In this paper we survey some recent variational principies, which have proved to be very useful in the applications to the theory of differential equations, both ordinary and partial. We start with a basic principle due to Ekeland [4}, which provides new proofs to the well known minimax theorems of Ambrosetti - Rabinowitz [2} and Rabinowitz{7}, {8}. For proofs of these results we refer to{8}. We also mention some applications to semilinear elliptic equations.

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El objetivo de este trabajo es hacer un estudio de las propiedades cualitativas de cierta clase de ecuaciones en diferencias de Volterra, se muestran algunos criterios de estabilidad, acotación y periodicidad para las soluciones, una de las principales formas através da cual haremos tal análisis es mediante el uso de funciones auxiliares apropiadas, las cuales son conocidas como funciones de Lyapunov. También se muestran algunos métodos de aproximación numérica para las soluciones de ecuaciones integrales de volterra y se estudia el error al aplicar el método de cuadratura de newton cotes, que nos conduce a una ecuación en diferencias de Volterra para el error, también se muestran algunos otros métodos como aproximación con polinomios ortogonales, polinomios de Bernstein y splines lineales y la simulación numérica correspondiente usando matlab. -- PALABRAS CLAVE: Ecuaciones en Diferencias, Ecuaciones en Diferencias de Volterra, Ecuaciones Integrales, Métodos de Cuadratura, Interpolación Polinomial / -- The objective of this work is do a study of the qualitative properties of certain kind of Volterra difference equations. We will show some criteria of stability, boundedness and periodicity for the solutions, One of the principal forms for means of whom we will do such analysis is using auxiliary function appropriate which is known and calls Lyapunov function. We will also show some methods of numerical approximation for solutions Volterra integral equations, we will study the error when using the method of quadrature of Newton cotes, this conducts us a Volterra difference equation for the error. We will also show methods approximation with orthogonal polynomials, polynomials of Bernstein and linear splines and the correspondent numerical simulation using matlab. . -- KEYWORDS : Difference equations Volterra Diference Equations Integral equations, Methods of Quadrature, Polynomial Interpolation / Tesis

Estudia la existencia y unicidad de la solución débil para una ecuación de evolución de segundo orden, presentados en dos casos, semi lineal y lineal, obteniendo regularización de la solución débil para el caso semi lineal y la dependencia continua sobre los datos iniciales para el caso lineal. Para se utiliza el método de Faedo-Galerkin y la igualdad de la Energía, esta última está basada del libro Problemas Aux Limites non Homogéneas et Applications, volumen 1, de Lions J. y Magenes E. Finalmente, se abordan algunas aplicaciones a las ecuaciones diferenciales parciales. / Tesis

Estudia ecuaciones elípticas de la forma (P) −∆u + λu = f(x, u), en Ω, u ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) es un dominio limitado o Ω = R N y f : Ω × R → R es una función continua con condiciones de crecimiento subcrítico y crítico. También estudia sistemas de ecuaciones elípticas de la forma (S)    −∆u = f(x, u, v), em Ω, −∆v = g(x, u, v), em Ω, u, v ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) , f, g : Ω × R 2 → R son funciones continuas con condiciones de crecimiento subcrítico. Encuentra soluciones definidas en H1 0 (Ω) × H1 0 (Ω), para sistemas elípticos de tipo gradiente y de tipo hamiltoniano. Para la existencia de soluciones usa Métodos Varacionales, haciendo uso especial del Teorema del Paso de Montaña. / Tesis

