O planejamento da operação energética em sistemas hidrotérmicos de potência com um único reservatório tem como objetivo determinar a participação de usinas hidrelétricas e térmicas de forma a garantir o suprimento de energia demandada ao menor custo operacional possível, dentro de restrições físicas e técnicas do modelo. Alguns fatores tornam a solução deste problema bastante complexa destacando a não linearidade e a não separabilidade temporal aditiva. O objetivo deste trabalho é apresentar uma nova abordagem com tratamento agregado das afluências, descrevendo uma nova caracterização das distribuições de probabilidades e um novo modelo para a programação dinâmica estocástica markoviana. Nesse novo modelo da programação dinâmica estocástica markoviana, agregações plurimensais de vazões são utilizadas como entrada em um modelo de programação dinâmica estocástica markoviana modificado para discretizações temporais plurimensais. A nova abordagem proposta foi simulada em diferentes usinas hidrelétricas brasileiras localizadas em diferentes regiões geográficas e sob diferentes regimes hidrológicos. Os resultados das simulações feitas com a utilização deste novo modelo são apresentados e comparados ao modelo de programação dinâmica estocástica markoviana mensal, atualmente utilizado no setor elétrico brasileiro, com economia de custos relativas superiores a 10% em alguns casos. / The energetic operation planning on hydrothermal power systems with a single reservoir aims to determine the participation of hydroelectric power plants and thermal power plants to guaranty supply of energy demanded with the smallest possible cost, under physical and technical model boundaries. Some points became the solution of this problem complex, highlighting the non linearity and the additive non time separability. The objective of this paper is show the new approach with aggregated inflows, describing a new probability distributions featuring and a new model for the markovian stochastic dynamic programming. On this new model of markovian stochastic dynamic programming, multi monthly inflow aggregations are used as input in a model of markovian stochastic dynamic programming modified for multi months discretizations. The new approach proposed was simulated on differents Brazilian hydroelectric power plants located on different regions and under different hydrologic regime. The results of simulations using this new model are presented and compared to the model of monthly markovian dynamic programming, nowadays used on the Brazilian electrical sector, with relatives economic savings up to 10% in some cases.

A comercialização de energia elétrica de fontes renováveis, ordinariamente, constitui-se uma atividade em que as operações são estruturadas sob condições de incerteza, por exemplo, em relação ao preço \"spot\" no mercado de curto prazo e a geração de energia dos empreendimentos. Deriva desse fato a busca dos agentes pela formulação de estratégias e utilização de ferramentais para auxiliá-los em suas tomadas de decisão, visando não somente o retorno financeiro, mas também à mitigação dos riscos envolvidos. Análises de investimentos em fontes renováveis compartilham de desafios similares. Na literatura, o estudo da tomada de decisão considerada ótima sob condições de incerteza se dá por meio da aplicação de técnicas de programação estocástica, que viabiliza a modelagem de problemas com variáveis randômicas e a obtenção de soluções racionais, de interesse para o investidor. Esses modelos permitem a incorporação de métricas de risco, como por exemplo, o Conditional Value-at-Risk, a fim de se obter soluções ótimas que ponderem a expectativa de resultado financeiro e o risco associado da operação, onde a aversão ao risco do agente torna-se um condicionante fundamental. O objetivo principal da Tese - sob a ótica dos agentes geradores, consumidores e comercializadores - é: (i) desenvolver e implementar modelos de otimização em programação linear estocástica com métrica CVaR associada, customizados para cada um desses agentes; e (ii) aplicá-los na análise estratégica de operações como forma de apresentar alternativas factíveis à gestão das atividades desses agentes e contribuir com a proposição de um instrumento conceitualmente robusto e amigável ao usuário, para utilização por parte das empresas. Nesse contexto, como antes frisado, dá-se ênfase na análise do risco financeiro dessas operações por meio da aplicação do CVaR e com base na aversão ao risco do agente. Considera-se as fontes renováveis hídrica e eólica como opções de ativos de geração, de forma a estudar o efeito de complementaridade entre fontes distintas e entre sites distintos da mesma fonte, avaliando-se os rebatimentos nas operações. / The renewable energy trading, ordinarily, is an activity in which mostly operations are structured under uncertainty conditions, for instance, in relation to the energy spot price and assets generation. Derives from this fact the search of the agents for strategies formulation based on computational tools to assist their decision-making process, not only seeking financial returns, but also to mitigate the risks involved. Investments analysis in renewable sources share the same challenges. In the literature, the study of optimal decision-making under uncertainty conditions is made through the application of stochastic programming techniques, which enable modeling problems with random variables and find rational solutions. These models allow the incorporation of risk metrics, as the \"Conditional Value-at-Risk (CVaR)\", to provide optimal solutions that weigh the expected financial results and the associated risk, in which the agent\'s risk-aversion becomes an essential condition for defining the operation strategy. From the perspective of generators, consumers and traders agents, the main purposes of this thesis are: (i) to develop customized optimization models with CVaR metric associated, optimized in stochastic linear programming; and (ii) to apply the models for strategic analysis of operations under the risk-return binomial, focusing on the management activities of each of these agents, and considering renewable sources as option. In this context, the emphasis is on analysis of the operations financial risks through the application of CVaR and based on the agent\'s risk-aversion level. Furthermore, the hydro and wind renewables sources are options of generation assets in order to study the seasonal generation complementarity effect among them and the consequences on energy trading strategies.

