L'objet de cette thèse est la construction, l'étude mathématique et numérique de modèles déterministes pour des systèmes Proie-Prédateur en milieu insulaire hétérogène. Il s'agit d'évaluer les effets de l'introduction d'espèces invasives, prédateurs et compétiteurs, sur une population de proies natives. La première partie présente l'étude de modèles faiblement structurés, bas´es sur des systèmes d'E.D.O. singuliers, le dénominateur d'un des termes de réaction pouvant s'annuler. L'analyse mathématique permet d'isoler des conditions d'extinction en temps fini ou de persistance. Dans ce second cas, le comportement en temps long dépend d'hypothèses supplémentaires. Une étude similaire est menée dans le cadre d'une population de proies natives structurée en 2 classes d'âge : juvéniles et adultes. Dans la seconde partie, on étend les modèles précédents au cadre avec structuration en espace, pour prendre en compte les hétérogénéités spatiales du milieu. On obtient des systèmes d'E.D.P. du type Réaction-Diffusion singuliers. Une analyse approfondie donne des critères d'existence globale en temps et d'existence sur un intervalle de temps fini des solutions. Parallèlement, nous mettons en place une méthode numérique du type splitting d'opérateurs dans un but double : valider les modèles spatiaux et étudier des processus d'invasion. Les simulations numériques permettent d'établir le rôle fondamental des proies introduites dans le succès de l'invasion par les prédateurs de colonies isolées de proies natives. Enfin, la structuration discrète en âge pour les proies natives permet d'exhiber des dynamiques oscillatoires.

Un nœud est un plongement du cercle dans une variété de dimension 3. Dans la sphère S3 , les nœuds peuvent être codés combinatoirement par des diagrammes de Gauss. Ceux-ci peuvent être étudiés indépendamment, en oubliant les véritables nœuds: c'est ce qu'on appelle la théorie des nœuds virtuels. En première partie nous définissons une version générale de nœuds virtuels, dépendant d'un groupe G muni d'un morphisme à valeurs dans Z/2. Lorsque ces paramètres sont bien choisis, la théorie obtenue généralise les nœuds dans une surface épaissie quelconque (c'est-à-dire un fibré en droites réelles sur une surface). Outre l'encodage des nœuds, les diagrammes de Gauss sont aussi un outil puissant pour décrire les invariants de type fini de Vassiliev. En seconde partie, nous donnons un ensemble complet de critères pour détecter ces invariants. Notamment, le critère d'invariance sous Reidemeister III est une réponse positive à une conjecture de M.Polyak. Parmi les exemples donnés figure une nouvelle preuve et une généralisation du théorème de Grishanov-Vassiliev sur les invariants par chaînes planaires. La troisième partie est une ébauche de plan visant à trouver un algorithme pour décider si un diagramme donné dans l'anneau R × S1 représente une tresse fermée dans le tore solide, à isotopie près. La première étape est franchie, consistant à trouver un critère reconnaissant les diagrammes de Gauss des tresses fermées. Nous conjecturons que ce critère suffit pour les diagrammes à nombre minimal de croisements, et proposons des pistes dans cet objectif. La dernière partie est un travail commun avec T.Fiedler, explorant les propriétés d'objets non génériques liés à l'espace de toutes les immersions du cercle dans R3 . Cet espace est de dimension infinie, stratifié par le degré de non généricité des immersions. Alors que la théorie de Vassiliev se cantonne à l'étude des strates contenant uniquement des points doubles ordinaires, ici nous interdisons ces points doubles et autorisons uniquement un certain type de points triples. Nous montrons que l'espace qui en résulte n'est pas simplement connexe en exhibant un 1-cocycle non trivial. Une pondération de ce 1-cocycle fournit une nouvelle formule pour l'invariant de Casson des nœuds.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