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniera Civil Matemática / Consideramos un volumen $V\subset \R^3$ generado al rotar alrededor del eje $Z$ un dominio $\Omega \subset \R^2$ acotado y suave que vive en el plano $XZ$. En este trabajo se construye una solución del flujo de mapa armónico del volumen $V$ a la esfera $S^2$ que revienta en tiempo finito, el problema es \begin{eqnarray*} v_t &=& \Delta v + |\nabla v |^2 v \text{ in } V \times (0,T)\\ v &=& v_{\partial V} \text{ in } \partial V \times (0,T)\\ v(\cdot , 0) &=&v_0 \text{ in } V, \end{eqnarray*} donde $v: V \times [0,T) \to S^2$, $v_0 : \overline{V} \to S^2$ es suave y $v_{\partial V}=\left. v_0\right|_{\partial V} : \partial V \to S^2$. Dado un punto $q \in \Omega$ de define la circunferencia $c(q)$ generada al rotar el punto $q$ alrededor del eje Z. Se encuentran datos iniciales y de frontera tales que la solución $v$ revienta exactamente en la curva $c(q)$ en un tiempo finito pequeño. La construcción de la solución se hace reduciendo el problema a 2 dimensiones y usando el método de Dávila, Del Pino y Wei \cite{dav} que transforma el problema en un sistema de \textit{inner-outer gluing} que separa el efecto principal de la ecuación cerca y lejos de la singularidad. Se obtiene una solución cuyo orden principal cerca de la singularidad tiene el perfil de un mapa armónico 1-corrotacional escalado. En la introducción se recuerdan la ecuación de flujo de mapa armónico y su origen, se establece el problema y la reducción a 2 dimensiones. En el primer capítulo se enuncian resultados útiles de topología y análisis funcional, y propiedades probadas en \cite{dav} para los mapas armónicos 1-corrotacionales y el operador linealizado en torno a ellos. En el segundo capítulo se obtiene un ansatz de la solución y se usa el método de Dávila, Del Pino y Wei \cite{dav} para reducir el problema a resolver un sistema de \textit{inner-outer gluing} que después se resuelve usando punto fijo. En el capítulo cuatro se obtienen las hipótesis para el punto fijo mediante estimaciones a priori obtenidas dividiendo el sistema en tres problemas principales: el problema interior, el problema exterior y el problema de los parámetros. En la parte final se concluye con algunas observaciones sobre este trabajo y posibles trabajos futuros en torno a el. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto Fondecyt 1150066 y el Centro de Modelamiento Matemático, Proyecto Basal PFB 03 / Fondecyt 1150066 y CMM - Conicyt PIA AFB170001

Existen muchos modelos matemáticos sobre control biológico, siendo de interés práctico en agricultura ecológica. Un método conocido para el control de la mosca de la fruta es el método de las moscas estériles que son propagadas con cierto tamaño de población, habiéndose planteado diversos modelos al respecto, tanto continuos como discretos, para predecir las condiciones bajo las cuales la población de moscas pueda ser eliminada. En este reporte se han estudiado dos modelos continuos simples planteados por J. D. Murray (Mahematical Biology, Springer- Verlag, 1990) que tienen carácter académico y pedagógico, especialmente para ilustrar las condiciones bajo las cuales se puede eliminar la población de moscas.

Las ecuaciones de Boussinesq son un tipo de ecuaciones derivadas de las ecuaciones de Euler y que modelan la propagación sensiblemente bidimensional de ondas largas de gravedad y de pequeña amplitud sobre la super cie de un canal. Un modelo de este tipo en un canal de fondo plano está dado por el sistema (P1)donde las variables adimensionales y w representan respectivamente, la de flección de la super ficie libre del líquido respecto a su posición de reposo y la velocidad horizontal del fluido a una profundidad de raíz cuadrada 2/3h; donde h es la profundidad del fluido en reposo. Dicho modelo es desde luego un sistema de ecuaciones diferenciales de Korteweg-de Vries acopladas a través de los efectos dispersivos y los términos no lineales. Por otro lado, el sistema (P1) al estar referido a un fl uido incompresible no viscoso no recoge los efectos de la viscosidad ; sin embargo al ser desacoplado podemos introducir tales efectos, resultando un sistema del tipo Korteweg-de Vries - Burger dado por (P2) En este trabajo se estudia el PVI asociado a (P2) en los espacios Hs estableciendo su buena formulación local para s > 3/2 y buena formulación global para s >= 2; en este último caso se muestra adicionalmente que la solución global decae asíntoticamente en el tiempo. Finalmente, se muestra que el PVI asociado a (P1) está bien formulado localmente como consecuencia de la buena formulación local de (P2). / Tesis