As investigações sobre as bases genéticas de doenças complexas em Genômica utilizam diversos tipos de informação. Diversos sintomas são avaliados de maneira a diagnosticar a doença, os indivíduos apresentam padrões de agrupamento baseados, por exemplo no seu parentesco ou ambiente comum e uma quantidade imensa de características dos indivíduos são medidas por meio de marcadores genéticos. No presente trabalho, um modelo multiníveis da teoria de resposta ao item (TRI) é proposto de forma a integrar todas essas fontes de informação e caracterizar doenças complexas através de uma variável latente. Além disso, a quantidade de marcadores moleculares induz um problema de seleção de variáveis, para o qual uma seleção baseada nos métodos da busca estocástica e do LASSO bayesiano são propostos. Os parâmetros do modelo e a seleção de variáveis são realizados sob um paradigma bayesiano, no qual um algoritmo Monte Carlo via Cadeias de Markov é construído e implementado para a obtenção de amostras da distribuição a posteriori dos parâmetros. O mesmo é validado através de estudos de simulação, nos quais a capacidade de recuperação dos parâmetros, de escolha de variáveis e características das estimativas pontuais dos parâmetros são avaliadas em cenários similares aos dados reais. O processo de estimação apresenta uma recuperação satisfatória nos parâmetros estruturais do modelo e capacidade de selecionar covariáveis em espaços de dimensão elevada apesar de um viés considerável nas estimativas das variáveis latentes associadas ao traço latente e ao efeito aleatório. Os métodos desenvolvidos são então aplicados aos dados colhidos no estudo de associação familiar \'Corações de Baependi\', nos quais o modelo multiníveis se mostra capaz de caracterizar a síndrome metabólica, uma série de sintomas associados com o risco cardiovascular. O modelo multiníveis e a seleção de variáveis se mostram capazes de recuperar características conhecidas da doença e selecionar um marcador associado. / Recent investigations about the genetic architecture of complex diseases use diferent sources of information. Diferent symptoms are measured to obtain a diagnosis, individuals may not be independent due to kinship or common environment and their genetic makeup may be measured through a large quantity of genetic markers. In the present work, a multilevel item response theory (IRT) model is proposed that unifies all these diferent sources of information through a latent variable. Furthermore, the large ammount of molecular markers induce a variable selection problem, for which procedures based on stochastic search variable selection and the Bayesian LASSO are considered. Parameter estimation and variable selection is conducted under a Bayesian framework in which a Markov chain Monte Carlo algorithm is derived and implemented to obtain posterior distribution samples. The estimation procedure is validated through a series of simulation studies in which parameter recovery, variable selection and estimation error are evaluated in scenarios similar to the real dataset. The estimation procedure showed adequate recovery of the structural parameters and the capability to correctly nd a large number of the covariates even in high dimensional settings albeit it also produced biased estimates for the incidental latent variables. The proposed methods were then applied to the real dataset collected on the \'Corações de Baependi\' familiar association study and was able to apropriately model the metabolic syndrome, a series of symptoms associated with elevated heart failure and diabetes risk. The multilevel model produced a latent trait that could be identified with the syndrome and an associated molecular marker was found.

