Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse traite des méthodes de descente d’ordre un pour les problèmes de minimisation. Elle comprend trois parties. Dans la première partie, nous apportons une vue d’ensemble des bornes d’erreur et les premières briques d’unification d’un concept. Nous montrons en effet la place centrale de l’inégalité du gradient de Lojasiewicz, en mettant en relation cette inégalité avec les bornes d’erreur. Dans la seconde partie, en usant de l’inégalité de Kurdyka-Lojasiewicz (KL), nous apportons un nouvel outil pour calculer la complexité des m´méthodes de descente d’ordre un pour la minimisation convexe. Notre approche est totalement originale et utilise une suite proximale “worst-case” unidimensionnelle. Ces résultats introduisent une méthodologie simple : trouver une borne d’erreur, calculer la fonction KL désingularisante quand c’est possible, identifier les constantes pertinentes dans la méthode de descente, et puis calculer la complexité en usant de la suite proximale “worst-case” unidimensionnelle. Enfin, nous étendons la méthode extragradient pour minimiser la somme de deux fonctions, la première étant lisse et la seconde convexe. Sous l’hypothèse de l’inégalité KL, nous montrons que la suite produite par la méthode extragradient converge vers un point critique de ce problème et qu’elle est de longueur finie. Quand les deux fonctions sont convexes, nous donnons la vitesse de convergence O(1/k) qui est classique pour la méthode de gradient. De plus, nous montrons que notre complexité de la seconde partie peut être appliquée à cette méthode. Considérer la méthode extragradient est l’occasion de d´écrire la recherche linéaire exacte pour les méthodes de décomposition proximales. Nous donnons des détails pour l’implémentation de ce programme pour le problème des moindres carrés avec régularisation ℓ1 et nous donnons des résultats numériques qui suggèrent que combiner des méthodes non-accélérées avec la recherche linéaire exacte peut être un choix performant. / This thesis focuses on first order descent methods in the minimization problems. There are three parts. Firstly, we give an overview on local and global error bounds. We try to provide the first bricks of a unified theory by showing the centrality of the Lojasiewicz gradient inequality. In the second part, by using Kurdyka- Lojasiewicz (KL) inequality, we provide new tools to compute the complexity of first-order descent methods in convex minimization. Our approach is completely original and makes use of a one-dimensional worst-case proximal sequence. This result inaugurates a simple methodology: derive an error bound, compute the KL esingularizing function whenever possible, identify essential constants in the descent method and finally compute the complexity using the one-dimensional worst case proximal sequence. Lastly, we extend the extragradient method to minimize the sum of two functions, the first one being smooth and the second being convex. Under Kurdyka-Lojasiewicz assumption, we prove that the sequence produced by the extragradient method converges to a critical point of this problem and has finite length. When both functions are convex, we provide a O(1/k) convergence rate. Furthermore, we show that our complexity result in the second part can be applied to this method. Considering the extragradient method is the occasion to describe exact line search for proximal decomposition methods. We provide details for the implementation of this scheme for the ℓ1 regularized least squares problem and give numerical results which suggest that combining nonaccelerated methods with exact line search can be a competitive choice.

