Es un hecho conocido la creciente importancia y el amplio campo de aplicación que las ecuaciones en derivadas parciales tienen en la construcción de modelos matemáticos para la descripción de una gran variedad de problemas provenientes de diversas áreas del saber como, por ejemplo, la economía, la física, la biología. Muchos procesos de las ciencias aplicadas se pueden modelar matemáticamente por medio de ecuaciones de evolución. Estas ecuaciones, llamadas ecuaciones de estado, describen los fenómenos físicos a estudio. En las ecuaciones de estado de las teorías matemáticas clásicas intervienen operadores lineales. Sin embargo, algunos de los modelos más complejos utilizados por las distintas ramas de la ciencia involucran ecuaciones diferenciales no lineales. Esto es claro en el caso de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos pero en el de las ecuaciones en derivadas parciales no fue siempre así, debido quizás a la ausencia de una teoría general para las mismas. Un motivo por el cual los sistemas no lineales son más difíciles de analizar matemáticamente es que ´estos presentan una serie de propiedades que no muestran las teorías lineales. Por otra parte, las características esenciales de ciertos fenómenos del mundo real que describen las ecuaciones de estado están relacionadas directamente con las propiedades originadas por el carácter no lineal de dichas ecuaciones. Los problemas que típicamente se presentan en el estudios de ecuaciones diferenciales son los relativos a existencia de soluciones locales y globales en tiempo, unicidad de las mismas, regularidad y dependencia de las condiciones iniciales, y comportamiento asintótico, para tiempo grande, de las soluciones globales en tiempo. De esto último será de lo que nos ocuparemos a lo largo de esta tesis.

Ingeniero Civil Matemático / En este trabajo buscamos obtener imágenes de las distribuciones internas de fuentes radioactivas y mapa de atenuación para el procedimiento médico usado en tomografía SPECT, usando mediciones balísticas y de primer orden de scattering. Con este objetivo, modelamos matemáticamente el problema tridimensionalmente utilizando la ecuación de transferencia radiativa, logrando explicitar el operador no-lineal que entrega las mediciones en función de la distribución de fuentes radioactivas y mapa de atenuación. Derivando direccionalmente el operador no-lineal, obtuvimos un operador lineal que define el problema inverso linealizado. Bajo hipótesis de regularidad sobre la distribución de fuentes radioactivas y mapa de atenuación y, considerando baja atenuación, se demostró rigurosamente que el operador lineal es invertible y se calculó explícitamente su inversa. La demostración de la invertibilidad del operador linealizado consta de varias etapas. En una primera etapa se descompone el operador en una parte $L$ invertible y una perturbación $Q$ que sea pequeña para pequeñas atenuaciones en el espacio funcional adecuado. En una segunda etapa, se estudian las propiedades de regularidad de $L$ y $Q$ mediante métodos que incluyen estimaciones sobre la inversa de la transformada de Radon atenuada y de la transformada de Radon con pesos como operadores integrales en espacios de Sobolev con exponente fraccionario. Finalmente se concluye la invertibilidad de $L+Q$ acotando la norma de $L^{-1}Q$ y usando series de Neumann. Usando el resultado previo de inversión para el operador lineal, se plantearon en este trabajo nuevos tipos de algoritmos iterativos de recuperación de fuentes y atenuación para la tomografía SPECT. Estos algoritmos incluyen un algoritmo para el problema inverso linealizado usando series de Neumann, un algoritmo para el problema inverso no-lineal usando el método de Newton-Raphson y un algoritmo heurístico para el no-lineal el cual fue implementado numéricamente. El análisis teórico del problema linealizado provisto por este estudio representa un paso previo fundamental para el estudio de la convergencia de los algoritmos numéricos antes propuestos. Al comparar el algoritmo heurístico implementado en este trabajo con la metodología tradicional de SPECT, tanto en experimentos con datos reales como sintéticos, se observa una mejora en la recuperación de fuentes, además de contar con la reconstrucción adicional del mapa de atenuación del medio.

Presenta el método integral de Melnikov para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias hamiltoniano, asociado a una perturbación uniparamétrica. Desarrolla un método para probar la existencia o no existencia de puntos homoclínicos transversales. Presenta como aplicación un estudio sobre la existencia y unicidad de una solución de tipo onda viajante para un modelo matemático en la combustión en un medio poroso.

