Ossos são sólidos não homogêneos com estruturas altamente complexas que requerem uma modelagem multiescala para entender seu comportamento eletromecânico e seus mecanismos de remodelamento. O objetivo deste trabalho é encontrar expressões analíticas para as propriedades elástica, piezoelétrica e dielétrica efetivas de osso cortical modelando-o em duas escalas: microscópica e macroscópica. Utiliza-se o Método de Homogeneização Assintótica (MHA) para calcular as constantes eletromecânicas efetivas deste material. O MHA produz um procedimento em duas escalas que permite obter as propriedades efetivas de um material compósito contendo uma distribuição periódica de furos cilíndricos circulares unidirecionais em uma matriz piezoelétrica linear e transversalmente isotrópica. O material da matriz pertence à classe de simetria cristalina 622. Os furos estão centrados em células de uma matriz periódica de secções transversais quadradas e a periodicidade é a mesma em duas direções perpendiculares. O compósito piezoelétrico está sob cisalhamento antiplano acoplado a um campo elétrico plano. Os problemas locais que surgem da análise em duas escalas usando o MHA são resolvidos por meio de um método da teoria de variáveis complexas, o qual permite expandir as soluções correspondentes em séries de potências de funções elípticas de Weierstrass. Os coeficientes das séries são determinados das soluções de sistemas lineares infinitos de equações algébricas. Truncando estes sistemas infinitos até uma ordem finita de aproximação, obtêm-se fórmulas analíticas para as constantes efetivas elástica, piezoelétrica e dielétrica, que dependem da fração de volume dos furos e de um fator de acoplamento eletromecânico da matriz. Os resultados numéricos obtidos a partir destas fórmulas são comparados com resultados obtidos pelas fórmulas calculadas via método de Mori-Tanaka e apresentam boa concordância. A boa concordância entre todas as curvas obtidas via MHA sugere que a expressão correspondente da primeira aproximação fornece uma fórmula muito simples para calcular o fator de acoplamento efetivo do compósito. Os resultados são úteis na mecânica de osso. / Bones are inhomogeneous solids with highly complex structures that require multiscale modeling to understand its electromechanical behavior and its remodeling mechanisms. The objective of this work is to find analytical expressions for the effective elastic, piezoelectric, and dielectric properties of cortical bone by modeling it on two scales: microscopic and macroscopic. We use Asymptotic Homogenization Method (AHM) to calculate the effective electromechanical constants of this material. The AHM yields a two-scale procedure to obtain the effective properties of a composite material containing a periodic distribution of unidirectional circular cylindrical holes in a linear transversely isotropic piezoelectric matrix. The matrix material belongs to the symmetry crystal class 622. The holes are centered in a periodic array of cells of square cross sections and the periodicity is the same in two perpendicular directions. The piezoelectric composite is under antiplane shear deformation together with in-plane electric field. Local problems that arise from the two-scale analysis using the AHM are solved by means of a complex variable method, which allows us to expand the corresponding solutions in power series of Weierstrass elliptic functions. The coefficients of these series are determined from the solutions of infinite systems of linear algebraic equations. Truncating the infinite systems up to a finite, but otherwise arbitrary, order of approximation, we obtain analytical formulas for effective elastic, piezoelectric, and dielectric properties, which depend on both the volume fraction of the holes and an electromechanical coupling factor of the matrix. Numerical results obtained from these formulas are compared with results obtained by the Mori-Tanaka approach and show good agreement. The good agreement between all curves obtained via AHM suggests that the corresponding expression of first approximation provides a very simple formula to calculate the effective coupling factor of the composite. The results are useful in bone mechanics.

