Le premier exemple de formes quasi-modulaires est la série d’Eisenstein G2, qui est une forme quasi-modulaire pour SL(2,Z) et qui joue un rôle fondamental dans la structure de ces formes. En particulier, ces formes apparaissent quand on étudie les développements de Taylor par rapport à la variable abélienne des formes modulaires de Jacobi. Dans cette thèse, nous décrivons de nouvelles formes quasi-modulaires en plusieurs variables: les formes quasi-modulaires pour SL(2,Z)×SL(2,Z) et les formes quasi-modulaires sur les groupes orthogonaux. Les premières sont associées aux développements de Taylor des formes modulaires de Siegel. Les secondes apparaissent lors de l’étude des coefficients de Taylor en certains points des formes modulaires pour un réseau quadratique de signature(2, n).Nous menons des calculs explicites dans le cas des formes modulaires de Siegel pour les groupes paramodulaires en donnant les premiers coefficients de Taylor en z = 0 des formes modulaires fondamentales 1/2 ( la série théta de Siegel de caractéristique 2), 1, 2, 5et 35(les deux dernières sont les formes modulaires d’Igusa) et quelques autres formes reflexives introduites par V.Gritsenko et V.Nikulin dans la théorie des algèbres de Kac-Moody hyperboliques.Les formes modulaires en question sont aussi importantes dans la géométrie algébrique (la théorie des espaces de modules des surfaces abéliennes et des surfaces de Kummer) etdans la physique (la théorie de cordes). Les développements de Taylor des formes modulaires sur les groupes orthogonaux O(2, n) jouent par exemple un rôle important dans la théorie des espaces de modules des surfaces K3 polarisées. / The first example of quasi modular forms is the G2 Eisenstein serie which is a quasimodular form for SL(2,Z) and which is very important for quasi modular forms structure.In particular, these forms appear when we study Taylor expansions of Jacobi forms with respect to abelian variable. In this thesis, we describe new quasi modular forms : quasi modular forms for SL(2,Z)× SL(2,Z), quasi modular forms for orthogonal groups. The first ones are associated to Taylor expansion of Siegel modular forms. The second ones appear when we study Taylor coefficients of modular forms for a lattice of signature (2, n) around somes points. We give some definite calculus in the case of Siegel modular forms by giving the first coefficients of Taylor expansion around z = 0 of fundamental modular forms 1/2(Siegel theta serie of characteristic 2) the 1, 2 functions, the 5 and 35 functions (which are the Igusa modular forms) and some other reflective functions introduced by V.Gritsenko and V.Nikulin in the theory of hyperbolic Kac-Moody algebras. .These modular forms are usefull in algebric geometry (theory of moduli spaces of abelian surfaces and Kummer surfaces) and in physics (string theory). Taylor expansions of modular forms for the orthogonal groups O(2, n) are very usefull in the theory of moduli spaces of polarized K3 surfaces for example.

On considère dans cette thèse le couplage de deux plasmas homogènes et idéaux, présentant une discontinuité tangentielle le long d’une hypersurface évoluant au cours de temps. Le mouvement d’un tel fluide est dicté par les équations de la magnétohydrodynamique idéale incompressible. Le phénomène de cisaillement du plasma conduit à la création d’une nappe de tourbillon-courant. Un premier travail consiste à construire des solutions analytiques au système des nappes de tourbillon-courant, en utilisant un théorème de Cauchy-Kowalevskaya. Dans une seconde partie, on s’attarde sur le comportement qualitatif des solutions exactes du système des nappes de tourbillon-courant, issues de données initiales de faible amplitude et fortement oscillantes. Pour ce faire, on utilise des outils d’optique géométrique, et on met en évidence la formation d’ondes de surface lorsque les données initiales oscillent à des fréquences bien particulières. / In this thesis, we consider the coupling between two ideal and homogeneous plasmas, giving rise to a tangential discontinuity across a time-dependent hypersurface. The motion of such a fluid is described by the ideal incompressible magnetohydrodynamics equations. This shear flow leads to the creation of a current-vortex sheet. The first part of this work is devoted to the construction of analytic solutions to the current-vortex sheet system, using a Cauchy-Kowalevskaya theorem. In a second part, we look at the qualitative behavior of exact solutions to the current-vortex sheet system, obtained from highly oscillating initial data. We use tools of geometric optics and we exhibit the creation of surface waves when the initial datum is oscillating with particular frequencies.

