Seja M um conjunto compacto e conexo do plano que seja a união dos subconjuntos conexos N e S. Seja Z_L=(X_L,Y_L) uma família a um parâmetro de campos vetoriais descontínuos, onde X_L está definida em N e Y_L em S. Ambos os campos X_L e Y_L, assim como as suas dependências em L, são suaves i. e. de classe C^\\infty; a descontinuidade acontece na fronteira comum entre N e S. O objetivo deste trabalho é estudar as bifurcações que ocorrem em certas famílias de campos vetoriais descontínuos seguindo as convenções de Filippov. Aplicando o método da regularização, introduzido por Sotomayor e Teixeira e posteriormente aprofundado por Sotomayor e Machado à família de campos vetoriais descontínuos Z_L obtemos uma família de campos vetoriais suaves que é próxima da família descontínua original. Usamos esta técnica de regularização para estudar, por comparação com os resultados clássicos da teoria suave, as bifurcações que ocorrem nas famílias de campos vetoriais descontínuos. Na literatura há uma lista de bifurcações de codimensão um, no contexto de Filippov, apresentada mais completamente, no artigo de Yu. A. Kuznetsov, A. Gragnani e S. Rinaldi, One-Parameter Bifurcations in Planar Filippov Systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 13, No. 8: 2157--2188, (2003). Alguns dos casos dessa lista já eram conhecidos por Kozlova, Filippov e Machado. Neste trabalho nos propomos a estudar as bifurcações de alguns dos casos, apresentados no artigo de Kuznetsov et. al, através do método da regularização dessas famílias. Nesta Tese consubstanciamos matematicamente a seguinte conclusão: As bifurcações das famílias descontínuas analisadas ficam completamente conhecidas através das bifurcações apresentadas pelas respectivas famílias regularizadas, usando recursos da teoria clássica suave. / Let M be a connected and compact set of the plane which is the union of the connected subsets N and S. Let Z_L=(X_L,Y_L) be a one-parameter family of discontinuous vector fields, where X_L is defined on N and Y_L on S. The two fields X_L, Y_L and their dependences on L are smooths, i. e., are of C^\\infty class; the discontinuity happens in the common boundary of N and S. The objective of this work is to study the bifurcations which occurs in certains families of discontinuous vector fields following the conventions of Filippov. Applying the regularization method, introduced by Sotomayor and Teixeira, to the family of discontinuous vector fields Z_L we obtain a family of regular vector fields which is close to the original family of discontinuous vector fields. In the literature there is a list of codimension one bifurcation, in the Filippov sense, presented more completely, in the article of Yu. A. Kuznetsov, A. Gragnani e S. Rinaldi, One-Parameter Bifurcations in Planar Filippov Systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 13, No. 8: 2157--2188, (2003). Some of those cases was already known by Kozlova, Filippov and Machado. In this work we propose to study the bifurcations of some of those cases, presented in the article of Kuznetsov et. al, by the method of regularization of those families. In this thesis we justify mathematically the following conclusion: The bifurcations of the analysed discontinuous families are completelly known by the bifurcations contained in the respective regularized families, using the methods of the classical theory of regular vector fields.