L'analyse prévisionnelle des risques d'un système complexe repose aujourd'hui sur une modélisation de la dynamique du système vis-à-vis des défaillances et réparations de ses composants. L'analyse qualitative d'un tel système consiste à rechercher et à analyser les scénarios conduisant à la panne. En raison de leur nombre, il est courant de ne s'intéresser qu'aux scénarios les plus caractéristiques, les Séquences de Coupe Minimales (SCM). L'absence de formalisation de ces SCM a généré soit des définitions spécifiques à certains outils de modélisation soit des définitions informelles. Les travaux présentés dans cette thèse proposent: i) un cadre et une définition formelle des séquences de coupe minimales, tout deux indépendants de l'outil de modélisation de fiabilité utilisé, ii) une méthode permettant leur calcul, méthode basée sur des propriétés déduites de leur définition, iii) l'extension des premières définitions aux composants multimodes. Ce cadre permet le calcul des SCM pour des installations décrites avec les Boolean logic Driven Markov Processes (BDMP). Sous l'hypothèse que l'ensemble des scénarios représentés implicitement via le modèle de sûreté établi peut être modélisé à l'aide d'un automate fini, ces travaux définissent la notion de cohérence des systèmes dynamiques et réparables, et le moyen d'obtenir une représentation minimale de l'ensemble des scénarios menant à la défaillance du système. / Preventive risk assessment of a complex system rely on a dynamic models which describe the link between the system failure and the scenarios of failure and repair events from its components. The qualitative analyses of a binary dynamic and repairable system is aiming at computing and analyse the scenarios that lead to the system failure. Since such systems describe a large set of those, only the most representative ones, called Minimal Cut Sequences (MCS), are of interest for the safety engineer. The lack of a formal definition for the MCS has generated multiple definitions either specific to a given model (and thus not generic) or informal. This work proposes i) a formal framework and definition for the MCS while staying independent of the reliability model used, ii) the methodology to compute them using property extracted from their formal definition, iii) an extension of the formal framework for multi-states components in order to perform the qualitative analyses of Boolean logic Driven Markov Processes (BDMP) models. Under the hypothesis that the scenarios implicitly described by any reliability model can always be represented by a finite automaton, this work is defining the coherency for dynamic and repairable systems as the way to give a minimal representation of all scenarios that are leading to the system failure.

Dans cette thèse, on s'intéresse aux automates cellulaires en tant que modèle de calcul permettant de reconnaître des langages. Dans un tel domaine, il est toujours difficile d'établir des résultats négatifs, typiquement de prouver qu'un langage donné n'est pas reconnu en une certaine fonction de temps par une certaine classe d'automates. On se focalisera en particulier sur les classes de faible complexité comme le temps réel, au sujet desquelles de nombreuses questions restent ouvertes.Dans une première partie, on propose plusieurs manières d'affaiblir encore les classes de langages étudiées, permettant ainsi d'obtenir des exemples de résultats négatifs. Dans une seconde partie, on montre un théorème d'accélération par automate cellulaire d'un modèle séquentiel, les automates finis oublieux. Ce modèle est une version a priori affaiblie, mais non triviale, des automates finis à plusieurs têtes de lecture. / This document deals with cellular automata as a model of computation used to recognise languages. In such a domain, it is always difficult to provide negative results, that is, typically, to prove that a given language is not recognised in some function of time by some class of automata. The document focuses in particular on the low-complexity classes such as real time, about which a lot of questions remain open since several decades.In a first part, several techniques to weaken further still these classes of languages are investigated, thereby bringing examples of negative results. A second part is dedicated to the comparison of cellular automata with another model language recognition, namely multi-head finite automata. This leads to speed-up theorem when finite automata are oblivious, which makes them a priori weaker than in the general case but leaves them a nontrivial power.

