Les présents travaux de thèse envisagent une nouvelle technique d'optimisation au sens topologique dans des géométries de type canal vertical où se réalisent des transferts de chaleur conducto-convectifs en régime laminaire. Les équations qui décrivent l'écoulement du fluide et le transfert d'énergie sont discrétisées par la méthode des volumes finis. La première partie du mémoire présente une nouvelle technique d'optimisation et sa validation sur des cas d'études de la littérature (single pipe, bend pipe). Cette technique consiste à définir des fonctions d'interpolation de type sigmoïde et permet d'obtenir une amélioration de l'interface fluide-solide au cours du processus d'optimisation. La seconde partie met en évidence les phénomènes physiques dans le canal asymétriquement chauffé, notamment l'influence de la stratification thermique extérieure et du rayonnement de surface sur les quantités aérauliques et thermiques. Enfin, une nouvelle expression de la puissance mécanique pour contrôler les pertes de charge (malgré l'ajout de matière) dans le canal vertical combinée avec une nouvelle expression de la puissance thermique sont étudiées. Le problème ainsi posé est résolu pour un écoulement en convection naturelle. Pour les cas considérés, chacune des fonctions coût est optimisée sans détériorer l'autre. Nous comparons aussi les valeurs des puissances obtenues par notre algorithme avec celles couramment utilisées dans la littérature et montrons que ces nouvelles fonctionnelles sont performantes. / This thesis deals with topology optimization of mass and heat transfer in the framework of the vertical asymetrically-heated channel. The incompressible Navier-Stokes equations coupled to the convection-diffusion equation through the Boussinesq approximation are employed and are solved with the finite volume method. We first propose a new interpolation technique for heat transfer optimization and validate it on referenced cases such as the "single pipe" and the "bend pipe". This new technique consists in the introduction of sigmoid interpolation functions to obain a better definition of the interface between fluid and solid domains, during the optimization process. We study then physical phenomenon in the asymmetrically heated channel , in particular the influence of thermal stratification outside the channel and surface radiation on thermal and dynamic quantities. We thus highlight the size variation of reversed flow at the exit of the channel and the plug-effect linked on external thermal stratification. Finally, we propose a new expression of mechanical power in order to control charges losses (despite addition of material) in the vertical channel combined with the expression of thermal power. In all considered cases, our algorithm succeeds to enhance one of the phenomenon modelled by our new cost functions without deteriorating the other one. We also compare the values of standard cost functions from the litterature over iteration of our optimization algorithm and show that our new cost functions are effective.

Nous présentons dans cette thèse nos travaux sur la réduction d'ordre appliquée à des simulations d'aérothermie. Nous considérons le couplage entre les équations de Navier-Stokes et une équations d'énergie de type advection-diffusion. Les paramètres physiques considérés nous obligent à considéré l'introduction d'opérateurs de stabilisation de type SUPG ou GLS. Le but étant d'ajouter une diffusion numérique dans la direction du champs de convection, afin de supprimer les oscillations non-phyisques. Nous présentons également notre stratégie de résolution basée sur la méthode des bases réduite (RBM). Afin de retrouver une décomposition affine, essentielle pour l'application de la RBM, nous avons implémenté une version discrète de la méthode d'interpolation empirique (EIM). Cette variante permet de la construction d'approximation affine pour des opérateurs complexes. Nous utilisons notamment cette méthode pour la réduction des opérateurs de stabilisations. Cependant, la construction des bases EIM pour des problèmes non-linéaires implique un grand nombre de résolution éléments finis. Pour pallier à ce problème, nous mettons en oeuvre les récents développement de l'algorithme de coconstruction entre EIM et RBM (SER). / We present in this thesis our work on model order reduction for aerothermal simulations. We consider the coupling between the incompressible Navier-Stokes equations and an advection-diffusion equation for the temperature. Since the physical parameters induce high Reynolds and Peclet numbers, we have to introduce stabilization operators in the formulation to deal with the well known numerical stability issue. The chosen stabilization, applied to both fluid and heat equations, is the usual Streamline-Upwind/Petrov-Galerkin (SUPG) which add artificial diffusivity in the direction of the convection field. We also introduce our order reduction strategy for this model, based on the Reduced Basis Method (RBM). To recover an affine decomposition for this complex model, we implemented a discrete variation of the Empirical Interpolation Method (EIM) which is a discrete version of the original EIM. This variant allows building an approximated affine decomposition for complex operators such as in the case of SUPG. We also use this method for the non-linear operators induced by the shock capturing method. The construction of an EIM basis for non-linear operators involves a potentially huge number of non-linear FEM resolutions - depending on the size of the sampling. Even if this basis is built during an offline phase, we usually can not afford such expensive computational cost. We took advantage of the recent development of the Simultaneous EIM Reduced basis algorithm (SER) to tackle this issue.