Seja M um conjunto compacto e conexo do plano que seja a união dos subconjuntos conexos N e S. Seja Z_L=(X_L,Y_L) uma família a um parâmetro de campos vetoriais descontínuos, onde X_L está definida em N e Y_L em S. Ambos os campos X_L e Y_L, assim como as suas dependências em L, são suaves i. e. de classe C^\\infty; a descontinuidade acontece na fronteira comum entre N e S. O objetivo deste trabalho é estudar as bifurcações que ocorrem em certas famílias de campos vetoriais descontínuos seguindo as convenções de Filippov. Aplicando o método da regularização, introduzido por Sotomayor e Teixeira e posteriormente aprofundado por Sotomayor e Machado à família de campos vetoriais descontínuos Z_L obtemos uma família de campos vetoriais suaves que é próxima da família descontínua original. Usamos esta técnica de regularização para estudar, por comparação com os resultados clássicos da teoria suave, as bifurcações que ocorrem nas famílias de campos vetoriais descontínuos. Na literatura há uma lista de bifurcações de codimensão um, no contexto de Filippov, apresentada mais completamente, no artigo de Yu. A. Kuznetsov, A. Gragnani e S. Rinaldi, One-Parameter Bifurcations in Planar Filippov Systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 13, No. 8: 2157--2188, (2003). Alguns dos casos dessa lista já eram conhecidos por Kozlova, Filippov e Machado. Neste trabalho nos propomos a estudar as bifurcações de alguns dos casos, apresentados no artigo de Kuznetsov et. al, através do método da regularização dessas famílias. Nesta Tese consubstanciamos matematicamente a seguinte conclusão: As bifurcações das famílias descontínuas analisadas ficam completamente conhecidas através das bifurcações apresentadas pelas respectivas famílias regularizadas, usando recursos da teoria clássica suave. / Let M be a connected and compact set of the plane which is the union of the connected subsets N and S. Let Z_L=(X_L,Y_L) be a one-parameter family of discontinuous vector fields, where X_L is defined on N and Y_L on S. The two fields X_L, Y_L and their dependences on L are smooths, i. e., are of C^\\infty class; the discontinuity happens in the common boundary of N and S. The objective of this work is to study the bifurcations which occurs in certains families of discontinuous vector fields following the conventions of Filippov. Applying the regularization method, introduced by Sotomayor and Teixeira, to the family of discontinuous vector fields Z_L we obtain a family of regular vector fields which is close to the original family of discontinuous vector fields. In the literature there is a list of codimension one bifurcation, in the Filippov sense, presented more completely, in the article of Yu. A. Kuznetsov, A. Gragnani e S. Rinaldi, One-Parameter Bifurcations in Planar Filippov Systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 13, No. 8: 2157--2188, (2003). Some of those cases was already known by Kozlova, Filippov and Machado. In this work we propose to study the bifurcations of some of those cases, presented in the article of Kuznetsov et. al, by the method of regularization of those families. In this thesis we justify mathematically the following conclusion: The bifurcations of the analysed discontinuous families are completelly known by the bifurcations contained in the respective regularized families, using the methods of the classical theory of regular vector fields.

LEITÃO JÚNIOR, Raimundo Alves. Regularidade e estimativas geométricas para mínimos de funcionais descontínuos e singulares. 2012. 117 f. Tese (Doutorado em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2012. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2014-02-06T12:47:23Z No. of bitstreams: 1 2013_tese_raleitaojunior.pdf: 276409 bytes, checksum: b5d2e708da081368cd44556a09d5e7d9 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2014-02-06T14:05:54Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2013_tese_raleitaojunior.pdf: 276409 bytes, checksum: b5d2e708da081368cd44556a09d5e7d9 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-02-06T14:05:54Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2013_tese_raleitaojunior.pdf: 276409 bytes, checksum: b5d2e708da081368cd44556a09d5e7d9 (MD5) Previous issue date: 2012 / This work consists of two parts. In the first part we study nonnegative minimizers of general degenerate elliptic functionals, ∫ F (X, u, ∇u)dX → min, for variational kernels F that are discontinuous in ụ with discontinuity of order ~ X{u>0}. The Euler-Lagrange equation is therefore governed by a non-homogeneous, degenerate elliptic equation with free boundary between the positive and the zero phases of the minimizer. We show optimal gradient estimate and nondegeneracy of minima. We also address weak and strong regularity properties of free boundary, ∂ red {u>0}, has H n-1- total measure. For more specific problems that arise in jet flows, we show the reduced free boundary is locally the graph of a C1,y function. In the second part of work we provide a rather complete description of the sharp regularity theory for a family of heterogeneous, two-phase variational free boundary problems, y→ min, ruled by nonlinear, degenerate elliptic operators. Included in such family are heterogeneous jets and cavities problems of Prandtl-Batchelor type, y = 0; singular