Ingeniero Civil Matemático / La velocidad de estabilización de un sistema aleatorio es un problema que ha sido abordado tanto en Física como en Matemáticas. El objetivo de la presente memoria es entender, desde un punto de vista trayectorial, algunas condiciones que aseguran la convergencia exponencial al equilibrio para procesos de difusión degenerados. Además, se desea encontrar nuevas condiciones suficientes para cuantificar esta velocidad de convergencia. Se estudian procesos de difusión de Markov que poseen una única medida invariante y que son solución de ecuaciones diferenciales estocásticas con coeficientes suficientemente regulares. Se encuentran, por un lado, la descripción como semimartingala de la derivada de Radon-Nykodim de la ley del proceso respecto a la ley invariante y, por otro lado, la descripción de las derivadas espaciales de ésta. Con esta información se prueba un teorema que da condiciones suficientes para la convergencia exponencial al equilibrio de la ley del proceso, cuando la distribuciones iniciales son suficientemente regulares. Se muestra que con este teorema se pueden obtener condiciones similares a las existentes en la literatura. Por completitud del trabajo, primero se entregan los resultados básicos necesarios para el desarrollo posterior, con énfasis en el enfoque trayectorial de la disipación de entropía desarrollado por Fontbona y Jourdain \cite{F-J} y en los resultados de Villani \cite{VB} sobre convergencia exponencial de algunos procesos de difusión degenerados. A continuación, se muestra como incluir, desde el punto de vista trayectorial, las derivadas de la densidad de Radon-Nykodim de la ley del proceso respecto a su ley invariante. Se estudia la forma en que estas derivadas intervienen en una nueva entropía que cuantifica la convergencia. Esto permite encontrar condiciones basadas sólo en los coeficientes y en la medida de equilibrio, para asegurar decaimiento exponencial de esta nueva entropía. Gracias a esto es posible recuperar algunos de los teoremas de Villani y obtener algunas extensiones.

El objetivo de la presente memoria de tesis es la modelación y estudio de problemas de tratamiento de recursos acuíferos mediante la utilización de biorreactores. En la Introducción de esta memoria se hace una revisión del problema de las aguas residuales, los métodos y fases del tratamiento de descontaminación, y se enfatiza la etapa de tratamiento secundario, cuya finalidad es la reducción de la materia orgánica presente en las aguas. Se introduce al biorreactor como herramienta para el tratamiento de la materia orgánica mediante el uso de microorganismos, los cuales se alimentan de ella. Se realiza una revisión de los modelos existentes para biorreactores, tanto en el caso determinista como en el estocástico, remarcándose la existencia de resultados de extinción de la biomasa y exclusión competitiva en el caso de dos especies. La presente tesis se divide en dos partes. En la Parte I se estudia un modelo estocástico de tratamiento de aguas mediante un biorreactor secuencial por lotes. Para ello, en el Capítulo 2 se desarrolla un modelo estocástico de biorreactores; esto se hace mediante un límite de aproximaciones de la dinámica del biorreactor por procesos de nacimiento y muerte. En el Capítulo 3 se estudia la existencia y unicidad de soluciones de la ecuación diferencial estocástica controlada que define la dinámica del biorreactor, cuyos coeficientes no cumplen las condiciones de tipo Lipschitz habitualmente requeridas para este tipo de resultados. En el Capítulo 4 se plantea el problema de descontaminación de aguas a tiempo mínimo mediante el uso de biorreactores secuenciales por lotes, con el modelo obtenido en el Capítulo 2, y se muestra que bajo cualquier estrategia admisible, la probabilidad de extinción de la biomasa es positiva, lo que hace que el tiempo esperado de tratamiento sea infinito. Con esto se prueba que el problema así formulado no tiene solución factible. En particular, esto muestra que la estrategia de llenado más rápido no es óptima para el problema estudiado, no obstante lo era para el problema determinista. Se plantean entonces otros problemas de control estocástico relevantes para el biorreactor secuencial por lotes, que pueden ser abordados en el contexto del modelo desarrollado. En la Parte 2 se estudia un problema de biorremediación de recursos acuíferos naturales mediante el uso de quimiostatos. En el Capítulo 5, se estudia el problema de descontaminación de recursos de gran volumen mediante un quimiostato de volumen mucho menor. Esto hace que haya zonas con difícil acceso al aparato descontaminante, por lo que se produce un gradiente de concentraciones en el recurso y no se puede aplicar la hipótesis de homogeneidad de sustrato. Esto se modela mediante la separación del recurso en dos zonas, llamadas zona activa, la que tiene fácil acceso a la descontaminación, y zona muerta, la que se descontamina por difusión con la zona activa. Se busca encontrar estrategias de descontaminación a tiempo mínimo controlando la velocidad de bombeo del quimiostato, y comparar dichas estrategias con la del caso homogéneo. Finalmente, se presentan las conclusiones, los problemas abiertos, y posibles direcciones de trabajo futuro.