La première partie de ce mémoire est consacrée à la résolution numérique du problème de Poisson avec conditions aux limites de Dirichlet dans un domaine prismatique ou axisymétrique, possédant une arête rentrante sur sa frontière. Nous présentons la Méthode de Fourier et du Complément Singulier consistant à combiner un développement en série (de Fourier) dans la direction parallèle à l'arête et la Méthode du Complément Singulier pour les problèmes bidimensionnels associés aux modes (de Fourier). L'analyse de la MFCS conduit à une vitesse de convergence optimale en O(h) lorsqu'on utilise les éléments finis de Lagrange P1 pour la discrétisation. La méthode ne requiert aucun raffinement de maillage au voisinage de la singularité. Nous nous intéressons ensuite au calcul de la densité de charge à la pointe d'une électrode lorsque celle-ci présente un faible rayon de courbureque nous abordons par la résolution du problème électrostatique. La relation entre le rayon de courbure et le champ électrique à la surface de la pointe est décrit par la loi empirique de Peek. Toutefois, celle-ci n'est valable que pour des électrodes minces à géométrie cylindriques ou sphériques. On justifie mathématiquement cette loi et on l'étend à d'autres géométries. A l'aide des développements asymptotiques multi-échelles, on établit explicitement le comportement de la densité de charge pour des géométries coincidant avec un cône à l'infini. Enfin, nous illustrons ce comportement asymptotique par des expériences numériques réalisées en dimension deux, et en dimension trois, pour des domaines axisymétriques. Les résultats sont comparés à ceux obtenue par une méthode intégrale.

L’endoscopie flexible a considérablement évolué au cours des cinquante dernières années. D’une procédure purement diagnostique, elle est aujourd’hui principalement thérapeutique. Des procédures telles que dilatation, implantation de prothèse et polypectomie sont pratiquées quotidiennement dans des centres qualifiés.Depuis toujours l’apposition tissulaire est pratiquée par les chirurgiens pour réaliser des anastomoses et des sutures. L’apposition de séreuse à séreuse, créant un attachement permanent par la cicatrisation, ne s’est développée que récemment en endoscopie. Pour réaliser cela, de nouveaux outils devaient être créés. L’idée principale pour permettre d’apposer et de suturer des tissus est d’obtenir un système de triangulation permettant de travailler perpendiculairement à l’axe de l’endoscope.En collaboration avec les ingénieurs de la faculté polytechnique de notre Université, un nouveau système de triangulation a été créé. Au début complexe et manipulé par un système robotique, il a ensuite été simplifié pour devenir mécanique et rigide.Cette plateforme pouvant être assemblée à l’intérieur du corps permet la réalisation de sutures endoluminales, sans équivalent actuel parmi les dispositifs médicaux disponibles. Cela nous a permis de mener des études scientifiques pour tester la validité, la sécurité et enfin l’efficacité de ce dispositif, ainsi que de concevoir et d’améliorer la technique dans une indication bariatrique, et de rechercher de nouvelles indications.La première partie de notre travail a révélé la performance de la réduction gastrique dans la prise en charge des patients obèses. La procédure a initialement été conçue et testée sur des animaux, puis une première étude de sécurité chez l’homme a été menée. Cette étude a mis en évidence la sécurité de la technique mais a également fourni des résultats préliminaires en termes d’efficacité. Une deuxième étude multicentrique d’efficacité a ensuite été menée sur 51 patients. Les résultats de cette étude ont été positifs en termes de perte de poids et de sécurité de la technique. Ensuite, pour évaluer l’efficacité intrinsèque de la procédure, une étude randomisée a été menée. Actuellement tous les patients ont été inclus. Le suivi à 1 an n’est pas encore disponible mais les résultats préliminaires à 6 mois sont discutés.Ayant ce nouveau dispositif à notre disposition, nous nous sommes intéressés à d’autres indications. La première concernait le traitement des diverticules œsophagiens, une maladie bénigne et difficile à traiter, que nous avons abordée initialement avec un traitement utilisant des aimants pour l’apposition des tissus. Cependant le système de sutures, initialement développé, a été modifié et utilisé avec succès dans cette indication. Parmi les autres indications explorées figurent le syndrome de l’anse afférente et la reprise de poids post Bypass gastrique. Ces études sont toujours en cours.La résection en paroi complète est une autre indication que nous avons évaluée. Dans cette indication particulière, nous avons effectué une première étude de sécurité et de faisabilité animale, qui nous a permis, via des ajustements de matériel, de démarrer une étude chez l’homme. Le premier patient traité avec succès ayant déjà été rapporté.Nous évaluons actuellement d’autres indications telles que le traitement des comorbidités associées à l’obésité (Diabète de type 2 et NASH) ou la prise en charge du reflux gastro-œsophagien.En résumé, ce travail rend compte des différentes études cliniques issues du développement, avec nos collègues ingénieurs, d’un nouveau dispositif médical. Il illustre les différentes étapes nécessaire pour établir la sécurité et l’efficacité d’une nouvelle procédure qui pourrait représenter un changement de paradigme dans la gestion de l’obésité, mais montre également comment un nouveau concept peut représenter un intérêt pour d’autres indications rares et nouvelles. / Doctorat en Sciences médicales (Médecine) / info:eu-repo/semantics/nonPublished

