Ce travail s’intéresse à la résolution numérique par éléments finis des équations de Maxwell en régime quasi-stationnaire et en formulations potentielles. L’objectif poursuivi consiste à développer des estimateurs d’erreur a posteriori résiduels, afin de contrôler l’erreur de discrétisation spatiale, dans le cadre d’applications en régime statique ou en régime dynamique harmonique.La première partie de cette thèse est composée de deux chapitres. Le premier est consacré à la modélisation des phénomènes physiques étudiés et à l’obtention des équations mathématiques en résultant. Dans le second, on présente les estimateurs a posteriori et leur intérêt dans le cadre de la mise en oeuvre de la méthode des éléments finis. On détaille notamment les notions de fiablité et d’efficacité d’un estimateur. La deuxième partie se décompose en trois chapitres. Le premier développe l’estimateur a posteriori dans le cas de la magnétostatique en formulation potentielle vecteur A. Les outils mathématiques nécessaires à l’étude sont en particulier détaillés. L’estimateur obtenu est alors validé sur quelques cas tests académiques. Le deuxième traite de l’estimateur a posteriori pour la formulation magnétodynamique en potentiel A/φ en régime harmonique. Un soin particulier est apporté pour générer une décomposition de Helmholtz ad hoc permettant d’obtenir la fiabilité de l’estimateur. Plusieurs configurations sont traitées en fonction de la position du domaine conducteur dans le domaine de calcul et des conditions aux limites associées. Un test numérique est ensuite effectué. Le troisième chapitre est consacré à l’estimateur d’erreur a posteriori pour la formulation T/Ω en régime harmonique pour le problème de la magnétodynamique, en supposant le domaine conducteur simplement connexe. Similairement à la formulation A/φ, une décomposition de Helmholtz est développée pour établir la fiabilité. Une validation numérique est proposée. Enfin, la troisième partie présente une batterie de tests numériques applicatifs et industriels permettant de tester les estimateurs développés dans des conditions réelles. Celle-ci se termine notamment par une application de EDF R&D ayant pour objet le contrôle non destructif par courant de Foucault de tubes générateurs de vapeur. / We are interested in resolving the Maxwell equations in the case of quasi-stationary and potential formulations when the finite element method is used. The aim of this work is to develop residual-based a posteriori estimators to control the spatial discretization error in magnetostatic and magnetodynamic problems. The first part is decomposed in two chapters. In the first one, the modeling of the physical phenomena involved are proposed and the mathematical equations are derived. Then, in the second one, the definition of the a posteriori estimators and their interest are presented in the context of the finite element method. The particular notions of reliability and efficiency of an estimator are presented. The second part can be decomposed into three chapters. In the first one, a residualbased a posteriori estimator for the vector potential formulation A in the case of magnetostatic problems is developed. Some necessary mathematical tools for the study are particularly detailed. The estimator is then validated by some academic tests. In the second chapter, a residual-based a posteriori estimator for the A/φ magnetodynamic harmonic formulation is developed. An ad-hoc Helmholtz decomposition is derived to obtain the reliability of the estimator. Several configurations are considered according to the position of the conductor domain in the computational domain as well as boundary conditions used. A numerical test is then performed. In the third chapter, a residual-based a posteriori estimator is derived for the T/Ω magnetodynamic harmonic formulation, when the conductor domain is simply connected. Similarly to the A/φ formulation, an ad-hoc Helmholtz decomposition is developed to establish the reliability. A numerical validation is proposed.Finally, in the third part, a set of numerical experiments and industrial applications are presented to evaluate our estimators. It ends with a particular application of EDF R&D focusing on the eddy current non-destructive evaluation of steam generator tubes.