Cette thèse étudie le problème d'identification de la topologie d'un réseau de systèmes complexes dynamiques, dont les sous-systèmes sont décrits par des équations différentielles ordinaires (EDO) et/ou par des équations différentielles à retard (EDR). La première partie de ce travail porte sur l’identification des paramètres du réseau de systèmes linéaires. Ainsi, différentes classes de systèmes linéaires ont été traitées, à savoir les systèmes sans retard, les systèmes à retard commensurable et les systèmes à entrées inconnues. Un observateur impulsif est proposé afin d'identifier à la fois les états et les paramètres inconnus de la classe de système dynamique considérée en temps fini. Afin de garantir l'existence de l'observateur impulsif proposé, des conditions suffisantes sont déduites. Des exemples illustratifs sont donnés afin de montrer l'efficacité de l'observateur en temps fini proposé.La deuxième partie de ce travail traite le problème de l'identification de la topologie d'un réseau de systèmes dynamiques non linéaires. Dans nos considérations, les coefficients interconnexions de la topologie du réseau sont considérés comme des paramètres constants. Par conséquent, l'identification de la topologie est équivalente à l'identification des paramètres inconnus. Tout d’abord, nous avons déduit des conditions suffisantes sur l’identifiabilité des paramètres, puis nous avons proposé un différenciateur uniforme avec convergence en temps fini pour estimer les paramètres inconnus / This thesis investigates the topology identification problem for network of dynamical complex systems, whose subsystems are described by ordinary differential equations (ODE) and/or delay differential equations (DDE). The first part of this work focuses on the parameters identification of the network of linear systems. Thus, different classes of linear systems have been treated namely systems without delay, systems with commensurable delay and systems with unknown inputs. An impulsive observer is proposed in order to identify both the states and the unknown parameters of the considered class of dynamic system in finite time. In order to guarantee the existence of the proposed impulsive observer, sufficient conditions are deduced. An illustrative example is given in order to show the efficiency of the proposed finite-time observer.The second part of this work treats the topology identification of the network of nonlinear dynamic systems. In our considerations, the topology connections are represented as constant parameters, therefore the topology identification is equivalent to identify the unknown parameters. A sufficient condition on parameter identifiability is firstly deduced, and then a uniform differentiator with finite-time convergence is proposed to estimate the unknown parameters

Cette thèse propose une analyse mathématique des modèles cinétiques en présence d'un champ magnétique intense.L'objectif de ce projet est le développement d'outils mathématiques nécessaires à la modélisation des plasmas de fusion. Les phénomènes physiques rencontrés dans les plasmas de fusion mettent en jeu des échelles caractéristiques disparates. L'interaction entre ces ordres de grandeurs est un enjeu important et requiert une analyse multi-échelle. Il s'agit d'un problème d'homogénéisation par rapport au mouvement rapide de rotation des particules autour des lignes de champ magnétique. Nous étudions le régime du rayon de Larmor fini pour le système de Vlasov-Poisson, dans le cadre de champs magnétiques uniformes, en appliquant les méthodes de gyro-moyenne. Nous donnons l'expression explicite du champ d'advection effectif de l'équation de Vlasov, dans laquelle nous avons substitué le champ électrique auto-cohérent, via la résolution de l'équation de Poisson moyennée à l'échelle cyclotronique. Nous mettons en évidence la structure hamiltonienne du modèle limite et présentons ses propriétés : conservations de la masse, de l'énergie cinétique, de l'énergie électrique, etc.Nous généralisons ensuite cette étude dans le cadre de champs magnétiques non uniformes. Comme précédemment, les principales propriétés des modèles limites sont mises en évidence : conservations de la masse, de l'énergie, structure hamiltonienne.Nous prenons en compte également les effets collisionnels, en présence d'un champ magnétique intense. Après identification des équilibres et invariants du noyau de collision moyenné, on s'intéresse à la dérivation de modèles fluides. / This thesis proposes a mathematical analysis of kinetic models in the presence of strong magnetic fields.The objective of this project is the development of mathematical tools required for modelisation of fusion plasmas. The physical phenomena encountered in fusion plasmas involve disparate characteristic scales. The interaction between these orders of magnitude is an important issue and requires a multi-scale analysis. We appeal to homogenization techniques with respect to the fast rotation motion around the magnetic field lines.We study the finite Larmor radius regime for the Vlasov-Poisson system, in the framework of uniform magnetic fields, by appealing to gyro-average methods. We indicate the explicit expression of the effective advection field entering the Vlasov equation, after substituting the self-consistent electric field, obtained by the resolution of the averaged (with respect to the cyclotronic time scale) Poisson equation. We emphasize the hamiltonian structure of the limit model and present its properties : conservation of mass, of kinetic energy, of electric energy, etc.Then we generalize this study to general magnetic shapes. As before, the main properties of the limit model are emphasized : mass and energy balances, hamiltonian structure.We also take into account the collisional effects, under strong magnetic fields. After identifying the equilibria and the invariants of the average collision operator, we inquire about fluid models.

