En este trabajo estudiamos un modelo de competencia de dos depredadores que compiten por una misma presa sin interferencia entre ellos. Nuestro enfoque mejora al modelo estudiado por Hsu, Hubbel y Waltman en [6} por medio de un replanteamiento del modelo considerando que existen tiempos de retardo que afectan el crecimiento de las especies depredadoras. En este sentido, hemos considerado que en el tiempo actual las poblaciones depredadoras dependen de las densidades en tiempos pasados de la población presa. El resultado principal de este trabajo consiste en demostrar que el sistema es puntualmente disipativo lo que conlleva a la existencia de atractores globales para las soluciones del sistema.

Ingeniero Civil Mecánico / El propósito de este trabajo es realizar, a través de la creación de un código de Matlab, un modelo general que permita medir la marcha de una persona utilizando acelerómetros y que encuentre ecuaciones que describan -en función del tiempo- la posición y aceleración medidas. Con esto, se espera en el futuro poder construir prótesis transfemorales que permitan a una persona que haya sufrido una amputación de este nivel, una buena rehabilitación, para que pueda así llevar una vida más independiente. La investigación comienza entonces con la calibración de los sensores a utilizar, de manera que los datos referenciales entregados por ellos pasen a ser datos reales -de posición angular y aceleración- e interpretables. Una vez calibrados, es posible comenzar con las mediciones de marcha de una persona, las cuales tienen una duración de alrededor de 9 segundos, midiendo cada 0.01 segundos, presentando un total de cerca de 900 datos por marcha medida. Luego de obtener satisfactoriamente los datos de posición angular y aceleración, en el plano sagital o perfil, tanto para la zona tibial como para la zona femoral, se procede a realizar el modelo matemático. En una primera instancia, se intentó utilizar un programa llamado Eureqa, el cual realiza las aproximaciones por sí mismo, y entrega ecuaciones que representan la curva encontrada. Sin embargo, no se logró hacerlo converger a soluciones como las que se buscaban. En vista de esto, se optó seguir con el desarrollo del código en Matlab. El modelo, entonces, consiste en la realización de un ajuste de bases linealmente independientes fundado en la utilización de series de Fourier, las cuales corresponden a una suma de senos y cosenos que van variando su frecuencia característica. Cada suma de seno y coseno con igual frecuencia es conocida como armónicos. La cantidad de armónicos que se desee que tenga la aproximación permiten afinar o no la aproximación realizada. El modelo termina realizando una homologación entre los distintos términos presentes en los armónicos encontrados, y entrega la solución característica de una ecuación diferencial de segundo orden. Ya con los términos calculados, es posible obtener las ecuaciones diferenciales ordinarias que representan a cada uno de estos armónicos. La suma de las soluciones de estas ecuaciones corresponde, entonces, a la posición angular en función del tiempo del segmento que se esté estudiando. Mientras que la suma de la segunda derivada de cada una de estas soluciones representaría la aceleración medida en función del tiempo, logrando así los objetivos buscados. El trabajo concluye con la presentación de los resultados obtenidos, junto con las ecuaciones encontradas, para mediciones realizadas en una persona de sexo masculino, de 86 kilogramos y 1.8 metros de altura. Con estos resultados es posible comenzar con la etapa de diseño de la prótesis, la cual permitirá dar un paso importante en la fabricación de prótesis en Chile.

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El presente artículo nos muestra una investigación numérica que tiene como objetivo la búsqueda de atractores extraños durante el Ciclo Onírico. El atractor es representado en un espacio de fase tridimensional estructurado en base a una serie de tiempo. La reconstrucción tridimensional del atractor está basada en datos experimentales de frecuencia cardiaca de una persona en estado onírico que sufre del síndrome de apnea, usando para ello el método de las coordenadas de retardo.

Existen muchos modelos matemáticos sobre control biológico, siendo de interés práctico en agricultura ecológica. Un método conocido para el control de la mosca de la fruta es el método de las moscas estériles que son propagadas con cierto tamaño de población, habiéndose planteado diversos modelos al respecto, tanto continuos como discretos, para predecir las condiciones bajo las cuales la población de moscas pueda ser eliminada. En este reporte se han estudiado dos modelos continuos simples planteados por J. D. Murray (Mahematical Biology, Springer- Verlag, 1990) que tienen carácter académico y pedagógico, especialmente para ilustrar las condiciones bajo las cuales se puede eliminar la población de moscas.