Cette thèse porte sur le développement d’estimateurs d'erreur a posteriori pour la résolution numérique par éléments finis de problèmes en électromagnétisme basse fréquence. On s’intéresse aux formulations en potentiels (A-φ et T-Ω) des équations de Maxwell en régime quasi-stationnaire, pour le cas harmonique ou temporel. L'enjeu consiste à développer des outils numériques mathématiquement robustes, exploitables dans un code de calcul industriel, notamment le Code_Carmel3D (EDF R&D), permettant d'estimer l'erreur de discrétisation spatio-temporelle et de pouvoir ainsi améliorer la précision des calculs. On prouve la fiabilité, assurant le contrôle de l’erreur. On prouve également dans certains cas l’efficacité locale, permettant de repérer les zones du maillage dans lesquelles l’erreur est la plus importante, et de mettre ainsi en œuvre des stratégies de raffinement adaptatif. L'équivalence globale entre l'erreur en norme énergétique et l'estimateur est en général assurée. Les estimateurs obtenus sont finalement utilisés pour des simulations physiques/industrielles par le Code_Carmel3D. / This thesis focus on the developement of a posteriori error estimators for the finite element numerical resolution of low frequency electromagnetic problems. We are interested in two potential formulations of the Maxwell's equations in the quasi-static approximation, known as A-φ et T-Ω formulations, for both harmonic and temporal regimes. The challenge consists in developing numerical tools mathematically robust, usable in an industrial code allowing the estimation of the spatio-temporal error discretisation and the improvement of the quality and the cost of the computation. We prove the reliability of the proposed error estimators, which ensures an upper bound for the error in the energy norm. In some cases we also prove the local efficicency of the estimators, which allows to detect the zones where the error is the highest, so that an adaptive remeshing process can be set up. Anyway, the global equivalence between the energy error norm and the estimator is derived. The developed error estimators are finally used for physical and industrial numerical simulations in Code_Carmel3D (EDF R&D).

La mise en oeuvre des approches de population en PK devient systématique aussi bien en milieu industriel qu'en milieu clinique. Ces approches visent à décrire et à quantifier la variabilité interindividuelle en termes de statistiques. L'information obtenue est un élément essentiel car, utilisée dans un critère Bayésien permet l'estimation des paramètres pharmacocinétiques d'un nouvel individu, conduisant dans un contexte clinique à une adaptation rigoureuse de la posologie. L'implémentation des approches non-paramétriques des noyaux et le développement d'une nouvelle procédure d'individualisation de posologie sont les deux contributions principales de ce travail. La description de la variabilité a été abordée par la méthode en deux étapes. Dans le contexte multidimensionnel avec erreurs normales et hétéroscédastiques, nous avons mis en oeuvre différents estimateurs à noyaux "naïfs" et de déconvolution. Le lissage optimal des noyaux a été calculé à l'aide de la validation croisée des moindres carrés. Par ailleurs,nous avons développé les nomogrammes cinétiques en tant que nouvel outil d'individualisation posologique. Etant donné une concentration cible à l'état stationnaire, ces nomogrammes sont construits comme une collection de profils pharmacocinétiques "spécifiques" obtenus après administrations répétées d'un "protocole d'identification". Les graphes obtenus divisent l'espace "temps-concentration" en plusieurs domaines dont chacun correspond à une dose ajustée. Les différents calculs et développements ont été réalisés en utilisant le logiciel Matlab®. Le sélecteur de lissage fournit de bonnes performances et l'implémentation des estimateurs à noyaux précités s'est faite avec succès. Par ailleurs, l'évaluation des performances en termes d'ajustement des doses de Sirolimus® par les nomogrammes cinétiques, que ce soit dans l'étude de simulation ou en clinique, a montré la simplicité et la fiabilité de la procédure. Elle semble efficace même chez les patients dont les caractéristiques pharmacocinétiques varient temporellement. Les estimateurs non-paramétriques à noyaux mis en oeuvre permettent de décrire fidèlement des formes atypiques de la distribution des paramètres pharmacocinétiques, objectif difficilement atteignable avec les approches paramétriques en une seule étape. En clinique, les nomogrammes cinétiques proposés en tant qu'outil d'individualisation de posologie directement disponible au chevet du patient représentent une alternative intéressante aux procédures Bayésiennes traditionnelles. / Population pharmacokinetic approaches become nowadays systematic in both industry and clinical settings. The purpose of these studies is to describe and quantify statistically