Objetivo. Desenvolvimento de uma estrutura para aplicação de simulação numérica estocástica no estudo de espalhamento de doenças em metapopulações de maneira que esta incorpore a topologia dinâmica de contatos entre as subpopulações, verificando as peculiaridades do modelo e aplicando este modelo às redes de movimentação de animais de Pernambuco para estudar o papel das feiras de animais. Método. Foi utilizado o paradigma de modelos híbridos para tratar do espalhamento de doenças nas metapopulações que, das nossas aplicações, resultou na união de duas estratégias de modelagem: Modelos Baseados no Indivíduo e o Algorítimo de Simulação Estocástica. Aplicamos os modelos híbridos em redes de movimentação de animais reais e fictícias para destacar as diferenças dos modelos híbridos com diferentes abordagens de migração (pendular e definitiva) e comparamos estes modelos com modelos clássicos de equações diferenciais. Ainda, através do pacote hybridModels, estudamos o papel das feiras de animais em cenários de epidemia de febre aftosa na rede de movimentação de animais de Pernambuco, introduzindo a doença numa feira de animais contida numa amostra da base de Guia de Trânsito Animal e calculamos a cadeia de infecção dos estabelecimentos. Resultados. Constatamos que no estudo de epidemias com o uso de modelo híbrido, a migração pendular, na média, subestima o número de animais infectados no cenário de comercialização de animais (migração defi nitiva), além de traduzir uma dinâmica de espalhamento enganosa, ignorando cenários mais complexo oferecido pela migração definitiva. Criamos o pacote hybridModels que generaliza os modelos híbridos com migração definitiva e com ele aplicamos um modelo híbrido SIR na rede de Pernambuco e verificamos que as feiras de animais de Pernambuco são potentes disseminadores de doenças transmissíveis. Conclusão. Apesar de custo computacional maior no estudo de espalhamento de doenças, a migração definitiva é o mais adequado tipo de conexão entre as subpopulações de animais de produção. Ainda, de acordo com as nossas analises, as feiras de animais estão entre os mais importantes nós na rede de movimentação de Pernambuco e devem ter lugar de destaque nas estratégias de controle e vigilância epidemiológica / Objective. Development of framework applied to stochastic numerical simulation for the study of disease spreading in metapopulations, in a way that it incorporates the dynamic topology of contacts between subpopulations, checking the framework peculiarities and applying it to the animal movement network of Pernambuco to study the role of animal markets. Method. We used hybrid models paradigm to treat disease spread in metapopulations. From our applications it has resulted in the union of two modeling strategies: Individual-based model and the Algorithm for Stochastic Simulation. We applied hybrid models in real and fictitious networks to highlight the differences between different animal movement approaches (commuting and migration) and we compared these models with classic models of differential equations. Furthermore, through the hybridModels package, we studied the role of animal markets in epidemic scenarios of Foot and Mouth Disease (FMD) in animal movement networks of Pernambuco, introducing the disease in an animal market of a sample from the Animal Transit Record of Pernambuco’s database and calculating the contact infection chain of premises. Results. We noted that in the study of epidemics using a hybrid model, commuting can underestimates the number of infected animals in the animal trade scenario (migration), and resulting in a misleading spreading dynamic by ignoring a more complex scenario that occurs with migration. We created the hybridModels package that generalizes the hybrid models with migration, applied a SIR hybrid model to the animal movement network of Pernambuco and verified that animal markets are important disease spreaders. Conclusion. Despite its higher computational cost in the study of epidemics in animal movement networks, migration is the most suitable type of connection between subpopulations. Furthermore, animal markets of Pernambuco are among the most important nodes for disease transmission and should be considered in strategies of surveillance and disease control

Neste trabalho é apresentado um método probabilístico para avaliação do desempenho de redes de distribuição considerando incertezas na demanda das cargas e na potência gerada por sistemas distribuídos intermitentes. Os consumidores são divididos em agrupamentos por classe e faixa de consumo e a modelagem da demanda horária dos consumidores de cada agrupamento é realizada por uma lei de distribuição acumulada de probabilidade (CDF) adequada. A geração distribuída é contemplada pela consideração de fonte solar fotovoltaica. O procedimento de simulação do Método de Monte Carlo é empregado e a técnica da Joint Normal Transform é utilizada na geração de números aleatórios correlacionados, empregados na amostragem da demanda dos consumidores e da energia produzida pelos sistemas de geração distribuídos. O método