Cette thèse à pour objet l'étude théorique et numérique de solutions dans les équations aux dérivées partielles non linéaires de la physique, en particulier en dynamique des fluides. La présence de discontinuités dans les solutions de ces équations complique la compréhension mathématique des phénomènes mis enjeu et leur traitement numérique, notamment en vue de simulations informatiques . Nous étudions ces équations par une méthode de régularisation dans un espace fonctionnel approprié. Lorsque des schémas numériques construits par des méthodes différentes conduisent à des résultats identiques, ceci jusque dans leurs moindres détails, il semble alors naturel de s'interroger dans quelle mesure ces suites de solutions numériques constituent une approximation d'une solution des équations étudiées. Nous construisons des suites de solutions approchées à partir d'un schéma numérique original,stable et suffisamment simple pour démontrer que ses suites constituent une méthode asymptotique de Maslov au sens des distributions en dimension trois d'espèce. La technique de régularisation employée consiste à étendre les variables réelles du problème ne des variables complexes, ce qui nous permet de construire des familles de solutions particulières que l'on ramène au cas réel en faisant tendre un petit paramètre vers O. Les solutions physiques recherchées apparaissent alors comme valeurs au bord de fonction holomorphes. Nous illustrons les résultats obtenus par des applications en cosmologie dans les cadres Newtoniens et relativistes pour des systèmes sans pression, puis avec pression et auto-gravitation, ainsi que pour le système des gaz parfaits. / This thesis is devoted to the theoretical and numerical study of singular solutions appearing in nonlinear partial differential complicates the mathematical understanding of the phenomena under concem as well as their numerical treatment, in particular in view of computation. These equations are studied by a regularization method in an appropriate functional space. When completely different numerical methods give the same results up to the smallest details one can reasonably expect that these numerical results suggest the existence of a mathematical solution of theses equations. We construct sequences of approximate solutions from an original numerical scheme, which is stable and simple enough to prove that these sequences constitute a Maslov asymptotic method in three space dimension. The regularization technique in use consits in extending the real variables of the problem into complex ones, which perrnits to construct families of particular equations that we bring back to the real case by letting a small paramater tend to zero. The expected physical solutions appear as boundary values of holomorphie functions . Illustrations are given by applications to cosmology in the Newtorian and re1ativistic settings for pressure1ess fluid dynamics, then in presence of self-gravitation and pressure as weil as for the systemof ideal gases

L'évolution des turbines à gaz vers des régimes de combustion en mélange pauvre augmente la sensibilité de la flamme aux perturbations de l'écoulement. Plus particulièrement, cela augmente le risque que des instabilités de combustion apparaissent. Comme ces oscillations peuvent affecter le processus de combustion, il est très important d'être capable de prédire ce comportement au niveau de la conception.L'objectif du travail présenté est de développer un solveur numérique qui permet de décrire ces instabilités, et d'évaluer les effets du nombre de Mach de l'écoulement moyen sur ce phénomène. L'approche choisie consiste à résoudre les équations d'Euler linéarisées, qui sont écrites dans le domaine fréquentiel sous la forme d'un problème aux valeurs propres. Ce système d'équations permets de prendre en compte la vitesse moyenne de l'écoulement, et donc d'évaluer les effets causés par la convection et leur impact sur la stabilité des modes. Parmi les mécanismes qui peuvent être étudiés se trouve notamment l'effet des ondes d'entropie convectées, ce qui est particulièrement intéressant dans le contexte des chambres de combustions. Afin de déterminer l'effet des termes liés à la vitesse de l'écoulement moyen sur la stabilité des modes, une analyse de l'énergie contenue dans les perturbations est effectuée. Finalement, l'aspect de la non-orthogonalité des modes propres, qui permet une croissance d'énergie transitoire dans un système linéairement stable, est abordé. / The development of gas turbines towards lean combustion increases the susceptibility of the flame to flow perturbations, and leads more particularly to a higher risk of combustion instability. As these self-sustained oscillations may affect the performance of the combustion device, it is very important to be able to predict them at the design level. At present, several methods are used to describe combustion instabilities, ranging from complex LES and DNS calculations to low-order network models. An intermediate method consists in solving a set of equations describing the acoustic field using a finite volume technique, which is the approach used in the present study.This thesis discusses the impact of a non zero Mach number mean flow field on thermoacoustic instability. The study is based on the linearized Euler equations, which are stated in the frequency domain in the form of an eigenvalue problem. Using the linearized Euler equations rather than the Helmholtz equation avoids making the commonly used assumption of the mean flow being at rest, and allows to take into account convection effects and their impact on the stability of the system. Among the mechanisms that can be studied using the present approach is namely the impact of convected entropy waves, which is especially interesting in combustion applications.For this study, a 1D and a 2D numerical solver have been developed and are presented in this thesis. In order to asses the effect of the mean flow terms on the modes' stability, an analysis of the disturbance energy budget is performed. Finally, the aspect of the eigenmodes being non-orthogonal and thus allowing for transient growth in linearly stable systems is adressed.