Ce travail traite de l'évitement d'obstacles pour les robots mobiles à roues. D’abord, deux solutions sont proposées dans le cas d’un seul robot autonome. La première est une amélioration de la technique des champs de potentiel afin de contraster l’apparition de minima locaux. Le résultat se base sur l’application de la définition de l’ «Input-to-State Stability» pour des ensembles décomposables. Chaque fois que le robot mobile approche un minimum local l’introduction d’un contrôle dédié lui permet de l’éviter et de terminer la tâche. La deuxième solution se base sur l’utilisation de la technique du «Supervisory Control» qui permet de diviser la tâche principale en deux sous tâches : un algorithme de supervision gère deux signaux de commande, le premier en charge de faire atteindre la destination, le deuxième d’éviter les obstacles. Les deux signaux de commande permettent de compléter la mission en temps fini en assurant la robustesse par rapport aux perturbations représentant certaines dynamiques négligées. Les deux solutions ont été mises en service sur un robot mobile «Turtlebot 2». Pour contrôler une formation de type leader-follower qui puisse éviter collisions et obstacles, une modification de l’algorithme de supervision précédent a été proposée ; elle divise la tâche principale en trois sous-problèmes gérés par trois lois de commande. Le rôle du leader est adapté pour être la référence du groupe avec un rôle actif : ralentir la formation en cas de manœuvre d'évitement pour certains robots. La méthode proposée permet au groupe de se déplacer et à chaque agent d’éviter les obstacles, ou les collisions, de manière décentralisée / This dissertation work addresses the obstacle avoidance for wheeled mobile robots. The supervisory control framework coupled with the output regulation technique allowed to solve the obstacle avoidance problem and to formally prove the existence of an effective solution: two outputs for two objectives, reaching the goal and avoiding the obstacles. To have fast, reliable and robust results the designed control laws are finite-time, a particular class very appropriate to the purpose. The novelty of the approach lies in the easiness of the geometric approach to avoid the obstacle and on the formal proof provided under some assumptions. The solution have been thus extended to control a leader follower formation which, sustained from the previous result, uses two outputs but three controls to nail the problem. The Leader role is redesigned to be the reference of the group and not just the most advanced agent, moreover it has a active role slowing down the formation in case of collision avoidance manoeuvre for some robots. The proposed method, formally proven, makes the group move together and allow each agent to avoid obstacles or collision in a decentralized way. In addition, a further contribution of this dissertation, it is represented by a modification of the well known potential field method to avoid one of the common drawback of the method: the appearance of local minima. Control theory tools helps again to propose a solution that can be formally proven: the application of the definition of Input-to-State Stability (ISS) for decomposable sets allows to treat separate obstacles adding a perturbation which is able to move the trajectory away from a critic point

Les travaux du PIREN-Seine, dans lesquels s'inscrit mon travail de thèse, se sont dès le début orientés vers la recherche d'une description du fonctionnement écologique du système aussi déterministe que possible. Dans ce but, l'approche adoptée consiste à décrire les organismes et constituants ainsi que les processus qui ont une influence sur la qualité de l'eau dans le réseau hydrographique. La modélisation a été l'un des outils utilisés pour améliorer notre connaissance des processus et ainsi aider les différents acteurs de l'eau à la prise de décision. Pour étudier l'impact des rejets urbains dans les zones fortement influencées par l'activité humaine, il a été décidé de mettre en oeuvre un modèle bi-dimensionnel plan capable de simuler de façon précise le devenir des différents polluants rejetés en Seine. Grâce à la collaboration entre l'École des Mines et la Direction Études et Recherches d'Électricité de France, nous avons pu utiliser le code de calcul hydrodynamique aux éléments finis, TELEMAC 2D, d'E.D.F. Une première étape a consisté à mettre en oeuvre ce modèle dans le bief de Seine caractérisé par les rejets de la station d'épuration d'Achères pour estimer les vitesses de l'écoulement et les hauteurs d'eau à l'étiage et de connaître, entre autres, le temps de résidence de l'eau pour quelques situations