proposto foi aplicado ao conhecido sistema de 13 barras do IEEE e os resultados dos indicadores de perdas na operação bem como indicadores de violação de tensão crítica e precária obtidos com o modelo probabilístico são comparados aos obtidos com o modelo determinístico convencional. É demonstrado que nem sempre a média é uma descrição suficiente para o comportamento dos componentes de redes de distribuição e que é mais adequado utilizar uma representação com intervalos de confiança para as grandezas de interesse. / This work presents a probabilistic method for performance evaluation of distribution networks considering uncertainties in load demand and power generated by intermittent distributed systems. Consumers are divided into clusters by class and consumption range, so the modeling for the hourly demand of the consumers on each cluster is performed by a suitable cumulative probability distribution (CDF). Distributed generation is considered by means of solar photovoltaic sources. The Monte Carlo Simulation (MCS) Method is employed and the Joint Normal Transform technique is applied for correlated random numbers generation, used to sample consumer demand and the energy generated by distributed generation systems. The proposed method was applied in the well-known IEEE 13 node test feeder and the results of the operation losses as well as voltage violation indices obtained by the probabilistic model are compared to those obtained with the conventional deterministic model. It is shown that the mean is not always a sufficient description for the behavior of distribution network components and that it is more appropriate to use confidence intervals for the quantities of interest.

Nesta dissertação desenvolvemos o Cálculo Estocástico para provar teoremas clássicos de Análise Complexa, em particular, o pequeno teorema de Picard. / In this dissertation we develop the Stochastic Calculus for to prove classical theorems in Complex Analysis, in particular, the little Picard\'s theorem.

Na primeira parte deste trabalho empregamos a equação estocástica de Itô para obter uma interpretação generazilada de be-ables, que engloba dissipação, decoerência e a transição da dinâmica quântica para clássica. Ao escolher uma fonte de estocasticidade que leva à correção dissipativa da dinâmica hamiltoniana na forma de Lindblad, obtemos uma nova classe de trajetórias que incorpora às trajetórias de Bohm o termo difusivo presente na formulação de Nelson. Utilizando nossa formulação extendida dos be-ables identificamos o processo de decoerência e verificamos que este encontra-se em concordância com o formalismo quântico usual. Na segunda parte deste trabalho analisamos a dinâmica de um sistema quântico sob a competição de dois sistemas multimodais contra-atuantes: um atenuador ou reservatório térmico e um amplificador de Glauber. Mapeamos o comportamento dinâmico deste sistema, identificando diferentes regimes de parâmetros. Calculamos o processo de decoerência emergente da ação dos sistemas multimodais e discutimos aplicações para o nosso sistema. Na terceira parte deste trabalho, usamos a abordagem de campo médio para a obtençãoo da equação mestra que descreve o problema da superradiância sob a ação de flutuações térmicas do reservatório. Desejamos com isso explorar a possibilidade de se verificar o processo de ressonância estocástica no âmbito da superradiância. / In the first part of this work we employ the Itô stochastic equation to extend Bells be-able interpretation of quantum mechanics to encompass dissipation, decoherence and quantum-to-classical transition through quantum trajectories. For a particular choice of the source of stochasticity, the one leading to a dissipative Lindblad type correction to the Hamiltonian dynamics, we verify that the diffusive term in Nelson´s formalism is naturally incorporated into Bohm´s one, rendering a unified Bohm-Nelson theory. Mainly, analyzing the intereference between quantum trajectories, we clearly identify the decoherence time, as estimated from the usual quantum formalism. We also observe the quantum-to-classical transition through the convergence of the infinite possible quantum trajectories to their associated classical counterparts. In the second part of this work we analyze the dynamical behavior of a quantum system under the actions of two counteracting baths: the inevitable energy draining reservoir and, oppositly, an enginereed Glauber amplifier feeding the system excitation. We trace the system dynamics towards equilibrium to mapp its distinct behaviors following from the attenuation × amplification interplay. The decoherence process emerging from the action of both counteracting baths is also computed and, finally, applications of such an attenuation × amplification competition is discussed. Finally, in the third part of this work we employ the mean field approximation to derive the master equation describing the process of superradiant emission under the presence of thermal fluctuation. We envisage to explore the possibility of observe stochastic resonance within the superradiant process.

