Se considera un problema elíptico singular del tipo Kirchhoff. Bajo apropiadas condiciones sobre los datos se la existencia y unicidad de las soluciones positivas. El estudio de los sistemas elípticos no locales del tipo Kirchhoff ha cobrado particular interés, sobre todo después del trabajo de Lions, debido a que son modelos que representan una gran variedad de situaciones físicas en Ciencias e Ingeniería y que requiere herramientas nada triviales para resolverlos. / Tesis

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Esta memoria fue concebida con el objetivo de ser un aporte tanto a la matemática como a la neurociencia computacional. En el capítulo 1 se proveen los antecedentes bibliográficos necesarios. El capítulo 2 es una investigación sobre ecuaciones diferenciales estocásticas reflejadas en el caso multidimensional con drift dado por y matriz de difusión . Se obtiene una expresión explícita para la medida estacionaria primero cuando el dominio de reflexión es acotado y de clase , y posteriormente para dominios no necesariamente suaves ni acotados, pero que son aproximables por estos últimos. También se obtienen algunos resultados de convergencia a la medida estacionaria. En el capítulo 3 se propone un nuevo modelo para la toma de decisiones, que busca conciliar las discusiones de la literatura cognitiva con los hallazgos neurobiológicos recientes. En este modelo, se utiliza el proceso de Ornstein-Uhlenbeck con reflexiones en el primer cuadrante para dar cuenta de la dinámica aleatoria de las poblaciones de neuronas que están involucradas en la toma de una decisión. A través de simulaciones computacionales se muestra que el modelo es capaz de representar varios hechos empíricos asociados a la toma de decisiones. Cabe mencionar que aunque el capítulo 2 sea una investigación independiente, ésta fue motivada absolutamente por el interés de estudiar el modelo del capítulo 3. Finalmente, en el capítulo 4 se propone un mecanismo, basado en un algoritmo de aproximación estocástica, para dar cuenta de algunos fenómenos de aprendizaje. Este mecanismo implementa las ideas que recientemente se han propuesto en el campo de la neurociencia computacional, y tiene buenas propiedades matemáticas en tanto que garantiza la convergencia casi segura a una constante. Los resultados de simulación muestran que efectivamente se logra explicar el aprendizaje aunque la lentitud de la convergencia exige que se hagan mejoras, lo que queda propuesto como una línea de trabajo futuro.

Ingeniero Civil Matemático / En la presente memoria se abordan a fondo los problemas de la interferometría y la síntesis de Fourier, tanto en términos teóricos como en términos prácticos, en el contexto de las aplicaciones de estas herramientas en ciencias como la astronomía, a través de proyectos como ALMA \emph(Atacama Large Milimeter Array), SKA \emph{(Square Kilometre Array)} y VLA \emph{(Very Large Array)}, que basan su funcionamiento en la radioastronomía, rama de la ciencia que utiliza la interferometría como herramienta clave de sus estudios. Todo esto se fundamenta principalmente en el Teorema de Van Cittert - Zernike, proposición que indica lo siguiente: \emph{Si se denomina $V$ a la función de visibilidades de un frente de ondas, $I$ a su intensidad y $A$ el área de recepción efectiva del instrumento utilizado para captar la señal, entonces} $$V(u,v) = \iint A(x,y) I(x,y) e^{-2\pi i(ux+vy)}\ dxdy.$$ En otras palabras, el teorema citado indica que salvo una constante correspondiente al instrumento utilizado, la función de visibilidades de una onda y su intensidad son un par transformada/antitransformada de Fourier. El problema de la síntesis de Fourier consiste en palabras simples al de la reconstrucción de la función de intensidad de una señal, a partir de información parcial de su función de visibilidad. Esta memoria aborda diferentes técnicas de resolución de este problema, que pese a ser un problema mal puesto, es posible regularizarlo para obtener soluciones aproximadas. El resultado principal de este trabajo consiste en la presentación e implementación numérica de una nueva propuesta de solución, utilizando un enfoque variacional, que busca reducir los cálculos y tiempos de computación de las técnicas utilizadas en la actualidad, tales como CLEAN (1974) y MEM (1985), además de estudiar el efecto que genera la regularización de esta solución en diferentes ámbitos que serán detallados cuando corresponda. Se presentan sus resultados y se realizan comparaciones entre distintas soluciones, dependientes de los parámetros modificados en cada ocasión. Se termina la presente memoria analizando los resultados numéricos obtenidos con diversas reconstrucciones de imágenes y se comenta posible trabajo futuro y temas aún pendientes al término de este trabajo, que pueden constituir un aporte importante al desarrollo actual de estas técnicas en astronomía y disciplinas afines como la imagenología médica, que utiliza técnicas similares a las aquí estudiadas para la obtención (por ejemplo) de resonancias magnéticas en los pacientes atendidos.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En este trabajo se estudia un sistema de partículas cuya dinámica está determinada por mecanismos de ramificación y selección. Cada una de las $N\in \mathbb{N}$ partículas del sistema espera un tiempo exponencial de tasa $\tau > 0$ para generar un nuevo individuo posicionado, relativo al padre, según una medida de probabilidad $\mu$ en $\R$. Inmediatamente después de un evento de ramificación se elimina la partícula que está más a la izquierda dejando la cantidad de individuos constate. Si $\max x^N(t)$ es la posición de la partícula de más a la derecha a tiempo $t\geq 0$ entonces bajo ciertas hipótesis sobre $\mu$ se prueba que $\frac{\max x^N(t)}{t} \stackrel{t\to\infty}{\longrightarrow} v_N $ c.s., donde $v_N$ es una constante determinista, y que $v_N\nearrow v < \infty$, donde $v$ es la velocidad de la partícula de más a la derecha del sistema anterior pero sin el mecanismo de selección. El resultado principal de esta tesis determina una cota para la velocidad de convergencia de $v_N$ a $v$. Específicamente se prueba que $\liminf_{N\to\infty }(v - v_N)(\log N)^2 \geq C$ donde $C$ es una constante explícita dependiente de la transformada de Laplace de $\mu$. Finalmente se estudia un sistema similar a tiempo discreto y se exploran extensiones para el caso en que entre tiempos de ramificación las partículas se mueven según un proceso de Lévy.