Ce travail est consacré à la construction de méthodes numériques permettant la simulation de processus d'implosion de coquilles en fusion par confinement inertiel (FCI) avec prise en compte des termes de champ magnétique auto-généré. Dans ce document, on commence par décrire le modèle de magnétohydrodynamique résistive à deux températures considéré ainsi que les relations de fermeture utilisées. Le système d'équations ainsi obtenu est alors divisé en sous-systèmes selon la nature de l'opérateur mathématique sous-jacent pour lesquels l'on propose ensuite des schémas numériques adaptés. On insiste notamment sur le développement de schémas volumes finis pour l'opérateur hyperbolique, ce dernier correspondant aux équations d'Euler ou de la magnétohydrodynamique idéale selon que l'on tienne compte ou non des termes de champ magnétique. Plus précisement, on propose une nouvelle classe de schémas d'ordre élevé à directions alternées construits dans le formalisme Lagrange + projection sur grille cartésienne qui présentent l'originalité d'être particulièrement bien adaptés aux calculateurs modernes grâce, entre autres, au traitement par directions alternées et à l'utilisation de techniques de viscosité artificielle. Cette propriété est illustrée par des mesures de performance séquentielle et d'efficacité parallèle. On combine ensuite les schémas hyperboliques développés avec des méthodes de type volumes finis permettant letraitement semi-implicite des termes de conduction thermique et résistive et une prise en compte explicite des termes de champ magnétique auto-générés. Afin d'étudier les caractéristiques et les effets des champs magnétiques auto-générés, on présente enfin un cas test de capsule FCI simulée à partir du début de la phase de décélération.

<p align="justify">Une approche multidimensionelle pour la résolution numérique des équations d'Euler et de Navier-Stokes sur maillages non-structurés est proposée. Dans une première partie, un exposé complet des schémas de distribution, dits de "fluctuation-splitting" ,est décrit, comprenant une étude comparative des schémas décentrés, positifs et de 2ème ordre, pour résoudre l'équation de convection à coefficients constants, ainsi qu'une étude théorique et numérique de la précision des schémas sur maillages réguliers et distordus. L'extension à des lois de conservation non-linéaires est aussi abordée, et une attention particulière est portée au problème de la linéarisation conservative. Dans une deuxième partie, diverses discrétisations des termes visqueux pour l'équation de convection-diffusion sont développées, avec pour but de déterminer l'approche qui offre le meilleur compromis entre précision et coût. L'extension de la méthode aux systèmes des lois de conservation, et en particulier à celui des équations d'Euler de la dynamique des gaz, représente le noyau principal de la thèse, et est abordée dans la troisième partie. Contrairement aux schémas de distribution classiques, qui reposent sur une extension formelle du cas scalaire, l'approche développée ici repose sur une décomposition du résidu par élément en équations scalaires, modélisant le transport de variables caracteristiques. La difficulté vient du fait que les équations d'Euler instationnaires ne se diagonalisent pas, et admettent une infinité de solutions élémentaires (ondes simples) se propageant dans toutes les directions d'espace. En régime stationnaire, en revanche, les équations se diagonalisent complètement dans le cas des écoulements supersoniques, et partiellement dans le cas des écoulements subsoniques. Ainsi, les équations sous forme conservative peuvent être remplacées par un système équivalent comprenant deux équations totalement découplées, exprimant l'invariance de l'entropie et de l'enthalpie totale le long des lignes de courant, et deux autres équations, modélisant les effets purement acoustiques. En régime supersonique, celles-ci se découplent aussi, et expriment la convection le long des lignes de Mach d'invariants de Riemann généralisés. La discrétisation de ces équations par des schémas scalaires décentrés permet de simuler des écoulements continus et discontinus avec une grande précision et sans oscillations. Finalement, dans une dernière partie, l'extension aux équations de Navier-Stokes est abordée, et la discrétisation des termes visqueux par une approche éléments finis est proposée. Les résultats numériques confirment la précision et la robustesse de la méthode.</p>