Planejamento em inteligência artificial é a tarefa de determinar ações que satisfaçam um dado objetivo. Nos problemas de planejamento sob incerteza, as ações podem ter efeitos probabilísticos. Esses problemas são modelados como Processos de Decisão Markovianos (Markov Decision Processes - MDPs), modelos que permitem o cálculo de soluções ótimas considerando o valor esperado de cada ação em cada estado. Contudo, resolver problemas grandes de planejamento probabilístico, i.e., com um grande número de estados e ações, é um enorme desafio. MDPs grandes podem ser reduzidos através da computação de bissimulações estocásticas, i.e., relações de equivalência sobre o conjunto de estados do MDP original. A partir das bissimulações estocásticas, que podem ser exatas ou aproximadas, é possível obter um modelo abstrato reduzido que pode ser mais fácil de resolver do que o MDP original. No entanto, para problemas de alguns domínios, a computação da bissimulação estocástica sobre todo o espaço de estados é inviável. Os algoritmos propostos neste trabalho estendem os algoritmos usados para a computação de bissimulações estocásticas para MDPs de forma que elas sejam computadas sobre o conjunto de estados alcançáveis a partir de um dado estado inicial, que pode ser muito menor do que o conjunto de estados completo. Os resultados experimentais mostram que é possível resolver problemas grandes de planejamento probabilístico com desempenho superior às técnicas conhecidas de bissimulação estocástica. / Planning in artificial intelligence is the task of finding actions to reach a given goal. In planning under uncertainty, the actions can have probabilistic effects. This problems are modeled using Markov Decision Processes (MDPs), models that enable the computation of optimal solutions considering the expected value of each action when applied in each state. However, to solve big probabilistic planning problems, i.e., those with a large number of states and actions, is still a challenge. Large MDPs can be reduced by computing stochastic bisimulations, i.e., equivalence relations over the original MDP states. From the stochastic bisimulations, that can be exact or approximated, it is possible to get an abstract reduced model that can be easier to solve than the original MDP. But, for some problems, the stochastic bisimulation computation over the whole state space is unfeasible. The algorithms proposed in this work extend the algorithms that are used to compute stochastic bisimulations for MDPs in a way that they can be computed over the reachable set of states with a given initial state, which can be much smaller than the complete set of states. The empirical results show that it is possible to solve large probabilistic planning problems with better performance than the known techniques of stochastic bisimulation.

Ao longo dos últimos anos tem se observado no mundo uma expansão do setor leiteiro. Parte dessa expansão se deve a novas tecnologias que foram adotadas nas últimas décadas, mas também ocorreu por causa da queda, ou da anulação de barreiras comerciais. Contudo, notou-se também uma queda no número de fazendas leiteiras. Sendo o leite uma commodity os preços seguem as oscilações de mercado - oferta e demanda - e nenhum dos agentes possui poder para influenciar nos preços de compra e venda dessa mercadoria. Como os boletins do CEPEA mostram, os preços no ano passado têm-se mantido abaixo da média histórica, referente à última década, mas os termos de troca com relação a quantidade de litros de leite para se comprar insumos e defensivos se mantêm em patamares estáveis com tendência de alta. Tendo em vista esse problema, surge a necessidade de buscar compreender melhor como funciona o sistema de produção do setor leiteiro. Este trabalho satisfatoriamente conseguiu detectar através das fronteiras estocásticas de produção simples - leite como único produto de saída - e multi-output - leite e outros produtos animais existentes nas fazendas - além da regressão quantílica para análise de quantis variados da produção de leite, quais os insumos utilizados pelos produtores que oferecem melhores retornos para sua produção bem como analisar fatores de eficiência (BATTESE, COELLI; 1995; CHIDMI; SOLÍS; CABRERA, 2011). Os resultados apresentados apontam para a necessidade de se levar em consideração a inter-relação entre os insumos considerados - função de produção translog - e identificaram os insumos referentes ao capital - quantidade de vacas ordenhadas e gastos com máquinas e equipamentos - e ao trabalho - gastos com salários - como principais insumos da atividade pecuária. Os gastos com medicamentos animais, com energia elétrica e a área disponível para a atividade pecuária se mostraram contraproducentes indicando mau uso ou uso excessivo desses fatores, além de ressaltar a importância do capital na pecuária. Em geral, para quase todos os modelos testados, a produção leiteira apresentou retornos constantes à escala e nível de eficiência em torno de 88% em média para as fronteiras estocásticas e 90% para as estimativas feitas com regressão quantílica. Entre os fatores de eficiência identificados estão a capacidade de armazenamento de silos e tanques