Prueba la existencia de la solución débil del problema de Dirichlet semilineal donde Ω es undominio (abierto y conexo) acotado en RN de clase C2 , f : Ω x R R es una función de Carathéodory que satisface ciertas condiciones y h E Lp (Ω). La existencia de la solución débil del problema Dirichlet semilineal se prueba por medio del siguiente resultado: todo funcional definido en un espacio de Banach que tiene mínimo y es Fréchet diferenciable en dicho espacio, posee un punto crítico. En nuestro trabajo construiremos un funcional sobre H10 (Ω) cuyo punto crítico será la solución débil del problema mencionado.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En este trabajo se aborda el problema de encontrar soluciones regulares para algunas EDPs elípticas e hipo-elípticas no lineales y estudiar sus propiedades cualitativas. En una primera etapa, se considera la ecuación $$ -\Delta u = \lambda e^u, $$ $\lambda > 0$, en un dominio exterior con condición de Dirichlet nula. Un esquema de reducción finito-dimensional permite encontrar infinitas soluciones regulares cuando $\lambda$ es suficientemente pequeño. En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones de la ecuación no local $$ (-\Delta)^s u = u^{p \pm \epsilon}, u > 0, $$ en un dominio acotado y suave, con condición de Dirichlet nula; donde $s > 0$ y $p:=(N+2s)/(N-2s) \pm \epsilon$ es cercano al exponente crítico ($\epsilon > 0$ pequeño). Para hallar soluciones, se utiliza un esquema de reducción finito-dimensional en espacios de funciones adecuados, donde el término principal de la función reducida se expresa a partir de las funciones de Green y de Robin del dominio. La existencia de soluciones dependerá de la existencia de puntos críticos de este término principal y de una condición de no degeneración. Por último, se considera un problema no local en el grupo de Heisenberg $H$. En particular, se buscan propiedades de rigidez para soluciones estables de $$ (-\Delta_H)^s v = f(v) en H, $$ $s \in (0,1)$. Como paso fundamental, se prueba una desigualdad del tipo Poincaré en conexión con un problema elíptico degenerado en $R^4_+$. Esta desigualdad se usará en un procedimiento de extensión para dar un criterio bajo el cual los conjuntos de nivel de las soluciones del problema anterior son superficies mínimas en $H$, es decir, tienen $H$-curvatura media nula.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En este trabajo se aborda el problema de existencia de algunos tipos de soluciones para las ecuaciones de ondas en el agua así como la relación que existe entre estas soluciones y la forma de un fondo impermeable sobre la que se desliza el fluido. Empezamos por describir las ecuaciones que modelan el fenómeno físico a partir de las leyes de conservación; el modelo general de las ecuaciones de ondas en el agua, escrito para la restricción de la velocidad potencial a la superficie libre, es \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\partial_t\zeta-G(\zeta,b)\psi=0, \\ &\partial_t\psi+g\zeta+\frac{1}{2}|\nabla_X\psi|^2-\frac{1}{2(1+|\nabla_X\zeta|^2)}(G(\zeta,b)\psi+\nabla_X\zeta\cdot\nabla_X\psi)^2=0, \end{aligned} \right. \end{equation*} donde $G=G(\zeta,b)\psi$ es el operador Dirichlet-Neumann, el cual contiene la información del fondo $b$, \begin{equation*} G(\zeta,b)\psi:=-\sqrt{1+|\nabla_X\zeta|^2}\partial_n\phi|_{y=\zeta(t,X)}, \end{equation*} y \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rl} & \Delta\phi=0, \quad \R\times(b,\zeta), \\ & \phi|_{y=\zeta}=\psi, \quad \partial_n \phi|_{y=b(X)}=0. \end{array} \right. \end{equation*} Después de describir las condiciones para un teorema de existencia y unicidad de soluciones de las ecuaciones de ondas en el agua, en espacios de Sobolev, nos preguntamos sobre el mínimo de datos necesarios, sobre la superficie libre, para identificar el fondo de manera única. Por la relación que existe entre el operador Dirichlet-Neumann y la velocidad dentro del fluido y utilizando la propiedad de continuación única de las funciones armónicas hemos probado que basta conocer el perfil, la velocidad potencial y la velocidad normal en un instante de tiempo dado y un abierto de $\R$, aún cuando nuestro sistema es de evolución. En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones en forma de salto hidráulico para las ecuaciones estacionarias de ondas en el agua, en dimensión dos y su relación con la velocidad aguas arriba, caracterizada por un parámetro adimensional, llamado el número de Froude, $F$, como consecuencia de la existencia de ramas de bifurcación de la solución trivial para el problema \begin{equation*} \mathcal{F}(\eta,F)=\eta+F\widetilde{\psi}_{y^{\prime }}+\frac{\epsilon}{2}(% \widetilde{\psi}_{x^{\prime }}^2+\widetilde{\psi}_{y^{\prime }}^2)-\epsilon^2\eta_x\widetilde{\psi}_{x^{\prime }}\widetilde{\psi}% _{y^{\prime }}+\frac{\epsilon^3}{2}\eta_x^2\widetilde{\psi}_{y^{\prime }}^2; \end{equation*} donde \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\Delta\widetilde{\psi}=\epsilon G, && (-L,L)\times(0,1), \\ &\widetilde{\psi}_{x'}=0, && x'=-L,L, \\ &\widetilde{\psi}=0, && y'=0, \\ &\widetilde{\psi}=-F\eta, && y'=1. \end{aligned} \right. \end{equation*}