Doctora en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / El objetivo de este trabajo es explorar el comportamiento de los procesos de rami ficación evolucionando a tiempo y estados continuos, y encontrar representaciones para su trayectoria y su genealogía. En el primer capítulo se muestra que un proceso de ramifi cación condicionado a no extinguirse es la única solución fuerte de una ecuación diferencial estocástica conducida por un movimiento Browniano y una medida puntual de Poisson, más un subordinador que representa la inmigración, dónde estos procesos son mutuamente independientes. Para esto se usa el hecho de que es posible obtener la ley del proceso condicionado a partir del proceso original, a través de su h-transformada, y se da una manera trayectorial de construir la inmigración a partir de los saltos del proceso. En el segundo capítulo se encuentra una representación para los procesos de rami ficación con crecimiento logístico, usando ecuaciones estocásticas. En particular, usando la de finición general dada por A. Lambert, se prueba que un proceso logístico es la única solución fuerte de una ecuación estocástica conducida por un movimiento Browniano y una medida puntual de Poisson, pero con un drift negativo fruto de la competencia entre individuos. En este capítulo se encuentra además una ecuación diferencial estocástica asociada con un proceso logístico condicionado a no extinguirse, suponiendo que éste existe y que puede ser de finido a través de una h-transformada. Esta representación muestra que nuevamente el condicionamiento da origen a un término correspondiente a la inmigración, pero en este caso dependiente de la población. Por último, en el tercer capítulo se obtiene una representación de tipo Ray-Knight para los procesos de ramifi cación logísticos, lo que da una descripción de su genealogía continua. Para esto, se utiliza la construcción de árboles aleatorios continuos asociados con procesos de Lévy generales dada por J.-F. Le Gall e Y. Le Jan, y una generalización del procedimiento de poda desarrollado por R. Abraham, J.-F. Delmas. Este resultado extiende la representación de Ray-Knight para procesos de difusión logísticos dada por V. Le, E. Pardoux y A. Wakolbinger.