Ossos são sólidos não homogêneos com estruturas altamente complexas que requerem uma modelagem multiescala para entender seu comportamento eletromecânico e seus mecanismos de remodelamento. O objetivo deste trabalho é encontrar expressões analíticas para as propriedades elástica, piezoelétrica e dielétrica efetivas de osso cortical modelando-o em duas escalas: microscópica e macroscópica. Utiliza-se o Método de Homogeneização Assintótica (MHA) para calcular as constantes eletromecânicas efetivas deste material. O MHA produz um procedimento em duas escalas que permite obter as propriedades efetivas de um material compósito contendo uma distribuição periódica de furos cilíndricos circulares unidirecionais em uma matriz piezoelétrica linear e transversalmente isotrópica. O material da matriz pertence à classe de simetria cristalina 622. Os furos estão centrados em células de uma matriz periódica de secções transversais quadradas e a periodicidade é a mesma em duas direções perpendiculares. O compósito piezoelétrico está sob cisalhamento antiplano acoplado a um campo elétrico plano. Os problemas locais que surgem da análise em duas escalas usando o MHA são resolvidos por meio de um método da teoria de variáveis complexas, o qual permite expandir as soluções correspondentes em séries de potências de funções elípticas de Weierstrass. Os coeficientes das séries são determinados das soluções de sistemas lineares infinitos de equações algébricas. Truncando estes sistemas infinitos até uma ordem finita de aproximação, obtêm-se fórmulas analíticas para as constantes efetivas elástica, piezoelétrica e dielétrica, que dependem da fração de volume dos furos e de um fator de acoplamento eletromecânico da matriz. Os resultados numéricos obtidos a partir destas fórmulas são comparados com resultados obtidos pelas fórmulas calculadas via método de Mori-Tanaka e apresentam boa concordância. A boa concordância entre todas as curvas obtidas via MHA sugere que a expressão correspondente da primeira aproximação fornece uma fórmula muito simples para calcular o fator de acoplamento efetivo do compósito. Os resultados são úteis na mecânica de osso. / Bones are inhomogeneous solids with highly complex structures that require multiscale modeling to understand its electromechanical behavior and its remodeling mechanisms. The objective of this work is to find analytical expressions for the effective elastic, piezoelectric, and dielectric properties of cortical bone by modeling it on two scales: microscopic and macroscopic. We use Asymptotic Homogenization Method (AHM) to calculate the effective electromechanical constants of this material. The AHM yields a two-scale procedure to obtain the effective properties of a composite material containing a periodic distribution of unidirectional circular cylindrical holes in a linear transversely isotropic piezoelectric matrix. The matrix material belongs to the symmetry crystal class 622. The holes are centered in a periodic array of cells of square cross sections and the periodicity is the same in two perpendicular directions. The piezoelectric composite is under antiplane shear deformation together with in-plane electric field. Local problems that arise from the two-scale analysis using the AHM are solved by means of a complex variable method, which allows us to expand the corresponding solutions in power series of Weierstrass elliptic functions. The coefficients of these series are determined from the solutions of infinite systems of linear algebraic equations. Truncating the infinite systems up to a finite, but otherwise arbitrary, order of approximation, we obtain analytical formulas for effective elastic, piezoelectric, and dielectric properties, which depend on both the volume fraction of the holes and an electromechanical coupling factor of the matrix. Numerical results obtained from these formulas are compared with results obtained by the Mori-Tanaka approach and show good agreement. The good agreement between all curves obtained via AHM suggests that the corresponding expression of first approximation provides a very simple formula to calculate the effective coupling factor of the composite. The results are useful in bone mechanics.

[pt] Este trabalho apresenta os resultados da aplicação de análises probabilísticas na avaliação da estabilidade de taludes, com base no caso da ruptura de uma barragem de rejeito que rompeu em janeiro de 2019. Realizou-se uma análise estatística dos parâmetros geotécnicos dos materiais presentes na obra, enfatizando a variabilidade inerente dos dados. Nas análises probabilísticas, foi adotado os métodos FOSM. São apresentados os conceitos básicos de confiabilidade e probabilidade de ruptura e as hipóteses e etapas de cálculo consideradas em cada método. Discutem-se brevemente os diferentes métodos de equilíbrio limite utilizados para superfícies circulares de ruptura. Dois cenários foram estudados em relação aos procedimentos adotados: análises em tensões totais, com a resistência da argila mole obtida por ensaios de campo e laboratório; análises em tensões efetivas, com o ângulo de atrito da argila oriundo de ensaios triaxiais e obtidos por ensaios de campo e laboratório. Observou-se que para os dois cenários os valores de probabilidades de ruptura foram, respectivamente da ordem de: 1/3,5 e 1/312,5. / [en] This work aims the results of the application of probabilistic analyzes in the evaluation of slope stability, based on the case of the rupture of a tailings dam that colapse in January 2019. A statistical analysis of the geotechnical characteristics of the materials present in the work was carried out, emphasizing the inherent variability of the data. In the probabilistic analyzes, the FOSM method was adopted. The basic concepts of reliability and probability of rupture and the hypotheses and calculation steps considered in each method are presented. The different limit equilibrium methods used for circular rupture surfaces are briefly discussed. Two scenarios were studied in relation to the adopted procedures: total stress analysis, with the resistance of soft clay obtained by field and laboratory tests; effective stress analysis with the angle of friction of the clay from field and laboratory tests. It was observed that for the two scenarios the values of probability of rupture were, respectively, in the order of 1/3,5 e 1/312,5.