De nos jours, les fabricants font face à un nouveau défit : concevoir des turbomachines à la fois performantes et à faible niveau sonore. Il convient donc de prévoir avec précision le champ sonore généré par le fonctionnement de ces machines. Le but de ce travail est de développer un solveur-2D capable de prédire efficacement la propagation des ondes acoustiques (bruit) générées par les turbomachines à écoulement subsonique, la machine étudiée est un ventilateur centrifuge composé d'un rotor et d'un stator. Afin de relever ce défit, le développement d'une méthode numérique d'ordre élevé est plus que nécessaire. La démarche retenue est basée sur la méthode des volumes finis avec approximation par moindres carrés mobiles (FV-MLS) pour résoudre les Equations d'Euler Linéarisées autour d'une solution stationnaire. Une matrice masse est définie afin de préserver l'ordre de notre méthode, une procédure d'intégration du temps implicite est employée avec un solveur de résolution des équations algébriques basé sur la méthode GMRES préconditionnée. La méthode ainsi proposée permet la reconstruction directe des flux en utilisant des pochoirs (stencil) compacts, sans introduire de nouveaux degrés de liberté, ce qui est un réel avantage par rapport aux méthodes déjà existantes.

Dans les installations nucléaires, les explosions, qu’elles soient d’origine interne ou externe, peuvent entrainer la rupture du confinement et le rejet de matières radioactives dans l’environnement. Il est donc fondamental, dans un cadre de sûreté de modéliser ce phénomène. L’objectif de cette thèse est de contribuer à l’élaboration de schémas numériques performants pour résoudre ces modèles complexes. Les travaux présentés s’articule autour de deux axes majeurs : le développement de schémas volumes finis consistants pour les équations d’Euler compressible qui modélise les ondes de choc et celui de schémas performants pour la propagation d’interfaces comme le front de flamme lors d'une déflagration. La discrétisation spatiale est de type mailles décalées pour tous les schémas développés. Les schémas pour les équations d'Euler se basent sur une formulation en énergie interne qui permet de préserver sa positivité ainsi que celle de la masse volumique. Un bilan d'énergie cinétique discret peut être obtenu et permet de retrouver un bilan d'énergie totale par l'ajout d'un terme de correction dans le bilan d'énergie interne. Le schéma ainsi construit est consistant au sens de Lax avec les solutions faibles entropiques des équations continues. On utilise les propriétés des équations de type Hamilton-Jacobi pour construire une classe de schémas volumes finis performants sur une large variété de maillages modélisant la propagation du front de flamme. Ces schémas garantissent un principe du maximum et possèdent des propriétés importantes de monotonie et consistance qui permettent d'obtenir un résultat de convergence. / In nuclear facilities, internal or external explosions can cause confinement breaches and radioactive materials release in the environment. Hence, modeling such phenomena is crucial for safety matters. The purpose of this thesis is to contribute to the creation of efficient numerical schemes to solve these complex models. The work presented here focuses on two major aspects: first, the development of consistent schemes for the Euler equations which model the blast waves, then the buildup of reliable schemes for the front propagation, like the flame front during the deflagration phenomenon. Staggered discretization is used in space for all the schemes. It is based on the internal energy formulation of the Euler system, which insures its positivity and the positivity of the density. A discrete kinetic energy balance is derived from the scheme and a source term is added in the discrete internal energy balance equation to preserve the exact total energy balance. High order, MUSCL-like interpolators are used in the discrete momentum operators. The resulting scheme is consistent (in the sense of Lax) with the weak entropic solutions of the continuous problem. We use the properties of Hamilton-Jacobi equations to build a class of finite volume schemes compatible with a large number of meshes to model the flame front propagation. These schemes satisfy a maximum principle and have important consistency and monotonicity properties. These latters allows to derive a convergence result for the schemes based on Cartesian grids.