L'équation de Schrödinger est une équation fondamentale de la physique, qui fait intervenir une fonction appelée potentiel, linéaire ou non linéaire, pouvant prendre différentes expressions selon le contexte physique. Pour résoudre numériquement cette équation, il faut se restreindre à un domaine borné en espace, en précisant sur la frontière de ce domaine de calcul des conditions aux limites artificielles (CLA) appropriées. En dimension un et pour un potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue. L'objectif de cette thèse est de généraliser ces résultats en construisant des CLA approchées dans le cas d'un potentiel, linéaire ou non linéaire. A cette fin, nous proposons une recherche détaillée de méthodes permettant de tenir compte du potentiel, sans distinction selon ses propriétés mathématiques. Cette construction repose sur l'analyse microlocale et les règles du calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels. Les CLA obtenues se prêtent alors à une discrétisation et une implémentation numérique effective à l'aide d'un schéma de Crank-Nicolson suivi d'une méthode éléments finis linéaires. Dans ce travail, nous avons élaboré des familles de CLA pour l'équation en dimension un ou deux d'espace avec un potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que pour le problème stationnaire en dimension un. Dans chaque cas, de nombreuses simulations numériques ont été effectuées afin de comparer l'efficacité des conditions aux limites proposées par rapport aux autres méthodes existantes, ainsi que pour comparer entre elles les différentes familles de conditions aux limites construites suivant différentes stratégies / The Schrödinger equation is a fundamental equation involved in many physical domains. It deals with a linear or nonlinear function called potential, which can appear under various different expressions depending on the physical context. In order to solve the equation numerically, one has to restrict to a bounded spatial domain, and to add appropriate artificial boundary conditions (ABC) on the boundary of the computational domain. For the free-potential equation in one dimension, the exact boundary condition is known. The aim of this thesis is to generalize these results thanks to the construction of approximate ABC in the case of a linear or nonlinear potential. To this end, we propose a detailed research of methods taking the potential into account in the artifical boundary condition, without considering the mathematical properties of the considered potential. The construction of these CLA relies on microlocal analysis and the rules of symbolic calculus associated to pseudodifferential operators. These approximate boundary conditions can then be discretized and numerically computed, using a Crank-Nicolson scheme and a linear finite element method. In this work, we have derived families of ABCs for the Schrödinger equation in dimension one and two, with a linear or nonlinear potential, and for the stationary one-dimensional problem. In each case, many numerical simulations have been implemented in order to compare the efficiency of the new boundary conditions with respect to existing methods, and also in order to compare with one another the different families of boundary conditions developed following different strategies

Le calcium est le cinquième élément le plus abondant de la Terre silicatée. Son intérêt découle de son abondance dans la croûte terrestre et de l'existence d'une grande quantité de minéraux le contenant. Un fractionnement maximum, dont les causes précises ne sont pas connues, de 1,3 ‰ par u.m.a a été mesuré à ce jour. Le travail réalisé durant ce doctorat s'intègre à ces nouvelles études sur les isotopes du Ca.<br />Un protocole de mesure permettant de s'affranchir du fractionnement instrumental a tout d'abord été développé au Centre de Géochimie de la Surface. Après séparation chimique sur résine échangeuse d'ions, les compositions isotopiques en Ca ont été déterminées au spectromètre de masse à thermo-ionisation par une technique employant un double spike. L'expression des rapports isotopiques du Ca sous forme de delta requiert l'emploi d'un matériel de référence. Aucun standard international n'existant pour les isotopes du Ca, le standard carbonaté SRM 915a du NIST a été proposé. L'eau de mer, seul échantillon commun à la majorité des études antérieures, a été calibré en fonction de ce standard carbonaté et utilisé pour ce travail.<br />Ce protocole a ensuite été appliqué à l'étude du bilan océanique du Ca. L'étude d'eaux continentales a permis de contraindre le flux de Ca arrivant aux océans. Il en résulte une variabilité limitée de δ44Ca (0,5 ‰) à l'embouchure des grands fleuves et pour les eaux hydrothermales. Aucune relation n'a en outre été observée entre δ44Ca et la lithologie ou le climat des bassins versants étudiés. Ceci a permis de calculer une composition isotopique moyenne en Ca arrivant aux océans égale à -1,1 ± 0,2 ‰ et de suggérer sa constance au cours du temps. Il résulte de cette valeur que l'océan actuel est à l'état stationnaire par rapport aux isotopes du calcium. L'étude du δ44Ca de phosphates marins du Miocène et du Pléistocène, qui reflètent la paléo-variation de l'eau de mer au cours du temps, a montré que cela n'a pas toujours été le cas par le passé. Ainsi, à 22 Ma, une incursion du δ44Ca vers des valeurs plus positives suggère que l'intensité des flux entrants et sortants a varié, mais non leur signature isotopique.