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Propone un modelo matemático que describe la dinámica de la malaria, formado por ecuaciones diferenciales ordinarias(ODEs). Los resultados muestran que si el número de reproducción R0 es menor que 1, entonces el punto de equilibrio libre de enfermedad es estable, por lo tanto la enfermedad desaparece. Si R0 es mayor que 1, entonces el punto de equilibrio libre de enfermedad es inestable, por lo tanto la enfermedad se propaga. Se realiza simulaciones numéricas con el software matemático Matlab. Estas simulaciones muestran el comportamiento de las poblaciones en el tiempo y la estabilidad de los puntos de equilibrio libre de enfermedad y endémicos. / Trabajo de suficiencia profesional

Estudia el Espectro de Fucik para un sistema acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores en la frontera, donde λ+, λ−, μ− ∈ R+ ∪{0} , w+ = max{w, 0 } , w− = max{−w, 0 } y Bw = 0 representa las condiciones de frontera tipo Dirichlet o Neumann. Obtiene familias explícitas de puntos (λ+, λ−, μ−) del espectro de Fucik y construye familias explícitas de soluciones no triviales (u, v) para el problema dado. Demuestra que el espectro de Fucik está formado por superficies y describe explícitamente la parte trivial del espectro, correspondiente a soluciones que no cambian de signo, probando que para el problema Dirichlet está compuesto por un plano y un cilindro hiperbólico, y para el problema Neumann está compuesto por los tres planos coordenados. Luego, usando el Teorema de la Función Implícita, prueba la existencia de superficies en la parte no trivial del espectro, correspondiente a soluciones que cambian de signo. / Tesis

Ingeniero Civil Matemático / Este trabajo de memoria de título presenta un estudio de la ecuación de perturbación singular de Allen-Cahn con inhomogeneidad: \begin{equation}\ep^2\div\left(a(x)\cdot\nabla_{x}u(x)\right)+a(x)f(u(x))=0,\quad\text{ en }\quad\R^2 \label{AllenCahnEq}\end{equation} donde $\varepsilon>0$ es un parámetro pequeño, $a(x)$ es un potencial uniformemente positivo y suave, que induce una forma de medir distancias para puntos en $\R^2$, y $f$ es la nolinealidad dada por $f(u)=u-u^3$. El estudio aborda la construcción de soluciones enteras de~\eqref{AllenCahnEq}, bajo la condición que $u$ se anule cerca de una curva $\Gamma\subset \R^2$. El enfoque propuesto asume que $\Gamma$ es una curva no acotada, geodésica no-degenerada relativa al funcional de longitud de arco $\int_{\Gamma}a(\vec{x})$, con curvatura $k_{\Gamma}$ suave que decae a una tasa polinomial. Es de interés el estudio de la ecuación de Allen-Cahn con presencia de un término de inhomogeneidad $a(x)\not\equiv 1$, ya que esto conlleva el estudio de curvas geodésicas para una métrica no trivial de $\R^2$. Además, es relevante considerar que el conjunto nodal de $u$ yace cerca de una curva no acotada, pues esto se refleja en el estudio de ecuaciones diferenciales en contextos no compactos. El resultado principal asegura la existencia de una solución de~\eqref{AllenCahnEq}, la cual converge exponencialmente a $\pm 1$ cuando $x$ se aleja de $\Gamma$. Un segundo resultado entrega ejemplos de potenciales $a(x)$ y curvas $\Gamma$, para los cuales es posible construir una solución $u$ con el comportamiento antes descrito. La demostración de este resultado está basada en una técnica conocida como reducción infinito dimensional de Lyapunov-Schmidt, la cual motiva a la elección de un candidato a solución del tipo $u = w + \phi$, donde $w$ en coordenadas adecuadas resuelve $w''+f(w)=0$, y determina el perfil de $u$ a orden principal. Además $\phi$ es una función de corrección, con el fin de convertir a $u$ en solución exacta de~\eqref{AllenCahnEq}, lo que obliga a $\phi$ a resolver una ecuación diferencial no lineal. De ahí en más, el problema consiste en estudiar la existencia y unicidad de la última ecuación en un espacio funcional adecuado. Esto se realizó analizando el operador linealizado asociado a la ecuación de Allen-Cahn, y luego el problema no-lineal que es resuelto mediante un esquema de punto fijo. Para el ultimo análisis, fue necesario ajustar $\Gamma$ en un parámetro de perturbación $h$, lo que equivale a una EDO no lineal en $h$ donde participa la segunda variación del funcional de largo $l_{a,\Gamma}$ asociado a $\int_{\Gamma}a(\vec{x})$. Finalmente, el método utilizado no sólo provee la existencia de una solución $u$ de~\eqref{AllenCahnEq}, sino que además entrega una caracterizacón completa de ésta, tanto en tamaño como en comportamiento cualitativo en coordenadas relacionadas a la curva $\Gamma$.