Der Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit liegt auf Methoden zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme mit der Anforderung, jedes globale Optimum garantiert zu finden und mit einer im Voraus festgesetzten Genauigkeit zu approximieren. Eng verbunden mit dieser deterministischen Optimierung ist die Berechnung von Schranken für den Wertebereich einer Funktion über einem gegebenen Hyperquader. Verschiedene Ansätze, z. B. auf Basis der Intervallarithmetik, werden vorgestellt und analysiert. Im Besonderen werden Methoden zur Schrankengenerierung für multivariate ganz- und gebrochenrationale Polynome mit Hilfe der Darstellung in der Basis der Bernsteinpolynome weiterentwickelt. Weiterhin werden in der Arbeit schrittweise die Bausteine eines deterministischen Optimierungsverfahrens unter Verwendung der berechneten Wertebereichsschranken beschrieben und Besonderheiten für die Optimierung polynomialer Aufgaben näher untersucht. Die Analyse und Bearbeitung einer Aufgabenstellung aus dem Entwicklungsprozess für Fahrzeuggetriebe zeigt, wie die erarbeiteten Ansätze zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme die Suche nach energieeffizienten Getrieben mit einer optimalen Struktur unterstützen kann. Kontakt zum Autor: [Nachname] [.] [Vorname] [@] gmx [.] de

Diese Arbeit behandelt die effiziente Vorkonditionierung von Finite-Elemente-Matrizen unter Verwendung hierarchischer Matrizen.

Lightweight structures became more and more important over the last years. One special class of such structures are short fibre reinforced composites, produced by injection moulding. To avoid expensive experiments for testing the mechanical behaviour of these composites proper material models are needed. Thereby, the stochastic nature of the fibre orientation is the main problem. In this thesis it is looked onto the simulation of such materials in a linear thermoelastic setting. This means the material is described by its heat conduction tensor κ(p), its thermal expansion tensor T(p), and its stiffness tensor C(p). Due to the production process the internal fibre orientation p has to been understood as random variable. As a consequence the previously mentioned material quantities also become random. The classical approach is to average these quantities and solve the linear hermoelastic deformation problem with the averaged expressions. Within this thesis the incorpora- tion of this approach in a time and memory efficient manner in an existing finite element software is shown. Especially for the time and memory efficient improvement several implementation aspects of the underlying software are highlighted. For both - the classical material simulation as well as the time efficient improvement of the software - numerical results are shown. Furthermore, the aforementioned classical approach is extended within this thesis for the simulation of the thermal stresses by using the stochastic nature of the heat conduc tion. This is done by developing it into a series w.r.t. the underlying stochastic. For this series known results from uncertainty quantification are applied. With the help of these results the temperature is developed in a Taylor series. For this Taylor series a suitable expansion point is chosen. Afterwards, this series is incorporated into the computation of the thermal stresses. The advantage of this approach is shown in numerical experiments.

The well-known fast Fourier transform (FFT) is one of the most important and widely used algorithms in a multitude of disciplines including engineering, natural sciences, scientific computing, and signal processing. Nevertheless, its restriction to equispaced data represents a significant limitation in practice. Consequently, this has led to the development of the nonequispaced fast Fourier transform (NFFT), which permits the use of arbitrary nodes in the spatial domain. In a variety of applications, such as magnetic resonance imaging (MRI), solution of partial differential equations (PDEs), etc., however, there is a need for the inverse transform, i.e., computing Fourier data from given nonequispaced function evaluations of trigonometric polynomials, or even of bandlimited functions. For this reason, this thesis focuses on the presentation of new efficient inversion methods for the NFFT, which can be realized with the complexity of a single NFFT, and on the generalization of these methods to the setting of bandlimited functions. Additionally, the evaluation problem for bandlimited functions is addressed as well. In particular, the present thesis provides the first comprehensive overview of the so-called regularized Shannon sampling formulas.:1 Introduction 2 Nonequispaced fast Fourier transforms 3 Direct inversion methods for the NFFT 4 Regularized Shannon sampling formulas 5 Fast sinc methods 6 Reconstruction of the Fourier transform of bandlimited functions from nonequispaced spatial data

Im Rahmen des Modellierungsseminars wurde die Kopplung einer Strömung mit der Ausbreitung einer reaktiven Substanz im Strömungsgebiet untersucht. Die Strömung wurde dabei durch die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben. Zusätzlich wurde ein mathematisches Modell für die Ausbreitung der Substanz durch eine Diffusions-Konvektions-Gleichung bestimmt. Beide wurden durch die FEM- Sofware NAVIER berechnet und simuliert.

Zur numerischen Simulation piezoelektrischer Probleme mit linearem Materialgesetz wird die adaptive Finite-Element-Methode genutzt. Bei der Lösung der entstehenden Gleichungssysteme vom Sattelpunktstyp wird auf eine Variante des Bramble-Pasciak-CG zurückgegriffen. Die Einbettung von Projektionstechniken in den Löser erlaubt eine Behandlung von verschiedenen Problembesonderheiten, speziell wird hier auf die Fälle konstanten Potentials auf Teilrändern sowie Kontaktprobleme an wachsenden Rissen eingegangen. Erste numerische Ergebnisse werden an einigen Beispielen demonstriert.

In diesem Preprint werden grundlegende Gleichungen zur Behandlung von transversal isotropem Materialverhalten zusammengetragen. Wir betrachten ein transversal isotropes Materialgesetz mit linear elastischem Verhalten. Die angegebenen Materialgleichungen sind zur Beschreibung sowohl kleiner als auch großer Deformationen geeignet. Sie bilden eine wesentliche Grundlage zur Lösung statischer Probleme mit der Methode der finiten Elemente. Es werden Gleichungen für den ebenen Spannungszustand und den ebenen Verzerrungszustand hergeleitet.

This paper presents three new coupling methods for interior penalty discontinuous Galerkin finite element methods and boundary element methods. The new methods allow one to use discontinuous basis functions on the interface between the subdomains represented by the finite element and boundary element methods. This feature is particularly important when discontinuous Galerkin finite element methods are used. Error and stability analysis is presented for some of the methods. Numerical examples suggest that all three methods exhibit very similar convergence properties, consistent with available theoretical results.

Adaptive anisotropic refinement of finite element meshes allows to reduce the computational effort required to achieve a specified accuracy of the solution of a PDE problem. We present a new approach to adaptive refinement and demonstrate that this allows to construct algorithms which generate very flexible and efficient anisotropically refined meshes, even improving the convergence order compared to adaptive isotropic refinement if the problem permits.

We consider reduced Hsieh-Clough-Tocher basis functions with respect to a splitting into subtriangles at the barycenter of the original triangular element. This article gives a proof that the second derivatives of those functions, which in general may jump at the subtriangle boundaries, do not jump at the barycenter.