Neste trabalho, analisamos uma equação diferencial estocástica (EDE) do tipo Landau- Ginzburg: dφ = Aφ+dη (t, x), onde A é uma função definida no espaço das variáveis aleatórias φ (x, t) com (x, t) ∈ R X Zd. Toda a dissertação segue de perto as ideias encontradas no artigo [FdVOPS01]. Utilizando a teoria de análise estocástica (mais precisamente, a fórmula de Feynman- Kac) associamos a EDE acima com uma equação de evolução. Desta forma nosso estudo é resumido ao problema de determinação do espectro do gerador de um semigrupo de evolução. Para realizar esta análise utilizamos técnicas desenvolvidas na teoria quântica de campos. A esquematização do presente texto se dá da seguinte forma: Na introdução formulamos o nosso problema detalhadamente, fornecendo os aspectos da análise estocástica e da teoria de campos envolvidas. Também enunciamos um teorema que resume as propriedades espectrais que pretendemos obter. Nos Capítulos 2 e 3 fornecemos o aparato conceitual necessário para o desenvolvimento do problema inicial. Ainda no Capítulo 3, fazemos uma revisão rápida sobre um problema bem conhecido da mecânica quântica (modelo φ4), afim de estabelecer familiaridade com esta teoria. No Capítulo 4, inicialmente, nos restringimos à determinação de propriedades espectrais para o nosso problema no volume finito, e depois realizamos um procedimento chamado expansão em cluster para passar ao estudo do problema no volume infinito. No Capítulo 5 definimos o operador de Bethe-Salpeter, para então, no Capítulo 6, determinar propriedades do núcleo deste operador. Por fim, estas informações são utilizadas no Capítulo 7 para obtermos a caracterização espectral desejada. / Following [FdVOPS01], we study a stochastic Landau-Ginzburg differential equation of the form dφ = Aφ + dη (t, x), where A is a function defined on the space of random variables Φ (x, t), with (x, t) ∈ R X Zd. Using the stochastic analysis theory (more precisely, the Feynman-Kac formula) we are able to associate this stochastic differential equation (EDE) with an evolution equation. In this way, our study is resumed to the problem of determine the spectrum of the generator of an evolution semigroup. To do this, we use techniques developed in the quantum field theory. This work is organized as follows. In the Introduction we formulate our problem in detail, providing the aspects of the stochastic analysis and field theory that are involved. We also enunciate a theorem that resumes the spectral properties that we want to achieve. Chapters 2 and 3 are meant to provide the conceptual tools that are needed to the development of the initial problem. Yet in Chapter 3, we do a quick review of a known problem in quantum field (the model φ4), intending estabilish familiarity with this theory. Chapter 4 is restricted initially to the determination of spectral properties of our problem in the finite volume [T, T] X ∧ ⊂ R X Zd, and then we perform the cluster expansion in order to formulate the problem in infinite volume [T, T] X Zd. In Chapter 5 we define the Bethe-Salpeter operator and, in Chapter 6, we determine some properties of the kernel of this operator. This informations are used in Chapter 7 to obtain the desired spectral characterization.

Neste trabalho, analisamos uma equação diferencial estocástica (EDE) do tipo Landau- Ginzburg: dφ = Aφ+dη (t, x), onde A é uma função definida no espaço das variáveis aleatórias φ (x, t) com (x, t) ∈ R X Zd. Toda a dissertação segue de perto as ideias encontradas no artigo [FdVOPS01]. Utilizando a teoria de análise estocástica (mais precisamente, a fórmula de Feynman- Kac) associamos a EDE acima com uma equação de evolução. Desta forma nosso estudo é resumido ao problema de determinação do espectro do gerador de um semigrupo de evolução. Para realizar esta análise utilizamos técnicas desenvolvidas na teoria quântica de campos. A esquematização do presente texto se dá da seguinte forma: Na introdução formulamos o nosso problema detalhadamente, fornecendo os aspectos da análise estocástica e da teoria de campos envolvidas. Também enunciamos um teorema que resume as propriedades espectrais que pretendemos obter. Nos Capítulos 2 e 3 fornecemos o aparato conceitual necessário para o desenvolvimento do problema inicial. Ainda no Capítulo 3, fazemos uma revisão rápida sobre um problema bem conhecido da mecânica quântica (modelo φ4), afim de estabelecer familiaridade com esta teoria. No Capítulo 4, inicialmente, nos restringimos à determinação de propriedades espectrais para o nosso problema no volume finito, e depois realizamos um procedimento chamado expansão em cluster para passar ao estudo do problema no volume infinito. No Capítulo 5 definimos o operador de Bethe-Salpeter, para então, no Capítulo 6, determinar propriedades do núcleo deste operador. Por fim, estas informações são utilizadas no Capítulo 7 para obtermos a caracterização espectral desejada. / Following [FdVOPS01], we study a stochastic Landau-Ginzburg differential equation of the form dφ = Aφ + dη (t, x), where A is a function defined on the space of random variables Φ (x, t), with (x, t) ∈ R X Zd. Using the stochastic analysis theory (more precisely, the Feynman-Kac formula) we are able to associate this stochastic differential equation (EDE) with an evolution equation. In this way, our study is resumed to the problem of determine the spectrum of the generator of an evolution semigroup. To do this, we use techniques developed in the quantum field theory. This work is organized as follows. In the Introduction we formulate our problem in detail, providing the aspects of the stochastic analysis and field theory that are involved. We also enunciate a theorem that resumes the spectral properties that we want to achieve. Chapters 2 and 3 are meant to provide the conceptual tools that are needed to the development of the initial problem. Yet in Chapter 3, we do a quick review of a known problem in quantum field (the model φ4), intending estabilish familiarity with this theory. Chapter 4 is restricted initially to the determination of spectral properties of our problem in the finite volume [T, T] X ∧ ⊂ R X Zd, and then we perform the cluster expansion in order to formulate the problem in infinite volume [T, T] X Zd. In Chapter 5 we define the Bethe-Salpeter operator and, in Chapter 6, we determine some properties of the kernel of this operator. This informations are used in Chapter 7 to obtain the desired spectral characterization.