En el capitulo I hacemos un resumen de propiedades del análisis funcional indicando a los espacios de sobolev. En el capitulo II damos los principales resultados a utilizar, como lo son el Teorema de Lax-Milgram, el Teorema de Interpolación, así mismo el resultado de Ivo Babuska donde usamos la condición de inf - sup y el resultado de Bernstein. En el capitulo III realizamos la descripción matemática de los elementos finitos triangulares. En el capitulo IV se define el espacio HL (O) , hacemos un cambio de global de variables y aplicamos el teorema de Bemstein,encontrando que la solución global esta en HA (O) nHL (O) ,así mismo asumimos que existe un cambio loca1 de variables En el capitulo V estudiaremos tres métodos distintos de elementos finitos especiales.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / This thesis deals with two different problems: in the first one, we study the large-time behavior of solutions of one-dimensional fractional Fisher-KPP reaction diffusion equations, when the initial condition is asymptotically front-like and it decays at infinity more slowly than a power x^b, where b < 2\alpha and \alpha\in (0,1) is the order of the fractional Laplacian (Chapter 2); in the second problem, we study the time asymptotic propagation of solutions to the fractional reaction diffusion cooperative systems (Chapter 3). For the first problem, we prove that the level sets of the solutions move exponentially fast as time goes to infinity. Moreover, a quantitative estimate of motion of the level sets is obtained in terms of the decay of the initial condition. In the second problem, we prove that the propagation speed is exponential in time, and we find a precise exponent depending on the smallest index of the fractional laplacians and of the nonlinearity, also we note that it does not depend on the space direction.

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / En este trabajo se presenta y estudia un modelo para el campo de temperaturas en la cara superior de una pila de lixiviación en presencia de evaporación e irrigada de forma puntual.El modelo consiste en un sistema de ecuaciones en derivadas parciales deducido del balance de los flujos de calor y masa en la cara superior de la pila. En estas ecuaciones las incógnitas son el flujo de masa en la superficie de la cara superior de la pila y la temperatura de la pila.Se muestran distintos resultados acerca de la existencia de soluciones para estas ecuaciones evaluando tres casos: Modelo radial: La cara superior es un circulo. Modelo geometría general sin evaporación: La cara superior es una superficie plana con borde suave y evaporación nula. Modelo geometría general con evaporación: La cara superior es una superficie plana con borde suave, tomando en cuenta evaporación no nula. En cada uno de los modelos se estudian las condiciones bajo las cuales los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales tienen solución y además que propiedades cumplen estas soluciones. En el modelo radial se demuestra la existencia y unicidad del campo bajo ciertas condi-ciones. También obtiene la existencia y unicidad de soluciones en el modelo con geometría general sin evaporación asumiendo que el riego no es puntual, en caso contrario solo se puede asegurar la existencia. En el modelo con geometría general y evaporación no nula, solo se logra demostrar la existencia de soluciones en un sentido débil. En todos los modelos se obtienen cotas que permiten entender el comportamiento del campo de temperaturas en función de las variables del problema. / CMM - Conicyt PIA AFB170001

El trabajo presenta el diseño e implementación de un software que tiene por nombre IntegraLAB el cual sirve como una herramienta para resolver problemas de integración de funciones y solución de ecuaciones diferenciales ordinarias aplicando métodos numéricos. / Tesis

Dada una 1-forma analítica real w = a(x,y)dx + b(x,y)dy. ¿Cómo reconocer si la ecuación w=0 posee una integral primera?. El Teorema del Centro nos da ciertas condiciones sobre la singularidad 0 E R cuadrado para que la ecuación Pfaff w=0 posea una integral primera analítica. Lo interesante en la demostración de este teorema (realizada por Robert Moussu en [11]) es como argumentos de la teoría de variable compleja son utilizados para demostrar este teorema de naturaleza real. Lo primero que hacemos es considerar la ecuación complejificada de w=0, esto es, consideramos los puntos (x,y) en el plano complejo C cuadrado. Como estamos interesados en la geometría de las soluciones (comportamiento cualitativo) surge la necesidad de la teoría de foliaciones. Pues, el complejificado de w induce una foliación singular de dimensión compleja 1, cuyas hojas localmente son las curvas solución del campo holomorfo (dual de la 1-forma holomorfa). El propósito siguiente es estudiar esta foliación asociada al campo holomorfo, pero lastimosamente no tenemos mucha información al respecto, sin embargo, mediante la técnica del Blow-up de la foliación en el punto 0 E C cuadrado, logramos obtener suficiente información acerca de esta foliación. Información que junto con el Grupo de Holonomía de una hoja y el Teorema de Mattei-Moussu nos conducen a la conclusión del teorema, la existencia de una integral primera para el campo holomorfo. Finalmente se sigue que la integral primera buscada para el campo analítico real es la parte real de la integral primera obtenida del campo holomorfo. / Tesis