur les racines simples s'étend à V . Dans ce cas f induit une représentation linéaire fG : WG → GL(V G). Nous démontrons que cette représentation est aussi une représentation enracinée. En particulier, elle est fidèle.Dans un second temps nous supposons que Г est simplement lacé, c'est-à-dire que les arêtes de Г n'ont pas de poids. Nous considérons une représentation linéaire fidèle ψ : A+ → GL(E) introduite par Paris. Si Г est de type sphérique, alors cette représentation induit une représentation fidèle ψ : A → GL(E) du groupe. Dans le cas des groupe de tresses, c'est la célèbre représentation linéaire fidèle étudiée par Bigelow et Krammer. Nous démontrons que G agit aussi sur E, que la représentation ψ : A+ → GL(E) est équivariante, et qu'elle induit une représentation fidèle ψ : A+G → GL(EG). Si Г est de type sphérique, alors on obtient une représentation fidèle du groupe fixe, ψ : AG → GL(EG). Finalement, nous déterminons les cas où EG admet une base naturelle en bijection avec le système de racines positives de WG. Ce dernier résultat est motivé par la recherche d'une extension de la représentation ψ : A+ → GL(E) aux graphes qui ne sont pas simplement lacés. / Let Г be a Coxeter graph. Let W be the Coxeter group, A be the Artin group, and A+ be the Artin monoid associated with Г. Let G be a group of symmetries of Г. Then G acts on W, A and A+. The fixed subgroup WG is known to be a Coxeter group, the fixed submonoid A+G is known to be an Artin monoid, and, when Г is of spherical type, the fixed subgroup AG is known to be an Artin group. This thesis studies the behavior of WG, A+G and AG with respect to some faithful linear representations of W, A and A+, respectively.Firstly, we consider the rooted representations of the Coxeter groups introduced by Krammer in his Ph. D. Thesis. These are a generalization of the canonical representations. We take such a linear representation f : W → GL(V ), assuming that the action of G on the simple roots extends to V . Then f induces a linear representation fG : WG → GL(V G). We prove that fGis a rooted representation of WG. In particular, fG is faithful.Afterwards, we assume that Г is simply laced, that is, all the edges of Г are label free. Then we consider a faithful linear representation ψ : A+ → GL(E) introduced by Paris. If Г is of spherical type, this representation extends to a faithful linear representation ψ : A → GL(E) of the Artin group. In the case of the braid groups, it is the celebrated representation studiedby Bigelow and Krammer. Take a group G of symmetries of Г. We prove that G acts on E, that the representation ψ : A+ → GL(E) is equivariant, and that it induces a faithful linear representation ψ : A+G → GL(EG). If Г is of spherical type, then we get a faithful linear representation ψ : AG → GL(EG) of the fixed subgroup. Finally, we determine the cases where EG admits a natural basis in one-to-one correspondence with the positive root system of WG. This last result is motivated by the search of an extension of the linear representation ψ : A+ → GL(E) to Artin monoids (or groups) that are not simply laced.

La recherche d'annulateurs du groupe des classes d'idéaux d'une extension abélienne de Q est un sujet classique et remonte à des travaux de Kummer et Stickelberger. La conjecture de Brumer-Stark porte sur les extensions abéliennes de corps de nombres et prédit qu'un élément de l'anneau de groupe du groupe de Galois, appelé élément de Brumer-Stickelberger, est un annulateur du groupe des classes de l'extension. De plus, elle stipule que les générateurs des idéaux principaux obtenus possèdent des propriétés bien particulières. Cette thèse est dédiée à la généralisation de cette conjecture aux extensions de corps de nombres galoisiennes mais non abéliennes. Dans un premier temps, nous nous focalisons sur l'étude de l'analogue non abélien de l'élément de Brumer, nécessaire à l'établissement d'une conjecture non abélienne. La seconde partie est consacrée à l'énoncé de la conjecture de Brumer-Stark non abélienne et à ses reformulations, ainsi qu'aux propriétés qu'elle vérifie. Nous nous intéressons notamment aux propriétés de changement d'extension. Nous étudions ensuite le cas spécifique des extensions dont le groupe de Galois possède un sous-groupe abélien H distingué d'indice premier. Sous la validité de la conjecture de Brumer-Stark associée à certaines extensions abéliennes, nous en déduisons deux résultats suivant la parité du cardinal de H : dans le cas impair, nous démontrons la conjecture de Brumer-Stark non abélienne, et dans le cas pair, nous établissons un résultat d'abélianité permettant d'obtenir, sous des hypothèses supplémentaires, la conjecture non abélienne. Enfin nous effectuons des vérifications numériques de la conjecture non abélienne permettant de démontrer cette conjecture dans les exemples testés.

Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p>0. Soit C/k une courbe algébrique, propre, lisse et de genre g>1, munie d'un p-groupe G d'automorphismes tel que |G|/g> 2p/(p-1). Un tel couple (C,G) est appelé une "grosse action". Sous ces hypothèses, C--> C/G est un revêtement étale de la droite affine Spec k[X], complètement ramifié à l'infini. Après avoir précisé certaines propriétés du deuxième groupe de ramification G_2 de G à l'infini, on donne des exemples de telles actions avec G_2 abélien d'exposant quelconque. Ces exemples trouvent leur source dans la construction , via les corps de classes de rayon, de courbes algébriques sur un corps fini possédant beaucoup de points rationnels. On se concentre ensuite sur le cas où G_2 est un p-groupe abélien élémentaire. En considérant une filtration d'anneau de k[X] liée aux polynômes additifs, on obtient un théorème de structure pour les fonctions paramétrant le revêtement d'Artin-Schreier: C --> C/G_2. On exhibe alors des familles universelles et on discute l'espace de déformation correspondant lorsque p=5. On déduit de ces résultats une classification et une paramétrisation de telles actions lorsque |G|/g^2 est supérieur ou égal à 4/(p^2-1)^2. / Let k be an algebraically closed field of characteristic p>0 and C a connected nonsingular projective curve over k with genus g>1. We define a big action as a pair (C,G) where G is a p-subgroup of the k-automorphism group of C such that |G| /g > 2p / p-1. Then, C ---> C/G is an étale cover of the affine line Spec k[X] totally ramified at infinity. We first give necessary conditions on the second ramification G_2 of G at infinity for (C,G) to be a big action. We also display realizations of such actions with G_2 abelian of exponent as large as we want. Our main source of examples comes from the construction of curves with many rational points using ray class field theory for global function fields. Then we focus on the case where G_2 is p-elementary abelian. In particular, considering additive polynomials of k[X], we obtain a structure theorem for the functions parametrizing the Artin-Schreier cover C --> C/G_2. Then we display universal families and discuss the corresponding deformation space for p=5. All these results lead to the classification and the parametrization of big actions for |G|/g^2 greater or equal to 4/(p^2-1)^2.

Cette thèse traite de l'uniformisation, en caractéristique p>0, d'une valuation rationnelle, dans les cas particuliers où cette valuation est centrée en une singularité définie localement par des hypersurfaces d'équations :<br /><br />- soit z^p+f(x,y)=0, avec f non puissance p-ième et ord f>p,<br /><br />- soit z^p+e(x,y)z+f(x,y)=0, avec ord(ez+f)>p (cas d'Artin-Schreier).<br /><br />Historiquement c'est dans ces cas particuliers que s'est trouvé concentrée la difficulté de résoudre les surfaces en caractéristique positive.<br /><br />Les nouveautés ici consistent en une majoration du nombre minimum<br />d'éclatements de points fermés nécessaires pour uniformiser, et en une<br />description ``d'en bas'' de l'évolution du polygone de Newton ainsi que des<br />paramètres choisis pour les éclatés successifs le long de la valuation. <br /><br />Dans la première partie de la thèse, on revient sur l'obtention de la forme<br />normale de Giraud pour f dans l'anneau O_X(X), où X schéma régulier de<br />dimension deux et de caractéristique p. Le point de départ est une<br />décomposition polynomiale de f en les curvettes associées à la valuation. On<br />prévoit ensuite via une puissance p-ième d'en bas, le comportement du<br />polygone de Newton de f moins cette puissance p-ième, et on majore le nombre<br />minimum d'équerres du graphe dual de la valuation nécessaires à ce qu'il devienne droit de hauteur au plus 1, et minimal, cas correspondant à la forme normale.<br /><br /><br />Dans la deuxième partie de la thèse on utilise cette étude pour les cas particuliers ci-dessus mentionnés, on donne un algorithme permettant de prévoir les translations à faire à la sortie des équerres pour avoir un polygone de Newton minimal. On quantifie combien d'équerres sont suffisantes pour obtenir une singularité quasi-ordinaire.

Dans cette thèse, on donne une construction explicite des représentations de monodromie provenant d'analogues "cyclotomiques" de la connexion de Knizhnik--Zamolodchikov. Ce sont des représentations de $B_n^1$, le groupe de tresse de type de Coxeter B. On commence par construire, en utilisant des twists dynamiques, des représentations algébriques de $B_n^1$ qui étendent naturellement les représentations du groupe de tresse $B_n$ obtenues grâce aux groupes quantiques et aux $R$-matrices. On montre ensuite par des arguments de rigidité que ces représentations algébriques s'identifient aux représentations de monodromie des connexions KZ cyclotomiques.

Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, et soit A = K[[t1, . . . , tN]],N>0 l'anneau des séries formelles en t1, . . .,tN à coefficients dans K. Soit I = (f1, . . . , fp) un idéal non nul de l'anneau A[[x1, . . . , xe]] des séries formelles en x1, . . . , xe à coefficients dans A. La fonction d'Artin notée β est une fonction entière définie telle que: si t = (t1, . . . , tN), alors pour tout entier i et pour tout F(t) = (F1(t), . . . ,Fe(t)) dans Ae , β(i) est le plus petit entier vérifiant la propriété suivante: si pour tout j, fj(F(t)) est dans (t)β(i)+1, où (t) est l'idéal maximal dans A, alors il existe G(t) = (G1(t), . . . ,Ge(t)) dans Ae tel que fj(G(t)) = 0 pour tout 0

La thèse porte sur la catégorification de généralisations de groupes de tresses. Nous étendons une représentation des groupes de tresses par complexes de bimodules de Soergel due à Rouquier. Nous généralisons d'abord ce résultat en type A aux monoïdes de tresses singulières, puis aux groupes de tresses virtuelles. Enfin nous définissons, puis catégorifions des groupes de tresses virtuelles de type B en nous fondant sur une description des groupes de tresses de type B donnée par tom Dieck utilisant des tresses symétriques.