Le périodogramme est un outil naturel pour l'analyse spectrale d'une série temporelle stationnaire au second ordre. La littérature sur les séries temporelles en donne grand nombre de propriétés - principalement asymptotiques -, que le signal soit a dependence courte ou longue. Beaucoup de ces resultats font l'hypothese supplementaire de gaussianite. La principale contribution de ce travail est l'extension de nombreux resultats connus aux signaux non-gaussiens. Nous traiterons le periodogramme de l'i.i.d. et donnerons une expression asymptotique de ses moments a tout ordre. Nous montrerons que l'on peut traiter le cas plus général du signal linéaire selon deux méthodes. Soit en s'appuyant sur le résultat précédent et la decomposition de Bartlett, soit en traitant directement le periodogramme du lineaire par developpement asymptotique (developement d'Edgeworth) de sa distribution. La premiere methode conduit a des resultats de type "limite centrale" sur une large classe de tableaux triangulaires de fonctionnelles non-lineaire du periodogramme, alors que la seconde permet des resultats de consistance.

Cette thèse porte sur la modélisation de la diffraction d'ondes en régime harmonique dans des milieux bidimensionnels comportant des fentes minces. Tout d'abord, nous introduisons et analysons un modèle approché dont la propriété principale est d'utiliser une approximation unidimensionnelle dans la fente. L'originalité de ce modèle se situe au niveau des conditions de couplage par raccord ``brutal'' à travers les extrémités de la fente. La précision de cette première technique étant limitée, nous utilisons la technique des développements asymptotiques raccordés pour obtenir et justifier le développement asymptotique de la solution à tout ordre en fonction de l'épaisseur de la fente. Les résultats sont radicalement différents suivant que la longueur de la fente est un multiple de la demi-longueur d'onde ou non, auquel cas un phénomène de résonance est observé. De nouvelles procédures de raccord 1D-2D peuvent être déduites de cette étude.

Dans de nombreux problèmes physiques, on s'intéresse à l'interaction de phénomènes ayant des longueurs caractéristiques très différentes. On parle alors de phénomènes multi-échelles. Les méthodes numériques classiques, comme les éléments finis ou les différences finies, nécessitent alors un pas de maillage de l'ordre de la plus petite longueur caractéristique. Ceci a pour effet de faire exploser le nombre de degrés de liberté et les coûts de calcul. Afin de pallier à cette difficulté, on trouve dans la littérature différentes méthodes qui consistent soit à 1. développer des méthodes purement numériques de raffinement local. Ainsi, on limitera le nombre de degrés de liberté. 2. dériver à l'aide de l'analyse asymptotique des modèles approchés dont la solution peut être approchée numériquement sans raffinement local. De nombreux auteurs se sont intéressés à ces problématiques. 3. combiner une analyse asymptotique avec une méthodes de type éléments finis en augmentant l'espace de Galerkin par des fonctions reproduisant les propriétés locales de la solution du modèle exacte. Cette problématique est particulièrement présente en propagation d'ondes. En effet, des détails géométriques de petites tailles (fil mince, fente mince, petit trou, couche mince) devant la longueur d'ondes peuvent avoir une influence significative. Lors de ces dernières années, j'ai étudié ces phénomènes dans le cadre des problèmes de propagation d'ondes linéaires scalaires en régime fréquentiel. Dans cet exposé, je vous présenterai quelques résultats que j'ai obtenu à l'aide de la technique des développements asymptotiques raccordés.