Se desarrolla el método de elementos finitos para resolver un problema parabólico no lineal como es el caso de la ecuación de Fisher-Kolmogorov unidimensional, la cual es una clase importante de ecuaciones de reacción-difusión. Primero se parte de la aplicación del método de elementos finitos para resolver una ecuación diferencial lineal sujeta a condiciones de frontera, posteriormente se desarrolla el método de elementos finitos para resolver una ecuación diferencial no lineal con condiciones de frontera. Finalmente se resuelve por el método de elementos finitos, la ecuación de Fisher-Kolmogorov sujeta a condición inicial y de frontera, cuyos resultados numéricos son mostrados en las gráficas obtenidas en MATLAB. / Tesis

Estudia la ecuación de Poisson, con condiciones de frontera tipo Robin, en una región anular. Demostrando resultados de existencia y unicidad de la solución débil, para dos sub-problemas, utilizando el método de formulación variacional y el Teorema de Lax-Milgram, asociado a espacios de Sobolev. En este análisis también mostramos resultados de regularidad de la solución utilizando series de Fourier y finalmente establecemos una relación entre el flujo de transferencia de calor y la temperatura externa del tubo a través de un operador lineal compacto. / Tesis

Los métodos numéricos de alto orden, necesarios para la discretización espacial, son una de las áreas más activas del campo de la dinámica de fluidos computacional (CFD en sus siglas en inglés). Dentro de estos, los Métodos de Volúmenes Finitos (MVF) han encontrado difcultades en la implementación de los procesos de reconstrucción. En el presente trabajo presentamos e implementamos en Python un novedoso proceso de reconstrucción compacto de alto orden propuesto por Q. Wang [22]. La novedad yace en que el orden alto es alcanzado usando un estencil compacto; es decir, usando únicamente celdas vecinas. En este proceso se obtiene un conjunto de relaciones que sirven para obtener los coeficientes de los polinomios de reconstrucción sobre los volúmenes de control de interés preservando sus valores promedios y el de sus derivadas. Con estas relaciones obtenemos un sistema lineal sobredeterminado que al ajustarse por mínimos cuadrados resultan en un sistema tridiagonal por bloques para el caso de una ecuación de advección 1D. Para esta ecuación de advección usamos además el Análisis de Fourier para examinar los números de onda modificados por el MVF compacto. La reconstrucción incluye parámetros que son optimizados para mejorar las propiedades de dispersión/disipación. Así mismo, el análisis de estabilidad de von Neumann nos permite estimar el número CFL (Courant Friedrich Levy) máximo para dos métodos de Runge-Kutta. Finalmente, validamos tanto los órdenes de convergencia de la combinación del MVF compacto con dos esquemas de Runge-Kutta como los parámetros óptimos de los esquemas de reconstrucción. / The numerical methods of high order, necessary for spatial discretization, are one of the most active areas of the field of Computational Fluid Dynamics. Within these, Finite Volume Methods (abbreviated as MVF in spanish) have encountered difficulties in the implementation of reconstruction processes. In the present work we present a novel high order compact reconstruction process proposed by Q. Wang [22], and implemented in Python. The novelty lies in that high order is achieved using a compact stencil, that is, using only neighboring cells. In this process we obtain a set of relations that are constructed to obtain the coefficients of reconstruction polynomials on the control volumes of interest, preserving their average values and that of their derivatives. With these relations we obtain an overdetermined linear system that is adjusted by least squares resulting in a tridiagonal system by blocks in the case of a 1D advection equation. For this advection equation we also use the Fourier Analysis to examine the wave numbers modified by the compact MVF. The reconstruction includes parameters that are optimized to improve the dispersion / dissipation properties. Furthermore, the von Neumann stability analysis allows us to estimate the maximum CFL number for two Runge-Kutta methods. Finally, we validate the convergence orders of the combination of the compact MVF with two schemes of Runge-Kutta and we also validate the optimal parameters of the reconstruction schemes. / Tesis

Estudia el problema de la controlabilidad exacta en el interior del dominio Ω asociado a la ecuación semilineal parabólica { y′ − ∆y + f(y) = h , en Q | y = 0 , sobre Σ | y(0) = y0 , en Ω. Se demuestra que para cada estado inicial y 0 ∈ L 2 (Ω) y cada estado final z 0 ∈ L 2 (Ω), es posible encontrar una función control h ∈ L 2 (0, T; H−1 (Ω)) que al actuar sobre el sistema conduzca al estado y(x, t) hacia el estado final z 0 en el tiempo T. Además, se demuestra que el control h es Lipschitz continúo sobre los estados finales y se estudia el comportamiento de h cuando f tiende a cero. En la parte final del trabajo se estudia algunas aplicaciones del teorema principal, por ejemplo a los modelos semilineales de Fisher, Kierstead, Slobodkin y Skellam, Fisher - KPP y Jin-ichi-Nagumo. / Tesis