Cette thèse est une contribution à l'étude combinatoire des groupes de Coxeter et des groupes d'Artin-Tits. Dans la première partie, nous complétons la description du groupe des automorphismes d'un groupe de Coxeter à angles droits en étudiant le second des deux sous-groupes qui apparaissent dans la décomposition en produit semi-direct établie par Tits (le premier est décrit par Mühlherr). Nous retrouvons ainsi le résultat de Radcliffe sur la rigidité des groupes de Coxeter à angles droits. Dans la deuxième partie, nous introduisons et étudions la notion de sous-monoïde d'un monoïde d'Artin-Tits induit par une partition admissible du graphe de Coxeter, au sens de Mühlherr. Nous montrons qu'un tel sous-monoïde est un monoïde d'Artin-Tits, et que cette notion généralise et unifie les situations des sous-monoïdes des points fixes d'un monoïde d'Artin-Tits sous l'action d'automorphismes du graphe, et des LCM-homomorphismes de Crisp et Godelle. Nous achevons la classification des partitions admissibles des graphes de Coxeter sphériques, commencée par Mühlherr ; elle nous fournit la classification des LCM-homomorphismes de Crisp. Dans la troisième partie, nous étudions la représentation de Krammer-Paris d'un monoïde d'Artin-Tits de type simplement lacé et sans triangle. Le sous-monoïde des points fixes d'un tel monoïde sous l'action d'un groupe d'automorphismes du graphe stabilise le sous-espace des points fixes de l'espace de la représentation sous l'action de ce groupe. Nous utilisons des notions développées par Hée pour prouver que la représentation ainsi obtenue est fidèle. Cela généralise, en évitant tout cas par cas, des résultats établis par Digne dans les cas sphériques.

Nous pre´sentons une condition sur les groupes de Garside que nous appelons la structure de Dehornoy. Une ite´ration d’une telle structure conduit a` une ordre a` gauche sur le groupe. Nous montrons des conditions pour qu’un groupe de Garside admet une structure de Dehornoy, et nous appliquons ce crite`re pour prouver que les groupes d’Artin de type A et I2(m), m ≥ 4, ont des structures de Dehornoy. Nous montrons que les ordres a` gauche sur les groupes d’Artin de type A obtenus a` partir de leurs structures de Dehornoy sont les ordres de Dehornoy. Dans le cas des groupes d’Artin du type I2(m), m ≥ 4, nous montrons que les ordres a` gauche de´rive´es de leurs structures de Dehornoy co¨ıncident avec les ordres obtenus a` partir des plongements de ces groupes dans les groupes de tresses. / We introduce a condition on Garside groups that we call Dehornoy structure. An iteration of such a structure leads to a left order on the group. We show conditions for a Garside group to admit a Dehornoy structure, and we apply these criteria to prove that the Artin groups of type A and I2(m), m ≥ 4, have Dehornoy structures. We show that the left orders on the Artin groups of type A obtained from their Dehornoy structures are the Dehornoy orders. In the case of the Artin groups of type I2(m), m ≥ 4, we show that the left orders derived from their Dehornoy structures coincide with the orders obtained from embeddings of the groups into braid groups.

Cette thèse a pour objet l'étude des automorphismes des groupes d'Artin à angles droits. Etant donné un graphe simple fini $\Gamma$, le groupe d'Artin à angles droits $G_\Gamma$ associé à $\Gamma$ est le groupe défini par la présentation dont les générateurs sont les sommets de $\Gamma$, et dont les relateurs sont les commutateurs $[v,w]$, où {$v$,$w$} est une paire de sommets adjacents. Le premier chapitre est conçu comme une introduction générale à la théorie des groupes d'Artin à angles droits et de leurs automorphismes. Dans un deuxième chapitre, on démontre que tout sous-groupe sous-normal d'indice une puissance de $p$ d'un groupe d'Artin à angles droits est résiduellement $p$-séparable. Comme application de ce résultat, on montre que tout groupe d'Artin à angles droits est résiduellement séparable dans la classe des groupes nilpotents sans torsion. Une autre application de ce résultat est que le groupe des automorphismes extérieurs d'un groupe d'Artin à angles droits est virtuellement résiduellement $p$-fini. On montre également que le groupe de Torelli d'un groupe d'Artin à angles droits est résiduellement nilpotent sans torsion, et, par suite, résiduellement $p$-fini et bi-ordonnable. Dans un troisième chapitre, on établit une présentation du sous-groupe $Conj(G_\Gamma)$ de $Aut(G_\Gamma)$ formé des automorphismes qui envoient chaque générateur sur un conjugué de lui-même.