Pour assurer la sécurité et la santé du patient et des utilisateurs de Dispositifs Médicaux (DM), l'Union Européenne introduit « l'ergonomie » comme une exigence essentielle pour le marquage CE des DM. Pour se conformer à cette exigence, la norme IEC 62366 a été publiée pour guider l'implémentation d'un Processus d'Ingénierie d'Aptitude à l'Utilisation (PIAU) dans le cycle de conception et développement du DM. Cependant, les normes sont connues pour leurs difficultés d'application que ce soit pour la conception et/ou l'évaluation de différents systèmes (dispositifs, systèmes interactifs, etc.). L'objectif principal de ce travail est d'identifier les difficultés de compréhension et d'application de la norme IEC 62366 afin de proposer d'éventuelles pistes de remédiation. Grâce à une triangulation de méthodes, cette recherche aboutit à un diagnostic des difficultés de compréhension et d'application de la norme IEC 62366, qui pourrait mener à la sous-estimation des risques d’erreurs d’utilisation des DM. Les principaux résultats de cette thèse sont que : (i) La norme IEC 62366 requiert une expertise pluridisciplinaire pour être maîtrisée, (ii) Le cadre et les choix d'élaboration (i.e. présentation, organisation et contenu) de la norme IEC 62366 entravent sa compréhension et l'atteinte de ses objectifs. Les résultats de cette recherche permettent de fournir des recommandations et des perspectives qui devraient assurer un accompagnement approprié des différents utilisateurs de la norme IEC 62366. Cette thèse constitue un véritable enjeu de recherche translationnelle et offre à long terme l’opportunité à la communauté des Facteurs Humains, aux fabricants de DM et aux organismes de certification de DM de surpasser les difficultés d’application de la norme IEC 62366, d’augmenter la fiabilité et la qualité des DM et surtout d’éviter tout incident lié à leur utilisation / To ensure patient and users’ health and safety while using Medical Devices (MD), European Union introduced “ergonomics” as an essential requirement for the CE marking of MD. To comply with this requirement, the IEC 62366:2007 standard has been published to guide the implementation of the Usability Engineering Process (UEP) into the medical device design and development cycle. However, ergonomics standards are known to be difficult to apply to design and evaluate systems (devices, interactive systems, etc.). Thus, the main objective of this work is to identify difficulties in understanding and applying the IEC 62366 standard so as to provide better user guidance. Based on a triangulation of methods, this research identifies difficulties in understanding and applying the IEC 62366 standard, difficulties which could lead to an underestimation of risks of use errors of MD. The main results of this thesis are that: (i) The IEC 62366 standard required a pluridisciplinary expertise to be correctly mastered, (ii) The way the IEC 62366 standard has been designed (presentation, structure and content) is impeding its understanding and the achievement of its objectives. The results of this research allow providing guidelines and research opportunities which should ensure an appropriate support to the proper application of the IEC 62366 standard requirements by his users. This thesis represents real translational research issue and offers long-term possibilities to the Human Factors community, MD manufacturers and MD certification bodies to overcome difficulties in applying the IEC 62366 standard, in improving the reliability and the quality of MD and above all in avoiding incident related to use errors

Un Modèle Régional du Climat (MRC) est un important outil d'analyse pour les projections sur les changements climatiques et les implications engendrées à l'échelle régionale. Dans ce cas, le MRC est piloté à ses frontières par des données qui proviennent d'un Modèle de Circulation Générale Couplé (MCGC) qui, évidemment, contiennent des erreurs. Nous cherchons à savoir si le MRC amplifie ou atténue ces erreurs, et quelles répercussions ces erreurs à grande échelle ont sur les petites échelles générées par le MRC. Cette étude analyse la réponse d'un MRC aux erreurs contenues dans les données de pilotage en utilisant le protocole expérimental appelé « Grand Frère ». Elle permet de séparer les erreurs dues au pilotage des autres erreurs du modèle et d'évaluer les petites échelles développées par un MRC. Un climat de référence est établi comme le résultat d'une simulation d'un MRC à haute résolution effectuée sur un grand domaine: il est nommé le Grand Frère Parfait (GFP). Pour introduire d'une manière contrôlée des erreurs dans les données du pilote, un ensemble de simulations d'un MRC a été réalisé sur des domaines de plus en plus grands et avec une résolution plus faible : ces simulations sont nommées les Grands Frères Imparfaits (GFI). Les données de sorties du GFI sont utilisées, après le filtrage de petites échelles, pour piloter un autre ensemble de simulations du MRC sur un domaine plus petit, nommées Petits Frères (PF). Les différences entre les statistiques climatiques des simulations du GFI et celles du GFP illustrent les erreurs contenues dans les données de pilotage. La comparaison entre les statistiques climatiques des simulations du PF et celles du GFP permet d'évaluer les erreurs du MRC imputables au pilotage avec des données imparfaites. Les résultats d'expériences effectuées sur un domaine de l'est de l'Amérique du Nord pour la saison d'hiver montrent que le PF reproduit les erreurs des grandes échelles de son GFI et corrige partiellement les erreurs de petites échelles causées par la résolution grossière du pilote. Donc, pour la période et les domaines utilisés dans cette étude, le MRC est fortement dépendant de la qualité des données de pilotage. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Modèle Régional du Climat, Données de pilotage, Expérience Grand Frère, Petites échelles, Conditions aux frontières latérales.