degenerate elliptic equations and obstacle type systems, y = 1. Linear versions of these problems have been subjects of intense research for the past four decades or so. The nonlinear counterparts treated in this present work introduce substantial new difficulties since the most of the classical theories developed earlier, such that as monotonicity and almost monotonicity formulae, are no longer available. Nonetheless, the innovative solutions designed in this work provide new answers even in the classical context of linear, nondegenerate equations. / Este trabalho é constituído de duas partes. Na primeira parte estudamos mínimos não negativos de funcionais elípticos degenerados, ∫ F (X, u, ∇u)dX → min, para núcleos variacionais F que são descontínuos em u com descontinuidade de ordem ~ X{u>0}. A equação de Euler-Lagrange é governada por uma equação elíptica degenerada e não-homogênea, com fronteira livre entre as fases positiva e zero do mínimo. Mostraremos estimativa gradiente ótima e não-degenerescência do mínimo. Também trataremos de propriedades de regularidade fracas e fortes de fronteira livre. Provaremos que o conjunto {u>0} tem localmente perímetro finito e que a fronteira livre reduzida ∂ red {u>0} tem medida Hn-1-total. Para problemas mais específicos que aparecem em Jet flows, provaremos que a fronteira livre reduzida é localmente o gráfico de uma função C1,y. Na segunda parte do trabalho forneceremos uma descrição bastante completa da teoria de regularidade ótima para uma família de problemas de fronteira livre de duas fases, heterogêneos, y→ min, governados por operadores elípticos degenerados e não-lineares. Incluídos em tal família estão os problemas de Jet flows heterogêneos e os problemas de cavidades do tipo Prandtl-Batchelor, y = 0; equações elípticas degeneradas singulares e sistemas do tipo obstáculo y =1.Versões lineares destes problemas têm sido objeto de intensa pesquisa nas últimas quatro décadas ou mais. As contrapartidas não-lineares tratadas neste trabalho introduzem novas e consideráveis dificuldades, pois a maioria das teorias desenvolvidas anteriormente, tais como fórmulas de monotonicidade e de quase monotonicidade não estão disponíveis. Contudo, as soluções inovadoras desenvolvidas neste trabalho fornecem novas respostas mesmo no contexto clássico de equações lineares e não-degeneradas.

Submitted by Ronan Felipe Jorge null (ronan.jorge@hotmail.com) on 2016-04-07T21:29:57Z No. of bitstreams: 1 RonanFelipeJorgeVersaoFinal.pdf: 3551394 bytes, checksum: 30b15e5d6519d49164a37bcb6b0946c8 (MD5) / Approved for entry into archive by Felipe Augusto Arakaki (arakaki@reitoria.unesp.br) on 2016-04-08T13:07:08Z (GMT) No. of bitstreams: 1 jorge_rf_me_sjrp.pdf: 3551394 bytes, checksum: 30b15e5d6519d49164a37bcb6b0946c8 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-04-08T13:07:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 jorge_rf_me_sjrp.pdf: 3551394 bytes, checksum: 30b15e5d6519d49164a37bcb6b0946c8 (MD5) Previous issue date: 2016-03-18 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O conceito de estabilidade estrutural foi introduzido aos estudos de sistemas dinâmicos contínuos por Andronov e Pontryagin (1937). Em 1988, após investigar osciladores com atrito de Coulomb e apresentar equações diferenciais com lado direito descontínuo, Filippov desenvolveu em sua obra uma nomenclatura para o estudo de sistemas dinâmicos descontínuos. Desde então, estudiosos da área vêm tentando analisar a estabilidade estrutural de sistemas dinâmicos descontínuos por diferentes métodos. Um dos métodos é transformar, sem alterar a estrutura dos campos de vetores, estes sistemas descontínuos em sistemas contínuos onde o estudo da estabilidade estrutural já é conhecido. Esta transformação, também conhecida como regularização, pode ser desenvolvida de diversas formas. Este trabalho tem por objetivo a apresentação de um método de regularização através do uso de uma função de transição de campos de vetores Z do plano com um conjunto de descontinuidade S baseando-se no método de regularização apresentado por Sotomayor e Teixeira (1996) em seu artigo, e realizar um breve estudo sobre estabilidade estrutural em campos de vetores regularizados utilizando tal método. / The concept of structural stability was introduced into the studies of continuous dynamical systems by Andronov and Pontryagin (1937). In 1988, after investigating oscillators with Coulomb friction and differential equations with discontinuous right-hand sides, Filippov developed a nomenclature to the study of discontinuous dynamical systems. Since then, researches have been trying to analyze the structural stability of discontinuous dynamical systems by different methods. One of these methods is to transform, without changing the structure of vector fields, these discontinuous systems in continuous systems where the study of structural stability is already known. This transformation, also known as regularization, can be developed in various ways. This work aims at presenting a regularization method using a transition function of vector fields Z in the plane with a discontinuous set S basing in regularization method presented by Sotomayor and Teixeira (1996) in their article, and, also to do a short study about structural stability in regularized vector fields using this method.