O presente trabalho visa empregar uma metodologia numérica para determinar as propriedades macro mecânica de compósitos ativos (AFC - Active Fiber Composite ou MFC - Macro Fiber Composite), combinando o conceito de Volume Elementar Representativo (VER) com o Método dos Elementos Finitos (MEF). Inicialmente, apresenta-se a fundamentação teórica associada à abordagem numérica empregada. Posteriormente, os modelos numéricos desenvolvidos são aplicados na determinação dos coeficientes efetivos de materiais compósitos inteligentes transversalmente isotrópicos com fibras piezelétricas de seção com forma circular e quadrada, respectivamente. Finalmente, os resultados numéricos obtidos pela metodologia proposta são, então, comparados com resultados da literatura. Constata-se que os resultados obtidos são muito semelhantes aos resultados relatados pela literatura para arranjo quadrático e hexagonal com fibra de geometria circular, sendo que neste caso, compararam-se os resultados numéricos com analíticos obtidos através do Método de Homogeneização Assintótica. Em seguida, a metodologia é aplicada para determinação dos coeficientes efetivos para arranjo quadrático e hexagonal com fibra de geometria quadrada. Empregando diferentes frações volumétricas de fibras, os resultados via MEF foram comparados aos resultados analíticos obtidos através do Método dos Campos Uniformes (Uniform Field Method). Após a avaliação das limitações e potencialidades da metodologia, de forma direta, através de resultados analíticos, realizou-se a avaliação da mesma de forma indireta. Para tal, foram realizadas análises dinâmicas visando comparar as Funções de Resposta em Frequência (FRF) experimentais com as obtidas computacionalmente. Dessa forma, utilizou-se uma viga de alumínio estrutural engastada-livre, onde foram colados duas pastilhas piezelétricas, sendo uma para realizar a excitação da estrutura e, a outra para fazer a aquisição dos dados. Os modelos computacionais via MEF empregaram para o domínio das pastilhas, as propriedades efetivas determinadas através da metodologia desenvolvida. Os resultados obtidos demonstraram mais uma vez as potencialidades da metodologia proposta. Assim, conclui-se que a metodologia numérica não é somente uma boa alternativa para o cálculo de coeficientes efetivos de compósitos inteligentes, mas também uma ferramenta para o projeto de estruturas inteligentes monitoradas por materiais piezelétricos. / This work presents the development a numerical methodology to determine the mechanical properties of active macro composites (AFC - Active Fiber Composite, or MFC - Macro Fiber Composite), combining the concept of Representative Elementary Volume (REV) with the Finite Element Method (FEM). In the first instance, the theoretical framework associated with the numerical approach employed is presented. Later, numerical models based on unit cell are applied to predict the effective material coefficients of the transversely isotropic piezoelectric composite with circular cross section fibers. Finally, numerical results obtained by the proposed methodology are compared to other methods reported in the literature. It appears that the results are very similar to the literature results for square and hexagonal arrangement of fibers with circular geometry, in which case, it was compared numerical with analytical results calculated by Asymptotic Homogenization Method (AHM). After that, the methodology is applied to determine the effective coefficients for square and hexagonal array with square fiber geometry. Employing different fiber volume fractions, it follows that the results obtained by the proposed methodology were compared to analytical results calculated by the Uniform Field Method (UFM). After assessing the potential and limitations of the methodology, either directly, through analytical results, the evaluation took place in the indirect approach. Then, dynamic analyses were performed in order to compare the Frequency Response Functions (FRFs) determined by experimental tests with computational results. Thus, it was used a cantilever beam aluminum structure, which were bonded two piezoelectric patches, one to carry the excitement of the structure and the second to perform the data acquisition. The effective properties determined by the proposed methodology were applied for the dominium established by the piezoelectric patches. The results showed, again, the potential of the proposed methodology. Therefore, the numerical methodology is not only a good alternative for the calculation of effective coefficients of smart composite, but also a tool for the design of smart structures monitored by piezoelectric materials.