Dans cette thèse, nous présentons un nouvel estimateur d’erreur de type hiérarchique utilisable dans un algorithme d’adaptation de maillages afin d’obtenir une approximation plus précise d’une équation aux dérivées partielles. Nous décrivons les avantages que possèdent ce nouvel estimateur d’erreur versus ceux qui existent déjà dans la littérature et nous justifions sa construction. Plusieurs résultats numériques seront présentés dans les cas uni, bi et tridimensionnels. Nous montrons des exemples académiques (où la solution analytique est connue) pour mesurer l’efficacité et la précision du nouvel estimateur d’erreur. Nous montrons également des exemples d’adaptation de maillages pour des équations modélisant des phénomènes physiques comme l’écoulement d’un fluide autour d’un cylindre, la diffusion instationnaire et le contact entre des corps élastiques déformables. Ces exemples montrent que le nouvel estimateur d’erreur est utilisable pour une très grande classe de problèmes. / In this thesis, we present a new hierarchical error estimator that can be used in a mesh adaptation algorithm to obtain a more accurate approximation to the solution of a partial differential equation. This error estimator has many advantages that other existing error estimators do not have or lack of. For instance, it is, by construction, independant of the differential operator used to model a certain physical phenomena. It is also naturally generalisable to the case of approximations of arbitrary order, and this, without any specific treatment to the underlying theory. Finally, it is efficient, optimal in a sense that will be defined and permits the elements to stretch in a priviledged direction (anisotropy) in order to obtain high accuracy against regularly refined meshes. Many examples are given in the one, two and three dimensional cases. Analytical examples (the solution is known) is given to measure the effiency and precision of the new error estimator. Other examples of mesh adaptation for equations modeling different physical phenomena like the flow of a fluid around a cylinder, unsteady diffusion and contact between deformable elastic bodies are presented. These examples show that the new error estimator can be used for a wide variety of problems.

Dans l'industrie, l'objectif est de remplacer certains essais expérimentaux très coûteux par des simulations numériques. Cependant, peut-on faire confiance à la simulation numérique? C'est l'objet de la thématique de recherche appelée “vérification”. Elle a pour but d'estimer l'erreur commise entre la solution du modèle mathématique et celle fournie par un modèle numérique. De plus, pour le dimensionnement de structures, l'ingénieur requiert que cet estimateur d'erreur soit garanti, c'est à dire qu'il majore l'erreur réelle, et qu'il soit pertinent, c'est à dire qu'il soit proche de l'erreur réelle. Les travaux présentés ici consistent tout d'abord à prouver la faisabilité de la méthode d'obtention de bornes garanties de l'erreur sur une quantité d'intérêt dans le cadre de la dynamique transitoire. Cette méthode est basée sur le concept d'erreur en relation de comportement et la résolution d'un problème adjoint. Dans un deuxième temps, différentes stratégies sont développées afin d'améliorer la pertinence de l'estimateur d'erreur locale. Enfin, cette méthode est étendue aux quantités d'intérêt ponctuelles. La difficulté majeure réside dans la résolution du problème adjoint dont le chargement est singulier. Pour cela, nous avons choisi de décomposer la solution en une partie analytique, déterminée à partir des fonctions de Green de dynamique, et d'une partie numérique, déterminée à l'aide de la méthode des éléments finis et d'un schéma d'intégration temporel. Tous ces aspects visant à mettre en place les premières bornes garanties et pertinentes de l'erreur sur une quantité d'intérêt en dynamique, sont illustrés et validés sur des exemples numériques en 2D. / Thanks to the development of computers and dedicated methods, more and more numerical computations are used in mechanical engineering to substitute expensive experiments. Nevertheless, one can wonder whether numerical results are reliable or not? Research domain called verification focus on this question. In verification, we aim at estimating the discretization error between the solution of a mathematical model and the solution of a numerical model. For robust design, the error estimator must be guaranteed i.e. it should overestimate the real error, and sharp i. e. it should be close to the real error. Within the framework of transient dynamics problems, we first deal with the feasibility of the method to obtain guaranteed bounds ofthe error on a quantity of interest. This method uses the concept of constitutive relation error and the resolution of an adjoint problem. Finally, it must be noted that admissible fields in dynamics need to be computed. Then, our objective is to perform techniques that improve the accuracy of the bounds. Lastly, an extension to pointwise quantities of interest is proposed. The main difficulty is the resolution of the adjoint problem whose loading is singular. Consequently, we choose to decompose the solution within an analytical part, determined from dynamical Green functions in infinite media and a residual part, determined numerically using the finite element method and a time integration scheme. In summary, this work intends to present and illustrate on 2D numerical examples the first guaranteed and sharp bounds of the error on a quantity of interest in transient dynamics.