Orientador: Prof. Dr. Maurício Firmino Silva Lima / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2015. / Neste trabalho estudamos generalizações do Método de Melnikov para sistemas descontínuos no plano. Neste sentido, inicialmente abordamos esse problema como uma variação do estudo [1] onde um campo Hamiltoniano que admite um ciclo heteroclínico, cujo interior é folheado de órbitas periódicas, é perturbado por um campo Hamiltoniano não autonomo. Neste trabalho estendemos esse resultado para perturbações mais gerais (não conservativas) e apresentamos funções de Melnikov nesse novo contexto. Finalmente, abordamos o problema mais geral, relativo à perturbação de campos não conservativos, onde a função de Melnikov, associada a órbita heteroclínica, é obtida. / In this work we study generalizations of Melnikov's method to planar discontinuous dynamical system. Initially we study this problem as a variation of the work [1] where a Hamiltonian vector field that admits an heteroclinic cycle with its interior foliated by a family of periodic orbits is perturbed by a Hamiltonian perturbation. In this work we extended the results to more general perturbation (non conservative) and we show the Melnikov's functions in this new context. Finally, we approach a more general problem related to a perturbation of the non-conservative vector field where we obtained the Melnikov's function that is associated with a heteroclínic orbit.

Submitted by Otávio Henrique Perez null (otavio_perez@hotmail.com) on 2017-03-03T20:13:38Z No. of bitstreams: 1 DissertacaoOtavioHenriquePerez.pdf: 2570606 bytes, checksum: dd0f73a1627a83d453f101ef3a973d23 (MD5) / Approved for entry into archive by LUIZA DE MENEZES ROMANETTO (luizamenezes@reitoria.unesp.br) on 2017-03-09T17:45:41Z (GMT) No. of bitstreams: 1 perez_oh_me_sjrp.pdf: 2570606 bytes, checksum: dd0f73a1627a83d453f101ef3a973d23 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-09T17:45:41Z (GMT). No. of bitstreams: 1 perez_oh_me_sjrp.pdf: 2570606 bytes, checksum: dd0f73a1627a83d453f101ef3a973d23 (MD5) Previous issue date: 2017-02-23 / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / Neste trabalho iremos abordar aspectos qualitativos e geométricos a respeito de campos de vetores suaves por partes. Nosso foco será estudar bifurcações locais e globais de codimensão um e dois e também algumas relações de equivalência para campos vetoriais suaves por partes definidos no plano. Classificaremos e caracterizaremos bifurcações genéricas por meio do retrato de fase e do diagrama de bifurcação dos campos envolvidos. Também faremos uma breve introdução sobre Sistemas Slow-Fast. / In this work we study qualitative and geometric aspects of piecewise smooth vector fields. Our focus is to study local and global bifurcations of codimension one and two and some equivalence relations for piecewise smooth vector fields defined on the plane. We will classify and characterize generic bifurcations using the phase portrait and the bifurcation diagram of the vector fields involved. We also incorporate a brief introduction about Slow-Fast Systems. / FAPESP: 2014/18707-6

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 UBIRAJARA JOSe GAMA DE CASTRO.pdf: 516477 bytes, checksum: c0a8c62202b2da19be1a2dc69a29e416 (MD5) Previous issue date: 2011-02-24 / The main goal of this work is to study the behavior of Discontinuous Vector Fields in a neighborhood of a tipical singularity (tangency) using for this the regularization process developed by Teixeira and Sotomayor [9] and, using also, some technics of the Geometric Singular Perturbation Theory [2]. / O principal objetivo deste trabalho é estudar o comportamento numa vizinhança de uma singularidade típica (tangência) dos campos vetoriais descontínuos utilizando o processo de regularização desenvolvido por Teixeira e Sotomayor [9] e perturbações singulares [2].