permanentes de bas débit. Les travaux antérieurs du PIREN-Seine ont largement montré que la pollution d'origine organique était étroitement liée aux particules. Bien que l'essentiel du flux de matériel particulaire soit transporté au cours des crues, l'étude du transport en période d'étiage ne doit pas être négligée. La dilution des rejets urbains par l'eau de Seine est plus faible en période d'étiage. Le dépôt est plus intense, le matériel qui le constitue est fortement pollué et les zones de stockage sont plus nombreuses. Il nous est donc apparu important de simuler convenablement le transport solide pour la Seine à l'étiage. Nous avons alors modifié le modèle de transport bi-dimensionnel d'EDF, SUBIEF 2D. La navigation, intense dans cette partie du fleuve, joue un rôle considérable sur les temps de résidence des particules et ainsi sur le devenir des produits contaminants peu ou non solubles. Nous avons donc développé un module de remise en suspension qui prend en compte de façon précise la circulation fluviale : la modélisation du courant de retour, du champ de vitesses généré sur le lit de la rivière par les jets d'hélice, l'utilisation d'une formulation énergétique des processus de dépôt/érosion basée sur la capacité de transport d'un écoulement, nous permet de reproduire les concentrations en MES mesurées dans la colonne d'eau sur l'ensemble du domaine lors des différentes campagnes organisées. Nous en tirons des informations sur la quantité de particules sédimentées dans le bief, la localisation des dépôts frais et le temps de transfert moyen des particules en périodes de basses eaux. Nous appuyant sur le modèle hydraulique et de transport précédemment défini, nous avons mis en place un module biologique reprenant le schéma conceptuel du modèle RIVE utilisé dans le PIREN-Seine. Nous simulons le cycle de l'oxygène en relation avec celui du carbone. Les processus modélisés sont le développement phytoplanctonique, la dégradation de la matière organique par les bactéries hétérotrophes et la production/consommation d'oxygène associée. Une ré-aération à l'interface air-eau est aussi prise en compte. Le modèle simule les évolutions de 24 variables d'état relatives à la colonne d'eau et à la vase non consolidée déposée sur le lit du fleuve. Les processus d'échange entre la colonne d'eau et les sédiments, qu'ils soient diffusifs ou contraints par le dépôt et l'érosion, ont été introduits explicitement dans le modèle. La couche de vase est également le siège de réactions biologiques. Les résultats des simulations pour différents étiages sont confrontés aux données expérimentales dont nous disposons. Ces résultats montrent que la conceptualisation retenue pour le modèle de simulation de la qualité de l'eau est adaptée à la simulation des processus qui dominent dans ce secteur. Une comparaison entre le modèle ProSe, développé à l'École des Mines de Paris, dans ses versions mono-dimensionnelles et à tube de courant, et le modèle bi-dimensionnel TELEMAC-SUBIEF a été réalisée. Cette intercomparaison permet, d'une part, de valider les développements réalisés au sein de SUBIEF 2D, le modèle ProSe ayant été validé dans de nombreuses situations et, d'autre part, de montrer les différences de comportement des modèles mono et bi-dimensionnels dans le secteur d'étude.

Cette thèse concerne le développement et la mise en œuvre d'un environnement pour le calcul scientifique et la modélisation. L'approche retenue est celle d'une décomposition stratifiée des problèmes, ceci dans un double but: marquer le cheminement progressif des étapes de description, allant de l'énoncé informel vers un langage cible en passant par des langages intermédiaires plus ou moins formalisés ; et, d'obtenir une décomposition structurée, modulaire, pour aller du problème initial vers le programme. Dans le but de vérifier la cohérence des descriptions, des schémas de résolutions, des décompositions, nous associons à tout énoncé des conditions logiques dépendant du langage de description. Pour cela, il nous a paru nécessaire d'étudier les formulations logiques décrites par des systèmes polynômiaux sur les corps finis de la forme Z/pZ. L'étude de ces systèmes nous conduisent à traiter le problème de l'élimination des quantificateurs sur un corps fini, le problème du calcul du résultat sur Z/pZ: des algorithmes sont proposés, ainsi qu'une généralisation de la méthode de Dixon-Biard. Le problème de la déduction est aussi abordé. Ces algorithmes nous permettent de vérifier localement la cohérence d'un énoncé mais aussi d'une décomposition de problème. Ceci rend envisageable une vérification globale. Un éditeur de strates sous Grif est présenté