L’objectif principal de la thèse est de répondre à des questions liées aux étapes clé d’un processus de l’adaptation de modèles de plaques. Comme l’adaptativité dépend des estimateurs d’erreurs fiables, une part importante du rapport est dédiée au développement des méthodes numériques pour les estimateurs d’erreurs aussi bien dues à la discrétisation qu’au choix du modèle. Une comparaison des estimateurs d’erreurs de discrétisation d’un point de vue pratique est présentée. Une attention particulière est prêtée a la méthode de résiduels équilibrés (en anglais, "equilibrated residual method"), laquelle est potentiellement applicable aux estimations des deux types d’erreurs, de discrétisation et de modèle.Il faut souligner que, contrairement aux estimateurs d’erreurs de discrétisation, les estimateurs d’erreur de modèle sont plus difficiles à élaborer. Le concept de l’adaptativité de modèles pour les plaques est implémenté sur la base de la méthode de résiduels équilibrés et de la famille hiérarchique des éléments finis de plaques. Les éléments finis dérivés dans le cadre de la thèse, comprennent aussi bien les éléments de plaques minces et que les éléments de plaques épaisses. Ces derniers sont formulés en s’appuyant sur une théorie nouvelle de plaque, intégrant aussi les effets d’étirement le long de l’épaisseur. Les erreurs de modèle sont estimées via des calculs élément par élément. Les erreurs de discrétisation et de modèle sont estimées d’une manière indépendante, ce qui rend l’approche très robuste et facile à utiliser. Les méthodes développées sont appliquées sur plusieurs exemples numériques. Les travaux réalisés dans le cadre de la thèse représentent plusieurs contributions qui visent l’objectif final de la modélisation adaptative, ou une procédure complètement automatique permettrait de faire un choix optimal du modèle de plaques pour chaque élément de la structure. / The primary goal of the thesis is to provide some answers to the questions related to the key steps in the process of adaptive modeling of plates. Since the adaptivity depends on reliable error estimates, a large part of the thesis is related to the derivation of computational procedures for discretization error estimates as well as model error estimates. A practical comparison of some of the established discretization error estimates is made. Special attention is paid to what is called equilibrated residuum method, which has a potential to be used both for discretization error and model error estimates. It should be emphasized that the model error estimates are quite hard to obtain, in contrast to the discretization error estimates. The concept of model adaptivity for plates is in this work implemented on the basis of equilibrated residuum method and hierarchic family of plate finite element models.The finite elements used in the thesis range from thin plate finite elements to thick plate finite elements. The latter are based on a newly derived higher order plate theory, which includes through the thickness stretching. The model error is estimated by local element-wise computations. As all the finite elements, representing the chosen plate mathematical models, are re-derived in order to share the same interpolation bases, the difference between the local computations can be attributed mainly to the model error. This choice of finite elements enables effective computation of the model error estimate and improves the robustness of the adaptive modeling. Thus the discretization error can be computed by an independent procedure.Many numerical examples are provided as an illustration of performance of the derived plate elements, the derived discretization error procedures and the derived modeling error procedure. Since the basic goal of modeling in engineering is to produce an effective model, which will produce the most accurate results with the minimum input data, the need for the adaptive modeling will always be present. In this view, the present work is a contribution to the final goal of the finite element modeling of plate structures: a fully automatic adaptive procedure for the construction of an optimal computational model (an optimal finite element mesh and an optimal choice of a plate model for each element of the mesh) for a given plate structure.