A grande maioria das empresas possui um ecossistema de software composto por um conjunto de aplicações, para auxiliar na tomada de decisões ou na melhoria dos seus processos de negócio. O campo de estudo integração de aplicações empresariais oferece ferramentas e metodologias para criar soluções de integração que possibilita que as aplicações do ecossistema, geralmente heterogêneas, possam trabalhar de maneira conjunta e sincronizada. Esta dissertação utiliza como caso de estudo uma solução de integração projetada para o problema de integração do sistema de currículos da agência nacional e tecnologia de Portugal. Esta solução, projetada com uma linguagem de modelagem de alto nível de abstração, é caracterizada como um sistema de eventos discretos. Existem vários paradigmas para a modelagem de sistemas de eventos discretos, dentre eles aqueles baseados em modelos probabilísticos. nesta dissertação, utiliza-se uma abordagem baseada em simulação com redes de Petri estocásticas para a identificação de gargalos de desempenho em soluções de integração, caracterizando, assim, uma solução como um processo probabilístico. Para a redução desses gargalos utilizou-se as redes de Petri Estocásticas Generalizadas. A simulação de uma solução de integração, a partir do seu modelo conceitual, possibilita a análise do seu comportamento ainda na fase de projeto, reduzindo custos, riscos e tempo no desenvolvimento da solução. Os resultados da simulação mostram que os gargalos de desempenho podem ser identificados ainda na fase de projeto e que é possível reduzi-los dedicando recursos computacionais às tarefas mais críticas do modelo. / 97 f.