O presente trabalho teve como objetivo o estudo do processo fermentativo de produção de retamicina, em biorreatores de bancada, utilizando-se a linhagem mutante Streptomyces olindensis So20, visando a obtenção de elevadas quantidades deste antibiótico, em processo descontínuo alimentado (fed-batch) e contínuo, bem como a implementação de técnicas de análise de imagens para a caracterização morfológica do microrganismo durante os cultivos. Os ensaios descontínuos alimentados visaram o controle da velocidade específica de crescimento durante a alimentação em três valores distintos (0,03 1/h, 0,10 1/h e 0,17 1/h), por meio do emprego de vazões exponenciais de alimentação. Foram realizados três conjuntos de ensaios descontínuos alimentados. No primeiro conjunto, foi verificada a influência da concentração de nutrientes utilizada na alimentação, mantendo-se a velocidade específica de crescimento em 0,03 1/h, durante a alimentação. De uma maneira geral, o aumento da concentração de nutrientes na alimentação, levou a um aumento na produção do antibiótico. No segundo conjunto de ensaios, foi estudada a influência da velocidade específica de crescimento sobre a produção de retamicina, empregando-se como alimentação o meio R5 modificado com apenas a concentração de glicose quadruplicada. Nesse conjunto de ensaios, ocorreu limitação de outros nutrientes, o que prejudicou o controle da velocidade específica de crescimento durante a alimentação. No entanto, essa limitação nutricional mostrou-se importante para a produção do antibiótico. No terceiro conjunto de ensaios, foi novamente estudada a influência da velocidade específica de crescimento sobre a produção de retamicina, empregando-se como alimentação o meio R5 modificado, agora com as concentrações de todos os nutrientes quadruplicadas, o que evitou limitações nutricionais e permitiu o controle da velocidade específica de crescimento durante a alimentação. Estes ensaios mostraram que o processo de produção de retamicina é favorecido pela manutenção de baixas velocidades específicas de crescimento, por ser este um metabólito secundário. A maior produção de retamicina ocorreu quando a velocidade específica de crescimento foi fixada em 0,03 1/h, durante a alimentação. Nos ensaios contínuos realizados, foi estudada a influência da vazão específica de alimentação (D) e, conseqüentemente, da velocidade específica de crescimento (µx) sobre a produção do antibiótico retamicina. Foram, realizados quatro ensaios contínuos, variando-se D entre 0,03 1/h e 0,30 1/h. A máxima produção de retamicina (tanto em termos de concentração, como em termos de produtividade e produção específica em retamicina total) ocorreu para D = 0,05 1/h. O aumento de D levou a uma diminuição da produção do antibiótico, a qual cessou para D = 0,30 1/h, mostrando um comportamento típico de um metabólito secundário. Foram utilizadas técnicas de análise de imagens na caracterização morfológica do microrganismo. O cisalhamento mostrou-se um importante fator no rompimento de pellets e na formação de clumps e hifas livres, principalmente nos ensaios contínuos. Em geral, a maior produção do antibiótico esteve associada a altas porcentagens de clumps no meio de cultivo. / The objective of the present work was to study retamycin production in fed-batch and continuous cultivations of Streptomyces olindensis So20, a mutant strain, in order to obtain high antibiotic concentrations and analyse microorganism morphology employing image analysis techniques. The fed-batch runs were performed in order to control the specific growth rate in three different values, during feed (0.03 1/h, 0.10 1/h, and 0.17 1/h), employing exponential feed rates. Three sets of fed-batch runs were carried-out. The first set, feed composition was varied, controlling the specific growth rate in a low value (0.03 1/h) during feed. In general, higher nutrient concentrations in the feed led to higher antibiotic production. In the second set of fed-batch runs, the control of the specific growth rate in three different values during feed was studied. The feed was composed by R5 Modified medium, with four-fold the glucose concentration only, which led to nutrient limitation during runs. This nutrient limitation prejudiced the specific growth rate control, but led to high antibiotic production. This fact showed that nutrient limitation is an important factor in retamycin production. In the third set of fed-batch runs, the control of the specific growth rate in three different values during feed was studied. In these runs, the feed was composed by R5 Modified medium, with four-fold all the nutrient concentrations, which avoided nutrient limitation, during runs. In these runs, the