Dans le domaine du calcul de structure, l'augmentation de la puissance des ordinateurs permet aujourd'hui de traiter des structures complexes avec des modèles de plus en plus fins.<br />Néanmoins, pour des structures hétérogènes ou minces, des modèles tridimensionnels détaillés conduisent à des temps de réalisation du maillage importants, et à une analyse des résultats très difficile compte tenu du volume d'informations à traiter.<br />Il est donc nécessaire de construire des modèles simplifiés de ces structures, en exploitant l'existence d'un ou plusieurs petits paramètres, traduisant la finesse des hétérogénéités et la minceur de la structure. Pour ce faire, des méthodes très diverses sont proposées dans la littérature. Dans ce travail, c'est principalement la méthode des développements asymptotiques qui est utilisée.<br />Pour des structures à hétérogénéité périodique, cette méthode permet de déterminer une structure homogène équivalente, à partir de laquelle on pourra obtenir une approximation de la solution du problème hétérogène. Il s'agit donc d'un processus d'homogénéisation, puisque les hétérogénéités sont lissées. <br />Dans le cas des structures minces, l'objectif est de construire, à partir d'une formulation 3D initiale, des modèles approchés mono- ou bidimensionnels. <br />Dans une première partie de ce mémoire, intitulée "Modèles Homogénéisés du 1er ordre", un premier niveau d'application des méthodes d'homogénéisation est présenté. L'objectif est simplement l'obtention du comportement macroscopique du matériau, ou de la structure mince périodique.<br />Au chapitre 1, la modélisation d'un joint de culasse est exposée. Le joint présente une périodicité de ses constituants dans le plan. Or, sur le moteur, du fait du serrage entre le bloc et la culasse, une modélisation tridimensionnelle du joint est nécessaire. Il s'agit là d'une source de difficultés car on n'a pas périodicité dans les 3 directions de l'espace. Ceci conduit à développer de méthodes spécifiques, dans le cadre de la méthode des moyennes. Dans ce même chapitre, figure également un travail sur la modélisation du comportement élastoplastique d'un constituant du joint.<br />Le chapitre 2 est consacré à l'étude des structures minces périodiques. Comme indiqué auparavant, ces structures se caractérisent par l'existence de deux petits paramètres. Ceci donne lieu à plusieurs méthodes d'homogénéisation, selon l'ordre dans lequel on fait tendre vers 0 ces deux petits paramètres. Cependant, le domaine de validité de ces méthodes n'est pas très bien défini, et d'une manière générale, très peu d'applications ont été traitées, notamment à l'aide de méthodes numériques. Une synthèse de ces différentes méthodes est présentée, avec des applications à différents exemples de poutres, plaques et coques périodiques. Toutes ces méthodes rentrent dans le cadre de la méthode des développements asymptotiques.<br />Au chapitre 3, le cas des milieux poreux est étudié. En effet, les plaques périodiques que nous avons étudiées au chapitre 2 sont très peu denses, et il est intéressant de les aborder en tant que structures discrètes, où de nombreux travaux existent sur les méthodes d'équivalence. Ces méthodes sont comparées à celles utilisées au chapitre 2. D'autre part, une méthode numérique pour le calcul des caractéristiques équivalentes de ces milieux est proposée, avec une application aux matériaux cellulaires.<br />Dans la deuxième partie de ce mémoire, intitulée "Modèles homogénéisés d'ordre supérieur et effets de bords", il s'agit de dépasser le stade de la détermination du comportement macroscopique Notre objectif est en effet d'étudier quelles sont les erreurs induites par l'utilisation d'un milieu homogène équivalent dans un problème aux limites, en substitution du milieu hétérogène 3D d'origine, et comment faire pour les diminuer.<br />Au chapitre 4, pour une poutre périodique, un modèle asymptotique d'ordre supérieur est construit, en déterminant formellement l'expression des termes du développement asymptotique à un ordre quelconque. Les aspects pratiques de mise en oeuvre de la méthode sont également abordés, et une approche pour calculer la série complète à partir de la résolution d'un seul problème macroscopique est présentée.<br />Pour que le modèle macroscopique d'ordre supérieur soit plus précis que le modèle du 1er ordre, il faut travailler avec une approximation cohérente des équations différentielles et des conditions aux limites. Ceci nous amène à étudier les effets de bords, qui résultent de l'incompatibilité entre la solution asymptotique et les conditions aux limites appliquées à la structure 3D hétérogène. Une approche pour les prendre en compte est exposée au chapitre 5.<br />Des exemples d'application sont ensuite présentés au chapitre 6, où la solution issue du modèle asymptotique d'ordre supérieur avec prise en compte des effets de bords est comparée à la solution du modèle fin tridimensionnel hétérogène. L'efficacité de la méthode proposée est ainsi démontrée.<br />En plus de ces deux parties, on présente au chapitre 7 les développements numériques utilisés dans les différentes parties du mémoire. Ce chapitre comprend également l'exposé d'une méthode de calcul originale pour la résolution des problèmes à l'échelle microscopique.<br />Enfin, le chapitre 8 concerne un travail en cours sur la modélisation des câbles synthétiques.