Dans cette thèse, un modèle de propagation acoustique dans le domaine temporel est proposé pour des applications en milieu extérieur. Dans le contexte du transport ferroviaire, il est nécessaire de considérer des sources étendues et en mouvement dont le contenu fréquentiel peut aller jusqu’à8000 Hz. La résolution des équations d’Euler linéarisées dans le domaine temporel est alors une méthode bien adaptée à ce problème. Pour cela, des méthodes de différences finies, développées par la communauté de l’aéroacoustique numérique, sont utilisées. Le modèle ainsi développé permet de prendre en compte les effets météorologiques (profils de vent et de température) ainsi que les effets de sol (impédance et topographie).Dans le premier chapitre, les méthodes différences finies ainsi que la condition limite d’impédance dans le domaine temporel, basée sur une technique de convolution récursive, sont présentées dans le cadre général d’un calcul tridimensionnel. Une étude sur la propagation d’ondes acoustiques dans une atmosphère stratifiée au-dessus de sols impédants est ensuite proposée. En conditions homogènes, les formes d’ondes sont comparées à celles obtenues avec une solution analytique. En conditions défavorables, les temps d’arrivée des différentes contributions sont analysés avec une approche d’acoustique géométrique. Dans les deux cas, des ondes de surface sont mises en évidence. Enfin, dans une première analyse, une étude des effets de la compacité d’une source mobile harmonique à support spatial gaussien sur le champ de pression acoustique est proposée. Dans un second chapitre, le problème du couplage champ proche - champ lointain est traité. En effet, les méthodes de résolution des équations d’Euler linéarisées sont actuellement « lourdes » à mettre en œuvre pour modéliser la propagation à très grande distance. Une stratégie de couplage avec des méthodes d’équation parabolique est alors mise en place afin de réduire le temps de calcul et l’espace mémoire nécessaires. Une méthode split-step Padé est utilisée afin d’obtenir une approximation parabolique dans un cône d’angle voulu. Une étude sur les conditions initiales adaptées à l’ordre du développement de l’approximant de Padé est proposée. La modélisation de la topographie dans le code différences finies fait l’objet d’un troisième chapitre. Pour cela, des coordonnées curvilignes sont introduites et permettent une résolution similaire au cas cartésien. Différentes applications sont proposées. La propagation au-dessus d’un cylindre est étudiée ; des ondes de surfaces sont mises en évidence. Ensuite, l’influence de la topographie d’un site ferroviaire sur la mesure des niveaux de pression est analysée. En champ proche, des écarts importants sont obtenus à basse fréquence. En champ lointain, les résultats dépendent des conditions météorologiques. Enfin, des comparaisons des niveaux de pression calculés et mesurés lors d’une campagne expérimentale menée en octobre 2001 à Saint-Berthevin sont réalisées. Dans une dernière étude, le modèle de propagation acoustique est validé avec des mesures effectuées en mai 2010 sur un site ferroviaire situé à La Veuve. Des mesures de la topographie, des impédances de surface et de différents paramètres météorologiques ont été réalisées. Les niveaux de pression et les formes d’ondes calculés avec le modèle de propagation sont en bon accord avec ceux obtenus expérimentalement pour le cas d’une source impulsionnelle. / In this work, a numerical model to treat outdoor sound propagation in the time domain is proposed. In the context of railway noise, extended acoustic sources in motion have to be considered. The typical frequency band of interest goes up to 8000 Hz. Finite-Difference Time-Domain(FDTD) methods which are used to solve the linearized Euler equations are then well-adapted tothe problem. To do so, finite-difference techniques developed in the computational aeroacoustics community are employed. Meteorological effects (mean wind and temperature profiles) as well as ground effects (impedance and topography) are taken into account. In the first chapter, finite-difference techniques and the time-domain impedance boundary condition, based on a recursive convolution, are presented in the general case of the tridimensional problem. Propagation of acoustic waves in a stratified atmosphere over an impedance ground is then considered. In homogeneous conditions, waveforms are compared to those obtained with an analytical solution. In downward-refracting conditions, arrival times of the different contributions are analysed using a geometrical acoustic approach. In both cases, presence of surface waves is highlighted. At last, in a first analysis, effects of a non-compact source in rectilinear motion on the acoustic pressure field are studied. In the second chapter, the coupling between near-field calculations and far-field