control of the specific growth rate during feed was possible. Results showed that retamycin production is favored by the maintenance of low specific growth rates, since it is a secondary metabolite. Higher antibiotic production was achieved controlling the specific growth rate in 0.03 1/h, during feed. In the continuous runs, the influence of the dilution rate (D), and consequently, of the specific growth rate (µx) on the retamycin production was studied. Four continuous runs were performed, varying D in the range from 0.03 1/h to 0.30 1/h. The highest antibiotic production (in terms of retamycin concentration, retamycin productivity and retamycin specific production) was obtained at D = 0.05 1/h. The increase in the dilution rate led to lower antibiotic production, which ceased at D = 0.30 1/h, showing a typical behavior of a secondary metabolite. Image analysis was used to assess the morphological characteristics of the microorganism. Shear showed to be an important factor in pellet disruption and in clump and free filaments formation, mainly in the continuous runs. In general, higher antibiotic production was obtained with the growth mainly in the form of clumps.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:07Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2008-02-26Bitstream added on 2014-06-13T19:06:47Z : No. of bitstreams: 1 santos_ild_me_sjrp.pdf: 434711 bytes, checksum: 230caec3d969a14efac9b1700fd1dd97 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Neste trabalho introduzimos uma classe de sistemas dinâmicos descontínuos com espaço tempo contínuo e analisamos Teoremas que asseguram condições suficientes para a estabilidade de Lyapunov utilizando funções de Lyapunov. Além disso, consideramos também Teoremas de Recíproca, que sob algumas condições garantem uma determinada necessidade para esses Teoremas de estabilidade de Lyapunov. / In this work we introduce a class of discontinuous dynamical systems with time space continuous and we analyze Theorems that ensure sufficient conditions for the Lyapunov stability using Lyapunov functions. Moreover, we also consider Converse Theorems, which under some conditions guarantee a determined necessity for those Theorems of Lyapunov stability.

Submitted by Marlene Santos (marlene.bc.ufg@gmail.com) on 2016-06-02T21:00:54Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Jeidy Johana Jimenez Ruiz - 2016.pdf: 946402 bytes, checksum: 0a36384eddfdcc5620d74725a24dd86a (MD5) license_rdf: 19874 bytes, checksum: 38cb62ef53e6f513db2fb7e337df6485 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-06-03T11:43:02Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Jeidy Johana Jimenez Ruiz - 2016.pdf: 946402 bytes, checksum: 0a36384eddfdcc5620d74725a24dd86a (MD5) license_rdf: 19874 bytes, checksum: 38cb62ef53e6f513db2fb7e337df6485 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-03T11:43:02Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Jeidy Johana Jimenez Ruiz - 2016.pdf: 946402 bytes, checksum: 0a36384eddfdcc5620d74725a24dd86a (MD5) license_rdf: 19874 bytes, checksum: 38cb62ef53e6f513db2fb7e337df6485 (MD5) Previous issue date: 2016-03-04 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / The study under existence and uniqueness of limit cycles of equations systems differential is a very active research topic in the qualitative theory of dynamical systems. In this theme we study this topic in discontinuous dynamic systems. Let’s make this in Liénard differentials equation systems, allowing a line of discontinuity. Furthermore, we present the known method of Averaging firstly in your classic version, that is, for class fields at least C2, we study also to generalized version, to piecewise- smooth dynamical systems. As a result, we use this tool to determine the number of limit cycles that can bifurcate of a planar center, inside the equation Liénard differentials equation class. / O estudo sobre existência e unicidade de ciclos limites de sistemas de equações diferenciais é um tópico de grande interesse na teoria qualitativa de sistemas dinâmicos. Nesta dissertação, estudamos este tópico em sistemas dinâmicos descontínuos. Vamos fazer esta análise em sistemas de equações diferenciais de Liénard, permitindo uma linha de descontinuidade. Além disso, vamos apresentar o conhecido método Averaging de primeira ordem, em primeiro lugar na sua versão clássica, isto é, para campos de classe pelo menos C2, depois apresentaremos também a versão generalizada, para sistemas diferenciais definidos por partes. Como resultado, fazemos uso desta ferramenta para determinar o número de ciclos limites que podem bifurcar de um centro planar, dentro da classe de equações diferenciais de Liénard.