O presente trabalho visa empregar uma metodologia numérica para determinar as propriedades macro mecânica de compósitos ativos (AFC - Active Fiber Composite ou MFC - Macro Fiber Composite), combinando o conceito de Volume Elementar Representativo (VER) com o Método dos Elementos Finitos (MEF). Inicialmente, apresenta-se a fundamentação teórica associada à abordagem numérica empregada. Posteriormente, os modelos numéricos desenvolvidos são aplicados na determinação dos coeficientes efetivos de materiais compósitos inteligentes transversalmente isotrópicos com fibras piezelétricas de seção com forma circular e quadrada, respectivamente. Finalmente, os resultados numéricos obtidos pela metodologia proposta são, então, comparados com resultados da literatura. Constata-se que os resultados obtidos são muito semelhantes aos resultados relatados pela literatura para arranjo quadrático e hexagonal com fibra de geometria circular, sendo que neste caso, compararam-se os resultados numéricos com analíticos obtidos através do Método de Homogeneização Assintótica. Em seguida, a metodologia é aplicada para determinação dos coeficientes efetivos para arranjo quadrático e hexagonal com fibra de geometria quadrada. Empregando diferentes frações volumétricas de fibras, os resultados via MEF foram comparados aos resultados analíticos obtidos através do Método dos Campos Uniformes (Uniform Field Method). Após a avaliação das limitações e potencialidades da metodologia, de forma direta, através de resultados analíticos, realizou-se a avaliação da mesma de forma indireta. Para tal, foram realizadas análises dinâmicas visando comparar as Funções de Resposta em Frequência (FRF) experimentais com as obtidas computacionalmente. Dessa forma, utilizou-se uma viga de alumínio estrutural engastada-livre, onde foram colados duas pastilhas piezelétricas, sendo uma para realizar a excitação da estrutura e, a outra para fazer a aquisição dos dados. Os modelos computacionais via MEF empregaram para o domínio das pastilhas, as propriedades efetivas determinadas através da metodologia desenvolvida. Os resultados obtidos demonstraram mais uma vez as potencialidades da metodologia proposta. Assim, conclui-se que a metodologia numérica não é somente uma boa alternativa para o cálculo de coeficientes efetivos de compósitos inteligentes, mas também uma ferramenta para o projeto de estruturas inteligentes monitoradas por materiais piezelétricos. / This work presents the development a numerical methodology to determine the mechanical properties of active macro composites (AFC - Active Fiber Composite, or MFC - Macro Fiber Composite), combining the concept of Representative Elementary Volume (REV) with the Finite Element Method (FEM). In the first instance, the theoretical framework associated with the numerical approach employed is presented. Later, numerical models based on unit cell are applied to predict the effective material coefficients of the transversely isotropic piezoelectric composite with circular cross section fibers. Finally, numerical results obtained by the proposed methodology are compared to other methods reported in the literature. It appears that the results are very similar to the literature results for square and hexagonal arrangement of fibers with circular geometry, in which case, it was compared numerical with analytical results calculated by Asymptotic Homogenization Method (AHM). After that, the methodology is applied to determine the effective coefficients for square and hexagonal array with square fiber geometry. Employing different fiber volume fractions, it follows that the results obtained by the proposed methodology were compared to analytical results calculated by the Uniform Field Method (UFM). After assessing the potential and limitations of the methodology, either directly, through analytical results, the evaluation took place in the indirect approach. Then, dynamic analyses were performed in order to compare the Frequency Response Functions (FRFs) determined by experimental tests with computational results. Thus, it was used a cantilever beam aluminum structure, which were bonded two piezoelectric patches, one to carry the excitement of the structure and the second to perform the data acquisition. The effective properties determined by the proposed methodology were applied for the dominium established by the piezoelectric patches. The results showed, again, the potential of the proposed methodology. Therefore, the numerical methodology is not only a good alternative for the calculation of effective coefficients of smart composite, but also a tool for the design of smart structures monitored by piezoelectric materials.

This work presents a study on modeling error estimates in linear elastic structures of heterogeneous materials. The employed formulation is based on a theory of a posteriori estimation of modeling errors and uses the Finite Element Method as numerical tool. The evaluated modeling errors consist of global errors based on energy norm and local errors in quantities of interest induced by replacing the fine-scale micromechanical properties of the material by homogenized or effective properties. These effective properties are determined from different micromechanical models and considered in the surrogate physical models of the heterogeneous materials. The quantities of interest may be, for example, averaged stress or strain on chosen regions, such as surfaces of inclusions, and interfacial displacements. Several numerical examples involving structures of heterogeneous materials are analyzed and the results are presented to demonstrate the performance of the formulation in the evaluation of global and local modeling errors. / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este trabalho apresenta um estudo sobre estimativas de erro de modelagem em estruturas elásticas lineares de materiais heterogêneos. A formulação empregada é baseada em uma teoria de avaliação de erro de modelagem à posteriori e utiliza o Método dos Elementos Finitos como ferramenta numérica. Os erros de modelagem avaliados consistem em erros globais, baseados em norma energia, e erros locais, em quantidades de interesse, induzidos pela substituição das propriedades micromecânicas do material em escala refinada por propriedades efetivas homogeneizadas. Estas propriedades efetivas são determinadas a partir de diferentes modelos da micromecânica e consideradas nos modelos físicos substitutos dos materiais heterogêneos. As quantidades de interesse podem ser, por exemplo, tensões médias ou deformações sobre a região escolhida, tais como superfície de inclusões e deslocamentos nas interfaces. Diversos exemplos numéricos envolvendo estruturas de materiais heterogêneos são analisados e os resultados são apresentados para demonstrar o desempenho da formulação na avaliação de erros de modelagem global e local.