calculations is considered. Indeed, the FDTD model currently needs large computational time and memory to handle large propagation distances. A coupling strategy using parabolic equation methods can then be employed. A split-step Padé method is used in order to choose the angular validity of the parabolic approximation. A study on the starting field adapted to the order of the Padé approximant is proposed. The third chapter deals with the modeling of the topography in the FDTD solver. Curvilinear coordinates are introduced, and numerical resolution is similar to the cartesian case. Several applications are proposed. Propagation over a cylinder is first studied ; presence of surface waves is highlighted. Then, influence of the topography of a railway site on the measure of sound pressure levels is analysed. In near-field, significant differences are obtained at low frequencies. In far-field, the results depend strongly on the meteorological conditions. At last, comparisons of sound pressure levels calculated with the propagation model and measured during an experimental campaign carried out in october 2001 in Saint-Berthevin are realised. In a last study, the propagation model is validated thanks to measurements performed in may2010 on a railway site in La Veuve. Measurement of the topography, of the surface impedances and of meteorological parameters have been realised. Sound pressure levels and waveforms computed with the propagation model are in close agreement with those obtained experimentally in the case of a pulse source.

On s'intéresse dans ce document à la modélisation d'écoulements compressibles en conduite unidimensionnelle (1D) à section variable et dans des domaines bi ou tridimensionnelles encombrés d'obstacles. Le travail est motivé par la modélisation d'écoulements dans les circuits de refroidissement de réacteurs à eau pressurisée (REP). Ainsi ce travail a pour objectif de proposer une nouvelle formulation pour de tels écoulements. L'idée de base consiste a utiliser une formulation intégrale sur la base des équations aux dérivées partielles. Le système de lois de conservation associé aux équations d'Euler (masse, dynamique et énergie) est examiné.Le premier chapitre examine le cas de conduite 1D à section continue ou discontinue. La formulation intégrale est présentée et les résultats numériques sont comparés avec (i) l'approche Well-Balanced et (ii) la solution de référence obtenue sur maillage très fin.Les second et troisième chapitres examinent la modélisation d'écoulements compressibles dans des domaines contenant de nombreux tubes. La formulation intégrale est donnée, et les schémas numériques présentés, afin de gérer les interfaces fluide/fluide et les parois. Les schémas peuvent être explicites (chapitre 2), ou implicites (chapitre 3). Quelques cas tests analytiques sont présentés. On se concentre sur l'écoulement d'un fluide abordant une zone de tubes alignés de petite taille. Ici encore, la comparaison est faite avec la référence fluide; les résultats sont également comparés avec ceux issus de l'approche équilibre classique, et ceux associés à la formulation intégrale unidimensionnelle présentée dans le premier chapitre. / This document focuses on the modeling of compressible flows in one-dimensional (1D) pipes with variable cross-section, and in two or three-dimensional domains containing many small obstacles. The basic motivation is urged by the modeling of flows in the coolant circuit of pressurised water reactors (PWR). Thus this work aims at providing a new formulation for such a variety of flows. The basic idea consists in using an integral approach that is applied to the governing set of partial differential equations. Here the keystone is the conservative Euler set of equations, including mass, momentum and energy balance for any equation of state.Hence, the first chapter investigates the case of one-dimensional pipes with continuous or discontinuous cross-section. Once the 1D+ integral formulation has been presented, numerical results are compared with : (i) the classical Well-Balanced (WB) approach, and (ii) the reference solution obtained with a multi-dimensional code with huge mesh refinement.The second and third chapters provide some new insight on the numerical modeling of compressible flows in domains obstructed with many tubes. The integral formulation is derived, and numerical schemes are detailed, in order to handle fluid/fluid interfaces and wall boundaries. Schemes may be explicit (chapter 2), or implicit (chapter 3). A few analytic test cases are investigated. Focus is made on the flow incoming a region containing many tiny and aligned tubes. Here again, a comparison with the reference "fluid" solution is achieved; results are also compared with those arising from the WB approach, and with those coming from the 1D+ integral approach proposed in the first chapter.