de refrigeração para o leite e a margem bruta líquida obtida com a atividade. Os fatores de ineficiência identificados são a prática de queimadas e o percentual de mulheres na administração das unidades produtivas. Com relação aos variados modelos estimados percebeu-se, em suma, a necessidade de se intensificar a produção pecuária e de melhorar a infraestrutura das fazendas. / Over the past few years it has been observed in the world an expansion of the dairy industry. Part of this expansion is due to new technologies that have been adopted in recent decades, but also because of the fall, or the annulment of trade barriers. However, it has also been noted a drop in the number of dairy farms. Being a commodity, milk prices follow the market oscillations - supply and demand - and none of the agents has enough power to influence buying and selling prices of this commodity. As the CEPEA bulletins show, prices last year have remained below the historical average for the last decade, but the terms of trade regarding the amount of liters of milk to buy inputs and pesticides at levels remain stable with uptrend. In view of this problem, there is the need to get a better understanding of how the dairy sector production system works. This work satisfactorily managed to detect, through the single-output stochastic production frontier method - value of milk production as output - and multi-output - value of milk and other existing animal products at the farms - besides quantile regression analysis for multiple production quantiles, which inputs used by farmers offer the best outcome for their production as well as analyzing efficiency factors (BATTESE; COELLI, 1995; CHIDMI; SOLÍS; CABRERA, 2011). The estimated results pointed to the need of considering the interrelation of considered inputs - translog production function - and identified the capital related inputs - quantity of milked cows and expenditure on machinery and equipment - and work related inputs - expenditure on wages - as main production inputs. Expenditure on animal drugs and on electricity and the area available for livestock activity proved counterproductive indicating misuse or overuse of these factors, in addition to emphasizing the importance of capital in livestock. In general, for most of the tested models, dairy production showed constant returns to scale and an average efficiency level of 88% for stochastic frontier models and 90% for estimates done using quantile regression. Among the identified efficiency factors are the storage capacity of silos and cooling tanks for milk and the net gross margin with activity. The identified inefficiency factors are the practice of burning and the percentage of women in the management of production units. With regard to various models estimated it was realized, in short, the need to intensify livestock production and to improve the infrastructure of the farms.

Este trabalho de pesquisa apresenta um modelo numérico para a análise de estruturas planas sob excitação aleatória induzida pelo vento. O comportamento não-linear da estrutura é considerado adotando-se um modelo constitutivo elasto-plástico para o material, aço estrutural. Os elementos das estruturas estudadas estão sujeitos ao surgimento e desaparecimento de rótulas plásticas, levando a um dimensionamento mais econômico. O conhecimento a respeito de vibrações aleatórias de estruturas lineares encontra-se estabelecido. Por outro lado, poucos resultados encontram-se disponíveis para o caso não linear considerado. Para a simulação de vibrações aleatórias uma análise de Monte Carlo é utilizada. Uma função de densidade espectral de potência das velocidades do vento é usada para gerar um certo número de funções harmônicas de carregamento. Os ângulos de fases destes harmônicos são gerados por um algoritmo pseudo-aleatório. Para cada função de carregamento realiza-se uma integração direta no tempo pelo método de Newmark. A grande quantidade de dados de resposta é tratada estatisticamente de modo a permitir a obtenção de conclusões, a respeito da possibilidade de ocorrência de eventos desfavoráveis, do ponto de vista da engenharia. / This work presents a numerical model to analyze structures under random dynamic excitation induced by the wind. The structure is considered to have nonlinear behavior due to the elastic-plastic constitutive law adopted for the material, structural steel. The members of the studied structures may experience formation or disappearance of plastic hinges, leading to a more economic design. Random vibrations of linear structures is a well established subject. On the other hand, very few results are available for the nonlinear case as the one considered. To simulate random vibrations a Monte Carlo type analysis is used. A power spectral density function for wind velocity is used to generate a large number of harmonic input functions. Their phase angles are generated via a pseudo-random algorithm. Numerical time integration using Newmark’s method is performed for each input function. The large amount of response data obtained is statistically treated to allow for useful engineering conclusions on the probability of occurrence of unfavorable events.