L'objectif de ce travail est l'étude des équations différentielles complètes du second ordre de type elliptique à coefficients opérateurs dans un espace de Banach X quelconque. Une application concrète de ces équations est détaillée, il s'agit d'un problème de transmission du potentiel électrique dans une cellule biologique où la membrane constitue une couche mince. L'originalité de ce travail réside particulièrement dans le fait que les opérateurs non bornés considérés ne commutent pas nécessairement. Une nouvelle hypothèse dite de non commutativité est alors introduite. L'analyse est faite dans deux cadres fonctionnels distincts: les espaces de Hölder et les espaces Lp (avec X un espace UMD). L'équation est d'abord étudiée sur la droite réelle puis sur un intervalle borné avec conditions aux limites de Dirichlet. On donne des résultats d'existence, d'unicité et de régularité maximale de la solution classique sous des conditions sur les données dans des espaces d'interpolation. Les techniques utilisées sont basées sur la théorie des semi-groupes, le calcul fonctionnel de Dunford et la théorie de l'interpolation. Ces résultats sont tous appliqués à des équations aux dérivées partielles concrètes de type elliptique ou quasi-elliptique.

Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces.

Dans la première partie de la thèse, nous présentons un nouveau système permettant de produire des mouvements de caméra réalistes pour l'animation stopmotion. Le système permettra d'enrichir les logiciels d'animation 3D classiques (comme par exemple Maya et 3D Studio Max) afin de leur faire contrôler des mouvements de caméra pour la stop motion, grâce à l'utilisation d'une interface haptique. Nous décrivons le fonctionnement global du système. La première étapeconsiste à récupérer et enregistrer les données envoyées par le périphérique haptique de motion capture. Dans la seconde étape, nous réélaborons ces données par un procédé mathématique, puis les exportons vers un logiciel de 3D pour prévisualiser les mouvements de la caméra. Finalement la séquence est exécutée avec un robot de contrôle de mouvement et un appareil photo. Le système est évalué par un groupe d'étudiants du Master "Art plastiques et Création numérique" de l'Université de Valenciennes. Dans la deuxième partie, nous définissons une nouvelle classe de courbes à partir des courbes polynomiales paramétriques à hodographe pythagorien (PH) construite sur un espace algébrique-trigonométrique. Nous montrons leurs propriétés fondamentaleset leurs avantages importants par rapport à leur équivalent polynomial, grâce à l'utilisation d'un paramètre de forme. Nous introduisons une formulation complexe et nous résolvons le problème d'interpolation de Hermite.

L'adaptation de maillages est un processus itératif qui consiste à changer localement la taille et l'orientation du maillage en fonction du comportement de la solution physique étudiée. Les méthodes d'adaptation de maillages ont prouvé qu'elles pouvaient être extrêmement efficaces en réduisant significativement la taille des maillages pour une précision donnée et en atteignant rapidement une convergence asymptotique d'ordre 2 pour des problèmes contenant des singularités lorsqu'elles sont couplées à des méthodes numériques d'ordre élevé. Dans les techniques d'adaptation de maillages basées sur les métriques, deux approches ont été proposées: les méthodes multi-échelles basées sur un contrôle de l'erreur d'interpolation en norme Lp et les méthodes ciblées à une fonctionnelle qui contrôle l'erreur d'approximation sur une fonctionnelle d'intérêt via l'utilisation de l'état adjoint. Cependant, avec l'émergence de méthodes numériques d'ordre très élevé telles que la méthode de Galerkin discontinue, il devient nécessaire de prendre en compte l'ordre du schéma numérique dans le processus d'adaptation de maillages. Il est à noter que l'adaptation de maillages devient encore plus cruciale pour de tels schémas car ils ne convergent qu'à l'ordre 1 dans les singularités de l'écoulement. Par conséquent, le raffinement du maillage au niveau des singularités de la solution doit être d'autant plus important que l'ordre de la méthode est élevé. L'objectif de cette thèse sera d'étendre les résultats numériques et théoriques obtenus dans le cas de l'adaptation pour des solutions linéaires par morceaux à l'adaptation pour des solutions d'ordre élevé polynomiales par morceaux. Ces solutions sont représentées sur le maillage par des éléments finis de Lagrange d'ordre k ≥ 2. Cette thèse portera sur la modélisation de l'erreur d'interpolation locale, polynôme homogène de degré k ≥ 3 dans le formalisme du maillage continu. Or, les méthodes d'adaptation de maillages basées sur les métriques nécessitent que le modèle d'erreur soit une forme quadratique, laquelle fait apparaître intrinsèquement un espace métrique. Pour pouvoir exhiber un tel espace, il est nécessaire de décomposer le polynôme homogène et de l'approcher par une forme quadratique à la puissance k/2. Cette modélisation permet ainsi de révéler un champ de métriques indispensable pour communiquer avec le générateur de maillages. En deux et trois dimensions, des méthodes de décomposition de tenseurs telles que la décomposition de Sylvester nous permettront de décomposer la fonction exacte d'erreur puis d'en déduire le modèle d'erreur quadratique. Ce modèle d'erreur local est ensuite utilisé pour contrôler globalement l'erreur en norme Lp et le maillage optimal est obtenu en minimisant cette erreur. Dans cette thèse, on s'attachera à démontrer la convergence à l'ordre k de la méthode d'adaptation de maillages pour des fonctions analytiques et pour des simulations numériques utilisant des solveurs d'ordre k ≥ 3.

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