the interindividual variability.The reliability of the obtained information is fundamental because when used in a Bayesian criterion allows the estimation of individual pharmacokinetic parameters, which could lead to appropriate individual dosage regimens. The implementation of nonparametric kernel density estimators and the development of a new toolassisting individualization of dosage regimens are the main contributions in this thesis. A two-stage method was used in the multivariate context with normal heteroscedastic erors. To describe the variability of pharmacokinetic parameters, we implemented nonparmetric "naive" and deconvolution kernel density estimators. Least-squares cross valdation was used to calculate the optimal smoothing parameter for kernel estimators. Moreover, to assist individualization of drug regimens, we developed the kinetic nomograms. They involve collection of concentration-time following repeated administrations of a fixed "identification protocol" and targeting a given steady-state concentration. The profiles divide the concentration-time space into several areas, each of them corresponding to a given adjusted drug dose. All calculations were performed by use ofMatlab® software. The selector of least-squares cross validation provides good performances and implementation of the above kernel estimators was sucessful. Otherwise, performance evaluation in terms of dose adjustement of Sirolimus® by kinetic nomograms, in both simulation and clinical study, showed simplicity and reliability of the new procedure. It provides adequate dosage adjustement even for drugs that exhibit large intra-individual variability. Implemented nonparametric kernel estimators accurately described the interindividual pharmacokinetic variability, which is difficult to achieve when classical single-stage parametric approaches are used. In the clinical context, kinetic nomograms rendered the individual adjustement of dosage regimen a simplified bedside application. They are interesting alternatives to the cumbersome Bayesian procedure.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Ce travail est consacré à l’étude d’estimateurs d'erreur a posteriori de type flux équilibrés et résiduels pour la résolution des équations de Reissner-Mindlin par la méthode des éléments finis. Le mémoire débute par l'introduction du problème aux limites et de son analyse de convergence a priori par la méthode des éléments finis. Nous construisons alors pour une discrétisation conforme un estimateur a posteriori de type flux équilibrés fiable, efficace et robuste en l'épaisseur de la plaque t. Nous obtenons finalement une constante multiplicative égale à 1 pour la fiabilité. Des tests numériques illustrent nos résultats pour différents maillages. Puis nous abordons le cas d’une discrétisation non-conforme, où nous proposons un estimateur a posteriori de type résiduel, utilisant une régularisation de la solution discrète. Des tests numériques illustrent également nos résultats. La suite du travail reprend la discrétisation conforme en construisant un estimateur a posteriori défini à partir de la résolution de problèmes localisés sur les patchs de la triangulation, menant à un choix plus consistant avec le problème aux limites. Le dernier chapitre est consacré à l'estimation a posteriori pour le problème aux valeurs propres de Reissner-Mindlin. L’estimateur obtenu est fiable et efficace pour la norme de l'erreur entre les vecteurs propres, permettant également de majorer l’erreur commise entre les valeurs propres. Des tests numériques illustrent nos résultats. / This work is devoted to the study of equilibrated fluxes and residual a posteriori error estimators for the finite element resolution of the Reissner-Mindlin system. This report begins by the introduction of the boundary value problem and of its a priori convergence analysis in the finite element method context. Then, an equilibrated fluxes a posteriori estimator is built for a conform discretization, which is proven to be reliable, efficient and robust on the plate thickness t. We finally obtain a multiplicative constant equal to 1 for the reliability. Numerical tests illustrate our results on different meshes. Then, we address the non-conforming discretization case, where a residual a posteriori estimator is proposed using a regularisation of the discrete solution. Numerical tests also illustrate our results. Next we come back to the conform discretization by building an a posteriori estimator defined from localised problems resolution on stars, leading to a consistent choice with the boundary value problem. The last chapter is devoted to an a posteriori estimation for the Reissner-Mindlin eigenvalues problem. The obtained estimator is reliable and efficient for the error norm between the eigenvectors, also allowing to evaluate the error between the eigenvalues. Numerical tests illustrate our results.