Cette thèse est essentiellement composée de deux parties. Dans la première partie, on étudie le système d'Euler-Maxwell. En utilisant la méthode d'intégration de l'énergie classique, on montre l'existence et l'unicité de solutions régulières du système avec données initiales petites. Ensuite, on étudie la limite de relaxation en montrant que, le sytème d'Euler-Maxwell converge vers les équations de dérive-diffusion quand le temps de relaxation tend vers zéro. Dans la deuxième partie, on cherche la contrôlabilité et l'observabilité exactes frontières de systèmes hyperboliques quasi-linéaires dans un réseau du type d'arbre. On établit des résultats d'existences de la contrôlabilité et l'observabilité par des méthodes constructives qui sont basées sur la théorie de la solution C1 semi-globale du système hyperbolique quasi-linéaire du premier ordre avec conditions initiales et frontières. Ensuite, on trouve des dualités de la contrôlabilité et l'observabilité.

Ce travail s'inscrit dans l'étude mathématique d'écoulements de fluides environnementaux. Nous en abordons deux aspects, à travers deux contextes distincts d'application.En lien avec la simulation des écoulements en milieux poreux, on s'intéresse dans une première partie à la discrétisation d'opérateurs de diffusion anisotropes hétérogènes par des méthodes de volumes finis sur des maillages généraux. Dans le but d'obtenir des solutions approchées qui respectent les bornes physiques des modèles, notre attention se porte sur la conservation du principe du maximum pour les opérateurs elliptiques. Nous présentons des mécanismes généraux permettant de corriger tout schéma volumes finis afin de garantir un principe du maximum discret tout en préservant certaines de ses propriétés principales. On étudie en particulier les propriétés de coercivité et de convergence des schémas corrigés.La deuxième partie est consacrée à la construction de modèles approchés pour la propagation des vagues en eaux peu profondes et sur des topographies irrégulières. A cet effet, nous proposons tout d'abord une adaptation de la démarche d'étude classique à des écoulements bidimensionnels sur des topographies polygonales. Dans un cadre plus général, nous développons ensuite une démarche formelle qui débouche sur des alternatives non locales à quelques modèles classiques (équations de Saint-Venant, équations de Serre, système de Boussinesq). Ces nouveaux modèles contiennent des termes régularisants pour les contributions du fond. / This work investigates two research questions associated with environmental flows and their mathematical modeling.The first part is devoted to the development of finite volume methods for anisotropic and heterogeneous diffusion operators arising in models of porous media flows. To ensure that the approximate solutions lie within physical bounds, we aim at maintaining a discrete analogous of the maximum principle for elliptic operators. Starting from any given cell-centered finite volume scheme, we present a general approach to devise non-linear corrections providing a discrete maximum principle while retaining some main properties of the scheme. In particular, we study the coercivity and convergence properties of the modified schemes.The second part of this work focuses on the derivation of approximate models for shallow water wave propagation over rough topographies. In the particular case of one-dimensional polygonal bottom profiles, we first propose an adaptation of the usual derivation method using complex analysis tools. We then develop a formal approach to account for more general topographies. We propose nonlocal alternatives to some classical models (namely Saint-Venant equations, Serre equations and Boussinesq system). All these alternative models only involve smoothing contributions of the bottom.