En el presente trabajo, el cual está basado en [7] y [8], analizamos dos métodos para construir esquemas de alto orden compactos para resolver la ecuación del calor bidimensional en un dominio espacial rectangular. También explicamos paso a paso la construcción de un método no eficiente y otro eficiente (desde el punto de vista computacional) para calcular esquemas de alto orden compacto, partiendo desde los esquemas unidimensionales de alto orden hasta finalizar con el algoritmo respectivo en pseudocódigo, esto con el objetivo de resolver problemas de valor inicial y condiciones de frontera periódicas para la ecuación del calor bidimensional. Finalmente estudiamos las condiciones generales de estabilidad para el caso de condiciones de frontera no periódicas, cuyo análisis es omitido por [7] y [8]. Primeramente definimos h como el tamaño de paso para la discretización espacial, ¢t como el tamaño de paso para la discretización temporal, y N como la cantidad de operaciones que deben realizarse para hallar la solución numérica. El primer método presentado se considera ineficiente, a diferencia del segundo método que sí se considera eficiente, según el siguiente criterio: Un esquema numérico se considera eficiente si cumple las tres siguientes condiciones: estabilidad, orden de aproximación a la solución analítica mayor a O(h2), y complejidad computacional inferior a O(N3) para el caso unidimensional. Se prefieren los esquemas implícitos a los explícitos y asumir condiciones de frontera periódicas, dada la dificultad para hallar esquemas de alto orden compacto estables que consideren condiciones de frontera tanto periódicas como no periódicas. Finalmente por motivo de la complejidad computacional al hallar la solución numérica, se prefieren algoritmos optimizados en lugar de algoritmos iterativos con más de dos bucles anidados, ya que los métodos de diferencias finitas en general implican operaciones entre vectores y matrices, lo que suele incrementar la complejidad computacional de los algoritmos empleados en su implementación. / In the present work, that is based on [7] and [8], we analyze two methods to construct high order compact schemes to solve the bidimentional heat equation in a rectangular domain. Also we explain step by step the construction of a non efficient method and an eficient one (from the computational point of view) for calculating high order compact schemes. We start with the high order unidimensional schemes and end with the respective algorithm in pseudocode, this is for solving initial value problems with periodic boundary conditions for the bidimensional heat equation. Finally we study the general conditions for stability in the case of non periodic boundary conditions. This analysis is omitted by [7] and [8]. First we define h as the spatial discretizing step size, ¢t as the time discretizing step size, and N as the number of operations to make for finding the numerical solution. The first shown method is considered inefficient, on the other hand the second one is considered efficient according to the following criteria: A numerical scheme is considered efficient if if satisfy these three conditions: stability, accuracy order to the analytical solution superior to O(h2), and computational complexity inferior to O(N3) for the unidimensional case. Implicit schemes are prefered to explicit ones and asumming periodic boundary conditions, because it is difficult to find stable high order compact schemes with periodic and non periodic boundary conditions. Finally because of the computational complexity to find the analytical solution, it is preferred optimized algorithms to iterative altorithms with more than two nested loops. Finite difference methods imply vectorial and matricial operations, and this often increments the computational complexity of the implemented algorithms. / Tesis

El objetivo en esta tesis consiste en demostrar la buena formulación local del problema de valor inicial donde u = u(x,t) para x E R y t >= 0 en los espacios de Sobolev clásicos H1/4(R). Para la demostración se utiliza el método de los estimados lineales de Kenig, Ponce y Vega con el fin de probar la existencia y unicidad de solución local de la ecuación integral asociada al PVI (1), además la dependencia continua de la solución respecto del dato inicial. La técnica usada para obtener estos resultados está basada en el teorema de punto fijo de Banach combinado con los efectos regularizantes del grupo de operadores unitarios asociados a la parte lineal. / Tesis