Dans un contexte de test multiple, nous considérons un modèle de mélange semi-paramétrique avec deux composantes. Une composante est supposée connue et correspond à la distribution des p-valeurs sous hypothèse nulle avec probabilité a priori p. L'autre composante f est nonparamétrique et représente la distribution des p-valeurs sous l'hypothèse alternative. Le problème d'estimer les paramètres p et f du modèle apparaît dans les procédures de contrôle du taux de faux positifs (''false discovery rate'' ou FDR). Dans la première partie de cette dissertation, nous étudions l'estimation de la proportion p. Nous discutons de résultats d'efficacité asymptotique et établissons que deux cas différents arrivent suivant que f s'annule ou non surtout un intervalle non-vide. Dans le premier cas (annulation surtout un intervalle), nous présentons des estimateurs qui convergent \' la vitesse paramétrique, calculons la variance asymptotique optimale et conjecturons qu'aucun estimateur n'est asymptotiquement efficace (i.e atteint la variance asymptotique optimale). Dans le deuxième cas, nous prouvons que le risque quadratique de n'importe quel estimateur ne converge pas à la vitesse paramétrique. Dans la deuxième partie de la dissertation, nous nous concentrons sur l'estimation de la composante inconnue nonparamétrique f dans le mélange, en comptant sur un estimateur préliminaire de p. Nous proposons et étudions les propriétés asymptotiques de deux estimateurs différents pour cette composante inconnue. Le premier estimateur est un estimateur à noyau avec poids aléatoires. Nous établissons une borne supérieure pour son risque quadratique ponctuel, en montrant une vitesse de convergence nonparamétrique classique sur une classe de Holder. Le deuxième estimateur est un estimateur du maximum de vraisemblance régularisée. Il est calculé par un algorithme itératif, pour lequel nous établissons une propriété de décroissance d'un critère. De plus, ces estimateurs sont utilisés dans une procédure de test multiple pour estimer le taux local de faux positifs (''local false discovery rate'' ou lfdr).

Dans un contexte de test multiple, nous considérons un modèle de mélange semi-paramétrique avec deux composantes. Une composante est supposée connue et correspond à la distribution des p-valeurs sous hypothèse nulle avec probabilité a priori p. L'autre composante f est nonparamétrique et représente la distribution des p-valeurs sous l'hypothèse alternative. Le problème d'estimer les paramètres p et f du modèle apparaît dans les procédures de contrôle du taux de faux positifs (``false discovery rate'' ou FDR). Dans la première partie de cette dissertation, nous étudions l'estimation de la proportion p. Nous discutons de résultats d'efficacité asymptotique et établissons que deux cas différents arrivent suivant que f s'annule ou non surtout un intervalle non-vide. Dans le premier cas (annulation surtout un intervalle), nous présentons des estimateurs qui convergent \`{a} la vitesse paramétrique, calculons la variance asymptotique optimale et conjecturons qu'aucun estimateur n'est asymptotiquement efficace (i.e atteint la variance asymptotique optimale). Dans le deuxième cas, nous prouvons que le risque quadratique de n'importe quel estimateur ne converge pas à la vitesse paramétrique. Dans la deuxième partie de la dissertation, nous nous concentrons sur l'estimation de la composante inconnue nonparamétrique f dans le mélange, en comptant sur un estimateur préliminaire de p. Nous proposons et étudions les propriétés asymptotiques de deux estimateurs différents pour cette composante inconnue. Le premier estimateur est un estimateur à noyau avec poids aléatoires. Nous établissons une borne supérieure pour son risque quadratique ponctuel, en montrant une vitesse de convergence nonparamétrique classique sur une classe de Holder. Le deuxième estimateur est un estimateur du maximum de vraisemblance régularisée. Il est calculé par un algorithme itératif, pour lequel nous établissons une propriété de décroissance d'un critère. De plus, ces estimateurs sont utilisés dans une procédure de test multiple pour estimer le taux local de faux positifs (``local false discovery rate'' ou lfdr). / In a multiple testing context, we consider a semiparametric mixture model with two components. One component is assumed to be known and corresponds to the distribution of p-values under the null hypothesis with prior probability p. The other component f is nonparametric and stands for the distribution under the alternative hypothesis. The problem of estimating the parameters p and f of the model appears from the false discovery rate control procedures. In the first part of this dissertation, we study the estimation of the proportion p. We discuss asymptotic efficiency results and establish that two different cases occur whether f vanishes on a non-empty interval or not. In the first case, we exhibit estimators converging at parametric rate, compute the optimal asymptotic variance and conjecture that no estimator is asymptotically efficient (i.e. attains the optimal asymptotic variance). In the second case, we prove that the quadratic risk of any estimator does not converge at parametric rate. In the second part of the dissertation, we focus on the estimation of the nonparametric unknown component f in the mixture, relying on a preliminary estimator of p. We propose and study the asymptotic properties of two different estimators for this unknown component. The first estimator is a randomly weighted kernel estimator. We establish an upper bound for its pointwise quadratic risk, exhibiting the classical nonparametric rate of convergence over a class of Holder densities. The second estimator is a maximum smoothed likelihood estimator. It is computed through an iterative algorithm, for which we establish a descent property. In addition, these estimators are used in a multiple testing procedure in order to estimate the local false discovery rate.