Pour les problèmes linéaires, différentes démarches existent pour estimer la qualité de la solution éléments finis. Elles conduisent généralement à l'estimation d'une norme de l'erreur globale. Mais le choix d'une précision globale fondée sur une norme du déplacement est souvent délicat car il n'y a pas de lien direct quantitatif avec une erreur sur des quantités mécaniques locales (appelées quantités d'intérêt) ayant un intérêt pour l'ingénieur. L'objectif de ce travail est de développer et de mettre en oeuvre dans Code_Aster une méthode d'estimation d'erreur en quantité d'intérêt pour le calcul de structures industrielles.<br /><br />Une étude bibliographique a permis de situer l'état de l'art et de faire le point sur les méthodes d'estimation d'erreur globale et locale et sur les techniques d'adaptation de maillages afin de déterminer celles qui sont les plus adaptées pour le calcul de structures en milieu industriel.<br /><br />Ensuite, une comparaison a été faite afin de déterminer la pertinence de l'utilisation de l'erreur en quantité d'intérêt dans un processus adaptatif par rapport à l'utilisation de l'erreur en norme de l'énergie, d'un raffinement uniforme ou d'un raffinement local dans la zone d'intérêt. L'étude a montré que l'utilisation de l'erreur en quantités d'intérêt est la stratégie qui permet toujours d'obtenir la meilleure précision pour un nombre d'éléments donné : cette stratégie est la plus pertinente dans un contexte de calcul de structures industrielles.<br /><br />Compte tenu des résultats précédents, une méthode d'estimation d'erreur en quantité d'intérêt a été développée et implémentée dans Code_Aster. Elle est basée sur la relation fondamentale de l'erreur en quantité d'intérêt et sur un estimateur d'erreur globale en norme de l'énergie de type résidus explicites. Cet estimateur ne permettant pas d'accéder à des bornes de l'erreur mais à une valeur approchée, il s'apparente donc à un indicateur d'erreur. Pour réaliser cette estimation, la résolution d'un problème dual est nécessaire. Les chargements de ce problème, particulier pour chaque quantité d'intérêt considérée, sont fournis pour de nombreuses quantités d'intérêt (notamment pour la contrainte de Von Mises). Le calcul final de l'erreur en quantité d'intérêt, à partir du calcul primal et du calcul dual est automatique. Une quantité d'intérêt pour l'estimation de l'erreur sur les facteurs d'intensité des contraintes a également été développée en 2D et 3D. Des exemples numériques ont montré le bon comportement de cet indicateur pour guider un processus d'adaptation de maillage pour les différentes quantités d'intérêt.<br /><br />Enfin, la stratégie de contrôle d'erreur développée a été utilisée, avec Code_Aster, dans le cadre d'études de structures industrielles. Deux études effectuées au département AMA, à EDF R&D sont présentées. La première consiste à étudier la contrainte de Von Mises dans un rotor HP, la seconde s'intéresse à la contrainte verticale dans les goujons d'un assemblage boulonné.

Dans la première partie de cette thèse, nous avons considéré les équations de Maxwell en temps et construit une formulation discontinue de Galerkin (DG). On a montré que cette formulation est bien posée et ensuite on a établi des estimateurs a priori pour cette formulation. On a obtenu des résultats numériques pour valider les estimateurs a priori obtenus théoriquement. Dans la deuxième partie de cette thèse, des estimateurs d'erreur a posteriori de cette formulation sont établis, pour le cas semi-discret et pour le système complètement discrétisé. Dans la troisième partie de cette thèse, on considére les équations de Maxwell en régime harmonique. On a développé une formulation discontinue de Galerkin mixte. On a établi des estimations d'erreur a posteriori pour cette formulation. / In the first part of this thesis, we have considered the time-dependent Maxwell's equations in second-order form and constructed discontinuous Galerkin (DG) formulation. We have established a priori error estimates for this formulation and carried out the numerical analysis to confirm our theoretical results. In the second part of this thesis, we have established a posteriori error estimates of this formulation for both semi discrete and fully discrete case. In the third part of the thesis we have considered the time-harmonic Maxwell's equations and we have developed mixed discontinuous Galerkin formulation. We showed the well posedness of this formulation and have established a posteriori error estimates.