O presente estudo buscou avaliar, a partir de informações da Pesquisa Anual Industrial do IBGE, a evolução da Produtividade Total dos Fatores (PTF) para a indústria farmacêutica nacional, objetivando contribuir com o debate acerca dos reajustes de preços do setor no âmbito da resolução Nº 1, de 27 de Fevereiro de 2004 da CMED. Para tanto, foram estimadas as fronteiras de produção estocásticas segundo o modelo implementado em Battese e Coelli (1995) com o emprego da Forma Flexível de Fourrier. A partir da metodologia citada acima, calculou-se os índices PTF de Malmquist para o período compreendido entre 1996 e 2003. Foram construídos seis índices distintos de produtividade para avaliar o setor. Tal construção se deveu à necessidade de se atribuir exogenamente as taxas de depreciação para o cálculo do estoque de capital. Desta forma, três hipóteses distintas (8%, 9% e 10%, seguindo valores dentro do intervalo utilizado pela literatura de ciclos reais no Brasil) foram atribuídas com o objetivo de checar a robustez dos índices. A partir deste conjunto de três séries, foram calculados índices de média geométrica (seguindo a metodologia mais popular entre os autores da literatura de índices de Malmquist) e de média ponderada (cujo peso atribuído foi a participação do Valor da Transformação Industrial de cada empresa em relação ao total do mercado). Dentre os resultados obtidos, vale destacar que, no período investigado, o setor não apresentou variações tecnológicas significativas. Os coeficientes são, numericamente próximos a zero e os índices de variação técnica variam positivamente até 1999 e, posteriormente, apresentam variações negativas que compensam o efeito positivo do período anterior. O mesmo não pode ser dito ineficiência técnica. De acordo com as equações estimadas, a ineficiência não apenas está presente, como predomina a variância do erro idiossincrático. Sua variação não apresenta um padrão decrescente nítido como a tecnologia. Entretanto, quando avaliada de maneira acumulada, os resultados mostram que, em todos os índices elaborados, houve uma perda de eficiência. Os resultados finais dos índices, obtidos a partir da variação da eficiência técnica e da variação técnica, apontam para uma perda de produtividade acumulada nos dois grupos de índices, isto é, tomando como base o ano de 1996. Desta forma, o ano de 2003 apresentou uma perda média de 8% para a média ponderada e de aproximadamente 7% na média geométrica. / The aim of this study is develop a contribution about the prices readjustments in Brazilian Pharmaceutical Industrial Sector, which is regulated by Resolution Nº 1 from 27 February of Brazilian?s Medicines Chamber (CMED). The present work uses information from IBGE?s Industrial Annual Research between 1996-2003. This contribution comes from measuring the Malmquist Total Factor Productivity Index of this sector. In order to do so, Battese and Coelli?s (1995) stochastic productions frontiers were estimated whit employment of Fourrier Flexible Form. Six different indexes were constructed by the necessity to attribute an exogenous depreciation factor to calculus of capital stock. Therefore, three distinct hypotheses (8%, 9% and 10%) were established to this factor, following the values used by Brazilian Real Business Cycles Literature. Apart from these values, two sets of indexes were constructed: a geometric mean index (following the most popular methodology in the Malmquist Index Literature) and a weighted mean index (the weight used is the relatively participation of each firm at the total Industrial Transformation Value). The results shows that the sector doesn?t have a significant technological variation in the investigated period. The technological coefficients are numerically near to zero and the derivative technological indexes present positive variation until 1999. After this period, the technological indexes present negative variation, so the final effect is quite null. Looking to the technical efficiency, we can?t assume the same result. According to the estimated equation, inefficiency is not only present but it?s effects seem dominate the idiosyncratic error. Moreover, the inefficiency doesn?t show a clear decreasing pattern like technological variation. However, when someone evaluate this variable accumulated, the results show an efficiency lost. The final results of these indexes were got by the technical indexes and technical efficiencies indexes and present an accumulated efficiency lost in two sets of indexes with 1996 as basis. Therefore, 2003 shows an average lost about 8% in weighted mean and about 7% in geometric mean.

Este texto apresenta alguns dos elementos básicos envolvidos em um estudo introdutório das equações diferencias estocásticas. Tais equações modelam problemas a tempo contínuo em que as grandezas de interesse estão sujeitas a certos tipos de perturbações aleatórias. Em nosso estudo, a aleatoriedade nessas equações será representada por um termo que envolve o processo estocástico conhecido como Movimento Browniano. Para um tratamento matematicamente rigoroso dessas equações, faremos uso da Integral Estocástica de Itô. A construção dessa integral é um dos principais objetivos do texto. Depois de desenvolver os conceitos necessários, apresentaremos alguns exemplos e provaremos existência e unicidade de solução para equações diferenciais estocásticas satisfazendo certas hipóteses. / This text presents some of the basic elements involved in an introductory study of stochastic differential equations. Such equations describe certain kinds of random perturbations on continuous time models. In our study, the randomness in these equations will be represented by a term involving the stochastic process known as Brownian Motion. For a mathematically rigorous treatment of these equations, we use the Itô Stochastic Integral. The construction of this integral is one of the main goals of the text. After developing the necessary concepts, we present some examples and prove existence and uniqueness of solution of stochastic differential equations satisfying some hypothesis.

Orientador: Cristian Favio Coletti / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada, 2013

Dissertação apresentada para obtenção do grau de Mestre em Estatística Aplicada, na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, sob a orientação dos Profs. Doutores Teresa Arede e Francisco Calheiros