Cette thèse introduit tout d'abord une formule générale qui englobe toutes les mesures de pauvreté uni-dimensionnelles basées sur le revenu. Nous proposons ensuite deux types d'estimateurs non-paramétriques (à noyau et de type "plug-in") pour cet indice général de pauvreté, tout en étudiant leurs propriétés asymptotiques. Notre méthodologie, basée essentiellement sur la théorie moderne du processus empirique indexé des fonctions, offre un cadre global et rigoureux qui permet d'étudier, avec la même approche, le comportement asymptotique de tous les indices de pauvreté encore disponibles jusqu'ici dans la littérature. Nous obtenons la consistance forte uniforme d'une très large classe de mesures de pauvreté incluant presque tous les modèles d'indices proposés par les économistes, décomposables comme non-décomposables. Ce résultat est utilisé pour construire des intervalles de confiance simultanés, de niveau asymptotiquement optimal (100%). Un théorème central limite uniforme fonctionnel est également établi pour cette large classe d'indicateurs de pauvreté. Comme conséquence, des procédures d'inférence robustes, basées sur le noyau de covariance et utilisant un test de Wald, sont développées afin de comparer de façon non-ambiguë la pauvreté entre deux populations différentes.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse est consacrée aux études théoriques et numériques des problèmes sui- vants qui sont liés à l'adaptation de maillage anisotrope : Les métriques et estimateurs d'erreur, les modifications locales de maillages hexaédriques et quadrilatéraux. Nous procédons à la mise en oeuvre de nouveaux algorithmes, schémas numériques et méthodes dans ces deux parties ; notamment en codant dans le logiciel Freefem++ de nouvelles méthodes de reconstruction d'estimateurs d'erreur et de construction de métriques. Nous étudions trois des méthodes de reconstruction de la matrice hessienne, estimateur d'erreur d'interpolation de Lagrange à l'ordre deux qui sont : La reconstruction de la matrice hessienne par moindres carrés, la méthode basée sur la formule de Green, l'approximation locale de la fonction par un polynôme du second degré. Nous proposons une nouvelle approche basée sur l'interpolation polynomiale locale par maille et un schéma aux différences finies. Nous établissons des propriétés de sta- bilité et de convergence ainsi que des résultats numériques en dimension deux. Nous étudions aussi la reconstruction des dérivées troisièmes par moindres carrés. Nous pro- posons également de nouvelles estimations d'erreur d'interpolation de Lagrange grâce à un développement de Taylor à l'ordre trois sans calcul direct de dérivées troisièmes. Il est aussi proposé un algorithme de construction de métriques à partir d'une estima- tion d'erreur pouvant être représentée localement par une courbe fermée, applicable à l'erreur d'interpolation polynomiale d'ordre supérieur. Enfin, nous proposons de nouvelles façons de raffiner ou dé-raffiner localement les maillages hexaédriques. Nous faisons une étude des techniques existantes en proposant de nouvelles caractérisations des transformations locales de maillages quadrilatéraux et hexaédriques.